presentacion dirac majorana

Mecanica Cuantica y RelatividadCampos Espinoreales

Weyl, Majorana y DiracReferencias

Fermiones de Dirac y Majorana

Juan Cajales Bello

Departamento de FisicaUniversidad Tecnica Federico Santa Maria

11 de mayo de 2015

Juan Cajales Bello Fermiones de Dirac y Majorana



Contenido

1 Mecanica Cuantica y RelatividadEcuaciones Schrodinger y Klein-GordanEcuacion de Dirac

2 Campos Espinoreales¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?

3 Weyl, Majorana y DiracFermiones de WeylFermiones de MajoranaFermiones de Dirac

4 Referencias




Ecuaciones Schrodinger y Klein-GordanEcuacion de Dirac

Ecuaciones de Schrodinger y Klein-Gordan

Podemos encontrar muchos axiomas relativos a la mecanica cuantica,nosotros nos centraremos en uno que dice que ”La evolucion temporal delestado de un sistema es gobernado por la ecuacion de Schrodinger”. Uncamino para derivar la ecuacion de Schrodinger es comenzar con la relacionclasica de energia y momentum:

E =p2

2m

Aplicando el principio de correspondecia p→ −i~5, E → i~ ∂∂t

obtenemos:

i~ ∂∂t|Ψ〉 = − ~2

2m∇2 |Ψ〉





Ecuaciones de Schrodinger y Klein-Gordan

La ecuacion de Klein-Gordon puede ser obtenida a traves del mismocamino, pero trabajando esta vez con la relacion relativista de energia ymomentum: E2 − p2c2 = m2c4 o escrita de mejor manera como:

pµpµ −m2c2 = 0 (1)

Aplicando pµ → i~∂µ(∂µ ≡ ∂

∂xµ

)reemplazando esto en la ecuacion (1) y

dejandola actuar sobre la funcion de onda ψ obtendremos:

−~2∂µ∂µψ −m2c2ψ = 0





La estrategia de Dirac

Dirac se puso a buscar una ecuacion que fuera compatible con la relacionrelativista de energia y momentun y ademas de primer orden en el tiempopara esto penso en la factorizacion de dicha relacion, de lo cual obtuvo:

pµpµ −m2c2 = (βκpκ +mc)(γλpλ −mc

)(2)

donde los βκ y γλ son coeficientes que aun debemos determinar.Multiplicando explicitamente el lado derecho de (2) obtenemos:

βκγλpκpλ −mc (βκ − γκ) pκ −m2c2 (3)

no necesitamos terminos lineales en p por lo cual escojemos βκ = γκ,debemos determinar entonces coefficientes γ que cumplan con la condicion

pµpµ = γκγλpκpλ (4)





Matrices de Dirac

Es aqui donde Dirac tiene su brillante idea, los γ‘s deberian ser entoncesmatrices! ya que las matrices no conmutan podemos encontrar γ‘s tales que:(

γ0)2 = 1 ∧(γ0)2 =

(γ0)2 =

(γ0)2 = −1 (5)

y que cumplan ademas con:

(γµγν + γνγµ) = 0 ⇒ µ 6= ν (6)

o mas estrictamente:γµ, γν = 2ηµν1 (7)





Ecuacion de Dirac

Las matrices mas pequenas que pueden cumplir estas propiedades son de4x4 y entonces las relacion de energia momentum nos queda de la forma:

pµpµ −m2c2 = (βκpκ +mc)(γλpλ −mc

)= 0 (8)

Escogemos una de los terminos,sin importar cual ya que ambos por si solosson solucion de la ecuacion de Klein-Gordan:

γµpµ −mc = 0 (9)

Si ademas utilizamos la interpretacion cuantica del momentum pµ → i~∂µencontramos la Ecuacion de Dirac!:

i~γµ∂µψ −mcψ = 0 (10)




¿como transforma un campo?Lagrangiano de DiracSoluciones de la ecuacion de Dirac¿Left o Right?

Campo Espinoreal

Ya que los γ′s son matrices de 4x4 entonces nuestros ψ deberan sercolumnas de 4 elementos:

ψ =

ψ1

ψ2

ψ3

ψ4

.

