Edo r.benazic

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opicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Renato Benazic

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Topicos de Ecuaciones DiferencialesOrdinarias

Renato Benazic

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Capıtulo 1

Sistemas de EcuacionesDiferenciales Ordinarias

1.1 Introduccion

El mejor lenguaje creado por la raza humana para entender elmundo que lo rodea se llama Matematica. Esta es una de lasrazones por la cual el estudio de esta ciencia ocupa un papelpreponderante en nuestra moderna sociedad. Haciendo un pocode historia, a comienzos del siglo XVI, el gran fısico italianoGalileo Galilei (1564-1642) llego a la conclusion de que “la nat-uraleza esconde sus secretos en el lenguaje de las matematicas”.Algunos anos mas tarde el ingles Isaac Newton (1642-1727) yel aleman Wilhelm Gottfried Leibnitz (1646-1716) elaboraronun nuevo tipo de matematica: el Calculo Diferencial e Inte-gral, que permitio a los cientıficos de la epoca, resolver muchosproblemas fısicos y geometricos. En particular, esta nueva her-ramienta fue indispensable para que Newton estableciera sustres inmortales leyes del movimiento de los cuerpos por accion

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del campo gravitatorio (por ejemplo trayectoria de planetas,satelites y cometas ası como tambien el movimiento de proyec-tiles, conectando de esta manera la fısica de los cielos con lafısica terrestre). En el siglo siguiente se establecieron leyes simi-lares que gobiernan los fenomenos de electricidad y magnetismo.Todas estas leyes tenıan algo en comun: el fenomeno que se de-sea conocer (el cual es modelado matematicamente por el con-cepto de funcion) estaba escondido bajo la operacion de difer-enciacion. Resolver un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Or-dinarias (E.D.O.) consiste justamente en determinar tal funciono funciones incognitas.

Por ejemplo el movimiento de un pendulo no amortiguadode longitud ` esta gobernado por el sistema∣∣∣∣∣ x

′(t) = y

y′(t) = −g`

sen x(1.1)

en donde g representa la aceleracion de la gravedad. Si en cam-bio consideramos el pendulo amortiguado, con una constante deamortiguamiento c > 0, la ecuacion que gobierna su movimientoes dada por ∣∣∣∣∣ x

′(t) = y

y′(t) = − c

my − g

`sen x

(1.2)

Como segundo ejemplo consideremos el problema del rapaz yla presa, el cual es uno de los problemas fundamentales dela ecologıa matematica. Sean x(t) e y(t) las poblaciones, encualquier instante t de dos especies una de las cuales (y el ra-paz) devora a la otra (x la presa). Se supone que en ausencia derapaces, el numero de presas crecerıa ilimitadamente, mientrasque en ausencia de presas, la poblacion de rapaces decrecerıa.

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Alrededor de 1925 el biofısico americano Alfred Lotka (1880-1949) y el matematico italiano Vito Volterra (1860 - 1940) pro-pusieron el siguiente modelo matematico para que las especiesse mantengan en equilibrio.∣∣∣∣ x′(t) = ax− bxy

y′(t) = −cy + dxy(1.3)

en donde a, b, c y d son constantes reales positivas.

Como tercer ejemplo, suponga que se tienen dos especiessemejantes que compiten por un alimento comun el cual es lim-itado. Sean x(t) e y(t) el numero de individuos de cada especieen cualquier instante t. El modelo matematico propuesto querige el crecimiento de las poblaciones x e y viene dado por∣∣∣∣ x′(t) = a1x− a2x

2 − a3xyy′(t) = b1y − b2y2 − b3xy

(1.4)

en donde a1, a2, a3, b1, b2 y b3 son constantes reales positivas.

Como ejemplo final, mencionaremos el sistema masa resorte.Consideremos un resorte de masa m sujeto a un resorte de con-stante de estiramiento k el cual esta conectado a un mecanismocuya constante de amortiguacion es c. Suponga ademas que ala masa que pende del resorte se le aplica una fuerza exteriorperiodica del tipo f(t) = cos wt (donde w es el perıodo de lafuerza f). El modelo matematico que gobierna el movimientodel sistema masa-resorte viene dado por el sistema∣∣∣∣∣ x

′(t) = y

y′(t) = − kmx− c

my +

1

mcos wt

(1.5)

Todos los ejemplos presentados son casos particulares de Sis-temas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden,

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concepto que pasamos a definir y estudiar a partir de la proximaseccion.

Note el lector la Teorıa de las Ecuaciones Diferenciales Ordi-narias no solo interesa al matematico, sino que es util a cualquierciencia que pueda expresar sus leyes en lenguaje matematico. LaFısica, la Quımica, la Biologıa, la Ecologıa y la Economıa sonalgunos ejemplos de tales disciplinas.

1.2 Sistemas Autonomos y no Autonomos

Definimos a continuacion nuestro principal objeto de estudio.

Definicion 1.2.1 Un Sistema de n Ecuaciones DiferencialesOrdinarias (E.D.O.) de primer orden es una expresion del tipo∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x′1 = F1(t, x1, x2, . . . , xn)x′2 = F2(t, x1, x2, . . . , xn)...

......

x′n = Fn(t, x1, x2, . . . , xn)

(1.6)

en donde t es una variable independiente que denota al tiempo,x1, x2, . . . , xn son variables que dependen de t que toman valoresreales y F1, F2, . . . , Fn son funciones real valoradas definidas enun subconjunto de D de Rn+1.

Los ejemplos dados en la seccion anterior son casos particu-lares del sistema (1.6). En efecto, en el modelo de Lotka-Volterra(1.3) tenemos que

x1 = x, x2 = y, F1(t, x1, x2) = ax1 − bx1x2

yF2(t, x1, x2) = −cx2 + dx1x2.

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Mientras que en el modelo matematico (1.5) propuesto para elsistema masa-resorte se tiene

x1 = x, x2 = y, F1(t, x1, x2) = x2

y

F2(t, x1, x2) = − kmx1 −

c

mx2 +

1

mcos wt.

En diversas ocasiones sucede que las funciones F1, F2, . . . ,Fn solo dependen de las variables x1, x2, . . . , xn y no de lavariable temporal t, en este caso (1.6) toma la forma∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x′1 = F1(x1, x2, . . . , xn)x′2 = F2(x1, x2, . . . , xn)...

...x′n = Fn(x1, x2, . . . , xn)

(1.7)

Decimos que (1.7) es un Sistema Autonomo de Ecuaciones Difer-enciales Ordinarias, mientras que (1.6) es llamado Sistema noAutonomo.

Los modelos (1.1), (1.2), (1.3) y (1.4) son ejemplos de sis-temas autonomos, mientras que el modelo masa-resorte (1.5) esun ejemplo de sistema no autonomo.

A continuacion, vamos a precisar lo que se entiende porsolucion de un sistema de E.D.O.

Definicion 1.2.2 Una Solucion de (1.6) es un conjunto de nfunciones ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn, con valores reales y definidas en unmismo intervalo abierto J de la recta real tales que satisfacenlas dos condiciones siguientes:

1. (t, ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)) ∈ D, para todo t ∈ J .

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2. Cada ϕi es diferenciable en J y para cada t ∈ J se cumple∣∣∣∣∣∣∣∣∣ϕ′1(t) = F1(t, ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t))ϕ′2(t) = F2(t, ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t))

......

ϕ′n(t) = Fn(t, ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t))

(1.8)

En el caso de sistemas autonomos, si denotamos por U ⊆ Rn

al dominio comun de las funciones F1, F2, . . .Fn, tenemos elsiguiente caso particular de la Definicion (1.8).

Definicion 1.2.3 Una Solucion del sistema autonomo (1.7) esun conjunto de n funciones ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn, con valores reales ydefinidas en un mismo intervalo abierto J de la recta real talesque satisfacen las dos condiciones siguientes:

1. (ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t)) ∈ U , para todo t ∈ J .

2. Cada ϕi es diferenciable en J y para cada t ∈ J se cumple∣∣∣∣∣∣∣∣∣ϕ′1(t) = F1(ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t))ϕ′2(t) = F2(ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t))

......

...ϕ′n(t) = Fn(ϕ1(t), ϕ2(t), . . . , ϕn(t))

(1.9)

1.3 Repaso de Matrices y Transfor-

maciones Lineales

En lo sucesivo, K denotara al campo de los numeros reales R oal de los numeros complejos C y sus elementos seran llamados

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escalares. Sean m y n dos enteros positivos, denotemos porIm,n al conjunto de todos los pares ordenados (i, j) tales que1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Una matriz de m filas y n columnas concoeficientes en K o simplemente K-matriz m × n, es cualquierfuncion A que a cada par (i, j) ∈ Im,n le asocia un elementoA(i, j) = aij ∈ K llamado la entrada ij de la matriz A.

Se acostumbra disponer los valores aij de la matriz A en unarreglo de m filas y n columnas, de la manera siguiente

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

= [aij].

El conjunto de todas las K-matrices m×n sera denotado porKm×n. Si m = n, A se llama matriz cuadrada. Si A ∈ K1×n en-tonces A se llama matriz fila mientras que si A ∈ Km×1 entoncesA es una matriz columna. Dos matrices A = [aij], B = [bij] ∈Km×n son iguales, lo que denotamos A = B, si y solo si aij = bij,para todo par (i, j) ∈ Im,n. Sean A = [aij], B = [bij] ∈ Km×n yc ∈ K, definimos la suma de las matrices A y B y el producto delescalar c por la matriz A, denotados respectivamente por A+By cA, como

A+B = [aij + bij], cA = [caij]

Con las operaciones de suma de matrices y producto de un es-calar por una matriz, Km×n se torna un K-espacio vectorialde dimension mn. Denotaremos por θ a la matriz cero. SiEij ∈ Km×n denota la matriz que tiene todas sus entradasiguales a cero, excepto la entrada ij la cual es igual a uno,entonces el conjunto {Eij; (i, j) ∈ Im,n} es una base de Km×n

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llamada base canonica. Por ejemplo las matrices

E11 =

[1 00 0

], E12 =

[0 10 0

], E21 =

[0 01 0

], E22 =

[0 00 2

]forman la base canonica de K2×2.

Como Km×n es un K-espacio vectorial de dimension mn, en-tonces el es isomorfo a Kmn, vıa el isomorfismoa11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

←→ (a11, . . . , a1n, . . . , am1, . . . , amn)(1.10)

En particular una matriz fila A ∈ K1×n (respectivamente unamatriz columna B ∈ Km×1) puede identificarse con un vectorde Kn (respectivamente de Km), vıa el isomorfismo anterior, esdecir

A =[a11 a12 · · · a1n

]←→ (a11, a12, . . . , a1n)

y a11

a21...am1

←→ (a11, a21, . . . , am1)

A lo largo del texto usaremos frecuentemente el isomorfismoanterior.

Sea A = [aij] ∈ Km×n la transpuesta de A, denotada por At,es definida por

At = [aji] =

a11 a21 · · · am1

a12 a22 · · · am2...

......

a1n a2n · · · amn

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es decir, la matriz obtenida de A intercambiando filas por colum-nas. Es claro que At ∈ Kn×m

Sean A = [aij] ∈ Km×n y B = [bjk] ∈ Kn×p. El producto delas matrices A y B, denotado por A ·B o simplemente AB, es la

matriz de Km×p definida por A·B = [cik], donde cik =n∑

j=1

aijbjk.

El producto de matrices satisface las siguientes propiedades:

1. Propiedad Asociativa:

A(BC) = (AB)C, ∀A ∈ Km×n,∀B ∈ Kn×p,∀C ∈ Kp×r.

2. Propiedad Distributiva a derecha:

(A+B)C = AC +BC, ∀A,B ∈ Km×n,∀C ∈ Kn×p.

3. Propiedad Distributiva a izquierda:

A(B + C) = AB + AC, ∀A ∈ Km×n,∀B,C ∈ Kn×p.

En el espacio de matrices cuadradas Kn×n, definimos

I = [δij] =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

......

0 0 · · · 1

donde δij es la delta de Kronecker, es decir δij = 0 si 1 ≤ i 6=j ≤ n y δii = 1. Se cumple

AI = IA = A, ∀ A ∈ Kn×n,

es decir I es la matriz identidad (multiplicativa) de Kn×n. No esdifıcil probar que el conjunto de las matrices cuadradas Kn×n con

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las operaciones de suma de matrices y producto de matrices esun anillo no conmutativo con elemento identidad. Si A ∈ Kn×n

y k ≥ 0, definimos la potencia k-esima de A, denotada Ak porinduccion como sigue:

A0 = I, A1 = A, Ak = A · Ak−1, ∀ k ≥ 2.

Decimos que A ∈ Kn×n es una matriz no singular (o matrizinversible) si y solo si existe B ∈ Kn×n tal que AB = BA = I.En caso de existir tal matriz B, se prueba que ella es unica yrecibe el nombre de inversa de A. Usaremos la notacion A−1

para representar a la matriz inversa de A. Las matrices que noson inversibles son llamadas singulares. El conjunto de todas lasmatrices no singulares se llama grupo lineal de Kn y sera deno-tado por GL(Kn). Queda como ejercicio para el lector, probarque GL(Kn) con la multiplicacion de matrices tiene estructurade grupo (no abeliano).

Un concepto fuertemente relacionado con el de matriz es elde transformacion lineal. Una funcion T : Kn → Km es unaTransformacion Lineal si y solo si se cumple

T (αx+ βy) = αT (x) + βT (y), ∀ x, y ∈ Kn, ∀ α, β ∈ K.

Denotaremos por L(Kn; Km) al conjunto de todas las transfor-maciones lineales de Kn en Km. Con las operaciones usualesde suma de funciones y producto de un numero real por unatransformacion lineal, el conjunto L(Kn; Km) se torna un K-espacio vectorial de dimension mn. Observe que como Km×n yL(Kn; Km) son K-espacios vectoriales de la misma dimension,ellos son isomorfos (de ahora en adelante usaremos la notacionV ≈ W para establecer que los K-espacios vectoriales V y W ,son isomorfos). Conviene dar explıcitamente el isomorfismoentre Km×n y L(Kn; Km). Denotemos por e1 = (1, 0, . . . , 0),

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e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , ek = (0, . . . , 0, 1) la base canonica deKk, (k = n,m). Como T (ej) ∈ Km, existen unicos escalares a1j,. . . amj (j = 1, 2, . . . , n) tales que:

T (e1) = a11e1 + a21e2 + · · ·+ am1em

T (e2) = a12e1 + a22e2 + · · ·+ am2em...

...T (en) = a1ne1 + a2ne2 + · · ·+ amnem

Los numeros reales aij forman una matriz, cuya transpuesta quedenotamos por AT recibe el nombre de matriz asociada (en lasbases canonicas de Kn y Km) a la transformacion lineal T , esdecir

AT =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

.Recıprocamente, dada A = [aij] ∈ Km×n, definimos la transfor-macion lineal TA : Kn → Km mediante TA(x) = Ax, es decir

TA(x1, . . . , xn) = (a11x1 + · · ·+ a1nxn, . . . , am1x1 + · · ·+ amnxn) .

