ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Ejercicio resuelto

𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑥2 + 3𝑥𝑦

𝑦− 𝑥𝑒𝑥/𝑦 = 0

Resolver la EDO

Desarrollo

Primero verifiquemos si se trata de una EDO homogénea

𝑑𝑦

𝑑𝑥= −

𝑥2 + 3𝑥𝑦

𝑦2+𝑥𝑒𝑥/𝑦

𝑦

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Para esto se debe verificar que la función −𝒙𝟐+𝟑𝒙𝒚

𝒚𝟐+𝒙𝒆𝒙/𝒚

𝒚es una función homogénea de orden cero

Por demostrar que:

𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦

Sea:

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = −𝜆𝑥 2 + 3 𝜆𝑥 𝜆𝑦

𝜆𝑦 2 +𝜆𝑥 𝑒 𝜆𝑥 / 𝜆𝑦

𝜆𝑦

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

𝑓(𝑥, 𝑦) es una función homogénea de orden cero

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = −𝜆2𝑥2 + 3𝜆2𝑥𝑦

𝜆2𝑦2+𝜆𝑥𝑒𝑥/𝑦

𝜆𝑦

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = −𝑥2 + 3𝑥𝑦

𝑦2+𝑥𝑒𝑥/𝑦

𝑦

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = 𝑓(𝑥, 𝑦)

𝑓 𝜆𝑥, 𝜆𝑦 = −𝜆2 𝑥2 + 3𝑥𝑦

𝜆2𝑦2+𝑥𝑒𝑥/𝑦

𝑦

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

Por lo tanto la EDO

𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑥2 + 3𝑥𝑦

𝑦− 𝑥𝑒𝑥/𝑦 = 0

Es una EDO de primer orden homogénea

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝐹

𝑦

𝑥, 1

Reescribimos la EDO como:

De la siguiente manera

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

𝑑𝑦

𝑑𝑥+𝑥

𝑦

2

+ 3𝑥

𝑦−𝑥

𝑦𝑒𝑥/𝑦 = 0

Si 𝒖 =𝒙

𝒚tenemos:

𝑑𝑦

𝑑𝑥=1

𝑢−𝑥

𝑢2𝑑𝑢

𝑑𝑥

1

𝑢−𝑥

𝑢2𝑑𝑢

𝑑𝑥+ 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 = 0

La EDO se expresa como una EDO en variables separables:

𝑥

𝑢2𝑑𝑢

𝑑𝑥= 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 +

1

𝑢

ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA

𝑑𝑢

𝑢2= 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 +

1

𝑢

𝑑𝑥

𝑥

𝑑𝑢

𝑢2 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 +1𝑢

= 𝑑𝑥

𝑥

𝑙𝑛 𝑥 = 𝑑𝑢

𝑢2 𝑢2 + 3𝑢 − 𝑢𝑒𝑢 +1𝑢

Corina Villarroel RobalinoDOCENTE