2014

Introducción El análisis de regresión es una técnica estadística usada para estudiar la relación entre variables. En la investigación social se utiliza para predecir una amplia gama de fenómenos, desde medidas económicas hasta diferentes aspectos del comportamiento humano.Tanto en el caso de dos variables (regresión simple) como en el de más de dos variables (regresión múltiple), el análisis de regresión se usa

para explorar y cuantificar la relación entre una variable llamada dependiente o criterio (y) y una o más variable llamadas independiente o predictoras (X₁, X₂ …Xκ), así como para desarrollar una ecuación lineal con fines predictivos.Regresión lineal Simple Es un modelo matemático para predecir el efecto de una variable sobre otra, ambas cuantitativas.Una variable es la dependiente y la otra independiente. Se gráfica con el diagrama de dispersión .Dice como es la relación entre las dos variables.

El análisis consiste en encontrar la mejor línea recta de esos puntos.La variable X o independiente o predictora, la variable Y es la variable dependiente o predicha Los valores de X son fijos (previamente seleccionados por el investigador)Para cada X existe un conjunto de valores de Y, que deben seguir una distribución normal es decir las valores de Y deben ser normales , para aplicar con validez los procedimientos de inferencia y/o estimación Todas las varianzas de las subpoblaciones de Y

son iguales.

La relación se puede representar gráficamente mediante una línea rectaSe supone que el error sigue una distribución normal con media cero y sigma² El modelo de regresión completo es

Y es el valor de la variable dependiente A o alfa es el intercepto, donde cruza el eje YB o beta es la pendiente o inclinaciónDiagrama de Dispersión

exy ++= βα

El análisis de regresión múltiple es el estudio de la

forma en que una variable dependiente, γ, se

relaciona con dos o más variables independientes.

En el caso general emplearemos k para representar

la cantidad de variables independientes.

Los conceptos de un modelo de regresión y una

ecuación de regresión que presentamos

presentamos en el tema anterior se pueden aplicar al caso de la regresión múltiple. La ecuación que describe la forma en que la variable dependiente, γ, se relaciona con las variables independientes χ1, χ2 ,...,χ k y un término de error se llama modelo de regresión. El modelo de regresión múltiple tiene la forma siguiente:

kk xbxbxbby ++++= ...ˆ 22110

VARIABLE DEPENDIENTE (Y) VARIABLES INDEPENDIENTES (X1,X2,......)

Volumen de ventas, en unidades Precio unitarioGasto de Propaganda

Peso de los estudiantes EstaturaEdad

Consumo de bienes industriales por año Ingreso disponibleImportación de bienes de consumo

Unidades consumidas de un bien por familia

Precio unitario del bienIngresoNúmero de integrantes por familia

Precio de una vivienda Nº de habitacionesNº de pisosÁrea construidaÁrea techada , etc.

Análisis de regresión múltiple para 2 variables independientesPara dos variables independientes, la formula general de la ecuación de la regresión múltiple es:

X₁ y X₂ son las variables independienteA es la intecepción en Y

Y a b X b X'= + +1 1 2 2

b1 es el cambio neto en Y para cada cambio unitario en X1, manteniendo X2 constante

Se denomina coeficiente de regresión parcial, coeficiente de regresión neta o bien coeficiente de regresión.B₂ es el cambio neto en Y para cada cambio unitario en X₂, manteniendo X₁ constante. Se denomina coeficiente de regresión parcial o bien coeficiente de regresión. El cálculo de ésos valores es por demás laborioso a mano

Análisis de regresión múltiple con k variables independientes.La ecuación general de regresión múltiple con k variables independientes es:

El criterio de mínimos cuadrados se usa para el desarrollo de esta ecuación.Como estimar b₁, b₂, etc., es muy tedioso, existen muchos programas de cómputo que pueden utilizarse para estimarlos

Y a b X b X b Xk k' ...= + + + +1 1 2 2

Error estándar múltiple de la estimación

Error Estándar Múltiple de la Estimación de regresiónEl error estándar múltiple de la estimación es la medida de la eficiencia de la ecuación Está medida en las mismas unidades que la variable dependienteEs difícil determinar cuál es un valor grande y cuál es uno pequeño para el error estándarLa formula es:

