PRESIÓN LATERAL DE TIERRA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

SECCIÓN DE POSTGRADO

Dr. ZENÓN AGUILAR BARDALES

CENTRO PERUANO JAPONÉS DE INVESTIGACIONESSÍSMICAS Y MITIGACIÓN DE DESASTRES - CISMID

PRESIPRESIÓÓN DE TIERRA EN REPOSON DE TIERRA EN REPOSO

o

hoK

''

σσ

=

Peso especifico del suelo = γτ f = c + σ tanφ

σ´h = Koσ´o

z

A

B

yoo σσ =′

hh σσ =′

oσ ′

Como σ´o = γz, tenemos

σ´h = Ko (γz)

Para suelos de grano grueso, el coeficiente de presión de tierra en reposo se estima por la relación empírica (Jaki,1944)

Ko = 1 – sen φ

Donde φ = ángulo de fricción efectiva. Para suelo de grano fino, normalmente consolidados,Massarsch (1979) sugirió la siguiente ecuación para Ko :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+=

100(%)42.044.0 IPKo

Donde OCR = tasa de preconsolidación. La tasa de preconsolidación se define como

OCR = presión de preconsolidaciónpresión de sobrecarga efectiva presente

La magnitud de Ko en la mayoría de los suelos varia entre 0.5 y 1.0, con valoresmayores para arcillas fuertemente preconsolidadas.

Para arcillas preconsolidadas, el coeficiente de presión de tierra en reposo se aproxima por

( ) ( ) OCRKK daeconsolidanormalmentodadapreconsolio =

PRESIPRESIÓÓN DE TIERRA EN REPOSO N DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO SECOPARA UN SUELO SECO

H

Peso específico del suelo = γ

Ko γ H

2

21 HKP oo γ=

3H

H

H1

H2

Ko( γH1 + γ’H2)

Peso específico saturadodel suelo = γsat

Peso específico del suelo = γ

γwH2

KoγH1

Nivel de Agua freática

-(a) (b)

F

E

J K

A

B

I

G

z

+

C

PRESIPRESIÓÓN DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE N DE TIERRA EN REPOSO PARA UN SUELO PARCIALMENTE SUMERGIDOSUMERGIDO

=

H1

H2

KoγH1

DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergidon de tierra en reposo para un suelo parcialmente sumergido

Ko( γH1 + γ’H2) + γwH2

(c)

Presión efectiva vertical = )( 11 HzHo −′+=′ γγσ

[ ])( 11 HzHKK oooh −′+=′=′ γγσσ

)( 1Hzu w −= γ

uhh +′= σσ

[ ] )()( 111 HzHzHK wo −+−′+= γγγ

2221

21 )(

21

21 HKHHKHKP woooo γγγγ +′++=

[ ] 22

2221

21 2

21 HHHHHKP woo γγγγ +′++=

o

Presión efectiva horizontal =

Presión total horizontal =

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA

Peso especifico del suelo = γτ f = c + σ tanφ

σ´h

z

A

B

A´

B´

∆L

σ´O

PresiPresióón activa de tierra de Rankinen activa de tierra de Rankine

PresiPresióón activa de tierra de Rankinen activa de tierra de Rankine

Esfuerzo normal

c

Aφφ

Esf

uerz

o no

rmal

D´

D

OC

τ f = c + σ tanφ

σ′OKoσ′Oσ′a

a

b

ESTADO ACTIVO DE RANKINE ESTADO ACTIVO DE RANKINE

OCAOCD

ACCDsen

+==φ

Pero

CD = radio del círculo de falla =2

ao σσ ′−′

AO = c cot φ

y

2aoOC σσ ′+′

=

Por lo que

2cot

2ao

ao

csen σσφ

σσ

φ ′+′+

′−′

=

De la figura

22cos aoao senc σσφσσφ

′−′=

′+′+o

oφ

φφφσσ

senc

sensen

oa +−

+−′=′

1cos2

11

Pero

σ′o = presión de sobrecarga efectiva vertical = γz

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

+−

245tan

11 2 φ

φφ

sensen

y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

+ 245tan

1cos φ

φφ

sen

ESTADO ACTIVO DE RANKINE

Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación obtenemos

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′

245tan2

245tan2 φφγσ cza

Para suelos sin cohesión, c = 0 y

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −′=′

245tan2 φσσ oa

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

′′

=2

45tan2 φσσ

o

aaK

La razón de σ′a respecto a σ′o se llama coeficiente de presión de tierra activa de Rankine,Ka,o

aKc2−

γc2 tan )