Es claro que la matriz asociada a TA (en las bases canonicasde Kn y Km) es A. Ası, es facil probar que la funcion ψ queasocia a T ∈ L(Kn; Km) la matriz ψ(T ) = AT ∈ Km×n es unisomorfismo entre los K-espacios vectoriales L(Kn; Km) y Km×n.De ahora en adelante usaremos indistintamente la letra A (o laT ) para denotar matrices o transformaciones lineales.

El nucleo de la transformacion lineal A ∈ L(Kn; Km), el cuales denotado por Nu(A), es definido como el conjunto de todos losx ∈ Kn tales que Ax = 0. Es claro que Nu(A) es un K-espaciovectorial.

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12 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Sea A ∈ Kn×n, decimos que λ ∈ K es un autovalor de A, siy solo si existe un vector no nulo x ∈ Kn tal que Ax = λx.El vector no nulo x es llamado autovector de A asociado alautovalor λ. No es difıcil probar que λ ∈ K es un autovalor deA si y solo si A− λI es singular si y solo si Nu(A− λI) 6= {0}.Ademas se cumple que si x1 y x2 son autovectores de A asociadosa los autovalores λ1 y λ2 respectivamente (λ1 6= λ2), entoncesx1 y x2 son linealmente independientes.

Para calcular los autovalores de una matriz, necesitamos in-troducir el concepto de determinante. Sea A = [aij] ∈ Kn×n,escribiremos A = [A1A2 . . . An], donde Aj denota la j-esimacolumna de la matriz A, es decir

Aj =

a1j

a2j...amj

1 ≤ j ≤ n.

El determinante es una funcion que a cada matriz cuadradaA ∈ Kn×n le asocia el escalar det(A) y que satisface las siguientespropiedades:

1. det es una funcion n- lineal, es decir para cada j = 1, 2, . . . , nse cumple

det[A1 . . . αAj + βA′j . . . An] = α det[A1 . . . Aj . . . An] +

+β det[A1 . . . A′j . . . An],

2. Si Ai = Aj (con 1 ≤ i 6= j ≤ n) entonces det[A1 . . . An] =0.

3. det(I) = 1.

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Por ejemplo la funcion det : K2×2 → K definida por

det

[a11 a12

a21 a22

]= a11a22 − a12a21

es un determinante, puesto que satisface las 3 condiciones ante-riores. Se puede demostrar que ella es la unica funcion determi-nante en K2×2.

Si A,B ∈ Kn×n entonces no es difıcil probar que

det(AB) = det(A) det(B).

Una consecuencia del resultado anterior es que A ∈ GL(Kn)si y solo si det(A) 6= 0. De esta manera λ es un autovalor deA ∈ Kn×n si y solo si det(A−λI) = 0. Note que det(A−λI) esun polinomio de grado n con coeficientes en K en la variable λ,el cual es llamado el polinomio caracterıstico de la matriz A yal que denotaremos por PA(λ). Las raıces del polinomio carac-terıstico son los autovalores de A. Concluimos que toda matrizcuadrada A ∈ Kn×n posee n autovalores (contando multiplici-dad).

1.4 Nociones de Calculo Matricial

Una funcion definida en un intervalo J de la recta real con val-ores en Rm×n es llamada funcion matricial. En virtud del iso-morfismo (1.10) cualquier funcion matricial

Φ : J −→ Rm×n

t 7−→ Φ(t) =

a11(t) a12(t) · · · a1n(t)a21(t) a22(t) · · · a2n(t)

......

...am1(t) am2(t) · · · amn(t)

= [aij(t)]

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14 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

puede ser observada como un camino en Rmn

Φ : J −→ Rnm

t 7−→ Φ(t) = (a11(t), . . . , a1n(t), . . . , am1(t), . . . , amn(t))

Ası, dada una funcion matricial Φ(t) = [aij(t)] ∈ Rnm quedanautomaticamente determinadas una coleccion de nm funcionesreales de variable real aij llamadas funciones coordenadas de A.Observe que aij : J → R, ∀ (i, j) ∈ Im,n. Las propiedades co-munes a estas funciones coordenadas, caracterizan las propiedadesde la funcion matricial Φ.

Definicion 1.4.1 Sea Φ : J → Rm×n una funcion matricial talque Φ(t) = [aij(t)], ∀ t ∈ J . Si t0 ∈ J , decimos que la matrizA = [aij] ∈ Rm×n es el lımite de Φ(t) cuando t tiende a t0, loque denotamos por lim

t→t0Φ(t) = A si y solo si lim

t→t0aij(t) = aij,

∀ (i, j) ∈ Im,n.

No es difıcil probar que se cumplen las reglas usuales delalgebra de lımites (ver ejercicios al final del capıtulo).

La continuidad de funciones matriciales se definen tambienen termino de sus funciones coordenadas.

Definicion 1.4.2 Sea Φ : J → Rm×n una funcion matricial talque Φ(t) = [aij(t)], ∀ t ∈ J . Decimos que Φ es continua ent0 ∈ J si y solo si cada aij es continua en t0.

Definicion 1.4.3 Sea Φ : J → Rm×n, donde J es un intervaloabierto. Decimos que Φ es diferenciable en t0 ∈ J si y solo siexiste el siguiente lımite:

limt→t0

1

t− t0[Φ(t)− Φ(t0)] .

En caso afirmativo, denotamos por Φ′(t0) al lımite anterior.

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 15

El lector no tendra dificultad en demostrar el siguiente re-sultado.

Proposicion 1.4.1 Sea Φ : J → Rm×n una funcion matricialtal que Φ(t) = [aij(t)], ∀ t ∈ J . Φ es diferenciable en t0 ∈ Jsi y solo si aij es diferenciable en t0, ∀ (i, j) ∈ Im,n. En casoafirmativo se cumple que

Φ′(t0) = [a′ij(t0)].

Decimos que la funcion matricial Φ : J → Rm×n es declase C1 en el intervalo J si y solo si Φ es diferenciable en Jy la funcion derivada Φ′ es continua en J . Procediendo por in-duccion, decimos que Φ es de clase Ck (k > 1) en el intervaloJ si y solo si Φ(k−1) es diferenciable en J y la funcion derivadak-esima Φ(k) es continua en J .

En cuanto a la integral de una funcion matricial, tenemos

Definicion 1.4.4 Sea Φ : [a, b] → Rm×n una funcion matricialtal que Φ(t) = (aij(t)), ∀ t ∈ [a, b]. Decimos que Φ es integrableen [a, b] si y solo si cada aij es integrable en [a, b]. En casoafirmativo se tiene que∫ b

a

Φ(t)dt =

[∫ b

a

aij(t)dt

].

Naturalmente muchas de las reglas del calculo diferencial eintegral que conocemos pueden ser extendidas al calculo matri-cial. En los ejercicios al final del capıtulo, se le pide al lectorque demuestre estas reglas.

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16 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Volviendo al estudio de los sistemas de Ecuaciones Diferen-ciales Ordinarias, resulta claro ahora que si denotamos

x =

x1

x2...xn

, F (t, x1, . . . , xn) =

F1(t, x1, . . . , xn)F2(t, x1, . . . , xn)

...Fn(t, x1, . . . , xn)

,entonces el sistema (1.6) se escribe de manera mas compactacomo

x′ = F (t, x) (1.11)

Analogamente, una solucion de (1.11) es una funcion

ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) : J → R1×n ≈ Rn

diferenciable en J tal que

1. (t, ϕ(t)) ∈ D, ∀ t ∈ J .

2. ϕ′(t) = F (t, ϕ(t)).

1.5 Sistemas Lineales

Un caso particularmente importante de Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias viene dado cuando las funciones F1,. . .Fn son del tipo

Fi(t, x1, x2, . . . , xn) = ai1(t)x1 + ai2(t)x2 + · · ·+ ain(t)xn + bi(t),

en donde aij y bi (1 ≤ i, j ≤ n) son funciones dadas definidas enun cierto intervalo J de la recta real R y con valores en R. Eneste caso el sistema (1.6) toma la forma

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 17

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x′1 = a11(t)x1 + a12(t)x2 + · · ·+ a1n(t)xn + b1(t)x′2 = a21(t)x1 + a22(t)x2 + · · ·+ a2n(t)xn + b2(t)...

...x′n = an1(t)x1 + an2(t)x2 + · · ·+ ann(t)xn + bn(t)

(1.12)

El sistema (1.12) recibe el nombre de Sistema de EcuacionesDiferenciales Ordinarias Lineales. Si denotamos

x =

x1

x2...xn

, b(t) =

b1(t)b2(t)

...bn(t)

y

A(t) =

a11(t) a12(t) · · · a1n(t)a21(t) a22(t) · · · a2n(t)

......

...an1(t) an2(t) · · · ann(t)

entonces (1.12) toma la forma

x′ = A(t)x+ b(t) (1.13)

Definicion 1.5.1 Sean A : J → Rn×n y b : J → Rn×1 funcionesmatriciales. Una funcion ϕ : I → Rn×1 es una solucion de laE.D.O. (1.13) si y solo si ϕ es diferenciable en el intervalo I ⊆ Jy se cumple:

ϕ′(t) = A(t)ϕ(t) + b(t), ∀ t ∈ I.

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18 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ejemplo 1.5.1 Determine una solucion del Sistema

x′ = A(t)x+ b(t)

en donde

A(t) =

[1 00 t

]y b(t) =

[t0

], ∀ t ∈ R.

Solucion. El sistema dado es equivalente a∣∣∣∣ x′1 = x1 + tx′2 = tx2

Usando los metodos estudiados en un primer curso de Ecua-ciones Diferenciales, no es difıcil ver que la solucion de x′1 = x1+tviene dada por ϕ1(t) = −t − 1 + C1e

t, ∀ t ∈ R y la solucion

de x′2 = tx2 es ϕ2(t) = C2e12t2 , ∀ t ∈ R. Luego, la solucion del

sistema propuesto es:

ϕ(t) =

[−t− 1 + C1e

t

C2e12t2

], ∀ t ∈ R. �

En el ejemplo anterior se observa que existen infinitas solu-ciones del sistema dado (basta darle cualquier valor real a lasconstantes C1 y C2), y que cada solucion es una curva diferen-ciable en R2. Esto es un hecho general: Dadas las funciones ma-triciales A : J → Rn×n y b : J → Rn×1, el sistema (1.13) tieneinfinitas soluciones siendo todas ellas curvas diferenciables enRn. (Note el lector, que estamos identificando geometricamenteel espacio de matrices Rn×1 con el espacio vectorial Rn. De ahoraen adelante, usaremos esta identificacion sin mas comentarios).

En las aplicaciones a menudo se busca una solucion de (1.13)que cumpla una condicion inicial es decir que tome un valordeterminado x0 ∈ R en un instante t0 dado. Esto se conocecomo un Problema de Valor Inicial.

Page 20: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 19

Definicion 1.5.2 Sean A : J → Rn×n y b : J → Rn×1 funcionesmatriciales. Un Problema de Valor Inicial (P.V.I.) o Problemade Cauchy asociado a la E.D.O. lineal (1.13) es una expresiondel tipo: ∣∣∣∣ x′ = A(t)x+ b(t)

x(t0) = x0(1.14)

en donde t0 ∈ J y x0 ∈ Rn×1 son dados.

Una funcion ϕ : I → Rn×1 definida en el intervalo abiertoI ⊆ J es una solucion del P.V.I. (1.14) si y solo si ϕ es diferen-ciable en I, t0 ∈ I y se cumple:

ϕ′(t) = A(t)ϕ(t) + b(t), ∀ t ∈ I.ϕ(t0) = x0.

La interpretacion geometrica de la solucion del P.V.I. (1.14)es que de entre todas las soluciones (curvas diferenciables en Rn)del sistema dado, escogemos aquella que en el instante t0 pasepor el punto x0 del espacio Rn.

Ejemplo 1.5.2 Determine una solucion del P.V.I.∣∣∣∣ x′ = A(t)x+ b(t)x(t0) = x0

en donde A(t) y b(t) son como en el Ejemplo 1.5.1, t0 = 0 y

x0 =

[01

]Solucion. Sabemos que para cualquier par de numeros realesC1 y C2, la funcion

ϕ(t) =

[−t− 1 + C1e

t

C2e12t2

], ∀ t ∈ R.

Page 21: Edo r.benazic

20 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

es solucion de la E.D.O. dada. Usando las condiciones iniciales:[01

]= ϕ(0) =

[−1 + C1

C2

]de donde C1 = 1 y C2 = 1, luego la solucion del P.V.I. propuestoes

ϕ(t) =

[−t− 1 + et

e12t2

], ∀ t ∈ R. �

Con respecto al ejemplo anterior, surge una pregunta natu-ral: ¿Es la funcion hallada la unica solucion del P.V.I. dado?,dicho de otra manera ¿Es posible que el P.V.I. del Ejemplo 1.5.2admita mas de una solucion? Por la interpretacion geometricade una solucion del P.V.I. que dimos lıneas arriba, nosotrospodrıamos responder que ¡no! puesto que de entre todas lassoluciones posibles (las cuales son curvas en R2), hemos elegidoaquella que en el instante t = 0 pase por el punto (0, 1). Noteseque este razonamiento es correcto si supieramos que las solu-ciones de un sistema son disjuntas (es decir curvas que no seintersectan). En el caso de nuestro ejemplo, uno podrıa probarcon un poco de paciencia, que esto es cierto, dos soluciones de laE.D.O. dada o son iguales o bien son disjuntas. ¿Esta propiedadse cumplira para cualquier E.D.O.?

De manera mas general: ¿Todo P.V.I. del tipo (1.14) ad-mite solucion? Si la respuesta es afirmativa, ¿esta solucion esunica? en caso contrario ¿bajo que condiciones un P.V.I. admitesolucion?

El Teorema de Existencia y Unicidad para un Sistema Linealde Ecuaciones Diferenciales Ordinarias responde a todas estasinterrogantes. Uno de los objetivos del proximo capıtulo es pro-bar el Teorema de Existencia y Unicidad.

Page 22: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 21

1.6 Ecuaciones de Orden Superior

Hasta el momento solo hemos visto el caso en que la funcion (ofunciones) incognita estan afectadas por una derivacion, sin em-bargo, como ya el lector debe haber estudiado en un primer cursode Ecuaciones Diferenciales, en muchas aplicaciones se presen-tan modelos matematicos en donde la funcion incognita estaafectada por una doble derivada (como ocurre en fısica cuandotenemos como dato la aceleracion) e inclusive por derivadas deorden mas alto. Tales ecuaciones son llamadas de orden supe-rior.

Definicion 1.6.1 Sea D ⊆ Rn+1 y f una funcion definida enD y con valores reales. La Ecuacion Diferencial Ordinaria deorden n, asociada a la funcion f es una expresion del tipo

x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1)) (1.15)

en donde t es una variable independiente que denota al tiempo,

x depende de t y x(j) =djx

dxj, (1 ≤ j ≤ n).

Como ejemplo consideremos la E.D.O. de segundo orden

mx′′ + cx′ + kx = cos wt (1.16)

la cual describe el movimiento de una masa m suspendida deun resorte de constante de elasticidad k, sujeta a un mecanismoque ejerce una amortiguacion constante igual a c y tal que seejerce sobre la masa una fuerza exterior periodica cos wt. Eneste caso f es una funcion definida en todo R3 y su regla decorrespondencia viene dada por

f(t, x1, x2) =1

mcos wt− k

mx1 −

c

mx2.

