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Isospín y Cuantización de los campos de Dirac y Maxwell Juan Francisco González Martínez Licenciatura de Física Física Nuclear y de Partículas, Teoría Cuántica de Campos Prof. D. Emilio Torrente Luján Universidad de Murcia Curso 2003-2004

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Isospín

y

Cuantizaciónde los campos

de Dirac y Maxwell

Juan Francisco González Martínez

Licenciatura de FísicaFísica Nuclear y de Partículas, Teoría Cuántica de Campos

Prof. D. Emilio Torrente LujánUniversidad de Murcia

Curso 2003-2004

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Índice general

1. Elementos de Teoría de grupos 41.1. El grupo SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Representaciones de SO(2) y U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Representaciones de SO(3) y SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Representación de SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5. Spinors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. El grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.7. Representaciones del grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Isospín 212.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Multipletes de isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3. Isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.4. Componentes de isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.5. Conservación de I e I3 en la interacción fuerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.6. Sistema de dos nucleones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7. Ejemplos de la conservación del isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8. Estados análogos en Física Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.9. Reglas de selección del isospín . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.10. Clasificación de los estados nucleares: J ,Π,I,I3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Los campos de Dirac y Maxwell 323.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2. El campo de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1. El campo spinorial de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.2. Cuantizando el campo spinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.3. Los neutrinos de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

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ÍNDICE GENERAL 3

3.3. El campo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.1. Las ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.3.2. Acoplando campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.3. Cuantizando el campo de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Índice alfabético 58

Bibliografía 60

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Capítulo 1

Elementos de Teoría de grupos

Antes de analizar los temas dedicados al Isospín y a los campos de Dirac y Maxwell, realizaremosun repaso a los elementos de la teoría de grupos, ya que éstos describen las simetrías de laspartículas subatómicas encontradas en la naturaleza experimentalmente.

1.1. El grupo SO(2)

Se dice que un conjunto de elementos gi forma un grupo, que llamaremos G, si todos ellossatisfacen las siguientes condiciones, respecto de la operación producto:

• Clausura: ∀gi, gj ∈ G , gi · gj ∈ G

• Asociatividad: ∀gi, gj ∈ G , gi · (gj · gk) = (gi · gj) · gk

• Elemento neutro: ∃ e ∈ G : ∀gi ∈ G , gi · e = gi

• Elemento inverso: ∀gi ∈ G , ∃ g−1i ∈ G : gi · g−1

i = e

Hay muchos tipos de grupos. Un grupo discreto tiene un número finito de elementos, como elgrupo de rotaciones que dejan un cristal invariante. Sin embargo, nuestro interés yace en losgrupos continuos, tales como la rotación y el grupo de Lorentz, que depende de un conjunto deángulos continuos.

El ejemplo más simple no trivial, que nos permitirá analizar grupos más complejos, es el gru-po O(2), de las rotaciones en dos dimensiones. Nuestro objetivo fundamental es encontrar lasrepresentaciones irreducibles de O(2).

En el espacio bidimensional R2, una longitud es invariante bajo una rotación alrededor delorigen. Por el teorema de Pitágoras, y denotando I como el invariante, tenemos:

I = x2 + y2,∀(x, y) ∈ R2 (1.1.1)

4

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1.1 El grupo SO(2) 5

Si rotamos el plano que contiene dicho vector un ángulo θ, las coordenadas del mismo punto enel nuevo sistema vienen dadas por:(

x′

y′

)=

(cos θ sen θ− sen θ cos θ

)(xy

)(1.1.2)

Que podemos abreviar por:

xi ′ = Oij(θ)xj , i, j = 1, 2 (1.1.3)

Donde x1 = x, x2 = y. Para ángulos pequeños, podemos escribir:

δx = θy ; δy = −θx (1.1.4)

O, de forma equivalente:

δxi = θεijxj. (1.1.5)

Donde εij es antisimétrico y ε12 = −ε21. Estas matrices forman un grupo. El hecho de que es-tas matrices preserven la longitud invariante impone restricciones a las mismas. Si hacemos unarotación a la distancia:

x′ix′i= OijxiOikxk = xi

[OijOik

]xk = xjxj (1.1.6)

Esto es, la longitud es invariante si la matriz O es ortogonal. Simbólicamente:

OT IO = I (1.1.7)

El grupo de rotación O(2) es llamado el grupo ortogonal en dos dimensiones. De hecho O(2)puede ser definido como el conjunto de todas las matrices reales en dos dimensiones. Toda matrizortogonal puedes ser escrita como la exponencial de una matriz τ antisimétrica:

O(θ) = eθτ ≡∞∑n=0

1

n!(θτ)n (1.1.8)

donde:

τ =

(0 1−1 0

)(1.1.9)

Que podemos fácilmente observar sabiendo que la traspuesta de eθτ es e−θτ :

OT = (eθτ )T = e−θτ = O−1 (1.1.10)

O bien, podemos hacer un desarrollo de Taylor de eθτ . Todos los elementos de O(2) están parame-trizados por un único ángulo θ. Por ello decimos que O(2) es un grupo uniparamétrico, es decir,posee dimensión 1.

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1.2 Representaciones de SO(2) y U(1) 6

Tomemos ahora el determinante a ambos miembros de la ecuación (1.1.7):

det (OTO) = detO detOT = (detO)2 = 1 (1.1.11)

Es decir que detO = ±1. Si escogemos detO = +1 tenemos el subgrupo SO(2), que es el grupoespecial de matrices ortogonales en dos dimensiones. Existe un subgrupo curioso para detO = −1.Este subgrupo consiste en todos los elementos de SO(2) por la matriz:(

1 00 −1

)(1.1.12)

Esta transformación corresponde con una transformación de paridad:

x → x

y → − y(1.1.13)

Una transformación de paridad P, lleva un plano a su imagen especular. Se trata de una trans-formación discreta y no continua, tal que P 2 = 1. Una importante propiedad de los grupos esque están únicamente determinados por su ley de multiplicación. Puede observarse que nuestrasmatrices O pueden multiplicarse en sucesión:

Oij(θ)Ojk(θ′) = Oik(θ + θ′) (1.1.14)

que nos confirma la noción intuitiva de que si rotamos nuestro sistema de coordenadas un ánguloθ y después un ángulo θ′, el efecto final es una rotación de ángulo θ + θ′. De hecho, toda matrizD(θ) (sin restricciones) que posee la regla de multiplicación:

D(θ)D(θ′) = D(θ + θ′); D(θ + 2π) (1.1.15)

constituye una representación de O(2), por tener la misma tabla de multiplicación.

1.2. Representaciones de SO(2) y U(1)

En este capítulo vamos a obtener las representaciones irreducibles de estos grupos. Sea gi unmiembro del grupo G, entonces el objeto D(gi), es llamado una representación de G si obedece:

D(gi)D(gj) = D(gigj) ∀ gi, gj ∈ G (1.2.1)

Y D(gi) posee la misma regla de multiplicación que el grupo original.Una representación se dice irreducible si D(gi) puede ser llevada a una forma diagonal. Por

ejemplo, la siguiente matriz es una representación irreducible:

D(gi) =

D1(gi) 0 00 D2(gi) 00 0 D3(gi)

(1.2.2)

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1.2 Representaciones de SO(2) y U(1) 7

Donde Di son representaciones más pequeñas del grupo. Intuitivamente esto significa que D(gi)puede ser expandido en elementos más pequeños, con cada elemento transformándose bajo unarepresentación más pequeña del grupo.