245( φ

+

z

(c)

aa KczK 2−γ

(d)

245 φ

+2

45 φ+

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA ACTIVADE TIERRA ACTIVA

Peso especifico del suelo = γτ f = c + σ tanφ

σ´h

z

A

B

A´

B´

∆L

σ´O

Estado pasivo de RankineEstado pasivo de Rankine

PresiPresióón pasiva de tierra de Rankinen pasiva de tierra de Rankine

PresiPresióón pasiva de tierra de Rankinen pasiva de tierra de Rankine

Esfuerzo Normal

τ f = c + σ tanφ

Esf

uerz

o N

orm

alσ′o

φφ O

C

D

D′

Aσ′p

b

Koσ′o

a

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +′=′

245tan2

245tan2 φφσσ cop

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=′

245tan2

245tan2 φφγσ czp

La derivación es similar a la del estado activo de Rankinee

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +′=′

245tan2 φσσ op

o

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

′′

245tan2 φ

σσ

po

p K

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVATEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVA

o

z

pKc2 pzKγ

(c)

(d)

245 φ

−2

45 φ−

TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES TEORIA DE RANKINE DE LAS PRESIONES DE TIERRA PASIVADE TIERRA PASIVA

EFECTO DE LA CEDENCIA DEL MUROEFECTO DE LA CEDENCIA DEL MURO

Muro de retenciMuro de retencióón en voladizon en voladizo

245 φ+ 245 φ+

z

C´A

H

A´

B

La∆La

RotaciRotacióón de un muro sin friccin de un muro sin friccióón respecto al fondon respecto al fondo

245 φ

−

H

A

∆Lp

A ″

Lp

C″ 245 φ

−2

45 φ−

RotaciRotacióón de un muro sin friccin de un muro sin friccióón respecto al fondon respecto al fondo

VariaciVariacióón de la magnitud de la presin de la magnitud de la presióón lateral de tierra n lateral de tierra con la inclinacicon la inclinacióón del muron del muro

Presión activa σ′a

Presión en reposo

Presión pasivaσ′p

Pre

sión

de

tierra

Inclinacióndel muro

∆LaH Inclinación

del muro

∆LPH

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIDIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓÓN DE LA PRESIN DE LA PRESIÓÓN LATERAL N LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIDE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓÓN0N0

RELLENO. SUELO SIN COHESIRELLENO. SUELO SIN COHESIÓÓN CONN CONSUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENOSUPERFICIE HORIZONTAL DEL TERRENO

zKaaa γσσ =′= (Nota: c = 0)

HKaa γσ =

2

21 HKP aa γ=

Caso Activo

La fuerza total:

Distribución de la presión contra un muro de retención para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno

Cuña defalla

H

245 φ

+

γφ

c = 0

3H

H

KaγH

Pa

σa=σ′a

Caso activo de Rankine

Caso Pasivo

HKppp γσσ =′=

2

21 HKP pp γ=

DIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIDIAGRAMAS PARA LA DISTRIBUCIÓÓN DE LA PRESIN DE LA PRESIÓÓN LATERAL N LATERAL DE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIDE TIERRA CONTRA MUROS DE RETENCIÓÓN0N0

La fuerza total:

Cuña de falla

H

245 φ

−

γφ

c = 0

KpγH

3H

Pp

Hσp=σ′p

Distribución de la presión contra un muro de retención para un relleno de suelo sin cohesión con superficie horizontal del terreno

Caso pasivo de Rankine

RELLENO. SUELO SIN COHESIRELLENO. SUELO SIN COHESIÓÓN PARCIALMENTE N PARCIALMENTE SUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGASUMERGIDO SOPORTANDOSOBRECARGA

Caso Activo

oaa K σσ ′=′

qKaaa =′= σσy

( )1Hqoo γσσ +=′=

( )1HqKaaa γσσ +=′=

y

Donde σ′o y σ′a son las presiones efectivas vertical y latera, respectivamente. En z = 0

qoo =′= σσ

A la profundidad z = H1

Donde γ′= γsat - γw. La Variación de σ′a con la profundidad se muestra .

