Primer Grado

Ingeniero Julio Núñez Cheng 1

INTRODUCCIÓN

Los primeros en tratar las ecuaciones de primer grado fueron los árabes, en un libro llamado Tratado de la cosa, y a la ciencia de hacerlo, Álgebra. La cosa era la incógnita. La primera traducción fue hecha al latín en España, y como la palabra árabe la cosa suena algo parecido a la X española medieval, los matemáticos españoles llamaron a la cosa X y así sigue. Desde el siglo XVII a.C. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primero y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba el "método de la falsa posición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos. Todo número real está representado por un punto de un eje de abscisas, y al considerar aproximaciones racionales por defecto y por exceso, cada vez mejores, este punto aparece como punto común de los infinitos intervalos cerrados de una sucesión. La sucesión se llama encaje de intervalos y cada número real se expresa como un elemento común a todos los intervalos de un encaje de intervalos. En esta unidad se estudian las ecuaciones de primer grado con soluciones de ejercicios y problemas tipos, así como una autoevaluación que debe ser desarrollado por el estudiante y que corresponde a la primera semana de estudio. En la segunda semana se resuelven ejercicios y problemas de ecuaciones de segundo grado y presenta su respectiva autoevaluación que debe desarrollar el estudiante. La tercera semana comprende el estudio de las notaciones de intervalos, así como las operaciones básicas que se realizan con los intervalos, muy importante para estudio de la Estadística.


CONTENIDOS

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación es una igualdad de dos expresiones algebraicas.

Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1

Ecuación de Primer Grado:

Son aquellas donde el mayor exponente de la variable es 1.

Las ecuaciones de primer grado pueden ser de una o más variables.

Por ejemplo:

4 2 10 ( var ) 2 5 ( var )4 2 14

x una iable x y dos iablesx y

.

Ejemplos de ecuaciones de primer grado con una variable

3x + 1 = x - 2

1 - 3x = 2x - 9

5x - 3 = 2 + x

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen números y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.

Raíz de una ecuación

Es el valor que satisface la ecuación, es decir cumple con la igualdad.

Conjunto Solución

Formado por todas las raíces de la ecuación


En ejemplo:

Si los términos semejantes son positivos, el signo final es positivo. Si los términos semejantes son negativos, el signo final es negativo.

Por ejemplo:

¿Qué es un término algebraico?

Es un número o una letra, o conjunto de números y letras que se relacionan entre sí por la multiplicación o división.

2 3 42

2 3 2

3 43 , ,2 6x y xyxy

z x yz

El signo indica si el término es positivo o negativo. El coeficiente es la parte numérica del término. La parte literal es la variable del término. Los exponentes indican el grado del término.

2 3 4 5 7 2 12 3 4 5 7 2 1

4 2 8 6 1 0 1 2 2

x x x x x xx x x x x x

x x x x x x x

En el ejemplo anterior:

Si los términos semejantes son positivos, el signo final es positivo. Si los términos semejantes son negativos, el signo final es negativo.

En suma y resta combinada de términos semejantes, se agrupa los positivos y también los negativos. Luego se resta y se coloca el signo del mayor.

En la suma y resta de términos semejantes no se aplica la ley de signos como en multiplicación y división.

En multiplicación: (+) (+) = + (-) (-) = +

En división:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Para resolver ecuaciones de primer o segundo grado, el estudiante debe recordar términos usados y las operaciones básicas del álgebra: Término algebraico, términos semejantes, suma, resta, multiplicación,

división de operaciones algebraicas. Leyes de los signos aplicados en dichas operaciones


2

2 2

2 3 6 4 2

2 2 2

2 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

( 3 2 ) ( 4 3 ) 1 2 6( 2 3 ) 4 1 2 9( 3 2 ) 2 7 5 4 3 6 8

:( ) 2( ) 2( ) 3 3( ) 3 3

x x x xx x xx x x x

S e p u e d e u t i l i z a r l a s r e g l a sa b a a b ba b a a b ba b a a b a b ba b a a b a b b

Resolución de Ecuaciones de primer grado

El procedimiento es:

a. Eliminar los denominadores, hallando el mínimo común múltiplo, si tuviera la ecuación.

b. Efectuar las operaciones indicadas.

c. Realizar la transposición de términos, los que tengan variables al primer miembro de la ecuación y los números al segundo miembro.

d. Los términos que pasan de un miembro de la ecuación al otro, deben cambiar de signo.

e. Reducir términos semejantes y despejar la incógnita.