Page 23: Edo r.benazic

22 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Un caso interesante de la E.D.O. (1.15) ocurre cuando lafuncion f : J × Rn → R es de la forma:

f(t, x1, . . . , xn) = b(t)− a1(t)xn − a2(t)xn−1 − · · · − an(t)x1(1.17)

en donde a1, a2, . . . , an y b son funciones a valores reales defini-das en un mismo intervalo J ⊆ R y x1, x2, . . . , xn son variablesreales. La E.D.O. de orden n asociada a la funcion (1.17) es

x(n) + a1(t)x(n−1) + · · ·+ an−1(t)x

′ + an(t)x = b(t), (1.18)

la cual se llama Ecuacion Lineal no Homogenea de orden n.

Como ocurre con los sistemas, para las E.D.O.’s de orden nexiste tambien un concepto de Problema de Valor Inicial y el desu correspondiente solucion.

Definicion 1.6.2 SeanD ⊆ Rn+1, f : D → R y (t0, x00, x

10, . . . , x

n−10 ) ∈

D.

1. El Problema de Valores Iniciales (P.V.I.) o Problema deCauchy asociado a f es dado por∣∣∣∣∣∣

x(n) = f(t, x, x′, . . . , x(n−1))

x(t0) = x00, x

′(t0) = x10, . . . , x

(n−1)(t0) = xn−10 .

(1.19)

2. Una solucion del P.V.I. (1.19) es una funcion ϕ : J → Rn-veces diferenciable en el intervalo J ⊆ R tal que:

(a) t0 ∈ J .

(b)(t, ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕ(n−1)(t)

)∈ D, ∀ t ∈ J .

(c) ϕ(n)(t) = f(t, ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕ(n−1)(t)), ∀ t ∈ J .

Page 24: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 23

(d) ϕ(t0) = x00, ϕ

′(t0) = x10, . . . , ϕ

(n−1)(t0) = xn−10 .

Como mostramos a continuacion, existe una ıntima relacionentre Ecuaciones Diferenciales de orden n y sistemas de E.D.O.’s.En efecto, consideremos el P.V.I. (1.19) y definamos la funcionF : D → Rn como

F (t, x1, x2, . . . , xn) = (x2, . . . , xn, f(t, x1, x2, . . . , xn)).(1.20)

Observe que el P.V.I. asociado a la funcion F es∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x′1 = x2, x1(t0) = x00

x′2 = x3, x2(t0) = x10

......

x′n−1 = xn, xn−1(t0) = xn−20

x′n = f(t, x1, x2, . . . , xn), xn(t0) = xn−10

(1.21)

Proposicion 1.6.1 Resolver el P.V.I. de orden n (1.19) es equiv-alente a resolver el P.V.I. (1.21).

Demostracion. Sea ϕ : J → R solucion del P.V.I. de orden n(1.19). Consideremos φ : J → Rn definida por

φ(t) = (ϕ(t), ϕ′(t), . . . , ϕ(n−1)(t))

un facil calculo muestra que φ es solucion del P.V.I. (1.21).Recıprocamente, si φ = (φ1, φ2, . . . , φn) : J → Rn es solucion(1.21), entonces no es difıcil ver que la primera coordenadaφ1 : J → R es solucion de (1.19). Dejamos los calculos parael lector. �

Page 25: Edo r.benazic

24 Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Ejemplo 1.6.1 Dada la E.D.O de segundo orden (1.16), hace-mos el cambio de coordenadas∣∣∣∣∣ x

′1 = x

x′2 =1

mcos wt− k

mx1 −

c

mx2

y obtenemos el sistema∣∣∣∣∣ x′(t) = y

y′(t) = − kmx− c

my +

1

mcos wt

Compare el lector con (1.5). �

Page 26: Edo r.benazic

Capıtulo 2

Sistemas Lineales deEcuaciones DiferencialesOrdinarias conCoeficientes Constantes

En el presente capıtulo, nos proponemos estudiar Problemas deValores Iniciales del tipo∣∣∣∣ x′ = Ax+ b(t)

x(t0) = x0(2.1)

en donde A ∈ Rn×n es una matriz dada, b : J → Rn×1 es unafuncion matricial definida en el intervalo J , t0 ∈ J , y x0 ∈ Rn×1.

Note que el P.V.I. (2.1) es un caso particular de (1.14) (bastaconsiderar la funcion matricial constante A(t) = A, ∀ t ∈ J).La E.D.O.

x′ = Ax+ b(t) (2.2)

25

Page 27: Edo r.benazic

26 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

es llamada Sistema Lineal no Homogeneo de Ecuaciones Difer-enciales Ordinarias con Coeficientes Constantes y (2.1) es suP.V.I. asociado. Cuando b : J → Rn×1 es la funcion matri-cial constante cero, decimos que (2.2) es un Sistema Lineal ho-mogeneo. Vamos a empezar estudiando estos sistemas.

2.1 Sistemas Lineales Homogeneos

En la presente seccion, consideraremos P.V.I.’s del tipo∣∣∣∣ x′ = Axx(t0) = x0

(2.3)

en donde A ∈ Rn×n es una matriz fijada y t0 ∈ R, x0 ∈ Rn×1

son dados.

La E.D.O. x′ = Ax es llamada Sistema Lineal Homogeneode Ecuaciones Diferenciales Ordinarias con Coeficientes Con-stantes y (2.3) es su P.V.I. asociado.

Observe que cuando n = 1, A y x0 son matrices 1 × 1, esdecir, numeros reales. Si denotamos por a ∈ R a la matrizA ∈ R1×1, entonces el P.V.I. (2.3) toma la forma:∣∣∣∣ x′ = ax

x(t0) = x0(2.4)

Como es bien conocido, la unica solucion del P.V.I. escalar(2.4) es dada por

ϕ(t) = x0ea(t−t0), (2.5)

la cual esta definida para todo t ∈ R. En los ejemplos siguientes,veremos como este resultado puede ser usado para resolver al-gunos sistemas de P.V.I.

Page 28: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 27

Ejemplo 2.1.1 Resolver el siguiente P.V.I.:∣∣∣∣ x′1 = 2x1, x1(0) = 1x′2 = −3x2, x2(0) = −1

Solucion. De acuerdo a (2.5) las soluciones de los P.V.I.’s∣∣∣∣ x′1 = 2x1

x1(0) = 1y

∣∣∣∣ x′2 = −3x2

x2(0) = −1

son, respectivamente ϕ1(t) = e2t y ϕ2(t) = −e−3t las cualesestan definidas en todo R, luego la solucion del P.V.I. dado es:

ϕ : R → R2

t 7→ ϕ(t) = (e2t,−e−3t)�

Ejemplo 2.1.2 Resolver el P.V.I.:∣∣∣∣∣∣∣∣∣x′1 = λ1x1, x1(0) = x1

0

x′2 = λ2x2, x2(0) = x20

......

......

x′n = λnxn, xn(0) = xn0

Solucion. Desde que ϕi(t) = xi0e

λit, ∀ t ∈ R es solucion de∣∣∣∣ x′i = λixi

xi(0) = xi0

en donde 1 ≤ i ≤ n, tenemos que la solucion del P.V.I. propuestoes

ϕ : R → Rn

t 7→ ϕ(t) = (x10e

λ1t, x20e

λ2t, · · · , xn0e

λnt).�

Page 29: Edo r.benazic

28 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

Ejemplo 2.1.3 Resolver el P.V.I.:∣∣∣∣ x′1 = 2x1 + 3x2, x1(0) = 0x′2 = −2x2, x2(0) = 1

Solucion. En primer lugar, observe que este ejemplo difiere unpoco de los dos anteriores puesto que ahora el P.V.I.∣∣∣∣ x′1 = 2x1 + 3x2

x1(0) = 0(2.6)

no es del tipo (2.4), sin embargo la solucion de∣∣∣∣ x′2 = −2x2

x2(0) = 1

es dada por ϕ2(t) = e−2t, ∀ t ∈ R. Reemplazando este resultadoen (2.6), tenemos ∣∣∣∣ x′1 = 2x1 + 3e−2t

x1(0) = 0

cuya solucion (usando los metodos que se dan en un primer curso

de Ecuaciones Diferenciales) es dada por ϕ1(t) = −3

4e−2t +

3

4e2t,

∀ t ∈ R.

De esta manera, la solucion del P.V.I. propuesto es dada por:

ϕ : R → R2

t 7→ ϕ(t) = (−34e−2t + 3

4e2t, e−2t).

Observaciones:

1. Los tres ejemplos anteriores podrıan dejar al lector la im-presion de que las tecnicas aprendidas en un curso basico

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 29

de Ecuaciones Diferenciales, son suficientes para resolverP.V.I.’s del tipo (2.3). Nada mas falso, en efecto, trate deresolver como en los ejemplos anteriores, el P.V.I.∣∣∣∣ x′1 = 5x1 + 3x2, x1(0) = x1

0

x′2 = −6x1 − 4x2, x2(0) = x20

2. Las matrices asociadas a los P.V.I’s de los Ejemplos 2.1.1,2.1.2 y 2.1.3 son, respectivamente:

[2 00 −3

],

λ1 0 · · · 00 λ2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λn

y

[2 30 −2

]

mientras que la matriz asociada al P.V.I. de la Observacion1 es [

5 3−6 −4

].

Inmediatamente se observa que las tres primeras matricesson triangulares superiores (inclusive las dos primeras sonmatrices diagonales) mientras que la cuarta no lo es. Elhecho que una matriz no sea triangular trae como conse-cuencia que en su P.V.I. asociado, las funciones incognitasx1, x2, . . . , xn esten “mezcladas entre sı” lo cual hace queno se pueda aplicar el metodo usado en los 3 ejemplosdados en la seccion.

3. Prestemos por una vez mas nuestra atencion al P.V.I. dela Observacion 1. Considerando el cambio lineal de coor-denadas

L : R2 → R2

(x1, x2) 7→ L(x1, x2) = (2x1 + x2,−x1 − x2) = (y1, y2)

Page 31: Edo r.benazic

30 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

tenemos:

y′1 = 2x′1 + x′2 = 2(5x1 + 3x2) + (−6x1 − 4x2)

= 4x1 + 2x2 = 2(2x1 + x2) = 2y1

y

y′2 = −x′1 − x′2 = −(5x1 + 3x2)− (−6x1 − 4x2)

= x1 + x2 = −(−x1 − x2) = −y2

Luego el cambio de coordenadas lineal L transforma elP.V.I. dado en el P.V.I.∣∣∣∣ y′1 = 2y1, y1(0) = y1

0

y′2 = −y2, y2(0) = y20

donde

(y10, y

20) = L(x1

0, x20) = (2x1

0 + x20,−x1

0 − x20),

cuya solucion es dada por:

ϕ : R → R2

t 7→ ϕ(t) = (y10e

2t, y20e−t)

Desde que L es una transformacion lineal inversible cuyainversa L−1 es dada por

L−1 : R2 → R2

(y1, y2) 7→ L−1(y1, y2) = (y1 + y2,−y1 − 2y2) = (x1, x2)

podemos retornar a las variables originales x1 y x2 usandoL−1 y obtenemos:

ψ(t) = L−1(ϕ(t)) = L−1(y1

0e2t, y2

0e−t

)=

(y1

0e2t + y2

0e−t,−y1

0e2t + 2y2

0e−t

).

Page 32: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 31

De esta manera

ψ : R → R2

t 7→ ψ(t)

dada por

ψ(t) =

(2x10 + x2

0)e2t − (x1

0 + x20)e

−t

−(2x10 + x2

0)e2t + 2(x1

0 + x20)e

−t

es solucion del P.V.I. original.

El lector debe guardar en mente que, por un cambio ade-cuado de coordenadas (en este caso lineal) L, hemos trans-formado un P.V.I. en donde sus incognitas “estan mez-cladas” en otro P.V.I. tal que su matriz asociada sea di-agonal (y por lo tanto pueden usarse las tecnicas elemen-tales de los ejemplos anteriores). Surgen de manera in-mediata las siguientes preguntas: ¿Como se obtuvo laTransformacion Lineal L?, ¿existe una manera sistematicade obtener L? ¿Este metodo puede ser generalizado acualquier P.V.I. con cualquier numero de variables? Todasestas preguntas seran respondidas conforme avancemos eneste capıtulo.

Volviendo a nuestro estudio, estamos interesados en saber siel P.V.I. (2.3) admite solucion unica. Ya sabemos que cuandon = 1, la solucion es dada por ϕ(t) = x0e

at, procediendo poranalogıa (un metodo muy usado en matematica), es de esperarque para el caso en que A ∈ Rn×n, una funcion del tipo ϕ(t) =x0e

tA sea solucion de (2.3), pero ¿tiene sentido la expresion an-terior? Observe que si A es una matriz n× n, tambien lo es tA(para cualquier t ∈ R) luego etA es la exponencial de una matriz

Page 33: Edo r.benazic

32 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

cuadrada. Se deduce que si queremos que nuestro metodo tengaexito, lo primero que debemos hacer es definir lo que entende-mos por exponencial de una matriz. Con este objetivo en mente,recordemos que si a ∈ R (o aun en C) entonces el numero real(o complejo) ea queda definido por una serie de potencias deltipo

ea =∞∑

k=0

1

k!ak = 1 + a+

1

2!a2 +

1

3!a3 + · · ·

la cual es convergente para cualquier a. ¿La serie anteriortiene sentido si reemplazamos el numero real a por una ma-triz cuadrada A? En primer lugar, sabemos que Rn×n es unanillo con elemento identidad

I =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

.En este anillo de matrices cuadradas se cumple que si A ∈

Rn×n y c ∈ R entonces cA ∈ Rn×n, luego si A ∈ Rn×n y k ∈ Z+,

entonces1

k!Ak ∈ Rn×n, se desprende que

m∑k=0

1

k!Ak = I + A+

1

2!A2 + · · ·+ 1

m!Am ∈ Rn×n

para todo m ∈ Z+ (estamos usando la notacion A0 = I). Si la

sucesion de matrices cuadradasm∑

k=0

1

k!Ak tuviera lımite cuando

m tiende al infinito, entonces este lımite serıa el candidato a serla exponencial de la matriz A.

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 33

En resumen, una manera de resolver el P.V.I. (2.3) serıa in-troduciendo el concepto de exponencial de una matriz cuadraday para ello necesitamos estudiar la nocion de convergencia desucesiones y series de matrices. Esto es justamente lo que hare-mos en la proxima seccion.

2.2 Sucesiones y Series de Matrices

En la presente seccion solamente vamos a trabajar con ma-trices cuadradas de orden n, sin embargo, todos los resulta-dos obtenidos pueden ser generalizados sin dificultad a matricesn×m.

Sea | · | una norma en Rn (puede ser la euclidiana), sabemosque la bola unitaria cerrada B1[0] = {x ∈ Rn; |x| ≤ 1} es unsubconjunto compacto de Rn. Dada A ∈ Rn×n, consideremos sutransformacion lineal asociada

TA : Rn −→ Rn

x 7−→ TA(x) = Ax,

claramente TA es una funcion continua en Rn, luego |TA(x)|alcanza su maximo sobre la bola B1[0], denotemos por ‖ A ‖ aeste maximo, i.e.

