Funciones Edo

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FACULTAD DE INGENIER ´ IA CIVIL Y ARQUITECTURA ESCUELA PROFESIONAL ING. CIVIL Curso: Ecuaciones Diferenciales Tema:FUNCIONES Ciclo:II Docente: Juar ez Pulache, Jos´ e Carlos Alumnos: Pacheco Avila, Katiusca Reynoso Aguilar, Keico Soa Fern´andez Quizpe, Flor Evelin Espinoza LLactahuaman, Karina Monica Ayacucho - Per´u 2016

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y

ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL ING. CIVIL

Curso:

Ecuaciones Diferenciales

Tema:FUNCIONES

Ciclo:II

Docente:Juarez Pulache, Jose Carlos

Alumnos:Pacheco Avila, Katiusca

Reynoso Aguilar, Keico SofiaFernandez Quizpe, Flor Evelin

Espinoza LLactahuaman, Karina Monica

Ayacucho - Peru2016

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Indice

1. INTRODUCCION   2

2. HISTORIA   2

3. FUNCIONES   4

3.1. Definicion de funcion   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2. Definicion de imagen   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.3. Definicion de Dominio   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.4. Definicion de rango   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.5. Definicion   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4. TIPOS DE FUNCIONES   7

4.1. F. Inyectiva   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2. F. Sobreyectiva   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3. F. Biyectiva   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

5.   ALGEBRA DE FUNCIONES   8

6. FUNCIONES IMPORTANTES   9

6.1. Funcion polinomica   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

6.2. Funcion Lineal   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106.3. Funcion Cuadratica   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116.3.1. Funciones cuadraticas de una variable . . . . . . . . . . 12

7. BIBLIOGRAFIA   15

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FUNCIONES

1. INTRODUCCION

El concepto de  funci´ on  es uno de los conceptos mas fundamentales de lamatematica, en analisis matematico, el concepto general de funcion, aplica-cion o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primerconjunto un unico elemento de un segundo conjunto (correspondencia ma-tematica). Por ejemplo, cada numero entero posee un unico cuadrado, nafuncion es un objeto matematico que se utiliza para expresar la dependenciaentre dos magnitudes, y puede presentarse a traves de varios aspectos com-plementarios. Un ejemplo habitual de funcion numerica es la relacion entrela posicion y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

2. HISTORIA

El concepto de funcion como un objeto matematico independiente, sus-ceptible de ser estudiado por sı solo, no aparecio hasta los inicios del calculoen el siglo XVII.1 Rene Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz esta-blecieron la idea de funcion como dependencia entre dos cantidades varia-bles. Leibniz en particular acuno los terminos  funci´ on ,  variable ,  constante   yparametro. La notacion f (x) fue utilizada por primera vez por A.C. Clairaut,y por Leonhard Euler en su obra Commentarii de San petersburgo en 1736.

Inicialmente, una funcion se identificaba a efectos practicos con una expre-sion analıtica que permitıa calcular sus valores. Sin embargo, esta definiciontenıa algunas limitaciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismosvalores, y no todas las  dependencias  entre dos cantidades pueden expresarsede esta manera. En 1837 Dirichlet propuso la definici on moderna de funcionnumerica como una correspondencia cualquiera entre dos conjuntos de nume-ros, que asocia a cada numero en el primer conjunto un unico numero delsegundo.

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La intuicion sobre el concepto de funcion tambien evoluciono. Inicialmen-

te la dependencia entre dos cantidades se imaginaba como un proceso fısico,de modo que su expresion algebraica capturaba la ley fısica que correspondıaa este. La tendencia a una mayor abstraccion se vio reforzada a medida quese encontraron ejemplos de funciones sin expresion analıtica o representaciongeometrica sencillas, o sin relacion con ningun fenomeno natural; y por losejemplos  patol´ ogicos  como funciones continuas sin derivada en ningun punto.

Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind, Karl Weierstrass,Georg Cantor, partiendo de un estudio profundo de los numeros reales, desa-rrollaron la teorıa de funciones, siendo esta teorıa independiente del sistema

de numeracion empleado.Con el desarrollo de la teorıa de conjuntos, en lossiglos XIX y XX surgio la definicion actual de funcion, como una corres-pondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamentenumericos. Tambien se asocio con otros conceptos vinculados como el derelacion binaria. [1]

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3. FUNCIONES

3.1. Definicion de funcion

Sean  A  y  B  dos conjuntos no vacıos.  Una funcion   f   de  A en  B  es unaregla de correspondencia que a cada elemento de  A, le hace corresponder uny solo un elemento de  B.

3.2. Definicion de imagen

Sean   A   y   B  dos conjuntos no vacıos y   f   de   A   en   B   una funcion. Seaa ∈   A. El elemento que   f   le hace corresponder a   a  en   B, se llama imagende  ay se denota por  f (a) (  f (a) : se lee “efe de a”) y  a  recibe el nombre depreimagen de  f (a) .[2]

•  EjemploSea la regla de correspondencia de la siguiente forma:

Tal y como esta definida esta correspondencia  f  es funcion de  x  en  y.

Notacion:

Sean  A y  B  dos conjuntos no vacıos y  a ∈ A

Si  f  es una funcion de  A en  B  y  f (a) es la imagen de  a, esto se indica de lasiguiente forma

f   : A  →   B,

a →   f (a)

3.3. Definicion de Dominio

Sean  A y  B  dos conjuntos no vacıos yf   : A → B   funcion.Entonces:

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1.   A recibe el nombre de dominio de la funcion

2.   B  recibe el nombre de codominio de la funcion

3.4. Definicion de rango

Sean  Ay  B  conjuntos no vacıos yf   :  A → B   funcion.

a) Se llama rango 0 ambito de  f  al conjunto  Af , definido por la igualdad:

Af  ={  f (x) tal que  x ∈ A}

O sea  Af  es el conjunto de las imagenes.

b) Se llama grafico de  f  al conjunto  Gf , definido por la igualdad

Gf  ={  (x, f (x)) tal que  x ∈ A}

Una funcion se puede definir por medio de diagramas de Venn. Tambienpuede definirse dando su dominio, codominio y una regla que indica en queforma se asocia cada miembro del dominio, con uno del codominio. La reglaes a menudo (aunque no siempre) una frase numerica abierta.[2]

•  EjemploSea  A = {−2, -1,0,1,2 }, B = {−6,−5,−4,  -2,0,1,2,4,6 } y  f   : A → B,

f (x) = 2x Determine

a) El rango de  f.

b) El grafico de  f.

c) Represente el grafico de  f  en un sistema de coordenadas rectangulares

Solucion

a) Para determinar  Af , construyamos la siguiente tabla de valores conside-rando que  f (x) = 2x

f (−2) = 2 (−2) = −4f (−1) = 2 (−1) = −2f (0) = 2(0) = 0f (1) = 2(1) = 2f (2) = 2(2) = 4

x   2x

−2   −4−1   −20 01 22 4

Por lo que  Af  = {−4, −2, 0, 2, 4}

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b) Por definicion  Gf  =

 {(x,   2x) tal que  x

 ∈ A

} por lo que:

Gf  = {(−2, −4),   (−1, −2),   (0, 0),   (1, 2),   (2, 4)}

c) Representacion de  Gf 

Nota:  Generalmente en vez de escribir “Represente el grafico de   f   en unsistema de coordenadas rectangulares”

3.5. Definicion

Sean  A  y  B  dos conjuntos no vacıos y  f   :  A → B , funcion. Sea  α ∈ A, sedice que  α  es un cero de  f , si se cumple que:  f (α) = 0

•  Ejemplo

Sea  f   :  R → R, f (x) = 2x − 1

a) Determine los ceros de  f.

b) Realice el trazo de  f.