Nuestra búsqueda se centra principalmente en las representaciones irreducibles porque los cam-pos básico de la física se transforman bajo representaciones irreducibles de los grupos de Lorentzy Poincaré. El conjunto completo de las representaciones finitas de los grupos ortogonales puededividirse en dos clases: tensores y spinors1.

Una forma simple de generar otras representaciones más amplias de O(2) es multiplicar variosvectores. Por ejemplo, el producto AiBj se transforma como sigue:(

Ai′Bj ′)

=[Oi′i(θ)Oj′j(θ)

] (AiBj

)(1.2.3)

La matriz Oi′i(θ)Oj′j(θ) constituye una representación de SO(2). Tiene la misma tabla de multi-plicación que O(2), pero el espacio en el que actúa es 2 × 2 dimensional. A cualquier objeto quese transforme como el producto de varios vectores lo llamaremos tensor.

En general, un tensor T ijk··· bajo O(2) no es más que un objeto que se transforma como elproducto de una serie de vectores ordinarios:

(T ′)i1,i2··· = Oi1j1Oi2j2 · · ·T j1,j2.··· (1.2.4)

La transformación de T ijk··· es idéntica a la transformación del producto xixjxk · · · . Este producto,de nuevo, constituye una representación de O(2) ya que la matriz:

Oi1,i2···iN ;j1,j2···jN (θ) ≡ Oi1j1(θ)Oi2j2(θ) · · ·OiN jN (1.2.5)

posee la misma regla de multiplicación que SO(2).Los tensores que podemos producir por productos de vectores son, en general, reducibles, es

decir, entre los elementos que componen el tensor podemos encontrar subconjuntos que por sí mis-mos constituyen una representación del grupo. Si combinamos apropiadamente índices simétricosy antisimétricos, podemos extraer representaciones irreducibles.

Un método útil para crear representaciones irreducibles es usar dos tensores bajo O(3) querealmente son constantes: δij y εij, donde este último es el tensor antisimétrico tal que ε12 =−ε21 = +1.

Aunque no parecen tensores, es fácil probar que lo son. Apliquémosle la matriz ortogonal Oij

a cada uno de ellos:

δi′j′ = Oi′iOj′jδij

εi′j′ = Oi′iOj′jεij

(1.2.6)

La primera ecuación es fácilmente reconocible: es justo la definición de una matriz ortogonal, yasí δij es un tensor invariante. La segunda ecuación, en cambio, es más difícil de ver. Si la inspec-cionamos cuidadosamente, observaremos que es justo la definición del determinante de la matriz

1Existe una excepción, y es que para SO(2) los autovalores del spin pueden llegar a ser continuos.

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1.3 Representaciones de SO(3) y SU(2) 8

O, que es la unidad para SO(2). De esta forma, ambas ecuaciones se satisfacen por construcción.Dado que εij sólo se transforma como un tensor sólo si el determinante de O es +1, lo llamaremospseudotensor. Los pseudotensores añaden un -1 extra en las transformaciones bajo paridad.

Con estos dos tensores constantes podemos, por ejemplo, contraer el tensor AiBj para formardos combinaciones escalares: AiBi y AiεijBj = A1B2 − A2B1.

Este proceso de simetrización y antisimetrización de todos los posibles índices de tensores paraencontrar las representaciones irreducibles también puede llevarse a cabo por las identidades:

εijεkl = δikδjl − δilδjk

εijεjk = −δik(1.2.7)

Finalmente podemos mostrar la equivalencia entre O(2) y otra formulación. Podemos tomar unobjeto complejo u = a+ ib, y decir que se transforma como:

u′ = U(θ)u = eiθu (1.2.8)

La matriz U(θ) es llamada una matriz unitaria, ya que:

U × U † = 1 (1.2.9)

El conjunto de todas las matices U(θ) = eiθ define un grupo llamado U(1). Obviamente si hacemosdos transformaciones, encontramos:

eiθeiθ′= ei(θ+θ

′) (1.2.10)

Y tenemos la misma ley de multiplicación que en O(2), incluso aunque esta construcción estábasada en un nuevo espacio, el espacio unidimensional complejo. Decimos que:

SO(2) ∼ U(1) (1.2.11)

Esto significa que existe una correspondencia entre ambos, aunque estén definidos en dos espaciosdiferentes:

eτ(θ) ↔ eiθ (1.2.12)

1.3. Representaciones de SO(3) y SU(2)

El anterior grupo O(2) era rico en representaciones y sencillo de analizar ya que todos loselementos conmutaban entre sí. Tales grupos son llamados grupos Abelianos . Ahora estudiaremosgrupos no Abelianos , donde los elementos no conmutan necesariamente entre sí. Definamos O(3)como el grupo que deja invariante las distancias en tres dimensiones:

I = x2 + y2 + z2 (1.3.1)

Generalizando los anteriores pasos para SO(2), sabemos que el conjunto de las matrices reales,ortogonales, 3×3 deja esta cantidad invariante. La condición de ortonormalidad reduce el número

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1.3 Representaciones de SO(3) y SU(2) 9

de elementos independientes a 9 − 6 = 3. Cualquier miembro de O(3) puede ser escrito como laexponencial de una matriz antisimétrica:

O = exp

(i

3∑i=1

θiτ i

)(1.3.2)

donde τ i tiene toso sus elementos imaginarios puros. Existen sólo tres matrices antisimétricas 3×3,así que hemos contado correctamente el número de grados de libertad. Aún más, O(3) es un grupode Lie de tres parámetros, parametrizado por tres ángulos.

Estas tres matrices antisimétricas τ i pueden ser escritas explícitamente:

τ 1 = τx =− i

0 0 00 0 10 −1 0

; τ 2 = τ y = −i

0 0 −10 0 01 0 0

τ 3 = τ z = −i

0 1 0−1 0 10 0 0

(1.3.3)

Por inspección, este conjunto de matrices puede representarse por el tensor completamente anti-simétrico εijk como:

(τ i)jk = −iεijk (1.3.4)

donde ε123 = +1. Por su parte, estas matrices antisimétricas obedecen las siguientes propiedades:[τ i, τ j

]= iεijkτ k (1.3.5)

Este es un ejemplo de un álgebra de Lie2. Las constantes εijk que aparecen en el álgebra sonllamadas constantes de estructura del álgebra. Una determinación completa de las constantes deestructura de cualquier álgebra especifica el álgebra de Lie, y también el grupo en sí mismo.

Para ángulos pequeños θi, podemos escribir la ley de transformación com sigue:

δxi = εijkθkxj (1.3.6)

Es interesante saber cómo se transforman los campos bajo rotaciones. Para ello introduzcamos losoperadores:

Li ≡ iεijkxj∂k (1.3.7)

Podemos ver que las relaciones de conmutación de Li satisface aquellas de SO(3). Construyamosel operador:

U(θi) = eiθiLi

(1.3.8)2No confundir con los grupos de Lie.