‖ A ‖= max{|Ax|; x ∈ B1[0]}

Observe que a cada matriz A ∈ Rn×n le hemos asociado elnumero real ‖ A ‖.

Proposicion 2.2.1 Se cumplen las siguientes propiedades:

1. ‖ A ‖≥ 0, ∀ A ∈ Rn×n.

Page 35: Edo r.benazic

34 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

2. ‖ A ‖= 0 =⇒ A = θ.

3. ‖ rA ‖= |r| ‖ A ‖, ∀ A ∈ Rn×n, ∀ r ∈ Rn.

4. ‖ A+B ‖≤‖ A ‖ + ‖ B ‖, ∀ A,B ∈ Rn×n.

Demostracion. Probaremos solamente (3.) las demas quedarancomo ejercicio para el lector.

‖ rA ‖ = max{|(rA)x|; x ∈ B1[0]} = max{|r| |Ax|; x ∈ B1[0]}= |r|max{|Ax|; x ∈ B1[0]} = |r| ‖ A ‖ �

Observacion: De acuerdo a la proposicion anterior, la funcion

‖ · ‖ : Rn×n −→ RA 7−→ ‖ A ‖= max{|Ax|; x ∈ B1[0]},

es una norma sobre Rn×n la que llamaremos Norma Uniformeen Rn×n asociada a | · |.

Lema 2.2.1 Sea | · | : Rn → R una norma en Rn. Entoncesla norma uniforme ‖ · ‖ en Rn×n asociada a | · |, satisface lassiguientes propiedades:

1. |Ax| ≤ ‖ A ‖ |x|, ∀ A ∈ Rn×n, ∀ x ∈ Rn.

2. ‖ AB ‖≤‖ A ‖ · ‖ B ‖, ∀ A,B ∈ Rn×n.

3. ‖ Am ‖≤‖ A ‖m, ∀ A ∈ Rn×n, ∀ m ∈ N.

El siguiente resultado establece una relacion entre la normade una matriz y la norma de sus entradas.

Page 36: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 35

Lema 2.2.2 Dada A = [aij] ∈ Rn×n, existen constantes positi-vas C1 y C2 (independientes de la matriz A) tales que

C1|aij| ≤ ‖A‖ ≤ C2

n∑i,j=1

|aij|.

Como (Rn×n, ‖ · ‖) es un espacio normado, podemos definirel concepto de lımite de una sucesion de matrices.

Definicion 2.2.1 Una sucesion de matrices en Rn×n es unafuncion que a cada numero natural k le asocia una matriz Ak ∈Rn×n llamada el k-esimo termino de la sucesion. En este casoescribiremos (Ak) ⊆ Rn×n.

Ejemplo 2.2.1 Dada A ∈ Rn×n definimos Ak =1

k!Ak, ∀ k ≥

0. Luego (Ak) ⊆ Rn×n.

Definicion 2.2.2 Dados (Ak) ⊆ Rn×n y A ∈ Rn×n, decimosque A es el lımite de la sucesion (Ak), lo que denotaremos porlimk→∞

Ak = A, si y solo si para todo ε > 0 existe un k0 ∈ N tal

que si k ≥ k0 entonces ‖Ak − A‖ < ε. Cuando una sucesionde matrices tiene lımite, decimos que es convergente, en casocontrario se le llama divergente.

El siguiente resultado establece que una condicion necesariay suficiente para que una sucesion de matrices tenga lımite es quetodas sus entradas formen sucesiones convergentes de numerosreales.

Teorema 2.2.2 Sean (Ak) ⊆ Rn×n y A ∈ Rn×n tales que Ak =[ak

ij] y A = [aij]. Se cumple

limk→∞

Ak = A⇐⇒ limk→∞

akij = aij, ∀ (i, j) ∈ In,n.

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36 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

A toda sucesion (Ak) ⊆ Rn×n, le podemos asociar una nuevasucesion (Sk) ⊆ Rn×n, definida por: S0 = A0, S1 = A0 + A1,S2 = A0 + A1 + A2, en general:

Sk =k∑

j=0

Aj, ∀ k ≥ 0.

(Sk) ⊆ Rn×n es llamada sucesion de sumas parciales asociada a(Ak) ⊆ Rn×n. Para hacer notar que (Sk) ⊆ Rn×n depende de

la sucesion original (Ak) ⊆ Rn×n, denotaremos (Sk) =∑k,0

Ak,∑k,0

Ak es llamada serie de matrices. Decimos que la serie∑k,0

Ak

es convergente si y solo si la sucesion de sumas parciales (Sk) ⊆

Rn×n es convergente y a su lımite lo denotaremos por∞∑

k=0

Ak.

Damos a continuacion una caracterizacion bastante util delconcepto de convergencia de una serie de matrices.

Teorema 2.2.3 (Criterio de Cauchy) Sea (Ak) ⊆ Rn×n. Lasafirmaciones siguientes son equivalentes:

1.∑k,0

Ak es convergente.

2. Dado ε > 0, existe un k0 ∈ N tal que si m, k ≥ k0 entonces∥∥∥∥∥m∑

j=0

Aj −k∑

j=0

Aj

∥∥∥∥∥ < ε.

Finalizamos la seccion con un criterio bastante util de con-vergencia.

Page 38: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 37

Teorema 2.2.4 Si (Ak) ⊆ Rn×n es tal que la serie de numeros

reales∑k,0

‖Ak‖ es convergente, entonces la serie de matrices∑k,0

Ak tambien es convergente y se cumple

∥∥∥∥∥∞∑

k=0

Ak

∥∥∥∥∥ ≤∞∑

k=0

‖Ak‖.

2.3 Exponencial de una Matriz

El objetivo central de esta seccion, es definir el concepto deexponencial de una matriz cuadrada y estudiar sus principalespropiedades.

Teorema 2.3.1 La serie∑j,0

1

j!Aj es convergente, ∀ A ∈ Rn×n.

Demostracion. Dado j ≥ 0 se cumple:∥∥∥∥ 1

j!Aj

∥∥∥∥ =1

j!‖Aj‖ ≤ 1

j!‖A‖j

Como la serie de numeros reales∑j,0

‖A‖j

j!es convergente, por

el Criterio de Comparacion∑j,0

∥∥∥∥Aj

j!

∥∥∥∥ es convergente, y por el

Teorema 2.2.4, concluimos que la serie de matrices∑j,0

1

j!Aj es

convergente. �

Page 39: Edo r.benazic

38 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

Definicion 2.3.1 Dada la matriz A ∈ Rn×n, la exponencial deA, denotada por exp(A) o eA, es la matriz de Rn×n definida por

exp(A) =∞∑

j=0

1

j!Aj

Ejemplo 2.3.1 Si A =

0 1 00 0 10 0 0

∈ R3×3, determine eA.

Solucion: Es facil ver queA2 =

0 0 10 0 00 0 0

yAj =

0 0 00 0 00 0 0

,

∀ j ≥ 3, luego:

eA = I + A+1

2A2 =

1 1 12

0 1 10 0 1

. �

Observaciones:

1. La exponencial es una funcion que a una matriz le asociauna nueva matriz, es decir:

exp : Rn×n −→ Rn×n

A 7−→ exp(A) = eA

2. ‖ exp(A)‖ ≤ e‖A‖, ∀ A ∈ Rn×n.

3. eθ = I.

Page 40: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 39

4. Si A ∈ R1×1 entonces A puede ser identificado con unnumero real, luego la exponencial de una matriz cuadradaes la generalizacion natural de la funcion exponencial quese estudia en el Calculo.

Sabemos que la funcion exponencial cumple la propiedad:e(a+b) = eaeb, ∀ a, b ∈ R.

Teorema 2.3.2 Sean A,B ∈ Rn×n, Se cumplen las siguientesafirmaciones:

i) ePAP−1= PeAP−1, ∀ P ∈ GL(Rn).

ii) Si AB = BA entonces eA+B = eA · eB.

iii) (eA)−1 = e−A.

Ejemplo 2.3.2 En lo sucesivo, denotaremos por diag [λ1, λ2, · · · , λn] ∈Rn×n a las matrices diagonales

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

.... . .

...0 0 . . . λn

Afirmo que si D = diag [λ1, λ2, · · · , λn] ∈ Rn×n entonces:

eD = diag [eλ1 , eλ2 , · · · , eλn ].

En efecto, por induccion, es facil probar que:

Dj = diag [λj1, λ

j2, · · · , λj

n], ∀ j ∈ N,

Page 41: Edo r.benazic

40 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

luego, para cualquier m ≥ 0 dado, tenemosm∑

j=0

1

j!Dj =

m∑j=0

1

j!diag [λj

1, λj2, · · · , λj

n]

=m∑

j=0

diag

[1

j!λj

1,1

j!λj

2, · · · ,1

j!λj

n

]= diag

[m∑

j=0

1

j!λj

1,

m∑j=0

1

j!λj

2, · · · ,m∑

j=0

1

j!λj

n

]Entonces

eD =∞∑

j=0

1

j!Dj = lim

m→∞

m∑j=0

1

j!Dj

= diag

[∞∑

j=0

1

j!λj

1,

∞∑j=0

1

j!λj

2, · · · ,∞∑

j=0

1

j!λj

n

]= diag [eλ1 , eλ2 , · · · , eλn ],

lo cual prueba la afirmacion.

Como caso particular, observe que la matriz identidad I ∈Rn×n puede escribirse como matriz diagonal I = diag [1, 1, · · · , 1]y si λ ∈ R entonces λI = diag [λ, λ, · · · , λ], luego

eλI = diag [eλ, eλ, · · · , eλ] = eλdiag [1, 1, · · · , 1] = eλI.

Ejemplo 2.3.3 Decimos que A ∈ Rn×n es una matriz nilpo-tente si y solo si existe n ∈ N tal que An = θ. Dada A ∈ Rn×n

nilpotente, sea r = min{n ∈ An = θ}, es decir Aj 6= θ paratodo 0 ≤ j < r y Ar = θ. Este numero r es llamado orden denilpotencia de la matriz A.

Si A ∈ Rn×n una matriz nilpotente de orden de nilpotenciar, entonces se cumple

eA = I + A+1

2!A2 + · · ·+ 1

(r − 1)!Ar−1.

Page 42: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 41

Ejemplo 2.3.4 Sea

A =

[a b−b a

]∈ R2×2.

Con la finalidad de calcular eA, consideremos r =√a2 + b2.

Entonces existe un unico θ ∈ [0, 2π[ tal que

a+ ib = reiθ = r(cos θ + i sen θ) = r cos θ + ir sen θ.

Luego

A = r

[cos θ sen θ− sen θ cos θ

].

Dado j ∈ N, se sigue que

Aj = rj

[cos jθ sen jθ− sen jθ cos jθ

]Entonces

eA = limk→∞

k∑j=0

Aj

j!= lim

k→∞

k∑j=0

rj

j!

[cos jθ sen jθ− sen jθ cos jθ

]

= limk→∞

k∑

j=0

rj

j!cos jθ

k∑j=0

rj

j!sen jθ

−k∑

j=0

rj

j!sen jθ

k∑j=0

rj

j!cos jθ

Luego

eA =

∞∑

j=0

rj

j!cos jθ

∞∑j=0

rj

j!sen jθ

−∞∑

j=0

rj

j!sen jθ

∞∑j=0

rj

j!cos jθ

(2.7)

Page 43: Edo r.benazic

42 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

Por otro lado:

ea+ib =∞∑

j=0

(a+ ib)j

j!=

∞∑j=0

(reiθ)j

j!=

∞∑j=0

rjeijθ

j!,

esto implica

ea(cos b+ i sen b) =∞∑

j=0

rj

j!(cos jθ + i sen jθ),

de donde

ea cos b =∞∑

j=0

rj

j!cos jθ, ea sen b =

∞∑j=0

rj

j!sen jθ. (2.8)

Reemplazando (2.8) en (2.7), obtenemos

eA =

[ea cos b ea sen b−ea sen b ea cos b

]= ea

[cos b sen b− sen b cos b

].

Por lo tanto hemos probado que si

A =

[a b−b a

]∈ R2×2

entonces

eA = ea

[cos b sen b− sen b cos b

].

Ejemplo 2.3.5 Sea A =

[λ 10 λ

]∈ R2×2, vamos a calcular

eA.

En primer lugar, observe que A = λI +N , donde

N =

[0 10 0

].

Page 44: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 43

Es facil ver que N2 = θ (es decir N es una matriz nilpotentecon orden de nilpotencia 2) y que λI y N conmutan, luego:

eA = eλI+N = eλI · eN = (eλI)(I +N) = eλ

[1 10 1

].

2.4 El Teorema de Existencia y Uni-

cidad de E.D.O. Lineales

En la presente seccion presentamos la demostracion del Teoremade existencia y unicidad para un sistema de ecuaciones diferen-ciales ordinarias con coeficientes reales constantes. Para ello,necesitamos algunas definiciones y propiedades previas.

Dada la matriz A ∈ Rn×n, para cualquier t ∈ R es claroque tA ∈ Rn×n y por consiguiente etA ∈ Rn×n. Luego podemosdefinir

ΦA : R → Rn×n

t 7→ ΦA(t) = etA

Observe que ΦA es un camino en el espacio de matrices cuadradasn × n. El siguiente resultado nos dice que ΦA es diferenciable,mas especıficamente:

Proposicion 2.4.1 Si A ∈ Rn×n, entonces

Φ′A(t) = etAA = AetA, ∀ t ∈ R.

Demostracion. Por definicion de derivada:

Φ′A(t) = limh→0

ΦA(t+ h)− ΦA(t)

h= lim

h→0

e(t+h)A − etA

h

= limh→0

etA+hA − etA

h= lim

h→0

etAehA − etA

h

Page 45: Edo r.benazic

44 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

Luego

Φ′A(t) = limh→0

etA(ehA − I)h

(2.9)

Pero ehA − I = hA+1

2!(hA)2 +

1

3!(hA)3 + · · ·, luego

ehA − Ih

= A+1

2!hA2 +

1

3!h2A3 + · · ·

Reemplazando en (2.9):

Φ′A(t) = limh→0

etA

(A+

1

2!hA2 +

1

3!h2A3 + · · ·

)= etAA.

Analogamente se prueba que Φ′A(t) = AetA. �

Corolario. La funcion ΦA : R→ Rn×n es de clase C∞ en R.

Teorema 2.4.2 (Teorema de Existencia y Unicidad) SiA ∈Rn×n y x0 ∈ Rn, entonces la unica solucion del P.V.I.∣∣∣∣ x′ = Ax

x(0) = x0(2.10)

es dada porϕ : R → Rn

t 7→ ϕ(t) = etAx0.

Demostracion. Por la Proposicion 2.4.1:

ϕ′(t) = (AetA)x0 = A(etAx0) = Aϕ(t), ∀ t ∈ R,

ademasϕ(0) = e0Ax0 = eθx0 = x0.

Page 46: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 45

Por lo tanto ϕ es solucion del P.V.I. (2.10).

Para probar la unicidad, sea ψ : R → Rn otra solucion delP.V.I. (2.10). Defino

f : R → Rn

t 7→ f(t) = e−tAψ(t).