Donde Y es la observaciónY es el valor estimado en la ecuación de regresión′

)1()1(

)'( 2

12 +−=

+−−

= ∑⋅⋅⋅⋅ kn

SSEkn

YYS kY

n es el número de observaciones y k es el número de variables dependientes.Regresión y correlación múltiple (suposiciones)Las variables independientes y dependientes tienen una relación linealLa variable dependiente debe ser continua y al menos con escala de intervaloLa variación en (Y - Y ) o residuo debe ser la misma ′para todos los valores de YCuando éste es el caso, se dice que la diferencia presenta homoscedasticidad Los residuos deben tener distribución normal con media igual a 0

Las observaciones sucesivas de la variable dependiente deben estar correlacionadas.La matriz de correlación se usa para mostrar todos los posibles coeficientes de correlación simple entre todas las variables.La matriz también es útil para analizar y localizar la correlación de las variables independientes.En la matriz se muestra qué tan fuerte están correlacionadas las variables independientes, con la variable dependiente.También es útil para verificar si existe correlación entre las variables independientes Multicolinealidad lo cual distorsionaría el error estándar

Enfoque Matricial Donde:

βXy =

1

3

2

1

.

.

.

xnny

y

y

y

y

=

pnnkiii

k

k

k

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

X

=

.......1

........................

........................

........................

.......1

.......1

.......1

321

3333231

2232221

1131211

1

2

1

0

.

.

.

xpkb

b

b

b

=β

Enfoque Matricial para Encontrar los Parámetros de la Ecuación de Regresión. Al ajustar un modelo de regresión múltiple es mucho más conveniente expresar las operaciones matemáticas en forma matricial. Supongamos que existen k variables independientes y n observaciones (X₁ , X₂, X₃….X¡ĸ, Y¡), i= 1, 2, 3, 4, …., n, y que el modelo que relaciona las variables independientes y la variable dependiente es:

Este modelo es un sistema de n ecuaciones que pueden expresarse en notación matricial como:

ikkiii xbxbxbby ++++= ...ˆ 22110

Correlación simple es una extensión de la regresión simpleMide la calidad de ajuste de una línea.Dice cuanto se relacionan los datos variablesR es el coeficiente de correlación.R² es el coeficiente de determinación

prueba de HipótesisHo; r=0, mediante la estadística FSi r es igual cero se concluye que no existe correlación entre las variables, pero puede ser no

totaliación

licadainiaciónr

var

exp var2 =

Lineal (exponencial, curva, etc.) Coeficiente de Pearson. puede variar de -1 a + 1-1 correlación negativa perfecta-0,9 correlación negativa muy fuerte-0,75 correlación negativa considerable-0,5 correlación negativa media-0,1 correlación negativa débil0,0 no existe correlación entre las variablesLos programas reportan el valor de p del coeficiente de para evaluar la significancia de la correlación

Ejemplo de regresión lineal simple

Temperatura media anual y tasa de mortalidad por 100,000 habitantes

y = -0,0592x + 4,6146R2 = 0,8395

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 20 40 60 80 100

Temperatura

Tasa d

e m

ort

alid

ad

po

r

100,0

00

Correlación de SpearmanSon medidas de correlación para dos variables, por lo menos una de ellas es ordinalLos individuos u objetos se ordenan por rangos (jerarquías)Objetivo. Conocer si el desarrollo mental de 8 niños está asociado a la educación formal de su madre.Hipótesis.Ho. No habrá correlación significativa en el desarrollo mental de 8 niños dependiendo de la educación formal de la madreH1. Habrá una correlación significativa en el desarrollo mental de 8 niños dependiendo de la edu-

cación formal de la madre

Ejemplo: Correlación de Spearman Escolaridad Desarrollo Rango educ. Rango desarr. Dif. Dif al cuadrado

1o. Sec 90 5 7 -2 4 1o. Prim 87 4 2 2 4Profesional 89 8 6 2 46o. Prim. 80 2 5 -3 93o. Sec. 85 6 4 2 4 3 Prim. 84 3 3 0 0 Analf. 75 1 1 0 0Preparatoria 91 7 8 -1 1

N = 8 26

rsc = 0.69, rst = 0.714, rsc < rst no se rechaza HoConclusión: No hay una correlación significativa en el desarrollo mental de 8

niños dependiendo de la educación formal de la madre.