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1.3 Representaciones de SO(3) y SU(2) 10

Entonces un campo escalar y un campo vectorial se transforman como sigue:

U(θk)φ(x)U−1(θk) = φ(x′)

U(θk)φi(x)U−1(θk) =(O−1

)ij(θk)φj(x′)

(1.3.9)

Para campos tensoriales de orden superior, debemos llevar cuidado al seleccionar sólo los camposirreducibles. La forma más fácil de reducir un tensor es tomar combinaciones simétricas y anti-simétricas de los índices. Las representaciones irreducibles pueden ser extraídas usando los dostensores constantes δij y εijk. Para reducciones complicadas es útil tener en mente3:

εijkεlmn = δilδjmδkn − δilδjnδkm + δimδjnδkl − δimδjlδkn + δinδjlδkm − δinδjmδkl

εijkεklm = δilδjm − δimδjl(1.3.10)

Como en el caso de O(2), también podemos encontrar una relación entre O(3) y un grupo unitario.Consideremos el conjunto de todas las matrices 2 × 2 con determinate unidad. Estas matricesforman un grupo, llamado SU(3), que es llamado el grupo unitario especial en dos dimensiones.Esta matriz tiene 8 − 4 − 1 = 3 elementos independientes. Toda matriz unitaria, por otra parte,puede ser escrita como la exponencial de una matriz hermítica, donde H = H†:

U = eiH (1.3.11)

De nuevo , para probar esta relación basta con tomar el conjugado de ambos miembros de laecuación: U † = e−iH

†= e−iH = U−1.

Dado que un elemento de SU(2) puede ser parametrizado por tres números, la elección másconveniente es usar las matrices de Pauli para el spin. Cualquier elemento de SU(2) puede serescrito como:

U = eiθjnj/2 (1.3.12)

donde:

σx =

(0 11 0

); σy =

(0 −ii 0

); σz =

(1 00 −1

)(1.3.13)

Y σi satisface la relación: [σi

2,σj

2

]= iεijk

σk

2(1.3.14)

Tenemos exactamente la misma álgebra que en SO(3) en (1.3.5). Podemos decir, por tanto:

SO(3) ∼ SU(2) (1.3.15)

Para hacer esta correspondencia más precisa, expandiremos la exponencial y recolectaremos tér-minos, con lo que obtenemos:

eiσjθj/2 = cos(θ/2) + i(σknk) sen(θ/2) (1.3.16)

3También es posible usar el método de las tablas de Young para encontrar más representaciones irreducibles

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1.4 Representación de SO(N) 11

donde θi = niθ y (ni)2 = 1. La correspondencia está dada, entonces, por:

eiτjθj ↔ eiσ

jθj/2 (1.3.17)

done el miembro izquierdo es un matriz ortogonal real 3 × 3, mientras que el miembro derechoes una matriz compleja unitaria 2× 24. Aunque estos elementos pertenecen a espacios diferentes,poseen la misma ley de multiplicación. Esto nos dice que debe existir una forma directa de expresarlos vectores (x, y, z) en términos de estos spinors . Para observar esta relación, definamos:

h(~x) = ~σ~x =

(z x− iy

x+ iy z

)(1.3.18)

Entonces, la transformación SU(2):

h′ = UHU−1 (1.3.19)

es equivalente a la trasformación SO(3):

~x′ = O~x (1.3.20)

1.4. Representación de SO(N)

La característica esencial de una rotación en N dimensiones es que conserva las distancias.La distancia desde el origen al punto xi, por el Teorema de Pitágoras, es

√xixi. Así, xixi es un

invariante, y una rotación en el espacio N-dimensional viene dada por: xi′ = Oijxj.El número de parámetros independientes en cada miembro de O(N) es N2 menos el número de

ligaduras que surgen de aplicar la condición de ortogonalidad:

N2 − 1

2N(N + 1) =

1

2N(N − 1) (1.4.1)

Este es el número de matrices antisimétricas e independientes, N ×N . Podemos parametrizar lascomponentes de O(N), bien a través de matrices ortogonales o bien a través de exponenciales.

Toda matriz ortogonal puede ser parametrizada de la siguiente forma:

O = exp

iN(N−1)/2∑i=1

θiτ i

(1.4.2)

donde τ i son matrices linealmente independientes y antisimétricas, con todos sus elementos ima-ginarios puros. Son llamados los generadores del grupo, y θi son los ángulos de rotación de losparámetros del grupo.

4El isomorfismo es sólo local, es decir, cerca de cada uno de los parámetros. En realidad la correspondencia esrealmente una a dos, y no uno a uno.

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1.4 Representación de SO(N) 12

Encontrar representaciones de O(N) es complicado por el hecho de que las tablas de multi-plicación de parámetros de O(N) son complicadas. Sin embargo, sabemos, a partir del teoremaBaker-Campbell-Hausdorff que:

eAeB = eA+B+(1/2)[A,B]+... (1.4.3)

Si eA y eB son cercanos, entonces estos elementos forman un grupo así como los conmutadores deA y B forman un álgebra.

Si tomamos el conmutador de dos matrices antisimétricas, obtendremos otra matriz antisimé-trica. Esto significa que el álgebra creada por la conmutación de todas las matrices antisimétricases cerrada. Representaremos el álgebra como sigue:[

τ l, τ j]

= if ljkτ k (1.4.4)

Com antes diremos que f ljk son las constantes de estructura del grupo. Para un N arbitrario,es posible encontrar la forma exacta de las constantes de estructura. Definamos el generador deO(N) como:

(M ij)ab = −i(δiaδ

ib − δiaδib

)(1.4.5)

Dado que la matriz es antisimétrica en i, j hay N(N − 2) de tales matrices, que es el númerocorrecto de parámetros libres para O(N). Los índices a, b denotan las entradas para el generador.Si hacemos conmutar estas matrices, el cálculo es bastante fácil, porque se reduce a contraer sobreuna serie de funciones delta:[

M ij,M im]

= i(−δilM jm + δjlM im + δimM jl − δmjM il

)(1.4.6)

Otro aspecto interesante es la acción de SO(N) en los campos. Definamos el operador:

Lij ≡ i(xiδj − xjδi

)(1.4.7)

Es fácil comprobar que Lij satisface las relaciones de conmutación de SO(N). Ahora construyamosel operador:

U(θlj) = eiθljLlj

(1.4.8)

donde θlj es antisimétrico. Las constantes de estructura de la teoría, f ljk, pueden considerarse unarepresentación del álgebra. Si definimos: (

τ l)jk

= f ljk (1.4.9)

entonces τ l reescrita como función de las constantes de estructura también constituye un a repre-sentación de los generadores de O(N). A esta la llamamos la representación adjunta. Esto nos diceque la constante de estructura f ljk es un tensor constante, justo como δjk.

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1.5 Spinors 13

1.5. Spinors

En general, existen dos tipos de representaciones que suelen darse en física. La primera, porsupuesto, son los tensores, que se transforman como producto de vectores. Las representacionesirreducibles se obtienen entonces tomando sus combinaciones simétricas y antisimétricas.