Se cumple

f ′(t) = e−tA(−A)ψ(t) + e−tAψ′(t) = −etAAψ(t) + e−tAAψ(t) = 0

luego f ′(t) = 0, ∀ t ∈ R. Se sigue que f(t) = C ∈ Rn, ∀ t ∈ R.En particular C = f(0) = e−0Aψ(0) = Ix0 = x0, de dondef(t) = x0. De esta manera e−tAψ(t) = x0, es decir ψ(t) =etAx0 = ϕ(t), ∀ t ∈ R. �

Se debe observar que en el teorema anterior, el instante ini-cial t = 0 puede ser reemplazado por cualquier t = t0 ∈ R,esto es precisamente lo que nos dice el siguiente corolario cuyademostracion es dejada al lector.

Corolario 1. Si A ∈ Rn×n, x0 ∈ Rn y t0 ∈ R, entonces la unicasolucion del P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = Ax

x(t0) = x0(2.11)

es dada porϕ : R → Rn

t 7→ ϕ(t) = e(t−t0)Ax0.

Corolario 2. El P.V.I. lineal homogeneo de orden n∣∣∣∣∣∣x(n) + a1x

(n−1) + · · ·+ an−1x′ + anx = 0

x(t0) = x00, x

′(t0) = x10, . . . , x

(n−1)(t0) = xn−10 .

(en donde a1, . . . , an ∈ R, y t0, x00, . . . x

n−10 ∈ R), admite una

unica solucion definida en R.

Page 47: Edo r.benazic

46 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

2.5 Formas canonicas y calculo de la

exponencial de una matriz

Hasta ahora solo sabemos calcular la exponencial de algunasmatrices especiales (ver los ejemplos de la seccion 2.3). Vamosa agregar a esa lista algunos otros casos mas.

Ejemplo 2.5.1 Sea A ∈ Rn×n de la forma

A =

A1 θn1×n2 · · · θn1×nm

θn2×n1 A2 · · · θn2×nm

......

. . ....

θnm×n1 θnm×n2 · · · Am

donde Ai ∈ Rni×ni , ∀ 1 ≤ i ≤ m, θni×nj

es la matriz cero deRni×nj y n1 + n2 + · · · + nm = n. Tales matrices son llamadasmatrices diagonales por bloques y las denotaremos por

diag [A1, A2, · · · , Am].

No es difıcil probar que si A = diag [A1, A2, · · · , Am] entoncespara cualquier k ∈ N se tiene:

Ak = diag [Ak1, A

k2, · · · , Ak

m],

luego:

eA = diag [eA1 , eA2 , · · · , eAm ].

(Compare con el Ejemplo 2.3.2).

Ejemplo 2.5.2 Sea A ∈ Rn×n de la forma: A = λI + Nn en

Page 48: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 47

donde λ ∈ R y

Nn =

0 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 10 0 0 · · · 0

∈ Rn×n

Observe que

N2n =

0 0 1 0 · · · 00 0 0 1 · · · 0...

......

.... . .

...0 0 0 0 · · · 0

, . . . , Nn−1n =

0 0 0 0 · · · 10 0 0 0 · · · 0...

......

.... . .

...0 0 0 0 · · · 0

y Nn

n = θ, es decir Nn es una matriz nilpotente con orden denilpotencia n. Para calcular eA en primer lugar observamos que(λI)Nn = λ(NnI) = Nn(λI), luego

eA = eλI+Nn = eλIeNn (2.12)

Sabemos que

eλI = eλI (2.13)

Por otro lado

eNn = I +Nn +1

2!N2

n + · · ·+ 1

(n− 1)!Nn−1

n

=

1 1 1

2!· · · 1

(n−2)!1

(n−1)!

0 1 1 · · · 1(n−3)!

1(n−2)!

......

......

...0 0 0 · · · 1 10 0 0 · · · 0 1

(2.14)

Page 49: Edo r.benazic

48 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

Reemplazando (2.13) y (2.14) en (2.12) obtenemos:

eA = eλ

1 1 1

2!· · · 1

(n−2)!1

(n−1)!

0 1 1 · · · 1(n−3)!

1(n−2)!

......

......

...0 0 0 · · · 1 10 0 0 · · · 0 1

(Compare con el Ejemplo 2.3.5).

Ejemplo 2.5.3 Denotemos

I2(a; b) =

[a b−b a

]∈ R2×2.

Por el Ejemplo 2.3.4 tenemos

eI2(a;b) = ea

[cos b sen b− sen b cos b

]= eaR2(b).

Llamemos

J2n(a, b) = diag [I2(a; b), I2(a; b), · · · , I2(a; b)] ∈ R2n×2n.

Sea A ∈ R2n×2n matriz de la forma

A = J2n(a, b) +N22n,

donde

N2n =

0 0 1 0 · · · 00 0 0 1 · · · 0...

......

.... . .

...0 0 0 0 · · · 0

=

θ I θ · · · θθ θ I · · · θ...

......

. . ....

θ θ θ · · · Iθ θ θ · · · θ

Page 50: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 49

No es difıcil probar que J2n(a, b)N22n = N2

2nJ2n(a, b); luego:

eA = eJ2n(a,b)eN22n = diag [eI2(a;b), · · · , eI2(a;b)]eN2

2n

= diag [eaR2(b), · · · , eaR2(b)]eN2

2n = eadiag [R2(b), · · · , R2(b)]eN2

2n

Concluimos que

eA = eadiag [R2(b), · · · , R2(b)]eN2

2n .

En resumen, los ejemplos anteriores nos muestra como cal-cular la exponencial de A, cuando A es una matriz de la forma:

• Diagonal por bloques,

• λI +Nn,

• J2n(a, b) +N22n.

¿Como calcular la exponencial de cualquier matrizA ∈ Rn×n?Un resultado bien conocido del algebra lineal (el cual enunciare-mos a continuacion), establece que no necesitamos mas esfuerzo,puesto que toda matriz cuadrada real puede reducirse a algunode los tres tipos anteriores.

Teorema 2.5.1 (Forma Canonica de Jordan para matri-ces reales) Si A ∈ Rn×n, entonces existe una matriz P ∈GL(Rn) tal que

PAP−1 = JA = diag [J1, J2, · · · , Jm],

donde cada Ji es una matriz cuadrada de la forma:

1. Ji = λiI +Nni, si λi es un autovalor real de A.

Page 51: Edo r.benazic

50 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

2. Jj = J2nj(aj, bj)+N

22nj

, si aj +ibj es un autovalor complejode A.

Ademas, la suma de los ordenes de los bloques de la formaλiI+Nni

es igual a la multiplicidad de λi como raız del polinomiocaracterıstico de A mientras que la suma de los ordenes de losbloques de la forma J2nj

(aj; bj) + N22nj

es igual al doble de lamultiplicidad de aj + ibj como raız del polinomio caracterısticode A.

La matriz JA ∈ Rn×n es llamada Forma Canonica de Jordan(Real) de A y ella es unica salvo el orden de los bloques y el signode la parte imaginaria bj de las raıces complejas del polinomiocaracterıstico de A. �

Observe que JA es una matriz diagonal por bloques y quesus bloques son matrices del tipo λiI + Nni

, o J2nj(aj, bj) +

N22nj

. De los ejemplos del inicio de la seccion, se sigue quepodemos calcular sin mayores dificultades la exponencial de JA.Finalmente, para determinar eA hacemos uso del Teorema 2.3.2- (i). En efecto, sabemos que A = P−1JAP , luego

eA = eP−1JAP = P−1eJAP.

2.6 Sistemas Lineales no Homogeneos

Finalizamos el capıtulo estudiando las soluciones de los SistemasLineales no Homogeneos con Coeficientes Constantes. Comoveremos a continuacion, la manera de resolver tales E.D.O.’ses completamente analoga al caso escalar que se estudia en loscursos basicos de Ecuaciones Diferenciales.

Page 52: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 51

Consideremos el P.V.I.∣∣∣∣ x′ = Ax+ b(t)x(t0) = x0

(2.15)

en donde A ∈ Rn×n es una matriz dada, b : J → Rn×1 es unafuncion matricial continua en el intervalo J , t0 ∈ J , y x0 ∈ Rn×1.

Supongamos que φ : J → Rn es solucion de (2.15), multi-plicando ambos miembros de φ′(t) = Aφ(t) + b(t) por el “factorintegrante” e−tA y operando, tenemos

d

dt

(e−tAφ(t)

)= e−tAb(t), ∀ t ∈ J (2.16)

Luego si integramos ambos miembros de (2.16) entre t0 y t ∈ J ,por el Teorema Fundamental del Calculo, se llega a

e−tAφ(t)− e−t0Aφ(t0) =

∫ t

t0

e−sAb(s)ds.

Multiplicando por etA y operando, se obtiene

φ(t) = e(t−t0)Ax0 + etA

∫ t

t0

e−sAb(s)ds (2.17)

Un facil calculo nos lleva a concluir que la funcion φ : J → Rn

cuya regla de correspondencia es dada por (2.17) es soluciondel P.V.I. (2.15). ¿Esta solucion es unica? Supongamos queψ : J → Rn es otra solucion de (2.15), no es difıcil probar queψ − φ : J → Rn es solucion del P.V.I. homogeneo∣∣∣∣ x′ = Ax

x(t0) = 0(2.18)

Pero la unica solucion de (2.18) es la funcion constante cero,concluimos que ψ = φ y de esta manera (2.15) admite una unicasolucion. Resumimos los resultados obtenidos en el siguienteteorema.

Page 53: Edo r.benazic

52 Sistemas Lineales de E.D.O.’s con Coeficientes Constantes

Teorema 2.6.1 Sea A ∈ Rn×n es una matriz dada, b : J →Rn×1 es una funcion matricial continua en el intervalo J , t0 ∈ J ,y x0 ∈ Rn×1. Entonces la unica solucion del P.V.I.∣∣∣∣ x′ = Ax+ b(t)

x(t0) = x0

es dada por φ : J → Rn donde

φ(t) = e(t−t0)Ax0 + etA

∫ t

t0

e−sAb(s)ds, ∀ t ∈ J.

Corolario. El P.V.I. lineal no homogeneo de orden n∣∣∣∣∣∣x(n) + a1x

(n−1) + · · ·+ an−1x′ + anx = b(t)

x(t0) = x00, x

′(t0) = x10, . . . , x

(n−1)(t0) = xn−10 .

(en donde a1, . . . , an ∈ R, b0 : J → R es una funcion continuadefinida en el intervalo J y t0, x

00, . . . x

n−10 ∈ R), admite una

unica solucion definida en J .

Observaciones:

1. Sean las funciones φh, φp : J → Rn definidas por φh(t) =

e(t−t0)Ax0 y φp(t) = etA

∫ t

t0

e−sAb(s)ds. Observe que φh es

solucion del P.V.I. homogeneo∣∣∣∣ x′ = Axx(t0) = x0

mientras que φp(t) es una solucion del P.V.I.∣∣∣∣ x′ = Ax+ b(t)x(t0) = 0

Page 54: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 53

2. No obstante tener una formula explıcita para resolver Prob-lemas de Valores Iniciales Lineales no Homogeneos conCoeficientes Constantes, los calculos envueltos son muyengorrosos y en muchos casos no es posible obtener solu-ciones explıcitas. Esto sucede aun en el caso n = 2.

Page 55: Edo r.benazic

Capıtulo 3

Teorıa Cualitativa de lasE.D.O.’s Lineales

Por lo hecho en el capıtulo anterior, el lector podrıa pensar queya no habrıa nada mas que hacer en cuanto a los sistemas lin-eales con coeficientes constantes, puesto que sabemos que susolucion existe, es unica, tenemos una formula explıcita para susolucion e incluso, con auxilio del algebra lineal podemos pasar aun sistema de coordenadas en el que la matriz asociada al nuevoP.V.I. sea una matriz diagonal por bloques (forma canonica deJordan) en donde los bloques son tales que resulta facil calcularsu exponencial y finalmente volver al sistema de coordenadasoriginales. Entonces ¿por que seguir estudiando los sistemaslineales con coeficientes constantes?. La respuesta a esta in-terrogante es bastante simple: para poder encontrar la formacanonica de Jordan de una matriz A ∈ Rn×n necesitamos antesque nada conocer sus autovalores los cuales, como sabemos, sonraıces del polinomio caracterıstico PA(λ). Ahora bien, PA(λ) es

54

Page 56: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 55

un polinomio de grado n y como el lector debe saber, no ex-iste una formula (por radicales) que nos permita hallar todaslas raıces de un polinomio de grado mayor que o igual a 5. Unaconsecuencia de la no existencia de esta formula es que, salvo encasos particulares, solo podemos conocer los autovalores de lamatriz A ∈ Rn×n (n ≥ 5) de una manera aproximada se deduceque los autovectores (y por lo tanto la matriz P−1) tambienseran aproximados y la propia forma canonica de Jordan es unamatriz aproximada. ¿Cuanto se diferencia la “solucion aprox-imada” de la “solucion teorica”? Intuitivamente podemos verque en las vecindades del instante inicial t0 la “solucion aprox-imada” representa bastante bien a la “solucion teorica”, peroesto deja de ser valido para valores de t muy lejanos del t0.El Analisis Numerico nos proporciona tecnicas para estudiar la“solucion aproximada” y controlar el error cometido al usar estaaproximacion para predecir el valor teorico.

No pretendemos en estas notas estudiar estos metodos numericos,puesto que existe una bibliografıa extensa sobre el tema queel lector interesado puede consultar, estudiaremos a cambio unmetodo alternativo al Analisis Numerico que nos permita prede-cir fenomenos modelados por sistemas Ecuaciones DiferencialesOrdinarias. Este metodo alternativo fue llamado por Poincarecomo “Teorıa Geometrica de las Ecuaciones Diferenciales” y suobjetivo es obtener propiedades cualitativas de las soluciones deuna E.D.O. aun sin conocer explıcitamente estas soluciones.

En el presente capıtulo iniciamos el estudio de la TeorıaGeometrica de las E.D.O.’s lineales homogeneas con coeficientesconstantes. Algunos de los resultados obtenidos en esta seccionseran posteriormente generalizados a los sistemas no lineales.Cabe mencionar que el estudio cualitativo de las E.D.O.’s formauna parte importante de la Teorıa de los Sistemas Dinamicos,rama de la matematica que ocupa en la actualidad el interes de

Page 57: Edo r.benazic

56 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

muchos cientıficos y es motivo de investigacion.

3.1 El flujo asociado a una E.D.O. lin-

eal

Sea A ∈ Rn×n y x0 ∈ Rn, por el Teorema 2.4.2 sabemos que launica solucion del P.V.I. ∣∣∣∣ x′ = Ax

x(0) = x0(3.1)

es dada por:ϕx0 : R → Rn

t 7→ ϕx0(t) = etAx0

Haciendo variar la condicion inicial x0 en todo Rn, obtenemostodas las soluciones de la E.D.O. x′ = Ax. El objetivo de estecapıtulo es estudiar las propiedades geometricas que tienen estassoluciones y para ello necesitamos del concepto de flujo.