Ejemplo:

Hallar el conjunto solución de la ecuación:

Revisar en internet operaciones básicas del álgebra, ingresando en la siguiente página:

Expresiones algebraicas - cidse


MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Así, 8ab es común múltiplo de 2a y 4ab porque 8ab es divisible exactamente por 2a y por 4ab. Así, el m.c.m. es de 4a y 6a es 12a. El m.c.m. de 2x, 6x y 9x es 18x. m.c.m. de monomios y polinomios. Regla: Se descompone las expresiones dadas en sus factores primos, el m.c.m. es el producto de los factores primos, comunes y no comunes, con su mayor exponente. a.Hallar el m.c.m. de: 6, 3x −3 Descomponiendo: 6 = 2. 3 3x−3 = 3 (x−1) m.c.m. = 2.3 (x−1) = 6 (x−1)

COMÚN MÚLTIPLO

De dos o más expresiones algebraicas es toda expresión algebraica que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO De dos o más expresiones algebraicas es la expresión algebraica de menor

coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas.

5( 4) 3 7 2( 2) 3( 1) 2:

5 20 3 7 2 4 3 3 2de t min :

5 3 2 3 4 3 2 20 79 36

36 49

: 4

x x x xEfectuando operaciones

x x x xTransposición ér os

x x x xx

x

Luego CS


b.Hallar el m.c.m. de: 14a, 7x−21 Descomponiendo: 14a = 2. 7a 7x−21=7(x−3) El m.c.m. = 2.7.a (x−3) = 14a (x−3) c.Hallar el m.c.m. de: 15x, 10x2 + 5x, 45x 1. Diferencia de Cuadrados Perfectos: Cuando ambos términos tiene raíz cuadrada exacta, unidos por el signo menos y corresponde a la forma general: (a2 - b2) = (a + b) (a – b), por ejemplo, factorizar 16 x2 - 9 = (4x + 3 ) (4x - 3) 36 x4 - 25 = (9x2 + 5) (9x2 - 5) 81 x6 - 16 = (9x3 + 4) (9x3 - 4)

2. Trinomio de la forma ax2 + bx + c: Se resuelve por medio del aspa simple. Por ejemplo, factorizar:

Es importante que el estudiante revise los principales casos de factorización: Diferencia de cuadrados perfectos, aspa simple,

trinomio cuadrado perfecto, suma y diferencia de cubos perfectos.

2

2

2

5 6 ( 3)( 2)32

12 14 10 (4 2)(3 5)4 23 510 14 12 (5 3)(2 4)5 32 4

x x x xxx

x x x xxxx x x x

xx

2

2

2

:15 3.510 5 5 (2 1)45 3 .5

. . . 3 .5 (2 1) 45 (2 1)

Descomponiendox xx x x xx x

El m c m x x x x


2. Suma de Cubos Perfectos: Cuando ambos términos tiene raíz cúbica exacta, unidos por el signo más y corresponde a la forma general: (a3 + b3) = (a + b) (a2 – a b + b2 )

Por ejemplo, factorizar:

3 2

3 2

8 27 (2 3)(4 6 9)64 8 (4 2)(16 8 4)

x x x xx x x x

3. Diferencia de Cubos Perfectos: Cuando ambos términos tiene raíz cúbica exacta, unidos por el signo menos y corresponde a la forma general: (a3 - b3) = (a - b) (a2 + a b + b2 )

Por ejemplo, factorizar:

3 2

6 2 4 2

27 8 (3 2)(9 6 4)125 64 (5 4)(25 20 16)

x x x xx x x x

d. Hallar el m.c.m. de las siguientes expresiones algebraicas:

2 2

2

2 2

2

16, ( 4) 4, 2 8:

16 ( 4)( 4)( 4) ( 4)

4 ( 4)2 8 2( 4)

. . . 2( 4) ( 4)

x x x xD escom poniendox x xx x

x xx x

El m c m x x

La teoría del m.c.m. es de suma importancia para resolver ecuaciones.

Hallar el conjunto solución de la ecuación:


Dividiendo el m.c.m. por cada término del denominador y multiplicando el cociente por cada término del numerador se obtiene:

Representa el conjunto solución de la ecuación.

Por ejemplo:

1. El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?

Sea: x = edad del hermano menor.

x + 3: edad del hermano mediano

x +3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas.

2

2

2

1 3 1 223 3 9

m in min :3 ( 3)3 ( 3)

9 ( 3)( 3). . ( 3)( 3)

x x xx x xLos tér os del deno ador se descom ponenx xx xx x xEl m cm es x x

2

2 2 2 2

2 2 2 2

( 3)( 1) ( 3)( 3) 2( 3)( 3) 1 24 3 ( 6 9) 2 18 1 24 3 6 9 2 18 1 2

:10 6 11

10 1111 1110 10

x x x x x x xx x x x x xx x x x x xSimplificando

xx

x


Ecuación:

Suma de las edades de los hermanos = 40

x + x+3 + x+7 = 40,

Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es: Edades de los tres hermanos: 10, 13 y 17 años. 2. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

3. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

4. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm? 2x x x 2x Según el enunciado el perímetro es 30 cm: Luego: 2x + 2x + x + x = 30