Una de las representaciones más importantes de O(N), son las representaciones spinoriales.Para explicar éstas, introduzcamos N objetos Γi que obedecen:

Γi,Γj = 2δij

A,B = AB +BA(1.5.1)

donde los corchetes representan un anticonmutador y no un conmutador. Esta es la llamada álgebrade Clifford. Podemos entonces construir la representación spinorial de los generadores de SO(N)así:

Representación spinorial→M ij =i

4

[Γi,Γj

](1.5.2)

Introduciendo este valor de M ij en la definición del álgebra de O(N) (para N par), tenemos quees 2N/2−dimensional y compleja. La representación más simple de O(4), nos permite obtener laversión compacta de las matrices de Dirac. Para los grupos impares ortogonales O(N + 1), conN par,podemos construir los spinors Γi a partir de los spinors de O(N). Para ello añadimos unnuevo elemento al anterior conjunto:

ΓN+1 = Γ1Γ2 · · ·ΓN (1.5.3)

ΓN+1, posee las mismas reglas de conmutación que los otros spinors y podemos construir los gene-radores O(N +1) a partir de los spinors de O(N). Como antes, podemos construir las propiedadesde transformación de Γi. Definamos:

U(θij) = exp(iθijM ij

)(1.5.4)

donde M ij se construye a partir de los spinors Γi. De aquí es fácil ver, que Γi satisface la siguienteidentidad:

U(θij)ΓkU−1(θij) = (O−1)kl(θij)Γl (1.5.5)

lo que demuestra que Γi se transforma como un vector.Debemos observar que la representación spinorial de O(N) es reducible. Por ejemplo, podríamos

construir dos operadores de proyección:

PR =1 + ΓN+1

2

PL =1− ΓN−1

2

(1.5.6)

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1.6 El grupo de Lorentz 14

que satisfacen las reglas usuales de los operadores de proyección:

P 2L = PL

P 2R = PR

PRPL = 0

PL + PR = 1

(1.5.7)

Con estos operadores de proyección el grupo se divide en dos piezas autocontenidas (en la gene-ralización de esta construcción al grupo de Lorentz, éstos se llamarán representaciones de Weyl“orientadas a derecha” y “orientadas a izquierda”. Esto nos permitirá describir los campos deneutrinos (ver Los neutrinos de Weyl).)

1.6. El grupo de Lorentz

En anteriores secciones hemos discutido brevemente algunos grupos de Lorentz compactos. Enésta, trataremos de encontrara una representación de los grupos no compactos de Lorentz.

Definimos el grupo de Lorentz como el conjunto de todas las matrices 4×4, que dejan invariante:

s2 = c2t2 − xixi =(x0)2 − (xi)2 = xµgµνx

ν (1.6.1)

El signo menos, distingue éste del grupo O(4).Una transformación de Lorentz puede parametrizarse como:

x′µ

= Λµνx

ν (1.6.2)

Introduciendo esta transformación en el invariante (1.6.1), encontramos que las matrices Λ debensatisfacer:

gµν = ΛρµgρσΛ

σν (1.6.3)

o, simbólicamente g = ΛTgΛ. Comparando esto con la ecuación (1.1.7), decimos que gµν es lamétrica del grupo de Lorentz. Si no tuviera ningún signo menos en su definición gµν entoncesestaríamos ante un grupo O(4). Podemos recordar más fácilmente que el signo se alterna en elgrupo de Lorentz, llamándolo O(3, 1), don de la coma separa los elementos de signo positivo delos elementos de signo negativo. En general, un grupo ortogonal que conserva con M índices deun signo y N índices de otro signo, se denota como O(M,N).

El signo menos determina una importante diferencia entre el grupo de Lorentz y el O(4): ladistancia invariante s2 puede ser negativa o positiva, pero la distancia invariante en O(4) es siemprepositiva. Esto determina que el plano xµ se divide en dos regiones que no pueden conectarse através de una transformación de Lorentz. Si x e y son dos vectores de posición, estas regionespueden simbolizarse por el valor de la distancia invariante s2:

(x− y)2 > 0 Intervalo temporal

(x− y)2 = 0 Intervalo de luz

(x− y)2 < 0 Intervalo espacial

(1.6.4)

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1.6 El grupo de Lorentz 15

Excluyendo esta crucial diferencia de signo, la mayor parte de las representaciones de Lorentztienen una gran semejanza con las de O(4). Por ejemplo, podemos introducir el operador Lµν paraver cómo actúa el grupo de Lorentz en los campos:

Lµν = xµpν − xνpµ = i (xµ∂ν − xν∂µ) (1.6.5)

donde pµ = i∂µ Veamos que esto genera el álgebra del grupo de Lorentz:

[Lµν , Lρσ] = i (g3ρLµσ − gµρLνσ − gνσLµρ + gµσLνρ) (1.6.6)

Definamos también:

U(Λ) = exp (iεµνLµν) (1.6.7)

donde infinitesimalmente, tenemos:

Λµν = gµν + εµν + · · · (1.6.8)

Luego la acción de un grupo de Lorentz sobre un campo vectorial φµ puede expresarse como:

U(Λ)φµU−1(Λ) =(Λ−1

)µνφν(x′) (1.6.9)

donde U(Λ) contiene una término adicional que rota el índice vectorial φµ. Parametricemos los Λµν

de una transformación de Lorentz como sigue:

x′ =x+ vt√1− v2/c2

; y′ = y; z′ = z; t′ =t+ vx/c2√

1− v2c2(1.6.10)

Podemos hacer varias observaciones de estar transformación desde el punto de vista de los grupos.En primer lugar, la velocidad v es un parámetro de este grupo. Dado que la velocidad varía entre0 ≤ v < c, decimos que el grupo de Lorentz es no compacto, esto es, el rango del parámetro v noincluye el valor final c. Esto contrasta con el grupo O(N), donde los parámetros tienen un rangofinito, incluyendo los extremos, lo que determina su compacidad.

Decimos que las tres componentes de la velocidad vx, vy, vz son los parámetros de los Lorentzboosts. Si hacemos la sustitución usual:

γ =1√

1− v2/c2= coshφ, βγ = senhφ, β = v/c (1.6.11)

esta transformación puede escribirse como:x′0

x′1

x′2

x′3

=

coshφ senhφ 0 0senhφ coshφ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

x0

x1

x2

x3

(1.6.12)

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1.6 El grupo de Lorentz 16

Reescribamos esto en términos de Mµν . Para ello, definamos:

J i =1

2εijkM jk

Ki = M0i(1.6.13)

Escribiéndolo explícitamente:

Kx = K1 = −i

0 1 0 01 0 0 00 0 0 00 0 0 0

(1.6.14)

Entonces esta transformación de Lorentz puede escribirse como :

eiKxvx

= coshφ+ i senhφKx (1.6.15)

De forma semejante, los Lorentz boosts en las direcciones x e y se generan exponenciando Ky yKz:

Ky = K2 = −i

0 0 1 00 0 0 01 0 0 00 0 0 0

; Kz = K3 = −i

0 0 0 10 0 0 00 0 0 01 0 0 0

(1.6.16)

Desafortunadamente puede comprobarse que un boost en la dirección x, seguido por un boostem la dirección y, no genera un nuevo Lorentz boost. Por tanto, las tres matrices K no generanpor sí misma un álgebra cerrada. Para completar el álgebra, debemos introducir los generadoresdel grupo de rotación O(3):

Jx = J1 = −i

0 0 0 00 0 0 00 0 0 10 0 −1 0

; Jy = J2 = −i

0 0 0 00 0 0 −10 0 0 00 1 0 0

Jz = J3 =− i

0 0 0 00 0 1 00 −1 0 00 0 0 0

(1.6.17)

Las matrices K y J presentan las siguientes relaciones de conmutación:[Ki, Kj

]= −iεijkJk[

J i, J j]

= iεijkJk[J i, Kj

]= iεijkKk

(1.6.18)

Dos Lorentz boosts generados por Ki y tomados en sucesión no generan un tercer boost., pero sígenerarán un rotación, generada a su vez por J i (físicamente, esta rotación, que surge tras variosLorentz boost, origina la precesión de Thomas).