Definicion 3.1.1 Sea A ∈ Rn×n, el flujo asociado a la E.D.O.lineal x′ = Ax es dado por

ϕA : R× Rn → Rn

(t, x) 7→ ϕA(t, x) = etAx

Ejemplo 3.1.1 Dada la E.D.O.∣∣∣∣ x′1 = 5x1 + 3x2

x′2 = −6x1 − 4x2

Su matriz asociada es A =

[5 3−6 −4

]∈ R2×2. Luego el flujo

asociado a esta E.D.O. es la funcion ϕA : R×R2 → R2 definida

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 57

por

ϕA(t, x1, x2) =((2x1 + x2)e

2t, (x1 + x2)e−t

)�

Ejemplo 3.1.2 Dada la E.D.O.∣∣∣∣∣∣x′1 = x2 + x3

x′2 = x1 + x3

x′3 = x1 + x2

Su matriz asociada es A =

0 1 11 0 11 1 0

∈ R3×3. Luego el flujo

asociado a la E.D.O. es la funcion ϕA : R × R3 → R3 definidapor

ϕA(t, x1, x2, x3)=1

3(x1 + x2 + x3)e

2t(1, 1, 1) +

+1

3(2x1 − x2 − x3,−x1 + 2x2 − x3,−x1 − x2 + 2x3)e

−t

Observaciones:

1. Toda matriz A ∈ Rn×n determina una E.D.O. lineal x′ =Ax y recıprocamente. Luego podemos decir indistinta-mente que ϕA es el flujo “asociado a la matriz A” o “es elflujo asociado a la E.D.O. x′ = Ax”.

2. Si A ∈ Rn×n, entonces su flujo asociado ϕA es una funcionque depende de n+1 variables: una variable temporal t yn variables espaciales x = (x1, . . . , xn).

3. A cada matriz A ∈ Rn×n (o equivalentemente, a cadaE.D.O. x′ = Ax), le estamos asociando un flujo ϕA, el

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58 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

cual es una funcion definida en R×Rn con valores en Rn.¿Que podemos decir con relacion a la recıproca? es decir¿toda funcion F : R×Rn → Rn es un flujo? si no lo fuera¿bajo que condiciones una funcion F : R × Rn → Rn esel flujo asociado a una matriz? Intentaremos responderestas interrogantes, demostrando algunas propiedades delos flujos.

Proposicion 3.1.1 Si A ∈ Rn×n, entonces su flujo asociado

ϕA : R× Rn → Rn

satisface las siguientes propiedades:

i) ϕA(0, x) = x, ∀x ∈ Rn.

ii) ϕA(t+ s, x) = ϕA(t, ϕA(s, x)), ∀ t, s ∈ R, ∀x ∈ Rn.

Demostracion. Sabemos que ϕA(t, x) = etAx, luego

ϕA(0, x) = e0Ax = Ix = x.

lo cual prueba (i). Por otro lado

ϕA(t+ s, x) = e(t+s)Ax = etA+sAx = (etA · esA)x

= etA(esAx) = ϕA(t, esAx) = ϕA(t, ϕA(s, x)). �

Observaciones:

1. Sea ϕA : R × Rn → Rn el flujo asociado a la matrizA ∈ Rn×n. Fijando un t0 ∈ R podemos definir la funcion(ϕA)t0

: Rn → Rn, como

(ϕA)t0(x) = ϕA(t0, x) = et0Ax. (3.2)

Page 60: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 59

Resulta claro que (ϕA)t0∈ GL(Rn), mas aun

[(ϕA)t0

]−1=

(ϕA)−t0. Tenemos entonces que

{(ϕA)t}t∈R

es una familia en GL(Rn) indexada por el parametro t ∈R. Mas aun, de la Proposicion 3.1.1 se desprende que

(a) (ϕA)t1+t2= (ϕA)t1

◦ (ϕA)t2, para todo t1, t2 ∈ R.

(b) (ϕA)0 = I

luego la funcion ΞA : R → GL(Rn) definida por ΞA(t) =(ϕA)t es un monomorfismo del grupo aditivo de los realesen GL(Rn).

2. Conocida la posicion inicial de todas las partıculas, elisomorfismo lineal (ϕA)t0

se interpreta geometricamentecomo la posicion de las partıculas en el instante t0 quefluyen a lo largo de las soluciones de la E.D.O. x′ = Ax,tal como se muestra en la Figura 3.2.

3. Sea ϕA : R × Rn → Rn el flujo asociado a la matriz A ∈Rn×n. Si fijamos un x0 ∈ Rn podemos ahora definir lafuncion (ϕA)x0

: R→ Rn, como

(ϕA)x0(x) = ϕA(t, x0) = etAx0 (3.3)

Es decir, (ϕA)x0es la solucion de la E.D.O. x′ = Ax que

en el instante 0 pasa por el punto x0.

4. Existe la derivada parcial∂ϕA

∂ten todo punto de R× Rn.

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60 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

De las observaciones anteriores concluimos que si ϕA es elflujo asociado a la matriz A ∈ Rn×n entonces ϕA es una funcionque admite derivada parcial con respecto a t en todo R× Rn yque satisface las siguientes propiedades:

1. (ϕA)t ∈ GL(Rn), para todo t ∈ R.

2. (ϕA)t1+t2= (ϕA)t1

◦ (ϕA)t2, para todo t1, t2 ∈ R.

3. (ϕA)0 = I

Estas son las propiedades que caracterizan a los flujos aso-ciados a matrices cuadradas. Mas especıficamente, tenemos elsiguiente resultado:

Proposicion 3.1.2 Si la funcion F : R×Rn → Rn satisface lassiguientes propiedades:

i) Existe la derivada parcial∂F

∂ten R× Rn.

ii) Ft ∈ L(Rn), para todo t ∈ R.

iii) Ft1+t2= Ft1

◦ Ft2, para todo t1, t2 ∈ R.

iv) F0 = I.

Entonces existe una unica matriz A ∈ Rn×n tal que F es su flujoasociado.

Observaciones:

1. De las propiedades ii), iii) y iv) se deduce que Ft ∈ GL(Rn),∀ t ∈ R.

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 61

2. Existe una correspondencia biunıvoca entre las matricesA ∈ Rn×n, las E.D.O.’s lineales homogeneas con coefi-cientes constantes x′ = Ax y las funciones F : R×Rn → Rque satisfacen las 4 condiciones de la Proposicion 3.1.2. Deesta manera, ademas del algebra lineal, podemos valernosdel analisis en varias variables reales para obtener infor-macion cualitativa sobre el sistema x′ = Ax.

A continuacion veremos que las soluciones de la E.D.O. x′ =Ax generan una particion del espacio Rn.

Dado x ∈ Rn, la orbita o trayectoria del punto x a traves delflujo ϕA denotada por OA(x) se define como el conjunto

OA(x) = {ϕA(t, x); t ∈ R}

Proposicion 3.1.3 Sean A ∈ Rn×n y ϕA su flujo asociado. Secumplen las siguientes propiedades:

1. Dados x, y ∈ Rn entonces o bien se cumple que OA(x) ∩OA(y) = ∅ o bien OA(x) = OA(y).

2. x ∈ Nu(A) si y solo si OA(x) = {x}. En particularOA(0) = {0}.

El conjunto FA formado por todas las orbitas OA(x), (dondex ∈ Rn) es llamado foliacion por curvas de Rn generada por lamatriz A ∈ Rn×n (o por la E.D.O. lineal x′ = Ax).

Note que la foliacion FA es el conjunto formado por todas lassoluciones de la E.D.O. x′ = Ax la cuales pueden ser puntos ocurvas de Rn. Como una primera consecuencia de esto, tenemosque dos soluciones de una E.D.O. lineal o bien coinciden o bienson disjuntas. En las secciones siguientes, vamos a estudiar laspropiedades geometricas de los elementos de una foliacion.

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62 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

3.2 Conjugacion de Sistemas Lineales

El flujo ϕA (o equivalentemente, la foliacion FA) nos propor-ciona toda la informacion cualitativa necesaria sobre las solu-ciones de la E.D.O. x′ = Ax, por este motivo vamos a iniciar enesta seccion un estudio sistematico del mismo. Una manera deiniciar este estudio es clasificar los flujos de acuerdo a “ciertaspropiedades comunes” que nos interese investigar. Clasificar ob-jetos de acuerdo a “propiedades comunes” es una practica usualno solo en matematica sino tambien en otras disciplinas, porejemplo la taxonomıa es una rama de la ciencia que se encargaen clasificar a los seres vivientes, la especie es considerada launidad de clasificacion animal. Las especies relacionadas con-stituyen un genero. Los generos similares se combinan paraformar una familia, familias similares se agrupan para formarun orden, ordenes similares para formar una clase y clases simi-lares para formar un phylum. El phylum es la primera etapa declasificacion del reino animal, por ejemplo al phylum cordadospertenecen la clase de los peces, de los anfibios, de los reptiles,de las aves y de los mamıferos. La propiedad comun de todosellos es la presencia de una notocorda o ”columna vertebral”.Conforme vamos descendiendo en la clasificacion, tenemos mas“propiedades comunes” entre los individuos hasta llegar a laespecie.

Imitando al taxonomo, vamos a clasificar los flujos (o equiva-lentemente las matrices cuadradas) de acuerdo a ciertas propiedadesgeometricas comunes, pero ¿cuales son estas “propiedades co-munes” que tantas veces hemos mencionado? veamos: en primerlugar sabemos que los elementos de una foliacion FA son curvaslas cuales resuelven la E.D.O. x′ = Ax, si queremos clasificarfoliaciones, entonces debemos caracterizar las propiedades es-enciales de las curvas que la componen. Desde este punto de

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 63

vista, podrıamos ensayar el siguiente criterio de clasificacion:“Decimos que las foliaciones FA y FB estan relacionadas si ysolo si existe un homeomorfismo h : Rn → Rn tal que h llevaorbitas de FA en orbitas de FB” dicho de otra manera “las solu-ciones de la E.D.O. x′ = Ax son homeomorfas a las solucionesde la E.D.O. x′ = Bx”. Recordemos que h : Rn → Rn es unhomeomorfismo si y solo si h es biyectiva, continua y su inversatambien es continua. Los homeomorfismos preservan todas laspropiedades topologicas de las curvas (por ejemplo compacidad,conexidad, etc.), sin embargo, si estamos interesados en preser-var propiedades diferenciables de las curvas (tales como concavi-dad, puntos de inflexion, etc.) entonces un difeomorfismo es loadecuado. Recordemos que h : Rn → Rn es un difeomorfismode clase Cr (con 1 ≤ r ≤ ∞) si y solo si h es biyectiva, declase Cr y su inversa tambien es de clase Cr. Finalmente, siestamos interesados en las propiedades algebraicas de las curvasentonces debemos imponer que h sea un isomorfismo. Vamos aformalizar las ideas acabadas de dar, en la siguiente definicion.

Definicion 3.2.1 Sean A,B ∈ Rn×n y consideremos sus flu-jos asociados ϕA y ϕB. Decimos que las matrices A y B (osus respectivas E.D.O’s asociadas x′ = Ax y x′ = Bx) sontopologicamente conjugadas, lo que denotamos A ≡top B si ysolo si existe un homeomorfismo h : Rn → Rn llamado conju-gacion topologica tal que

h(ϕA(t, x)) = ϕB(t, h(x)), ∀ t ∈ R, ∀x ∈ Rn. (3.4)

En el caso que h sea un difeomorfismo de clase Cr (1 ≤ r ≤∞), entonces decimos que A y B son Cr conjugados y h esllamado conjugacion Cr. Por ultimo, si h es un isomorfismolineal, entonces A y B son linealmente conjugados y en este casoh es llamado conjugacion lineal. Usaremos la notacion A ≡Cr

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64 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

B, (respectivamente A ≡lin B), para decir que A y B son Cr

conjugados (respectivamente linealmente conjugados).

Observaciones:

1. Las conjugaciones topologicas respetan el parametro t ypor tanto la orientacion de las orbitas.

2. A y B son conjugadas si y solo si el siguiente diagrama esconmutativo:

ϕA

R × Rn −−−→ Rn

id ↓ ↓ h ↓ hR × Rn −−−→ Rn

ϕB

3. Si fijamos un x0 ∈ Rn, entonces la conjugacion h : Rn →Rn satisface la siguiente propiedad:

h[OA(x0)] = OB(h(x0)).

En efecto, sea y ∈ h[OA(x0)], entonces existe un x ∈OA(x0) tal que y = h(x). Como x ∈ OA(x0), tenemosque existe un t0 ∈ R tal que x = ϕA(t0, x0). Luego

y = h(x) = h(ϕA(t0, x0)) = ϕB(t0, h(x0))

es decir y ∈ OB(h(x0)). El otro contenido es analogo,basta intercambiar h por h−1. De esta manera, hemosdemostrado que las conjugaciones lleva orbitas en orbitas(ver Figura 3.3).

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 65

4. Por definicion de ϕA, (3.4) es equivalente a

h(etAx) = etBh(x), ∀ t ∈ R, ∀x ∈ Rn.

A continuacion, demostramos que las conjugaciones topologicas,Cr y lineales generan particiones en el espacio de matrices cuadradasde orden n.

Proposicion 3.2.1 “≡top”, “≡Cr” y “≡lin” son relaciones deequivalencia en Rn×n.

Demostracion. Probaremos que “≡lin” es una relacion deequivalencia en Rn×n, las otras dos quedan como ejercicio parael lector.

i) Reflexividad:

I(ϕA(t, x)) = ϕA(t, x) = ϕA(t, I(x)), ∀x ∈ Rn, ∀t ∈ R,

de donde A ≡lin A, ∀ A ∈ Rn×n.

ii) Conmutatividad: A ≡lin B, entonces existe L ∈ GL(Rn)tal que

L(ϕA(t, x)) = ϕB(t, L(x)), ∀ t ∈ R, ∀x ∈ Rn.

Luego para L−1 ∈ GL(Rn), se tiene

L−1(ϕB(t, y)) = ϕA(t, L−1(y)), ∀ t ∈ R, ∀ y ∈ Rn

de donde B ≡lin A.

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66 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

iii) Transitividad: Sean A ≡lin B y B ≡lin C, luego existenL1, L2 ∈ GL(Rn) tales que para todo t ∈ R y para todox, y ∈ Rn se tiene

L1(ϕA(t, x)) = ϕB(t, L1(x)) y L2(ϕB(t, y)) = ϕB(t, L2(y)).

De esta manera L2 ◦ L1 ∈ GL(Rn) y

L2 ◦ L1(ϕA(t, x)) = L2(ϕB(t, L1(x)) = ϕC(t, L2(L1(x)))

= ϕC(t, L2 ◦ L1(x)), ∀ t ∈ R, ∀ x ∈ Rn.

Ası A ≡lin C. �

Observaciones:

1. De la proposicion anterior, podemos construir los conjun-tos cocientes Rn×n/≡top , Rn×n/≡Cr y Rn×n/≡lin

. Sus el-ementos son clases de equivalencia de matrices. Si porejemplo [A] ∈ Rn×n/≡top , entonces B ∈ [A] si y solo si lasorbitas de B son homeomorfas (por un mismo homeomor-fismo) a las orbitas de A.

2. Denotando por Hom(Rn) (respectivamente Diffr(Rn)) alconjunto de todos los homeomorfismos (respectivamentedifeomorfismos de clase Cr) de Rn, del analisis en variasvariables reales se tiene la siguiente cadena de contenidosestrictos

GL(Rn) ⊂ Diff∞(Rn) ⊂ · · · ⊂ Diff1(Rn) ⊂ Hom(Rn)

Se sigue que la clasificacion “mas fina” es la lineal mientrasque la mas “gruesa” es la topologica.