Solucion

a) Ceros de  f :f (x) = 0  ⇔   2x − 1 = 0

2x   = 1

x   =  1

2

Por lo que

  1

2  es un cero de  f.

b) Trazo de  f :Observe que en este caso el dominio de   f   es  R, ası es que   x  se le pue-

de asignar cualquier numero real, pero para construir la tabla de valoresescogemos valores para  x(( apropiados

x   −2  −3

2  −1 0

  1

2  1 2   • • •

2x − 1   −5   −4   −3   −1 0 1 3   • • •

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Grafica en matlab

Observe que en el grafico anterior se obtiene:

1. La interseccion entre la grafica de  f  y el eje  X   es (1

2, 0)

2. La interseccion entre la grafica de  f  y el eje  Y   es (0, −1)

En general:Sean  A y  B  dos conjuntos no vacıos y  f   : A → B   funcion.

a) Interseccion entre la grafica de y el eje  X 

Sea   α ∈   A  tal que   f (α) = 0, es decir   α   es un cero de   f , entonces lagrafica de  f   interseca el eje  X  en el punto (α,   0)

b) Interseccion entre la grafica de  f  y el eje  Y 

Sea  β  ∈ B  tal que  f (O) = β , es decir  β  es la imagen de cero, entoncesla grafica de  f   interseca el eje  Y  en el punto (0, β )

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4. TIPOS DE FUNCIONES

Sean  A y  B  conjuntos no vacıos y  f   : A → B , funcion

4.1. F. Inyectiva

f   se dice que es inyectiva: si todo elemento en  B   (codominio) tiene a lomas una preimagen en  A (do- minio).

Es decir: Si  f (a) = f (b) entonces  a =  b

4.2. F. Sobreyectiva

f   se dice que es sobreyectiva: si todo elemento en B (codominio) tienealguna preimagen en A (dominio).

4.3. F. Biyectiva

f  se dice que es biyectiva: si es inyectiva y sobreyectiva.

5.   ALGEBRA DE FUNCIONES

Sean  f   y   g   funciones cuyos dominios son  Df   y  Dg   respectivamente; en-tonces definimos las funciones f  + g, f −g, f · g,

 f 

g  llamadas suma, diferencia,

producto y cociente, respectivamente, de la manera siguiente:

1. (f  + g)(x) = f (x) + g(x) ; para cada  x ∈ Df  ∩ Dg

2. (f  − g)(x) = f (x) − g(x) ; para cada  x ∈ Df  ∩ Dg

3. (f  · g)(x) = f (x) · g(x) ; para cada  x ∈ Df  ∩ Dg

4. (

g )(x) =

  f (x)

g(x) ; con  g(x) = 0yx ∈ Df  ∩ Dg

Notemos que el dominio de las funciones  f  + g, f  − g, f  · g, f 

g es el mismo, a

saber  Df  ∩ Dg   [2]

Nota: Cuando no se especifique el dominio de una funcion se entendera queeste es el maximo dominio real de la funcion.

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Ejemplo 1

Si  f   y  g  son funciones definidas respectivamente por :  f (x) = x − 1,g(x) = x + 2, entonces

1. (f  + g)(3) = f (3) + g(3) = 2 + 5 = 7

2. (f  − g)(3) = f (3) − g(3) = 2 − 5 = −3

3. (f  · g)(3) = f (3) · g(3) = 2 · 5 = 10

4. (f 

g) (3) =

  f (3)

f (3) =

 2

5

Observemos que (f  + g)(−3), (f  − g)(−3), (f  · g)(−3), (f 

g)(−3) no estan

definidas pues −3 ∈ Df  ∩ Dg

6. FUNCIONES IMPORTANTES

6.1. Funcion polinomica

Una funcion polinomica es una funcion asociada a un polinomio con coe-

ficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una funcion:

f   : x → P (x)

donde  P (x) es un polinomio definido para todo numero real  x; es decir, unasuma finita de potencias de   x, multiplicados por coeficientes reales, de laforma:1

P (x) =

n

i=0

aixi

= a0 + a1x + a2x2

+ ... + anxn

[3]Ejemplo:

P (x) = x3 + x2

Grafica en Matlab

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6.2. Funcion Lineal

Una funcion lineal es una funcion polinomica de primer grado; es decir,una funcion cuya representacion en el plano cartesiano es una lınea recta.Esta funcion se puede escribir como:

f (x) = mx + b

donde  m  y  b  son constantes reales y  x  es una variable real. La constante  m

es la pendiente de la recta, y  b  es el punto de corte de la recta con el eje  y . Sise modifica m entonces se modifica la inclinacion de la recta, y si se modificab, entonces la lınea se desplazara hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman funcion lineal a aquella con  b = 0 de la forma:

f (x) = mx

mientras que llaman funcion afın a la que tiene la forma:

f (x) = mx + b

cuando   b   es distinto de cero, dado que la primera (b   = 0) es un ejemplotambien de transformacion lineal, en el contexto de algebra lineal.[4]