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1.7 Representaciones del grupo de Poincaré 17

Tomando combinaciones lineales de estos generadores, podemos demostrar que el grupo deLorentz se divide en dos partes. Hacemos uso, para ello, del hecho de que SO(4) = SU(2)⊗SU(2),y de que el álgebra del grupo de Lorentz es similar al álgebra de SO(4) (módulo el signo menosprocedente de la métrica). Tomando combinaciones lineales de estos generadores tenemos que elálgebra puede dividirse realmente en dos piezas:

Ai =1

2

(J i + iKi

)Bi =

1

2

(J i − iKi

) (1.6.19)

Con esto tenemos que [Ai, Bi] = 0, así que el álgebra se divide en dos piezas, cada una generadorade un SU(2).

Si cambiamos el signo de la métrica, de forma que sólo tengamos grupos compactos, hemosprobado que el grupo de Lorentz, para nuestros propósitos, puede ser escrito como SU(2)⊗SU(2).Esto significa que las representaciones irreducibles (j) de SU(2), donde J = 0, 1/2, 3/2, . . ., puedeusarse para construir representaciones del grupo de Lorentz, simbolizado por (j, j′). Simplementeconjuntando dos representaciones de SU(2), podemos construir todas las representaciones delgrupo de Lorentz5. De esta forma, podemos construir las representaciones spinoriales y tensorialesdel grupo de Lorentz.

Hay que destacar, sin embargo, que no todos los grupos poseen una representación spinorial.Por ejemplo, el grupo de todas las matrices reales N×N , no tiene ninguna representación spinorialen dimensión finita.

1.7. Representaciones del grupo de Poincaré

Físicamente, podemos generalizar el grupo de Lorentz añadiendo translaciones:

x′µ

= Λµνx

ν + aµ (1.7.1)

El grupo de Lorentz, con translaciones, se transforma ahora en el grupo de Poincaré. Dado queel grupo de Poincaré añade incluye cuatro translaciones además de las tres rotaciones y los tresboosts, se trata de un grupo de diez parámetros. Además del generador usual del grupo de Lorentz,debemos añadir el generador de translaciones pµ = i∂µ

El álgebra de Poincaré está dada por el álgebra de Lorentz, más unas relaciones nuevas:

[Lµν , Pρ] = I (−gµρPν + gνρPµ)

[Pµ, Pν ] = 0(1.7.2)

Estas relaciones determinan que dos transformaciones conmutan y que las translaciones transfor-man como un vector bajo el grupo de Lorentz.

5La representación es spinorial si j + j′ es semientero.

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1.7 Representaciones del grupo de Poincaré 18

Para encontrar las representaciones irreducibles de un grupo de Lie, a menudo se usa la técnicade diagonalizar simultáneamente un grupo de sus generadores. Sea el rango de un grupo de Lie elnúmero de generadores que simultáneamente conmutan entre sí. El rango y la dimensión de O(N)y SU(N) viene dados por:

Grupo Dimensión Rango

SO(N)(N par) (1/2)N(N − 1) N/2

SO(N)(N impar) (1/2)N(N − 1) (N − 1)/2

SU(N) N2 − 1 N − 1

Por ejemplo el grupo SO(3) posee rango 1, así que podemos escoger L3 como generador adiagonalizar. El grupo SO(4), puede ser reexpresado en términos de los subgrupos SU(2), así queexisten dos generadores que conmutan entre ellos.

Además, tenemos los operadores Casimir del grupo, que son aquellos que conmutan con todoslos generadores del álgebra. Para el grupo O(3), sabemos, por ejemplo, que los operadores deCasimir son la suma de los cuadrados de los generadores L2

i . Por tanto, podemos diagonalizarsimultáneamente L2

i y L3. Las representaciones de SO(3) se corresponden, por tanto, con losautovalores de estos dos operadores.

Para el grupo de Poincaré, debemos saber primero que P 2µ = m2 (la masa al cuadrado) es un

operador Casimir. Bajo las transformaciones de Lorentz, se transforma como un escalar genuino, yes invariante. También es invariante bajo translaciones porque todas las translaciones conmutan.

Para encontrar el otro operador Casimir, introducimos:

W µ =1

2εµνρσPνLρσ (1.7.3)

que es el llamado tensor de Pauli-Lubanski (donde ε0123 = +1). Entonces, el cuadrado de estetensor es otro operador Casimir:

Operadores Casimir =P 2µ ,W

(1.7.4)

Todos los estados físicos en teoría cuántica de campos pueden designarse de acuerdo con el autova-lor de estos dos operadores Casimir (dado que los operadores conmutan con todos los generadoresdel álgebra). Sin embargo, el significado físico de estos dos operadores Casimir no es obvio. Nopuede corresponderse con el spin, dado que nuestra noción intuitiva del momento angular, que

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1.7 Representaciones del grupo de Poincaré 19

obtenemos de la mecánica cuántica no relativista, está, estrictamente hablando, perdida una vezque aplicamos los boosts a nuestras partículas por las transformaciones de Lorentz. El operadorspin usual, ya no puede seguir siendo un operador Casimir para el grupo de Lorentz.

Para encontrar el significado físico de W 2µ , vayamos al sistema en el que la partícula masiva

se encuentra en reposo: P µ = (m, 0). Introduciendo esto en la ecuación para el tensor de Pauli-Lubanski (1.7.3), tenemos

Wi = −1

2mεijk0J

jk = −mLi

W0 = 0(1.7.5)

donde Li es la matriz de rotación usual en tres dimensiones. Por tanto, en el sistema en reposode la partícula masiva, el tensor de Pauli-Lubanski es el generador de spin. Su cuadrado es, portanto, un operador Casimir para SO(3), que, como sabemos, nos da el spin de la partícula:

W 2i = m2s(s+ 1) (1.7.6)

donde s es el autoestado de spin de la partícula. En el sistema en reposo de la partícula masiva,tenemos 2s+1 componentes para la partícula de spin s. Esto se corresponde con una generalizaciónde nuestra intuitiva comprensión del spin procedente de la mecánica cuántica no relativista.

Sin embargo, tenemos que analizar aún las partículas no masivas, donde P 2µ = 0. En general la

regla de contar para las partículas masivas no es válida para las partículas sin masa. Para estaspartículas tenemos:

W 2µ |p〉 = WµP

µ |p〉 = PµPµ |p〉 = 0 (1.7.7)

La única forma de satisfacer estas tres condiciones es que Wµ y Pµ sean proporcionales, es decir,Wµ |p〉 = hPµ |p〉 = 0 es un estado sin masa |p〉. Este número h es llamado la helicidad, y describeel número de componentes independientes de un estado no masivo.