Caso: correlación de Spearman Material y Método: se realizó un estudio transversal y comparativo aplicado a una población de 21 departamentos del Perú realizada en forma aleatoria (37 hospitales y 21 Centros de Salud Cabeceras de red). Se utilizaron dos instrumentos: Encuesta de satisfacción del establecimiento de salud a puérperas usuarias de los establecimientos y la Lista de chequeo para la medición de procesos de calidad de atención en servicios materno prenatales. Para el análisis de los datos se realizó un análisis bivariado y se utilizó el coeficiente de correlación de Spearman.Resultados: El coeficiente de correlación de Spearman entre el Grado de de satisfacción de la usuaria de los

servicios de atención de parto y el Porcentaje de <cumplimiento del Protocolo de Atención de Parto resultó de 0.027, lo que revela la no existencia de relación directa entre dichas variables.

Conclusiones: se demuestra la falta de correlación entre el nivel de satisfacción de usuarias y el nivel de cumplimiento de índices estandarizados de atención del parto en los Centros Hospitalarios.

Ejercicio de Regresión lineal de dos variablesDe una determinada empresa se conocen los siguientes datos, referidos al volumen de ventas ( en millones de pesetas) y al gasto en publicidad ( en miles de pesetas) de los últimos 6 años:

Volumen de Ventas (mill pesetas) Gastos en Publicidad (mil de pesetas

10 16

15 32

20 48

22 56

30 64

32 80

a) ¿Existe una relación lineal entre las ventas de la empresa y los gastos de publicidad?Razona la respuestab) Obtener las rectas de regresión mínimo cuadráticoc) ¿Qué volumen de ventas de la empresa se podría esperar en un que se gaste en publicidad 60.000 pesetas? d) Si lo único que interesase fuese la evolución del volumen de ventas en términos de gastos de publicidad, sin tener en cuenta la cantidad concreta de cada una de ellas ¿existiría correlación ordinal entre ambas variables?

Observándolo podemos decir que existe relación lineal entre ambas variables. Ahora calculamos el coeficiente de determinación lineal para obtener una medida descriptiva del grado de asociación lineal que existe entre las variables. La expresión del coeficiente de determinación es: R² = S²ᵪᵧ/S²ᵪᵧ x s²ᵧDonde Sᵪᵧ representa la covarianza de las variables X e Y. Cuya expresión simplificada es:

Sᵪᵧ =

Para clarificar la forma de cálculo construimos la

yxn

yx ii *−∑

siguiente tabla: (variable X= gastos de publicidad y variable Y= volumen de ventas)

X 49.333; Y=21,5; S˭ ᵪ = 20.870; Sᵪᵧ= 158Sustituyendo obtenemos que r² vale 0,96 era lo que se esperaba después de observar el diagrama de

Y X Y² X² XY

10 16 100 256 160

15 32 225 1024 480

20 48 400 2.304 960

22 56 484 3.136 1.232

30 64 900 4.096 1.920

32 80 1.024 6.400 2.560

129 296 3.133 17.216 7.312

Dispersiónb) Si expresamos las rectas de regresión como y= a+bx y x*=c + dy los coeficiente de los calculados son como:

; a= -b x ; ẋȳ c= - d x ȳ aplicándolas a este problema obtenemos la recta de regresión :Y*= 3.604 + 0,363x ; X* = -7.356 + 2.637y

2x

xy

S

Sb=

2x

xy

S

Sd =

x

c) Para realizar la predicción del volumen de ventas utilizamos la recta de regresión que tienen las ventas en función de los gastos en publicidad. Para un gasto en publicidad de 60000 pesetas obtendremos un volumen de ventas de x* =3.604+0.363*60=25.384 millones de pesetas. Si el gasto es de 200 millones de pesetas no podemos utilizar la recta de regresión puesto que el valor 200 esta fuera del recorrido del gasto en publicidad. Si sustituimos nos da un valor de 76204 millones de pesetas, pues las rectas sólo son válidas dentro del rango o para valores próximos a los extremos del recorrido.

d) Para solucionar este apartado calculamos el coeficiente de correlación ordinal de Spearman. El coeficiente de Spearman consiste en calcular el coeficiente de correlación lineal de los datos transformados a través de la función rango.

Y 10 15 20 22 30 32X 16 32 48 56 64 80

Rang Y 1 2 3 4 5 6Rang X 1 2 3 4 5 6

dᵢ 0 0 0 0 0 0D²ᵢ 0 0 0 0 0 0

El coeficiente de Spearman cuando no existen empates en los rangos, como ocurre en estos datos, tiene la siguiente expresión:

En este caso es 1 por tanto existe correlación ordinal positiva y perfecta , es decir a mayor gasto en publicidad mayor volumen de ventas.Podemos observar que la correlación no es perfecta y sin embargo la correlación ordinaria si lo es

nn

dr

n

i is −

−= ∑=3

1

261

sr