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Ejemploy = 2x + 1

Grafica en Matlab

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6.3. Funcion Cuadratica

Una funcion cuadratica de una variable es una funcion polinomica definidapor:

y  =  ax2 + bx + c

con   a = 0 Tambien se da el caso que se le llame Trinomio cuadratico .Tambien se denomina funcion cuadratica a funciones definidas por polinomioscuadraticos de mas de una variable, como por ejemplo:

f (x, y) = Ax2 + Bxy  + Cy2 + Dx + Ey  + F 

En este caso el conjunto de puntos que resultan al igualar el polinomio acero representan lugares geometricos que siempre es posible reducir a una delas formas:

x

a

2

±y

b

2

= c2,x

a

2

±  y

b  = c

Que corresponden a tres tipos de secciones conicas (elipse, hiperbola yparabola).

6.3.1. Funciones cuadraticas de una variable

Las graficas de estas funciones corresponden a parabolas verticales (ejede simetrıa paralelo al eje de las ordenadas), con la particularidad de quecuando  a >  0, el vertice de la parabola se encuentra en la parte inferior dela misma, siendo un mınimo (es decir, la parabola se abre ”hacia arriba”), ycuando  a < 0 el vertice se encuentra en la parte superior, siendo un maximo(es decir, la parabola se abre ”hacia abajo”).

El estudio de las funciones cuadraticas tiene numerosas aplicaciones encampos muy diversos, como por ejemplo la caıda libre o el tiro parabolico.

La funcion derivada de una funcion cuadratica es una funcion lineal y suintegral indefinida es una familia de funciones cubicas.

RaıcesLas raıces (o ceros) de una funcion cuadratica, como en toda funcion, son

los valores de  x, para los cuales a

x2 + bx + c = 0

Son denotadas habitualmente como:  x1  y  x2, dependiendo del valor del dis-criminante ∆ definido como

∆ = b2 − 4ac

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Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo, ∆ >  0 :

x1 = −b +

√ ∆

2a

x2 = −b −√ 

2a

Corta la parabola al eje  X  en dos puntos diferentes. Una solucion real(osolucion doble) si el discriminante es cero, ∆ = 0 :

x1 = x2 =

 −

  b

2aLa parabola es tangente al eje   X . La parabola no corta al eje   X . El unicocaso restante es que el discriminante sea negativo, ∆   <  0. En tal caso, lasraıces no son reales, sino que son dos numeros complejos conjugados:

x1 = −b

2a  + i

√ −∆

2a

x2 = −b

2a − i

√ −∆

2a

[5]

Ejemplo

Dada la funcion:y  = 3x2 − x − 23

Observaci´ on:  Es indiferente notar  y  o notar  f (x). Ambas expresiones hacenreferencia a la imagen de  x obtenida a traves de la funcion trabajada.

Calculamos su derivada primera:

dy

dx  3x

2

− x − 23 = 6x − 1Esta derivada valdra cero:

dy

dx = 0

cuando: 6x − 1 = 0, esto es:

6x = 1 x =1

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Esta funcion presenta un extremo relativo para   x   =   1

6  , veamos si es un

maximo o un mınimo, calculando la derivada segunda:

d2y

dx2  3x2 − x − 23 =

  dy

dx 6x − 1 = 6

Que es 6, dado que 6 es un valor positivo, la funcion es concava, y el extremo

relativo que presente para:  x =1

6 , es un mınimo.

Observando el signo de la constante   a   podemos saber de antemano siestamos ante un mınimo o un maximo. Entonces para  a <  0 tendremos unmaximo y para  a > 0 un mınimo.

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7. BIBLIOGRAFIA

Referencias

[1]   https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

[2]   https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/MATEGENERAL/t6-funciones/pdf/Funciones.pdf

[3]   http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html

[4]   https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal

[5]   https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica

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