Usando la definición de Wµ para un estado sin masa, h puede escribirse como:

h =~J · ~P|~P |

(1.7.8)

Debido a la presencia de εµνρσ en la definición de Wµ, el vector de Pauli-Lubanski es un pseu-dovector. Bajo transformaciones de paridad, la helicidad h se transforma en −h. Esto nos diceque los estados sin masa, poseen dos estados de helicidad, según Wµ esté alineado paralelamentecon el vector momento o bien antiparalelamente. Luego sin importarnos el spin de la partícula nomasiva, la helicidad puede tener dos valores, h y −h. Existe, por tanto, una diferencia esencialentre partículas masivas y no masivas en teoría cuántica de campos.

Es destacable que podamos designar todas las representaciones irreducibles del grupo de Poin-caré (y, por tanto, todos los campos conocidos) de acuerdo con los operadores Casimir. Una lista

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1.7 Representaciones del grupo de Poincaré 20

completa se ofrece en (1.7.9) en términos de la masa m, el spin s y la helicidad h:

P 2µ > 0 : |m, s〉 , s = 0, 1/2, 1, 3/2, · · ·

P 2µ = 0 : |h〉 , h = ±s

P 2µ = 0 : s continuo

P 2µ < 0 : taquión

(1.7.9)

En la naturaleza, el espectro físico de los estados parece encontrarse sólo para las dos primerascategorías con P 0 > 0. Los otros estados, que poseen spine continuo o taquiones, no han sidovistos en la naturaleza.

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Capítulo 2

Isospín

2.1. Introducción

La independencia de la carga en las fuerzas nucleares, nos indica que en la mayoría de loscasos no necesitamos distinguir entre protones y neutrones. Podemos, por tanto, agruparlos enuna familia común, los nucleones. El formalismo para las interacciones nucleares puede dependerde la multiplicidad de estados del nucleón (dos) pero es independiente de si los nucleones sonprotones o neutrones. La excepción, por supuesto, es la interacción electromagnética, que sí puededistinguir entre ambos tipos de partículas. Con respecto a la interacción fuerte, la simetría entreprotones y neutrones sigue siendo válida.

Heisenberg introdujo en 1933 un formalismo elegante, considerado en aquella época sólo unaconvención: el formalismo de isospín. Este formalismo estaba en completa analogía con la teoría delspin, y de hecho, se atribuía al nucleón un isospín de valor +1/2. En un principio, la introduccióndel isospín no fue recibida con gran entusiasmo por la comunidad científica. Sin embargo, estavariable volvió a aparecer en otro contexto: la teoría de la desintegración beta desarrollada porFermi en analogía con la electrodinámica cuántica (QED).

En 1935, Yukawa desarrolló una teoría en la que la variable de isospín era usada en el contextode la teoría de campos. Dos escuelas diferentes, una en Gran Bretaña y otra en Japón, desarrollaronla teoría del mesón en la que el isospín era necesario para explicar la independencia de la carga enlas fuerzas nucleares. Mientras, en 1937, Wigner introdujo el isospín en la espectroscopia nuclearrenombrándolo como spin isotópico. De este modo, el isospín pasó de ser sólo una herramientaútil, a un número cuántico con consecuencias de simetría. La observación experimental, con lallegada de los aceleradores de partículas, permitió reconocer al isospín como un número cuánticoque se conserva en los procesos de interacción fuerte.

2.2. Multipletes de isospín

Como ya hemos dicho, podemos considerar al neutrón y al protón como estados de una mismapartícula, el nucleón, que puede aparecer, por tanto, con o sin carga eléctrica. De hecho, ambosposeen la misma extrañeza, spin y número bariónico, aunque difieren ligeramente en la masa.

21

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2.2 Multipletes de isospín 22

Si observamos las tablas (2.2.1) y (2.2.2), veremos que el resto de hadrones también puedenser organizados en grupos, de tal forma que cada partícula del mismo grupo posee la mismaextrañeza, el mismo número bariónico y el mismo spin, y sólo pequeñas diferencias entre lasmasas1. Estos grupos son llamados multipletes de isospín. En estos grupos encontramos dobletes(K+, K0), (K 0, K−), (p, n), (Ξ0,Ξ−), tripletes (π+, π0, π−), (Σ+,Σ0,Σ−) y singletes η0, Λ0, Ω−.Para cada multiplete de bariones existe un multiplete de antibariones2.

Los diversos multipletes difieren unos de otros no sólo en el número de partículas que losconstituyen, también en la carga media. Por ejemplo, en el doblete del nucleón, la carga mediaes +1/2 (1 para el protón y 0 para el neutrón), mientras que para el doblete (Ξ0,Ξ−), es de−1/2. En las siguientes secciones veremos que al agrupar los hadrones en multipletes obtenemosnuevas leyes de conservación. Señalemos primero la interesante relación entre la extrañeza y lacarga media del multiplete, algo que fue percibido por Gell-Mann y Nishijima, tan pronto comodefinieron la extrañeza e incluso antes del descubrimiento de muchas partículas que hoy día seconocen.

La carga media del doblete del nucleón (p, n) es +1/2 y su extrañeza 0. La carga media deltriplete Σ así como la del singlete Λ es 0, y la extrañeza en ambos casos es -1. Las partículas(Ξ−,Ξ0) tienen una carga media de −1/2 y extrañeza -2, mientras que la carga de Ω− es -1 y suextrañeza -3. De aquí podemos ver una relación obvia entre la carga media y la extrañeza: cuantomás negativa es la carga media, más negativa es la extrañeza. Una relación similar es válida paralos mesones. Si definimos un número cuántico Y , al que llamaremos hipercarga, como la cargamedia del multiplete multiplicada por dos, esta relación puede resumirse en la siguiente ecuación:

Y = S + A (2.2.1)

donde S es la extrañeza, y A es el número bariónico. Esta ecuación es válida para todos loshadrones: bariones, antibariones y mesones.

Esta relación entre carga media y extrañeza parece sorprendente , si recordamos que la definiciónde extrañeza no contiene mención alguna a la carga media de los multipletes. Esto implica que elnúmero cuántico que hemos inventado artificialmente para explicar la “extrañeza” de las partículasextrañas, posee un significado más profundo.

Cuando Murray Gell-Mann y Kazuhiko Nishijima definieron la extrañeza y descubrieron larelación entre ésta y la carga media, aún no habían sido descubiertos todos los hiperones. Ξ0 nose conocía, mientras que Ξ− ya se había descubierto, hallándose que su extrañeza era -2. Losdos físicos concluyeron que Ξ0 debía también existir, pues sustituyendo S = −2 y A = 1 en laecuación (2.2.1), obtenían Y = −1, es decir, un valor de −1/2 para la carga media del multiplete.La partícula Ξ0 fue finalmente descubierta, a través de los productos en los que decaía3.

Aunque las partículas Σ+ y Σ− eran por aquella época conocidas, se ignoraba la existencia deΣ0, de corta vida. Más aún, su existencia no podía haber sido predicha debido a que la extrañeza

1Estas diferencias entre las masas son de origen electromagnético.2Nótese que los tres piones están agrupados en un multiplete mientras que los cuatro kaones están divididos en

dos multipletes distintos. Esto es debido a que los tres piones tienen la misma extrañeza mientras que en la familiade los kaones la extrañeza de los (K+,K0) difiere de la respectiva a (K 0,K−). Sólo las partículas que poseen lamisma extrañeza están incluidas en el mismo multiplete.