La presión lateral sobre le muro de la presión de poro entre z = 0 y H1 es 0, y para z > H1, esta aumenta linealmente con la profundidad. En z = H,

2Hu wγ=

El diagrama de la presión lateral total σa´, es la suma de los diagramas de presión mostrados. La FuerzaActiva total por longitud unitaria del muro es el área del diagrama de la presión total. Entonces,

( ) 2221

21 2

121 HKHHKHkqHKP waaaaa γγγγ +′+++=

( )21 HHqo γγσ ′++=′y

( )21 HHqKaa γγσ ′++=′

A la profundidad z = H

H1

H2

H

45+ φ2

Z

Nivel del Agua Freática

Cuña de falla

Sobrecarga = q

γsatφ

DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón activa de tierra de Rankine contra un muro de n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenciretencióón con relleno de un suelo sin cohesin con relleno de un suelo sin cohesióón parcialmente n parcialmente

sumergido y soportando una sobrecargasumergido y soportando una sobrecarga

+

H1

H2

( )21 HHqKa γγ ′++

qKHK aa +1γ

aσ ′=

2Hwγ

u σa

( )1HqKa γ+ 22 HHK wa γγ +′

qKa

DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón activa de tierra de Rankine contra un muro de n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenciretencióón con relleno de un suelo sin cohesin con relleno de un suelo sin cohesióón parcialmente n parcialmente

sumergido y soportando una sobrecargasumergido y soportando una sobrecarga

Caso Pasivo

opp K σσ ′=′

( ) 2221

21 2

121 HKHHKHKqHKP wppppp γγγγ +′+++=

RELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTALRELLENO, SUELO COHESIVO CON RELLENO HORIZONTAL

Caso Activo

aaa KczK 2−=′ γσ

02 =− aoa KczK γ

ao K

czγ

2=

o

Para la condición no drenada, esto es,φ = 0, Ka = tan245° = 1, y c = cu (cohesión no drenada)tenemos

γu

ocz 2

=

Entonces con el tiempo, se desarrollaran grietas de tensión en la interfaz suelo-muro hasta unaProfundidad zo

H1

H2

H

45 - φ2

Z

Nivel del Agua Freática

Cuña de falla

Sobrecarga = q

γsatφ

(a)

γφ

Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido

y soportando una sobrecarga

+

H1

H2

( )21 HHK p γγ ′+

qKHK aa +1γ

pσ ′

=

2Hwγ

u σp

( )1HqK p γ+ 22 HHK wp γγ +′

(b) (c) (d)

qKa

pqK

Distribución de la presión pasiva de tierra de Rankine contra un muro de retención con relleno de un suelo sin cohesión parcialmente sumergido

y soportando una sobrecarga

H

45+ φ2

Cuña de falla

(a)

Z

DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón activa de tierra de Rankine contra n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenciun muro de retencióón con n con rellenorelleno de un suelo cohesivo de un suelo cohesivo

HKaγ

aKc2−

(d)

aa KcHK 2−γ

H - =

aKc2

zo

H - zo

σa

(c)(b)

DistribuciDistribucióón de la presin de la presióón activa de tierra de Rankine contra n activa de tierra de Rankine contra un muro de retenciun muro de retencióón con n con rellenorelleno de un suelo cohesivo de un suelo cohesivo

La Fuerza activa total por longitud unitaria de muro se encuentra del área del diagrama depresión total

cHKHKP aaa 221 2 −= γ

Para la condición φ = 0

HcHP ua 221 2 −= γ

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

aaaa K

cHcKHKPγ

γ 2221

γγ

22 22

21 ccHKHK aa +−=

Para el cálculo de la fuerza activa total, es común tomar en cuenta las grietas de tensión. Comono existe contacto entre suelo y el muro hasta una profundidad de zo después del desarrollo de grietas de tensión, la distribución de la presión activa contra el muro entre z = 2cl(γ √Ka) y , H es la única considerada. En este caso

Para la condición φ = 0,

γγ

22 22

21 u

uacHcHP +−=

Caso Pasivo

Muestra el mismo muro de retención con relleno similar al considerado. La presión pasiva deRankine contra el muro a la profundidad z se da por [ecuación]

cKzK ppp 2+=′ γσ

En z = 0,

cK pp 2=σ

Y en z = H,

cKHK ppp 2+= γσ

Distribución de la presión activa de tierra de Rankine contra un murode retención con relleno de un suelo cohesivo