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 67

3. Para estudiar las propiedades cualitativas de las solucionesde una E.D.O. homogenea con coeficientes constantes, bastaconsiderar cualquier representante de su clase y analizarlo.¿Como debemos elegir tal representante?. Una maneranatural de hacerlo es eligiendo aquella matriz de la clasede equivalencia cuya exponencial sea facil de ser calculada,pero ¿cada clase de equivalencia (ya sea topologica, Cr olineal) admitira tal representante? Responderemos a estainterrogante dentro de poco.

El siguiente resultado nos dice esencialmente que las matri-ces cuadradas de orden n solo admiten dos clasificaciones: latopologica y la lineal.

Proposicion 3.2.2 Sean A,B ∈ Rn×n, las siguientes afirma-ciones son equivalentes:

1. A ≡C1 B.

2. Existe P ∈ GL(Rn) tal que PA = BP .

3. A ≡lin B.

Observaciones:

1. De la demostracion de la proposicion anterior, se desprendeque toda h ∈ Diff1(Rn) conjugacion C1 entre A y B induceuna conjugacion lineal entre A y B la cual viene dada porh′(0) ∈ GL(Rn).

2. En algebra lineal se dice que dos matrices A,B ∈ Rn×n

son similares si y solamente si existe P ∈ GL(Rn) tal quePA = BP . La equivalencia 2. ⇔ 3. de la Proposicionanterior nos dice que A ≡lin B si y solo si A y B sonsimilares.

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68 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

3. Por el Teorema 2.5.1, sabemos que toda matriz A ∈ Rn×n

es similar a su forma canonica de Jordan JA ∈ Rn×n.Luego cada clase de equivalencia lineal admite un repre-sentante “simple” en el sentido que su exponencial (y porlo tanto su regla de correspondencia) queda explıcitamentedeterminada. Esto responde la interrogante planteadaantes de enunciar la Proposicion 3.2.2.

3.3 Sistemas Lineales Bidimensionales

Con el objetivo de fijar ideas y motivar futuras generalizaciones,en esta seccion vamos a estudiar el flujo generado por las ma-trices cuadradas de orden 2. Sea A ∈ R2×2, de acuerdo a laProposicion 3.2.2, para entender el comportamiento cualitativode las soluciones de la E.D.O. x′ = Ax, basta estudiar su FormaCanonica de Jordan JA. Ahora bien, si denotamos por λ1 yλ2 a los autovalores de A, entonces se presentan las siguientesposibilidades:

1) λ1, λ2 ∈ R, con λ1 6= λ2.

2) λ1 = λ2 = λ.

3) λ1 = a+ ib, λ2 = a− ib.

Vamos a analizar cada una de ellas.

1) Si las raıces son reales y distintas, la forma canonica es

dada por JA =

[λ1 00 λ2

], luego el flujo asociado a JA en

cualquier punto p0 = (x0, y0) ∈ R2 viene dado por

ϕJA(t, p0) =

(eλ1tx0, e

λ2ty0

), ∀ t ∈ R.

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 69

Es claro que OJA((0, 0)) = {(0, 0)}. Ademas, para puntos

ubicados sobre los ejes coordenados (cuando λ1 6= 0 yλ2 6= 0) tenemos:

OJA((x0, 0)) =

]0,+∞[×{0} si x0 > 0

]−∞, 0[×{0} si x0 < 0

OJA((0, y0)) =

{0}× ]0,+∞[ si y0 > 0

{0}× ]−∞, 0[ si y0 < 0

Para determinar el comportamiento geometrico de las demasorbitas, observamos que si hacemos∣∣∣∣ x = eλ1tx0

y = eλ2ty0t ∈ R, x0 6= 0, y0 6= 0

tenemos

y = y0

∣∣∣∣ xx0

∣∣∣∣λ2/λ1

o x = x0

∣∣∣∣ yy0

∣∣∣∣λ1/λ2

segun λ1 6= 0 o λ2 6= 0 respectivamente.

De esta manera las orbitas estan contenidas en curvas delplano del tipo:

f(x) = C|x|α

cuya traza depende del signo de C y del valor de α.

Como el comportamiento geometrico de las orbitas de-pende de los signos de los autovalores λ1 y λ2, se presentanlos siguientes casos:

Page 71: Edo r.benazic

70 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

a) Si λ1 < λ2 < 0, entonces limt→+∞

ϕJA(t, p0) = (0, 0),

para todo p0 ∈ R2 − {(0, 0)}.Por otro lado

limt→−∞

ϕJA(t, p0) =

(+∞,+∞), si x0 > 0, y0 > 0(−∞,+∞), si x0 < 0, y0 > 0(−∞,−∞), si x0 < 0, y0 < 0(+∞,−∞), si x0 > 0, y0 < 0

De esta manera, todas las trayectorias vienen del in-finito y tienden al origen cuando t→ +∞ a excepciondel origen que permanece fijo, tal como se muestraen la Figura. En este caso decimos que 0 ∈ R2 es unatractor o pozo.

b) Si λ1 < λ2 = 0 se tiene que Nu(JA) = {(0, y); y ∈ R}luego OJA

(0, y0) = {(0, y0)}. Para determinar lasotras orbitas, consideremos x0 6= 0. Como ϕJA

(t, p0) =(eλ1tx0, y0

), se tiene

limt→+∞

ϕJA(t, p0) = (0, y0)

limt→−∞

ϕJA(t, p0) =

{(+∞, y0), si x0 > 0(−∞, y0), si x0 < 0

Concluimos que las orbitas estan contenidas en rectashorizontales que se acercan al eje vertical y orientadasde acuerdo a la Figura 3.6-(b).

c) Si λ1 < 0 < λ2 tenemos

limt→+∞

ϕJA(t, p0) =

{(0,+∞), si y0 > 0(0,−∞), si y0 < 0

limt→−∞

ϕJA(t, p0) =

{(+∞, 0), si x0 > 0(−∞, 0), si x0 < 0

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 71

De esta manera las orbitas son curvas que tienenun comportamiento geometrico muy parecido a lashiperbolas y estan orientadas de acuerdo a la Figura. Decimos que el origen es un punto silla.

d) Si 0 = λ1 < λ2 se tiene que Nu(JA) = {(x, 0); x ∈ R}luego OJA

(x0, 0) = {(x0, 0)}. Para determinar lasotras orbitas, consideremos y0 6= 0. Como ϕJA

(t, p0) =(x0, e

λ2ty0

), se tiene

limt→−∞

ϕJA(t, p0) = (x0, 0)

limt→+∞

ϕJA(t, p0) =

{(x0,+∞), si y0 > 0(x0,−∞), si y0 < 0

Concluimos que las orbitas estan contenidas en rectasverticales que se alejan del eje horizontal y orientadasde acuerdo a la Figura.

e) Si 0 < λ1 < λ2 tenemos

limt→−∞

ϕJA(t, p0) = (0, 0)

limt→+∞

ϕJA(t, p0) =

(+∞,+∞), si x0 > 0, y0 > 0(−∞,+∞), si x0 < 0, y0 > 0(−∞,−∞), si x0 < 0, y0 < 0(+∞,−∞), si x0 > 0, y0 < 0

De esta manera, todas las trayectorias emanan delorigen y tienden al infinito, a excepcion del origenque permanece fijo. En este caso decimos que 0 ∈ R2

es un repulsor o fuente.

2) Si las raıces son reales e iguales, entonces la Forma Canonicade Jordan viene dada por

JA =

[λ 00 λ

]o JA =

[λ 10 λ

]

Page 73: Edo r.benazic

72 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

Analicemos cada caso.

a) Si JA =

[λ 00 λ

]y λ < 0, entonces el flujo en el

punto p0 = (x0, y0) es ϕJA(t, p0) =

(eλtx0, e

λty0

)=

eλtp0, se sigue que OJA((0, 0)) = {(0, 0)} y todas las

demas orbitas son rectas, ademas

limt→+∞

ϕJA(t, p0) = (0, 0) y lim

t→−∞|ϕJA

(t, p0)| = +∞.

Luego se tiene el comportamiento geometrico de laFigura.

b) Si JA =

[λ 00 λ

]y λ > 0, entonces como en el caso

anterior ϕJA(t, p0) = eλtp0, pero ahora

limt→+∞

|ϕJA(t, p0)| = +∞ y lim

t→−∞ϕJA

(t, p0) = (0, 0).

c) Si JA =

[λ 10 λ

]y λ < 0 entonces el flujo viene

dado por ϕJA(t, p0) = eλt(x0 + ty0, y0). Se observa

que OJA((0, 0)) = {(0, 0)},

OJA((x0, 0)) =

]0,+∞[×{0} si x0 > 0

]−∞, 0[×{0} si x0 < 0

todas las demas orbitas se encuentran en la curva quees grafica de la funcion

x = x0y +1

λy ln

∣∣∣∣ yy0

∣∣∣∣

Page 74: Edo r.benazic

Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 73

y se tiene

limt→+∞

ϕJA(t, p0) = (0, 0) y lim

t→−∞|ϕJA

(t, p0)| = +∞.

Este comportamiento geometrico se bosqueja en laFigura.

d) Si JA =

[λ 10 λ

]y λ > 0 entonces el flujo es el

mismo que en el caso anterior, pero ahora se tiene

limt→−∞

ϕJA(t, p0) = (0, 0) y lim

t→+∞|ϕJA

(t, p0)| = +∞.

e) En el caso que λ = 0 tenemos que JA =

[0 10 0

].

Observe que Nu(JA) = {(x, 0); x ∈ R}, luegoOJA(x0, 0) =

{(x0, 0)}. Para determinar las otras orbitas, consid-eremos y0 6= 0. Como ϕJA

(t, p0) = (x0 + ty0, y0), setiene

limt→+∞

ϕJA(t, p0) =

{(+∞, y0), si y0 > 0(−∞, y0), si y0 < 0

limt→−∞

ϕJA(t, p0) =

{(−∞, y0), si y0 > 0(+∞, y0), si y0 < 0

Concluimos que las orbitas son rectas horizontales(excepto el eje X) orientadas de acuerdo a la Figura.

3) Si las raıces son complejas conjugadas λ = a + ib, λ =a − ib, entonces su forma canonica de Jordan viene dadapor no existe autoespacio en el plano real y el flujo viene

dado por JA =

[a −bb a

], no existe autoespacio en el

plano real y el flujo viene dado por

ϕJA(t, p0) = eat(x0 cos bt− y0 sen bt, x0 sen bt+ y0 cos bt).

Page 75: Edo r.benazic

74 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

Se presentan los siguientes casos:

a) Si a = 0 (raıces imaginarias puras) entonces la orbitaOJA

(p0) es una circunferencia de radio |p0|2 = (x0)2+

(y0)2, orientada de acuerdo al signo de b. En este caso

decimos que el origen es un centro.

b) Si a < 0 entonces las orbitas son espirales que tiendenal origen cuando t→ +∞.

c) a > 0 entonces las orbitas son espirales que emanandel origen.

Observaciones:

1. El lector debe haber notado que el comportamiento de lasorbitas no es tan simple cuando la matriz A no es inversible(vea los casos 1b, 1d y 2e).

2. Al igual que en el caso 1a, en los casos 2a, 2c y 3b el origenes la unica orbita puntual la cual puede ser vista como unatractor. Analogamente, en los casos 2b, 2d y 3b el origenpuede ser visto como un repulsor.

3. El comportamiento de centro solo ocurre en el caso 3a.

3.4 Atractores y Repulsores de Sis-

temas Lineales

En la seccion anterior hemos observado algunos comportamien-tos geometricos comunes para las orbitas asociadas a matrices2×2 (repulsor, atractor). En esta seccion vamos a caracterizar-los y generalizarlos a dimension cualquiera.

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 75

Decimos que un punto p es un atractor (resp. repulsor) deuna matriz A si y solo si cualquier partıcula que se desplaza a lolargo de las orbitas de A despues de un tiempo suficientementegrande se encuentra muy cerca (resp. muy lejos) del punto p.Mas especıficamente, tenemos la siguiente definicion.

Definicion 3.4.1 Sea A ∈ Rn×n, y consideremos su flujo aso-ciado ϕA.

i) Decimos que 0 ∈ Rn es un atractor (o pozo) de A si y solosi

limt→+∞

ϕA(t, x) = 0, ∀x ∈ Rn.

ii) Decimos que 0 ∈ Rn es un repulsor (o fuente) de A si ysolo si

limt→+∞

|ϕA(t, x)| = +∞, ∀x ∈ Rn − {0}.

Observacion: De la definicion se sigue directamente que 0 ∈Rn es un atractor de A ∈ Rn×n si y solo si 0 es un repulsor de−A.

Teorema 3.4.1 Dada la matriz A ∈ Rn×n, las siguientes afir-maciones son equivalentes:

i) A ≡top −I.

ii) 0 ∈ Rn es un atractor de A.

iii) Todos los autovalores de A tienen parte real negativa.

iv) Existen constantes µ > 0 y K ≥ 1 tales que |ϕA(t, x)| ≤Ke−µt|x|, ∀x ∈ Rn, ∀ t ≥ 0.

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76 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

Teorema 3.4.2 Sea A ∈ Rn×n. Las siguientes afirmaciones sonequivalentes:

i) A ≡top I.

ii) 0 ∈ Rn es un repulsor de A.

iii) Todos los autovalores de A tienen parte real positiva.

iv) Existen constantes µ > 0 y K ≥ 1 tales que

|ϕA(t, x)| ≥ K−1eµt|x|, ∀ t ≥ 0, ∀x ∈ Rn.

3.5 Sistemas Lineales Hiperbolicos

Nos proponemos generalizar los resultados de la seccion anterioren una teorıa que englobe los casos 1a, 1c, 1e, 2a, 2b, 2c, 2d, 3by 3c de la Seccion 3.3.

Definicion 3.5.1 Sea A ∈ Rn×n

i) Decimos que la matriz A (o su sistema asociado x′ = Ax)es hiperbolico si y solo si todos los autovalores de A tienenparte real distinta de cero.

ii) Si A es una matriz hiperbolica, El ındice de estabilidad deA, denotado por i(A) es el numero de autovalores de A(contando multiplicidad) con parte real negativa.

Ejemplo 3.5.1 Sea A ∈ Rn×n, se cumple

1. 0 ∈ Rn es un atractor de A si y solo si i(A) = n.

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 77

2. 0 ∈ Rn es un repulsor de A si y solo si i(A) = 0.

Ejemplo 3.5.2 Sea A =

0 1 11 0 11 1 0

∈ R3×3. Sabemos que

los autovalores de A son λ1 = 2 y λ2 = −1 (con multiplicidad2), luego A es una matriz hiperbolica y i(A) = −2.

De ahora en adelante, denotaremos por Hip(Rn) al conjuntode todas las matrices A ∈ Rn×n que son hiperbolicas.

Observacion: Hip(Rn) ⊆ GL(Rn).

Definicion 3.5.2 Sea A ∈ Hip(Rn)

i) El subespacio estable de A, denotado por Es(A), es el sube-spacio vectorial de Rn que es generado por los autovectorescorrespondientes a los autovalores con parte real negativa.

ii) El subespacio inestable de A, denotado por Eu(A), es elsubespacio vectorial de Rn que es generado por los au-tovectores correspondientes a los autovalores con partereal positiva.