3Ya que al ser una partícula neutral no dejaba rastro en la cámara de burbujas.

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2.2 Multipletes de isospín 23

-1 de las partículas sigma (que nos lleva a Y = 0) da una carga media para el multiplete de 0,aún con la partícula Σ0 incluida. Debido a esto Gell-Mann y Nishijima predijeron la existencia deesta partícula neutral después de analizar las propiedades del número cuántico que hemos llamadoisospín, y que analizaremos a continuación.

Modos de decaimientoPartícula Masa (MeV) Vida media (s)

Producto Fracción (%)π± 139.6 2.6·10−8 µν ∼ 100π0 135.0 0.8·10−10 γγ 98.8

γe+e− 1.2K± 493.6 1.2·10−8 µν 63.5

π±π0 21π±π+π− 5.5π±π0π0 1.7π±π0ν 3.2e±π0ν 4.8

(K0S) 8.9·10−11 π+π− 68.6

K 0, K0 497.7 π0π0 31.4(K0

L) 5.2·10−8 π0π0π0 21.5π+π−π0 12.4π±π∓ν 27π±e∓ν 38.8

η0 547.5 2.8·10−19 γγ 39e+e−γ 0.5π0π0π0 32π+π−π0 23.5π+π−γ 5

Tabla 2.2.1: Mesones de spin 0.

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2.3 Isospín 24

Modos de decaimientoPartícula Masa (MeV) Vida media (s)

Producto Fracción (%)p 938.3 Establen 939.6 889 pe−ν 100Λ0 1115.6 2.6·10−10 pπ− 64

nπ0 36Σ+ 1189.4 0.8·10−10 pπ0 51.6

nπ0 48.4Σ0 1192.6 7.4·10−20 Λ0γ 100Σ− 1197.4 1.5·10−10 nπ− 99.85Ξ0 1314.9 2.9·10−10 Λ0π0 100Ξ− 1321.3 1.6·10−10 Λ0π− 100Ω− 1672.4 0.8·10−10 Λ0K− 68

Ξ0π− 24Ξ−π0 8

Tabla 2.2.2: Nucleones e hiperones.

2.3. Isospín

Para explicar el hecho de que los hadrones aparecen en multipletes, surge el concepto de isos-pín4. A partir del análisis del mismo, podemos afirmar que existen dos números cuánticos quese conservan: uno de ellos en las interacciones fuertes únicamente, y otro en las interaccioneselectromagnéticas y fuertes.

El isospín surge como analogía entre la carga y el spin de las partículas. Recordemos que un spinde magnitud J (en unidades de ~), puede orientarse en 2J+1 estados con respecto a una direccióndefinida del espacio. Como hemos indicado, Heisenberg asumió que partículas similares (como elneutrón y el protón) eran diferentes estados de una misma partícula básica, al igual que los dosestados de spin del electrón. Él denotó estos estados por la dirección de un vector imaginario conpropiedades similares a las del spin. Así para tener dos estados, el vector debe tener una longitudde 1/2; para obtener tres estados, una longitud de 1, y así sucesivamente. Tal vector es el isospín.

2.4. Componentes de isospín

Matemáticamente, se definen tres operadores I+, I− e I3, que cumplen las reglas de conmutacióndel momento angular. El operador I3 (la proyección del vector isospín a lo largo del eje z en el

4También llamado spin isotópico, spin isobárico e I-spin. Suele denotarse por I.

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2.4 Componentes de isospín 25

espacio imaginario en el que ha sido definido) está relacionado con la carga eléctrica, y puedeescribirse como5:

I3 = −Y2

+ Q (2.4.1)

Donde Q viene dada en unidades de la carga del protón. Por la ecuación (2.2.1) podemos reescribir(2.4.1) como:

I3 = −B+S2

+ Q (2.4.2)

Podemos distinguir las diferentes partículas de un mismo multiplete, ya que éstas son autoes-tados de I3. Así, por ejemplo, tenemos:

• Para los nucleones, Y = 1 :

I3 |p〉 =1

2|p〉 ; I3 |n〉 = −1

2|n〉 (2.4.3)

• Para los piones, Y = 0:

I3 |π+〉 =1

2|π+〉 ; I3 |π0〉 = 0 |π0〉 ; I3 |π−〉 = −1

2|π−〉 (2.4.4)

En cuanto a la componente I+, su actuación sobre una partícula la convierte en otra de cargasuperior perteneciente al multiplete. Por ejemplo:

I+ |n〉 = |p〉 ; I+ |p〉 = 0 (2.4.5)

La componente I− actúa justo de forma contraria, disminuyendo la carga de la partícula a otrade carga menor dentro del multiplete.

Por analogía con el momento angular, todas las partículas son autoestados de I2 = 1/2(I+I− +I−I+)+I2

3, correspondientes al autovalor I(I+1). I, que es el isospín del multiplete está relacionadocon el número de partículas en el multiplete, que es N = 2I + 1. De esta relación, si conocemos elnúmero de partículas del multiplete, también podemos obtener el isospín del multiplete:

I =N − 1

2. (2.4.6)

Así por ejemplo, el isospín de las partículas η0, Λ0 y Ω− es 0, los dobletes (p, n), (K+, K0), (Ξ0,Ξ−)poseen isospín +1/2, y los tripletes (piones y sigmas) poseen isospín 1. El isospín de cada partículaes igual al de su antipartícula.

5Con esta definición adoptamos ya el criterio de Física de partículas para definir I3, de signo opuesto al empleadoen Física Nuclear

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2.5 Conservación de I e I3 en la interacción fuerte 26

2.5. Conservación de I e I3 en la interacción fuerte

El isospín se conserva en las interacciones fuertes. Es decir el isospín total de las partículasparticipando en una interacción fuerte, es igual al isospín total de los productos. Por otra parte,I3 se conserva tanto en la interacción fuerte como electromagnética. La ley de conservación de I3

es una simple regla de contaje, mientras que la ley de conservación de I, es más complicada, dadoque es una magnitud vectorial, y usualmente es posible añadir los isospines de varias partículasde más de una forma.

El isospín, como hemos dicho, es como el momento angular, pero en un espacio abstracto. Laconservación del isospín se corresponde con la invariancia bajo rotaciones en ese espacio imaginario(I-espacio), de la misma forma que la conservación del momento angular refleja la invarianciarotacional en el espacio real. Esto nos dice que las interacciones fuertes no poseen una direcciónprivilegiada en el I-espacio, no distinguen entre arriba y abajo, entre un protón y un neutrón.La invariancia de isospín, explica, por tanto, el hecho de que cueste la misma energía extraer unprotón que un neutrón de un núcleo. Podemos realizar un planteamiento más formal, considerandoel Hamiltoniano que describe las partículas, y sabiendo que las partículas de un mismo multipletetienen masas parecidas, tenemos6:

H = Hf + Hem + Hd,[Hf ,~I

]= 0 (2.5.1)

Indicando así, explícitamente, que la interacción fuerte conmuta con todas las componentes delisospín, es la llamada simetría de isospín. Ahora bien, la diferencia de masas entre partículas deun mismo multiplete es del orden de MeV, lo que indica que la interacción electromagnética noconmuta con los operadores I±. Sin embargo, sí conmuta con I3, ya que conserva la carga eléctrica,el número bariónico y la extrañeza, dando lugar a la simple regla de contaje que hemos citadoantes. La interacción débil no conserva ninguna de las componentes del isospín.