De donde x = 5 cm Altura

Base: 2x = 10 cm

:: ( 3 5 )

: ( 5 ):

( 3 5 ) 3 ( 5 )R e

1 0

A ñ o s q u e d e b e n tr a n s c u r r i r xE d a d d e l p a d r e d e n tr o d e x a ñ o s xE d a d d e l h i jo d e n tr o d e x a ñ o s xS e g ú n e l e n u n c ia d o s e d e b e c u m p l i r

x xs o lv ie n d o la e c u a c ió n

x a ñ o s

:: 2

:

2 5 42

3 6

E l n ú m e r o e s xD o b l e d e l n ú m e r o xS e g ú n e l e n u n c i a d o

xx

D e d o n d e x


5. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas?

6. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

7. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan exceden en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos. Edades Juan Padre Hace 4 años x 2 x Actual x + 4 2 x + 4

:1 5

.3 ( 2 4 ) 4 1 54

3 2: 4 3 6

: 2 4 2 (3 2 ) 4 6 8

S e g ú n e l e n u n c ia d oP a r a q u e s e a n ig u a le s s e a u m e n ta e n a la e d a da c tu a l d e l h i jo

x x

xJ u a n xP a d r e x

:: 2

: 3 ( 2 ) 3 ( 3 ) 9:

2 9 9 68

: 8: 2 1 6

: 9 7 2

H o m b r e s xM u j e r e s xN i ñ o s x x x xS e g ú n e l e n u n c i a d ox x x

xH o m b r e s xM u j e r e s xN i ñ o s x

: 4 : 4: 35 2 : 2(35 )

:4 2(35 ) 116

23: 23

(35 23) 12

Cerdos x patas Total xPavos x patas Total xSegún el enunciado

x xx

CerdosPavos


8. Halla el valor de los tres ángulos de un triángulo sabiendo que B mide 40° más que C y que A mide 40° más que B.

9. Luis preguntó a su primo Juan cuántos años tenía, y Juan contestó: “Si al triple de los años que tendré dentro de tres años le restas el triple de los años que tenía hace tres años, tendrás los años que tengo ahora” ¿Cuántos años tiene Juan? Edad de Juan dentro

de 3 años Edad de Juan hace 3

años Edad actual de Juan : x X +3 x- 3 Por el enunciado: Triple de la edad dentro de 3 años – Triple de la edad que tenía hace 3 años = Edad actual

10. La tercera parte de un número es 45 unidades menores que su doble: Hallar dicho número.

4 04 0 4 0 8 0

1 8 0 º: 4 0 8 0 1 8 02 0

2 04 0 6 08 0 1 0 0

C xB xA x xL a s u m a d e lo s á n g u lo s d e u n tr iá n g u lo e sL u e g o x x x

xC xB xA x

3( 3) 3( 3):

18

x x xDe dondex

l n

345 ,

45 .

45 23

Re :27

Sea e úmero xxTercera parte

Como la tercera parte es menor en que su dobleaumentamos en a la tercera parte para que sean iguales

x x

solviendox


1. En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor? .

2. Hallar un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido.

3. El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?

4. A un baile asistieron 60 personas, cada dama pagó los 2/3 de lo que pagó cada caballero. Si cada caballero pagó 30 soles y el monto recaudado fue de 1600 soles. ¿Cuántos caballeros y damas asistieron al baile?

5. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas? 6. En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y una revista con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía 12 soles. ¿Cuánto dinero tenía Ana? 7. Las tres cuartas partes de la edad del padre de Juan excede en 15 años a la edad de éste. Hace cuatro años la edad del padre era doble de la edad del hijo. Hallar las edades de ambos.

8. Resolver las ecuaciones:

a. (x + 2) (x - 5) = x2 + 7x – 50

2 2

2

2

. ( 2) (3 ) 12 1. 2

1 13 2.

4 2 2 4

b x xxc

x xx xd

x x x

AUTOEVALUACIÓN


1. 12, 24 y 108 2. 4 3. 9 y 20 4. 20 damas y 40 caballeros. 5. Hombres 8, mujeres 16 y niños 72 6. 54 soles 7. Juan: 36 y Padre: 68 8. Solución de ecuaciones: a) x = 4 b) x = 3 c) x = - 3 d) x = 3

SOLUCIONARIO DE LA AUTOEVALUACIÓN


BIBLIOGRAFÍA /WEBGRAFÍA

Figueroa, R. Matemática Básica, 3ª Edic. Edit. Gráficas América S.R.L., Lima-Perú. 2004. Lázaro, M. Matemática Básica. Edit. Moshera S.R, Lima-Perú, 2007. http://www.ematematicas.net/ecuacion.php http://www.vitutor.com/ecuaciones/1/p_e.html http://www.vitutor.com/ecuaciones/2/p_e.html http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_%28matem%C3%A1tica%29

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