H

45 - φ2

Cuña de falla

Zσp

pKc2 HK pγ

La fuerza pasiva por longitud unitaria del muro se encuentra con el área de los diagramas de presión como

cHKHKP ppp 221 2 += γ

Para la condición φ = 0, Kp = 1 y

HcHP up 221 2 += γ

EJEMPLO

Calcule las fuerzas activa y pasiva de Rankine por unidad de longitud del muro mostrado en la figura 9.14a, y determine también la posición de la resultante

Solución Para determinar la fuerza neta, ya que c = 0, tenemos

zKK aoaa γσσ =′=′

31

301301

11

=°+°−

=+−

=sensen

sensenKa φ

φ

5 mγ = 15.7 KN/m3

φ = 30°c = 0

(a)

5 m

26.2kN/m2

(b)

65.5 KN/m2

1.67 m

1.67 m

5 m

235.5 kN/m2

(c)

588.8 kN/m

El diagrama de la distribución de presión se muestra

Fuerza activa

( )( )2.26521

=aP

mkN /5.65=

La distribución de la presión total triangula, y entonces Pa actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 arriba del fondo delmuro.Para determinar la fuerza pasiva, c = 0, por lo que

zKK poppp γσσσ =′==′

35.015.01

11

=−+

=−+

=φφ

sensenK p

En z = 0, σ′p = 0; en z = 5m, σ′p = 3(15.7)(5) = 235.5 kN/m2.

La distribución de la presión pasiva total el muro se muestra. ahora

( )( ) mkNPp /8.5885.235521

==

La resultante actuara a una distancia de 5/3 = 1.67 m arriba del fondo del muro.

EJEMPLO 2

Si el muro de retención mostrado no puede moverse, ¿Cuál será la fuerza lateral por longitud unitaria del muro?

Solución si el muro no puede moverse, el relleno ejercerá una presión de tierra en reposo. Entonces

( )zKKhh ooo γσσσ =′==′

φsenKo −=1

o

5.0301 =°−= senKo

Y en z = 0, σ′h = 0; en 5m, σ′h = (0.5)(5)(15.7) = 39.3 kN/m2

El diagrama de distribución de presión total se muestra

( )( ) mkNPo /3.983.39521

==

EJEMPLO 3

Un muro de retención que tiene un relleno de arcilla blanda y saturada, se muestra. Para la condición no drenada (φ = 0) del relleno, determine los siguientes valores:

a. La profundidad máxima de la grieta de tensiónb. Pa antes de que ocurra la grieta de tensiónc. Pa después de que ocurra la grieta de tensión

5 m

39.3 kN/m2

98.3 KN/m

1.67 m

Arcilla blanda saturada

γ = 15.7 kN/m3φ = 0Cu = 17 kN/m2

6 m

(a)

2.17m

3.83m

60.2 kN/m2

(b)

34 kN/m2

Solución Para φ = 0, Ka = tan245° = 1c y c = cu. De la ecuación, para la condición no drenada, tenemos

ua cz 2−= γσ

En z = 0,

( )( ) 2/341722 mkNcua −=−=−=σ

En z = 6m,

( )( ) ( )( ) 2/2.6017267.15 mkNa =−=σ

La variación de σa con la profundidad se muestra

a. De la ecuación, la profundidad de la grieta de tensión es igual a

( )( ) mcz uo 17.2

7.151722

===γ

b. Antes de que ocurra la grieta de tensión

HcHP ua 221 2 −= γ

o

( )( ) ( )( ) mkNPa /6.78617267.1521 2 =−=

c. Después de que ocurre la grieta de tensión,

( )( ) mkNPa /3.1152.6017.2621

=−=

Nota: La Pa precedente también se obtiene sustituyendo los valores apropiados en la ecuación

EJEMPLO 4

Se muestra un muro de retención sin fricción.

a. Determine la fuerza activa Pa, después de que ocurre la grieta de tensión.b. ¿Cuál es la fuerza pasiva, Pp?