Ejemplo 3.5.3 Sea A ∈ Rn×n, se cumple

1. Si 0 ∈ Rn es un atractor de A entonces Es(A) = Rn yEu(A) = {0}.

2. Si 0 ∈ Rn es un repulsor de A, entonces Eu(A) = Rn yEs(A) = {0}.

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78 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

Ejemplo 3.5.4 Si A =

0 1 11 0 11 1 0

∈ R3×3, entonces v1 =

(1, 1, 1) es un autovector asociado al autovalor λ1 = 2 y quev2 = (1, 0,−1), v3 = (0, 1,−1) son autovectores asociados alautovalor λ2 = −1, luego

Es(A) = 〈(1, 0,−1), (0, 1,−1)〉= {(x1, x2, x3) ∈ R3; x1 + x2 + x3 = 0}

Eu(A) = 〈(1, 1, 1)〉 = {(α, α, α); α ∈ R}.

Las conjugaciones lineales respetan los espacios estables einestables. Mas especıficamente, tenemos el siguiente resultado.

Lema 3.5.1 Sean A,B ∈ Hip(Rn). Si h ∈ GL(Rn) es una con-jugacion lineal entre A y B entonces i(A) = i(B) y h[Es(A)] =Es(B) y h[Eu(A)] = Eu(B).

Teorema 3.5.1 Sean A,B ∈ Hip(Rn). Se cumple

A ≡top B ⇐⇒ i(A) = i(B).

Corolario. Sea A ∈ Hip(Rn) con i(A) = m. Entonces

A ≡top diag[Im,−In−m]

en donde Im e In−m son las matrices identidad de Rm×m yR(n−m)×(n−m) respectivamente.

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 79

3.6 Estabilidad Estructural de Cam-

pos Lineales

En la seccion anterior hemos clasificado topologicamente las ma-trices hiperbolicas de Rn×n. Debemos mencionar que no existea la fecha una clasificacion topologica de matrices que tenganalgun valor con parte real 0. Por esta razon es relevante pre-guntar “que tan grande” es el conjunto Rn×n−Hip(Rn). Eso esjustamente lo que haremos a continuacion.

En lo sucesivo, denotaremos por Dr(z0) ⊆ C (resp. Dr[z0] ⊆C) al disco abierto (resp. cerrado) centrado en z0 ∈ C y de radior > 0, es decir

Dr(z0) = {z ∈ C; |z−z0| < r} y Dr[z0] = {z ∈ C; |z−z0| ≤ r}

Asimismo, denotaremos por Σ(A) al conjunto de todos los au-tovalores de la matriz A ∈ Rn×n. Este conjunto es llamadoespectro de A.

Nuestro primer resultado establece que para que los autoval-ores de B ∈ Rn×n esten tan cercanos cuanto querramos de losautovalores de una matriz A, es suficiente tomar B cerca de A.

Lema 3.6.1 Sean A ∈ Rn×n. Dado ε > 0, existe un δ > 0 talque si B ∈ Rn×n y ‖B − A‖ < δ entonces

Σ(B) ⊆⋃

λ∈Σ(A)

Dε(λ)

Demostracion. En primer lugar, observe que si A ∈ Rn×n yλ ∈ Σ(A) entonces |λ| ≤ ‖A‖. Afirmo que si B ∈ Rn×n es tal

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80 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

que ‖B − A‖ < 1 entonces Σ(B) ⊆ D‖A‖+1[0] = D. En efecto,si tomamos µ ∈ Σ(B) entonces

|µ| ≤ ‖B‖ ≤ ‖B − A‖+ ‖A‖ < 1 + ‖A‖

y esto prueba la afirmacion.

Dado ε > 0, denotemos Vε =⋃

λ∈Σ(A)

Dε(λ). Observe que si

z ∈ D− Vε entonces det(A− zI) 6= 0. Esto nos induce a definirla funcion

Φ : C× Rn×n → C(z,M) 7→ Φ(z,M) = det(M − zI)

Si en C× Rn×n consideramos la norma del maximo

‖(z,M)‖ = max{|z|, ‖M‖}

entonces Φ es continua en su dominio. Como observamos anteri-ormente, si z ∈ D−Vε entonces Φ(z, A) 6= 0, por la continuidadde Φ existe δz > 0 tal que si |w − z| < δz y ‖M − A‖ < δzentonces det(M − wI) = Φ(w,M) 6= 0, es decir w /∈ Σ(M).

Por otro lado, es claro que

D − Vε ⊆⋃

z∈D−Vε

Dδz(z)

y como D−Vε es compacto, se tienen que existen z1, z2, . . . , zr ∈D − Vε tal que

D − Vε ⊆ Dδz1(z1) ∪ · · · ∪Dδzr

(zr)

Tomando δ = min{δz1 , . . . , δzr , 1}, dado B ∈ Rn×n tal que‖B − A‖ < δ, tenemos que si µ ∈ D − Vε entonces existej ∈ {1, 2, . . . , r} tal que µ ∈ Dδzj

(zj) y como ‖B − A‖ < δzjde

lo anterior tenemos que µ /∈ Σ(B), es decir D− Vε ⊆ D−Σ(B)y desde que Σ(B) ⊆ D, se tiene Σ(B) ⊆ Vε. �

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 81

Teorema 3.6.1 Hip(Rn) es un subconjunto abierto y denso deRn×n.

Demostracion. Probemos primeramente que Hip(Rn) es abiertoen Rn×n. SeaA ∈ Hip(Rn) y tomemos 0 < ε < min{|Re(λ)|; λ ∈Σ(A)}. Por el Lema 3.6.1, ∃ δ > 0 tal que si B ∈ Rn×n y‖B − A‖ < δ entonces

Σ(B) ⊆⋃

λ∈Σ(A)

D ε2(λ)

Si µ ∈ Σ(B) entonces existe un λ ∈ Σ(A) tal que |µ − λ| < ε

2.

Como

|Re(λ)| = |Re(λ− µ) +Re(µ)| ≤ |Re(µ− λ)|+ |Re(µ)|,

se tiene

|Re(µ)| ≥ |Re(λ)|− |Re(µ−λ)| ≥ |Re(λ)|− |µ−λ| > ε− ε

2=ε

2

De esta manera ningun autovalor de B tiene parte real distintade cero. Hemos probado que ∃ δ > 0 tal que si B ∈ Rn×n y‖B − A‖ < δ entonces B ∈ Hip(Rn).

Probemos ahora que Hip(Rn) es denso en Rn×n. Sean B ∈ Rn×n

y ε > 0. Debemos probar que existe A ∈ Hip(Rn) tal que‖B − A‖ < ε. Para ello, defino los conjuntos

Σ1 = {λ ∈ Σ(B); Re(λ) = 0} y Σ2 = {λ ∈ Σ(B); Re(λ) 6= 0}

Es claro que Σ(B) = Σ1 ∪ Σ2. Sea δ = min{|Re(λ)|; λ ∈ Σ2},consideremos 0 < r < min{ε, δ} y A = B + rI. Es claro que

λ ∈ Σ(B)⇔ λ+ r ∈ Σ(B + rI) = Σ(A)

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82 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

Si λ ∈ Σ(A) entonces λ− r ∈ Σ(B). Existen dos alternativas:

Si λ− r ∈ Σ1 entonces Re(λ− r) = 0, luego Re(λ) = r > 0.

Si λ− r ∈ Σ2 entonces Re(λ− r) 6= 0, luego |Re(λ− r)| ≥ δ. Sesigue que

|Re(λ)| = |Re(λ− r) + r| ≥ |Re(λ− r)| − r ≥ δ − r > 0

En cualquiera de los dos casos, tenemos que Re(λ) 6= 0. Luego‖B − A‖ = r < ε y A ∈ Hip(Rn). �

Del resultado anterior se desprende que el conjunto de lasmatrices que no son hiperbolicas forman un subconjunto “muyfino” de Rn×n puesto que su complemento (o sea Hip(Rn)) esabierto y denso en el espacio de las matrices cuadradas. Una ideageometrica de este comportamiento esta dada en la siguientefigura, en donde las lıneas representa Hip(Rn).

Definimos a continuacion el importante concepto de matrizestructuralmente estable.

Definicion 3.6.1 Decimos que la matriz A ∈ Rn×n es estruc-turalmente estable si y solo si existe δ > 0 tal que si B ∈ Rn×n

con ‖B − A‖ < δ entonces B ≡top A.

Observacion: Intuitivamente una matriz es estructuralmenteestable si al perturbarla un poco, la configuracion de sus orbitasno se altera, salvo homeomorfismos.

En lo que resta de la seccion, demostraremos que existe unaestrecha relacion entre hiperbolicidad y estabilidad estructural.

Sea A ∈ Rn×n y λ ∈ Σ(A). El numero entero positivo m =m(λ) denotara la multiplicidad algebraica del autovalor λ. DelTeorema de la Descomposicion Espectral se tiene que si λ ∈Σ(A) es tal que m(λ) = m entonces dim Nu((A− λI)m) = m.

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 83

No es difıcil probar que Nu((A − λI)k) = Nu((A − λI)m),∀ k ≥ m.

Lema 3.6.2 Sean A ∈ Rn×n y λ ∈ Σ(A) con m(λ) = m. Ex-isten constantes ε0 > 0 y δ0 > 0 tales que si B ∈ Rn×n y‖B − A‖ < δ0 entonces ∑

µ∈Σ(B)∩Dε0 (λ)

m(µ) ≤ m

Demostracion. Procediendo por contradiccion, supongamosque ∀ ε > 0 y ∀ δ > 0 existe Bδ ∈ Rn×n tal que ‖Bδ − A‖ < δ y∑

µ∈Σ(Bδ)∩Dε(λ)

m(µ) > m

Tomando ε = δ = 1/k (k ∈ N) tenemos que existe Bk ∈ Rn×n

tal que ‖Bk − A‖ <1

ky ∑

µ∈Σ(Bk)∩D 1k

(λ)

m(µ) > m

De esta manera, hemos construido una sucesion (Bk) ⊆ Rn×n

tal que limk→∞

Bk = A y µk,1, µk,2, . . . , µk,mk∈ Σ(Bk) ∩ D 1

k(λ)

(repetidos de acuerdo a su multiplicidad) y mk > m, ∀ k ∈ N.Sea m′ = min{mk; k ∈ N} > m. Para k ∈ N, denotemos

Ck = (Bk − µk,1I) · · · (Bk − µk,m′I)

Podemos suponer que dim Nu(Ck) = m′ y consideramos {ek,1, . . . , ek,m′}una base ortonormal de Nu(Ck). Desde que (ek,1), . . . , (ek,m′) ⊆Sn−1 y Sn−1 es compacto, entonces tomando subsucesiones si es

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84 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

necesario, podemos suponer que limk→∞

ek,j = ej, ∀ 1 ≤ j ≤ m′.

Sea N el subsepacio vectorial de Rn generado por e1, e2, . . . , em′ .Observe que

limk→∞

Ck = (A− λI)m′= C

Afirmo que N ⊆ Nu(C), en efecto desde que

|Cej| ≤ |Cej − Ckej|+ |Ckej − Ckek,j|+ |Ckek,j|≤ ‖C − Ck‖ · |ej|+ ‖Ck‖ · |ej − ek,j|

Tomando lımite cuando k → ∞ tenemos que Cej = 0, ∀ 1 ≤j ≤ m′, esto prueba la afirmacion.

Finalmente, concluimos que

m′ = dim N ≤ dim Nu(C) = dim ((A−λI)m′) = dim ((A−λI)m) = m

lo cual es una contradiccion. �

Teorema 3.6.2 Sean A ∈ Rn×n y Σ(A) = {λ1, . . . , λk} conm(λj) = mj. Dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que si B ∈ Rn×n

con ‖B − A‖ < δ entonces∑µ∈Σ(B)∩Dε(λj)

m(µ) = mj, ∀ 1 ≤ j ≤ k

Demostracion. Procediendo por contradiccion, supongamosque existe ε1 > 0 tal que para todo δ > 0 existe Bδ ∈ Rn×n con

‖Bδ−A‖ < δ y existe j0 ∈ {1, . . . , k} tal que∑

µ∈Σ(Bδ)∩Dε1 (λj0)

m(µ) 6=

mj0 (Hip. Aux.). Por el Lema 3.6.2, existen constantes ε0 > 0y δ0 > 0 tales que si B ∈ Rn×n y ‖B − A‖ < δ0 entonces∑

µ∈Σ(B)∩Dε0 (λj)

m(µ) ≤ mj, ∀ 1 ≤ j ≤ k

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Topicos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias 85

Tomando ε = min{ε0, ε1} tenemos∑

µ∈Σ(Bδ)∩Dε(λj0)

m(µ) < mj0 ,

ademas por el Lema 3.6.1 existe un δ > 0 tal que si B ∈ Rn×n

y ‖B −A‖ < δ entonces Σ(B) ⊆k⋃

j=1

Dε(λj) ⊆k⋃

j=1

Dε1(λj). Para

el Bδ ∈ Rn×n de la hipotesis auxiliar tenemos

n =∑

µ∈Σ(Bδ)

m(µ) =k∑

j=1

∑µ∈Σ(Bδ)∩Dε(λj)

m(µ)

< mj0 +

k∑j=1,j 6=j0

∑µ∈Σ(Bδ)∩Dε0 (λj)

m(µ)

≤ k∑j=1

mj = n

lo cual es una contradiccion. �

Corolario. Si A ∈ Hip(Rn) entonces existe δ > 0 tal que siB ∈ Rn×n con ‖B − A‖ < δ entonces i(B) = i(A).

Demostracion. Sean λ1, . . . , λk ∈ Σ(A) con m(λj) = mj, or-denados de tal manera que los r primeros tienen parte real neg-ativa. Tomando 0 < ε < min{|Re(λj)|; 1 ≤ j ≤ k}, observeque para esta eleccion del ε se tiene que si z ∈ Dε(λj) entoncesRe(z) < 0 para 1 ≤ j ≤ r y Re(z) > 0, ∀ r+1 < j ≤ k. Ademaspor el Teorema anterior, existe δ > 0 tal que si ‖B − A‖ < δentonces ∑

µ∈Σ(B)∩Dε(λj)

m(µ) = mj

Se sigue que i(B) = i(A). �

Teorema 3.6.3 A ∈ Hip(Rn) si y solo si A es estructuralmenteestable.

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86 Teorıa Cualitativa de las E.D.O.’s Lineales

Demostracion. (⇒) Se sigue del Corolario anterior y el Teo-rema 3.5.1.

(⇐) Sea A /∈ Hip(Rn), consideremos los conjuntos

Σ1 = {λ ∈ Σ(A); Re(λ) = 0} y Σ2 = {λ ∈ Σ(A); Re(λ) 6= 0}

y sea δ = min{|Re(λ)|; λ ∈ Σ2}. Si 0 < r < δ entonces lasmatrices A + rI y A − rI son hiperbolicas y de ındices distin-tos, por lo tanto no son conjugadas. Se sigue que en cualquiervecindad abierta de A podemos encontrar matrices que no sonconjugadas a A, es decir A no es estructuralmente estable. �