A pesar de tener 4 componentes este objeto no es un cuadrivector ya que notransforma como tal, contruiremos para esto una matriz Sρσ tal que cumplacon:

Sρσ =1

4[γρ, γσ] (11)

Bajo transformaciones de Lorentz tendremos que el spinor cambia segun:

ψα (x)→ S [Λ]αβ ψβ (Λ−1x

)(12)





¿como transforma un campo?

Donde

Λ = exp

(1

2ΩρσM

ρσ

)(13)

S [Λ] = exp

(1

2ΩρσS

ρσ

)(14)

La matriz rotacion vendra dada por:

Sij =

[e+i

ϕσ2 0

0 e+iϕσ2

]

considernado una rotacion de 2π sobre el eje 3, es decir ϕ = (0, 0, 2π)

Sij =

[eiπσ 0

0 eiπσ

]





¿como transforma un campo?

Esta transformacion tambien puede ser vista como

S [Λ] = cos(ϕ

2

)− 2Sij sin

(ϕ2

)Al realizar la rotacion por 2π nuestra transformacion valdra:

S [Λ] = −1 (15)

lo que sobre nuestro spinor provoca:

ψα (x)→ −ψα (x) (16)

verificamos que al realizar una vuelta completa no nos encontramos con elmismo elemento, por tanto el campo espinoreal no es un cuadrivector.





La accion de Dirac

Ya que contamos con un nuevo campo con el cual trabajar contruiremos apartir de el su accion asociada y por tanto el Lagrangiano correpondiente.Con esto en mente definimos el Adjunto de Dirac ”:

ψ = ψ†γ0 (17)

si ahora realizamos el producto ψψ

ψ (x)ψ (x) = ψ(Λ−1x

)ψ(Λ−1x

)(18)

Este producto cumple entonces con ser un escalar de lorentz. Con estopodemor ahora contruir la accion de Dirac nuestra eleccion sera

S =

∫ψ (x) (iγµ∂µ −m)ψ (x) d4x (19)





Lagrangiano de Dirac

Necesitamos ahora corroborar que nuestra accion es la correcta, debemospor tanto minimizarla, es decir δS = 0 vemos ademas que nuestrolagrangiano es de la forma

L(ψ, ∂µψ) = ψiγµ∂µψ − ψmψ

variando primero respecto de ψ obtenemos

iγµ∂µψ −mψ = 0 (20)

variando ahora respecto de ψ tendremos que

i∂µψγµ +mψ = 0 (21)

Como esperabamos hemos encontrado las 2 ecuaciones de movimientonecesarias y ya que nuestra accion esta construida a base de invariantespodemos afirmar que nuestra ecuacion de movimiento tambien es unainvariante de Lorentz.





Soluciones reales

¿Podra la ecuacion de Dira tener soluciones reales como la ecuacion deklein-gordon?. Para que esto se cumpla todas las matrices γ′s deberan sercompletamente complejas. Dicha matrices son conocidas como larepresentacion de Majorana y sera dada por:

γ0 =

[0 σ2

σ2 0

]

γ1 =

[iσ1 00 iσ1

]γ2 =

[0 σ2

−σ2 0

]γ3 =

[iσ3 00 iσ3

]





Fermiones de Majorana

Esta representacion entrega soluciones reales que cumplen con la asiconocida condicion de Majorana

ψ = ψ∗ (22)

La representacion de Majorana sera relativa a otras representaciones atraves de una matriz unitaria U = U† tal que :

γµ = UγµU† (23)

Aplicando la condicion de Majorana para una representcion cualquieraobtenemos:

ψ = UUTψ∗ (24)





Si U es unitaria entonces el producto UUT tambien lo sera, con esto enmente se define:

UUT = γ0C (25)

Si decimos ademas que ψ = γ0Cψ∗ entonces un Fermion de Majorana

cumplira siempre queψ = ψ (26)

La matriz C es conocida como la matriz de conjugacion de la carga y paracualquier representacion cumple con la condicion:

C−1γµC = γTµ (27)