Solución

a. Dado φ = 26°, tenemos

39.0261261

11

=°+°−

=+−

=sensen

sensenKa φ

φ

De la ecuación

aoaaa KcK 2−′==′ σσσ

153.6 kN/m2

51.2kN/m2

(c)

4 – z = 2.96m

17.31kN/m2

(b)

z=1.04m

-6.09kN/m2

4m

γ = 15kN/m3

φ = 26°

c = 8kN/m2

(a)

q = 10 kN/m2

En z = 0

( )( ) ( )( ) 2/09.699.99.339.0821039.0 mkNaa −=−=−==′ σσ

En z = 4 m

( ) ( )( )[ ] ( )( ) 99.93.2739.0821541039.0 −=−+==′ aa σσ

2/31.17 mkN=

De este diagrama vemos que

zz −=

431.1709.6

o

mz 04.1=

Después de que ocurre la grieta de tensión

( )( ) ( )( ) mkNzPa /62.2531.1796.22131.174

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=−=

Dado φ = 26°, tenemos

56.25616.04384.1

261261

11

==°−°+

=−+

=sensen

sensenK p φ

φ

De la ecuación

( )( ) ( ) 2/2.516.256.25856.221056.2 mkNpp =+=+==′ σσ

De nuevo, en z = 4m, σo = (10 + 4 x 15) = 70 Kn/m2 y

( )( ) ( ) 2/8.204856.227056.2 mkNpp =+==′ σσ

En z = 0, σ′o = 10 Kn/m2 y

cKK poppp 2+′==′ σσσ

La distribución de σp (=σ′p). La fuerza lateral por longitud unitaria de muro es

( )( ) ( )( ) mkNPp /5122.3078.2046.15342142.51 =+=+=

EJEMPLO 5

Se muestra un muro de retención. Determine la fuerza activa de Rankine, Pa, por longitud unitaria De muro. Determine también la posición de la resultante

Solución dado c = 0, sabemos que σ′a = Kaσ′o. Para el estrato superior del suelo, el coeficiente de presión activa de tierra de Rankine es

( ) 31

301301

1 =°+°−

==sensenKK aa

1.2mArena

γ1 = 16.5kN/m3, φ1 = 30°, c1= 0

Nivel agua freática6m

(a)

Arena γ2 (peso especifico saturado) = 19.2 Kn/m3

φ2 = 35°C2 = 0

Mur

o si

n fri

cció

n

Para el estrato inferior,

( ) 271.05736.14264.0

351351

2 ==°+°−

==sensenKK aa

En z = 0, σo = σ′o = 0. En z = 1.2m ( justo dentro del fondo del estrato superior), σo = σ′o = (1.2)(16.5) = 19.8 Kn/m2

( ) ( ) 21 /6.68.19

31 mkNK oaaa =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=′=′= σσσ

De nuevo, en z = 1.2 m (en el estrato inferior) σo = σ′o = (1.2)(16.5) = 19.8kN/m2, y

( ) ( )( ) 22 /37.58.19271.0 mkNK oaaa ==′′= σσσ

En z = 6 m,

( )( ) ( )( ) 2/87.6481.92.198.45.162.1 mkNo =−+′σ

y

( ) ( )( ) 22 /58.1787.64271.0 mkNK oaa ==′=′ σσ

La variación de σ′a con la profundidad se muestra. Las presiones laterales de agua de poro son como sigue

En z = 0, u = 0

En z = 1.2m, u = 0

En z = 6m, u = (4.8)(γw) = (4.8)(9.81) = 47.1 kN/m2

(b) (c)

+

5.371.2

0

617.58 47.1

6

1.2

0σ′a (kN/m2) u (kN/m2)

z (m

)

z (m

)

6.6

1.2

61.8m

64.685.37

6.6

σa (kN/m2)0

z (m

)=

(d)

Pa

1

2

3

La variación de u con la profundidad se muestra, y la variación de σ ( presión activa total) entonces

( )( ) ( )( ) ( )( )37.568.648.42137.58.42.16.6

21

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=aP

mkN /08.17234.14278.2596.3 =++=

La posición de la resultante se puede encontrar tomando momentos respecto al fondo del muro. Asíentonces

( )( ) ( )mz 8.1

08.17238.434.1424.278.25

32.18.496.3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

MURO DE RETENCIMURO DE RETENCIÓÓN CON FRICCIN CON FRICCIÓÓNN

3H

(a) Caso activo (+δ)

C

B

H

A′

DA

(b)

245 φ

+ 245 φ

+

+δ

Pa

Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

CasoCaso activoactivo..

3H

(c) Caso activo (-δ)

C

B

H

A′

DA245 φ

+2

45 φ+

-δ

Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.Efecto de la friccion del muro sobre la superficie de falla.

(e)

3H

(d) Caso pasivo (+δ)

C

B

H

A′DA2

45 φ−

245 φ

−

+δ

Pp

A′

3H

(f) Caso pasivo (-δ)

C

B

H

A245 φ

−

-δ

245 φ

−A′

CasoCaso pasivopasivo..

TEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMBTEORIA DE LA PRESION DE TIERRA DE COULOMB

Caso Activo

θH

W

90+ θ- β

90 - θ + α

δ

Pa

β

β - α

D

A

C

φ

F

B

α

(a)

PresiPresióón activa de Coulomb: (a) cun activa de Coulomb: (a) cuñña de falla de prueba; (b) pola de falla de prueba; (b) políígono de fuerzasgono de fuerzas

90 + θ + δ - β + φ

F

β - φ

W

90 - θ - δ

Pa

(b)

La ley de los senos, tenemos

( ) ( )φβφβδθ −=

+−++ senP

senW a

90

o

( )( )W

sensenPa φβδθ

φβ+−++

−=

90

La ecuación precedente se puede escribir en la forma

( ) ( ) ( )( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++−

−−−=

φβδθαβθφβαθβθγ

90coscoscos

21

22

sensensenHPa

Donde γ = peso especifico del relleno. Los valores de γ, H, θ, α, φ, y δ son constantes, y es la unicaVariable. Para determinar el valor crítico de β para Pa, máxima, tenemos

0=βd

dPa

Después de resolver la Ec., cuando la relación de β se sustituye en la Ec., obtenemos la presiónactiva de tierra de Coulomb como

2

21 HKP aa γ=

Donde Ka es el coeficiente de la presión activa de tierra Coulomb, dado por

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

22

2

coscos1coscos

cos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+

++

−=

αθφδαφφδθδθ

θφ

sensenKa

Caso Pasivo

2

21 HKP pp γ=

Donde Kp = coeficiente de presión de tierra pasiva para caso de Coulomb, o

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

22

2

coscos1coscos

cos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+−

−−

+=

θαθδαφδφθδθ

θφ

sensenK p

θH

W

90 + θ + β

90 - θ + α

β

A

C

B

α

(a)

Ppδ

φ F

F

[180 - (90 - θ + δ) – (β + φ)]

Pp

90 - θ + δ

β + φ

W

(b)

Presión pasiva de coulomb:

(a) Cuña de falla de prueba

(b) Polígono de fuerzas

ANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVAANALISIS APROXIMADO DE LA FUERZA ACTIVASOBRE MUROS DE RETENCISOBRE MUROS DE RETENCIÓÓNN

2

21 HKP aa γ=

Donde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

+−

=2

45tan11 2 φ

φφ

sensenKa

H

Wc

B

3H

δ

Pa (coulomb)

A

(a)

H

Wc

B

A

(o)Wc

3H

Ws

Pa (Rankine)

C1

KaγH

H

Wc

3H

δ

Pa (coulomb)

A

(o)

α

(b)

H

Wc

B

A

Wc

3H ′

Ws

Pa (Rankine)

C2

H′

α

α

AnAnáálisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retencilisis aproximado de la fuerza activa sobre muros de retencióónnde gravedad con relleno granularde gravedad con relleno granular

α

B

El valor de Pa(Rankine) se da por la relación

2

21 HKP aa ′= γ

Donde 2BCH =′ y

φααφααα

22

22

coscoscoscoscoscoscos

−+

−−=

)2

45(tan11 2 φ

φφ

−=+−

=sensenKa

Donde α = talud de superficie del terreno

=aK Coeficiente de presión activa de Rankine

DIMENSIONAMIENTO DE MUROS DE RETENCIÓN

REVISIREVISIÓÓN DE N DE VOLCAMIENTOVOLCAMIENTO

∑∑=

O

Rvolteo M

MFS )(

vavolteo MHCOSP

MMMMMMFS−′

+++++=

)3/(654321

)( α

0.2~5.1≥FS

FACTOR DE SEGURIDAD FACTOR DE SEGURIDAD POR VOLTEOPOR VOLTEO

REVISIÓN POR DESLIZAMIENTO A LO LARGO DE LA BASE

∑∑

′

′=d

Rntodeslizamie F

FFS )(

22tan ct f +′= φσ

pR PBcVF ++=∑ ∑′ 22tan)( φ

αφcos

tan)( 22)(

a

pntodeslizamie P

PBcVFS

++= ∑

αφcos

)tan()( 2221)(

a

pntodeslizamie P

PcBkkVFS

++= ∑

21Donde k1 y K2 están en el rango de

32a

FACTOR DE SEGURIDAD FACTOR DE SEGURIDAD POR VOLTEOPOR VOLTEO