Helicidad

Trataremos de entender el concepto de ”handedness”, el cual tiene que vercon la orientacion relativa del Spin respecto del momentum de la particula.Esta definicion gira en torno de la helicidad:

hp =Σ•p|p| (28)

donde Σ denota la matriz de Spin. El operador h tiene eigenvalores +1 y -1de lo cual una particula sera definida:

right− helical→ +1

left− helical→ −1

Ademas h cumple con:[H,h] = 0 (29)





Quiralidad

La quiralidad es la propiedad que nos permite distinguir entre lascomponentes espinoreales. Para esto definiremos la matriz γ5 = iγ0γ1γ2γ3

la cual cumple con:γ5, γµ = 0 (30)

y tambien que (γ5)† = γ5 ∧

(γ5)2 = 1 (31)

Desde esta matriz podemos crear los operadores

L =1

2

(1− γ5) ∧ R =

1

2

(1 + γ5) (32)





Entonces dado cualquier objeto ψ que cumpla con la ecuacion de Dirac lopodremos expresar como:

ψ = ψL + ψR (33)

DondeψL = Lψ ∧ ψR = Rψ (34)

Tales projecciones son conocidas como left− chiral y right− chiral. Adiferencia de la helicidad la quiralidad no conmutan con el hamiltoniano

[H,h] 6= 0 (35)




Fermiones de WeylFermiones de MajoranaFermiones de Dirac

Espinores de Weyl

Utilizaremos ahora un set de matrices dado por:

γ0 =

∣∣∣∣ 0 11 0

∣∣∣∣ .,

γi =

∣∣∣∣ 0 σi

−σi 0

∣∣∣∣ .Estas matrices son conocidas como la representacion de Weyl o Chiral, coni=1,2,3 y donde cada elemento al interior de las matrices es en si mismouna matriz de 2x2. Veamos entonces como queda el lagrangiano de DiracL = ψ (iγµ∂µ −m)ψ bajo la descomposicion

ψ =

(ψLψR

).





L = iψ†Rσµ∂µψL + iψ†Lσ

µ∂µψR −m(ψ†LψR + ψ†RψL

)(36)

Desde aqui podemos ver que fermiones masivos requieren ambos tipos dequiralidad ya que los ψL y ψR se acoplan sobre el termino de masa, sinembargo para fermiones sin masa obtenemos

iσµ∂µψR = 0 or iσµ∂µψL = 0 (37)

Estas son conocidas como las ecuaciones de Weyl, de lo cual tanto ψL comoψR son conocidos como los espinores de Weyl.





Un fermion de Majorana es masivo por tanto debe poseer ambasquiralidades, dicho termino deber de ser de tal forma que se cumpla

ψ = ψ

Sabemos queRψL = 0 −→ (1 + γ5)χ = 0

aplicando el complejo conjugado y multiplicando por γ0C obtendremos

(1− γ5) χ = 0

de lo cual se desprende queχ = γ0Cχ

∗





Entonces un fermion que cumpla la condicion de Majorana podra serescrito como

ψM = χ+ χ

puesto que χ = γ0Cχ∗, ψM tiene efectivamente una unica proyeccion de

helicidad independiente. De la ecuacion anterior se sigue que el espinor deMajorana satisface una ligadura: es auto-conjugado:

ψM = [(ψM )]c (38)

De esto vemos que el termino de masa de majorana puede ser escrito como

LM = m (χχ+ χχ) (39)





Tambien son fermiones masivos por tanto tambien deben tener ambos tiposde quiralidad, esta vez la solucion no tiene ninguna ligadura de lo cual uncampo de Dirac puede ser dado por:

ψM = χ1 + χ2

Donde χ1 y χ2 pueden ser por ejemplo 2 espinores de Weyl con left-chiral,desde aqui vemos que el termino de masa asociado a un espinor de Diracsera:

LD = m (χ1χ2 + χ1χ2) (40)




Referencias

David Tong.Quantum Field Theory, University of Cambridge Part IIIMathematical Tripos.2006.

Palash B. Pal.Dirac, Majorana and Weyl fermions.2010.

Javier Rubio Pena.FISICA DE NEUTRINOS.


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