2.6. Sistema de dos nucleones

Antes de observar como se verifica la conservación del isospín, vamos a definir de forma másprecisa las notaciones de este formalismo en el caso más simple, el nucleón (I = 1/2). La repre-sentación matricial de un isospín 1/2 en el I-espacio, es idéntico a la de un spin 1/2 en el espaciode spin, a saber, las matrices de Pauli (el formalismo es el mismo mientras que la representaciónfísica es diferente). Ya vimos en el apartado (2.4), el resultado de aplicar el operador I3 sobre unestado de nucleón.

En el caso de un sistema de dos nucleones, podemos aprovechar nuestro conocimiento sobre el6Es claro que Hf , Hem, Hd son los Hamiltonianos de las interacciones fuerte, electromagnética y débil respec-

tivamente.

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2.6 Sistema de dos nucleones 27

acoplamiento de momentos angulares. Se definen, por tanto, los operadores7:

I2 =(I(1) + I(2)

)2

y I3 = I(1)3 + I(2)

3 (2.6.1)

Tendremos entonces, que al acoplar dos partículas de isospín 1/2:

T =

0 estados singlete de isospín1 estados triplete de isospín

I I3 Estado Sistema

1 |1−〉 |2−〉 (n, n)

1 0 1√2

[|1−〉 |2+〉+ |1+〉 |2−〉

](n, p) Isospín (simétrico)

-1 |1+〉 |2+〉 (p, p)

0 0 1√2

[|1−〉 |2+〉 − |1+〉 |2−〉

](p, n) Isospín (antisimétrico)

Tabla 2.6.1: Acoplamiento de partículas con I = 1/2.

Debemos observar que la independencia de la carga por parte de la interacción fuerte nos llevaa atribuir un isospín I = 0 al único estado ligado del sistema de dos nucleones: el deuterio en suestado fundamental. De forma general la independencia de carga de la interacción nucleón-nucleónse puede resumir de la forma siguiente: si se desprecia la interacción coulombiana, las propiedadesde un sistema cualquiera de dos nucleones en un estado I = 1 no depende del valor de I3. Sinembargo, sus propiedades sí que dependen del valor de I, tal y como efectivamente ocurre. Enparticular, y como observamos en la tabla (2.6.1), las características de la interacción fuerte sobre(n, p) y (p, p) son diferentes ya que el sistema (p, p) sólo puede existir en el estado I = 1, mientrasque el sistema (n, p) puede existir ya sea en el estado I = 1 o en el estado I = 0.

Podemos entonces enunciar un principio de Pauli generalizado: un sistema de dos nucleonescualesquiera se debe encontrar en un estado antisimétrico respecto al intercambio de las partículasen el espacio producto de espacio ordinario × espacio de spin × espacio de isospín. Este principiose puede enunciar de la siguiente forma equivalente: un sistema de dos nucleones cualesquiera en

7De aquí en adelante y cuando se traten sistemas de nucleones, se considerará el operador I como el isospíntotal de sistema, y a I(i) como el isospín del partícula i-ésima. De forma equivalente se realizará para el operadorI3.

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2.7 Ejemplos de la conservación del isospín 28

un estado de momento angular relativo L, de spin S y de isospín I sólo puede consistir en unestado con L+ S + I impar8.

2.7. Ejemplos de la conservación del isospín

Describimos a continuación las situaciones en las cuales la conservación del isospín se manifiestade forma simple:

1. Prohibición de la reacción9: d+ d→ π0 + α.

El único sistema estable de cuatro nucleones es la partícula α. Siguiendo de nuevo el mismoargumento que hicimos con el deuterio, debemos atribuir a ese sistema un isospín de I = 0.Bajo estas condiciones, si el isospín se conserva, la reacción debe estar prohibida, ya que:

I(d) = I(α) = 0 y I(π) = 1:I(d+ d) = 0 6= 1 = I(α+ π0) (2.7.1)

La experiencia confirma este hecho: la sección eficaz que se observa es muy débil, y sedemuestra que necesariamente se debe a un proceso electromagnético, el que, evidentemente,no está sujeto a la conservación de I.

2. Comparación de las reacciones: p+ p→ d+ π+ y p+ n→ d+ π0.

Los estados finales de las anteriores reacciones son I = I(d + π) = 1, en ambos casos.Busquemos la probabilidad de encontrar los sistemas iniciales en estados I = 1. Para ello:

|p〉 |p〉 = |1+〉 |2+〉 = |1,−1〉

|p〉 |n〉 = |1+〉 |2−〉 =1√2

[|1, 0〉+ |0, 0〉

] (2.7.2)

Es decir el sistema (p, p) está en un estado puro I = 1 mientras el sistema (p, n) es unasuperposición lineal de los estados I = 1 e I = 0. Entonces, si el isospín se conserva , sóloel estado I = 1 pude contribuir y, por tanto, las secciones eficaces totales de esas reaccionesestarán en la relación:

σ+

σ0=σ(pp→ dπ+)

σ(pn→ dπ0)=

1(1/√

2)2 = 2 (2.7.3)

La experiencia lo confirma. Por ejemplo, a 600 MeV, σ+ = 3.15±0.22 mb y σ0 = 1.5±0.3 mb.A esta energía la contribución de los procesos electromagnéticos es despreciable.

8Un enfoque más formal lo encontramos en [2].9Denotaremos por el símbolo d al deuterio.

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2.8 Estados análogos en Física Nuclear 29

2.8. Estados análogos en Física Nuclear

Los estados análogos pueden considerarse otro ejemplo de la independencia de carga de lainteracción fuerte. En Física Nuclear, como hemos dicho en la sección (2.4), para cada nucleón:

I3 |p〉 =1

2|p〉 ; I3 |n〉 = −1

2|n〉 (2.8.1)

Para un núcleo compuesto de A nucleones de los que Z son protones y N son neutrones se tiene:

I3 =A∑i=1

I(i)3 = −N − Z

2(2.8.2)

Por ejemplo para el núcleo 20882Pb, tenemos I3 = −126− 82

2= −22.

Los núcleos con A fijo, para los que N y Z difieren en una unidad se denominan núcleos espejo.Algunos ejemplos:

31He↔ 3

2He ; 52He↔ 5

3Li ; 73Li↔ 7

4Be ; 94Be↔ 9

5B

El miembro que tiene más neutrones se caracteriza por I3 = −1/2 y el que excede en protonespor I3 = +1/2. Se trata, por tanto, de dobletes de isospín (I = 1/2). Si se desprecia la interaccióncoulombiana se esperaría que los espectros de estas parejas fueran idénticos, y así efectivamentese observa, por ejemplo, en el caso particular del 17

8O ↔179F; las pequeñas diferencias se deben a

las correcciones coulombianas. Se dice que esos niveles son “estados análogos” el uno del otro.Debemos subrayar el hecho de que la existencia de estados análogos en los núcleos espejo no

explica ni la independencia de carga de la interacción fuerte ni la simetría de carga. De hecho,esa analogía de los núcleos espejo se puede entender en un modelo como el de Heisenberg (queprivilegiaba la interacción p−n), ya que en los núcleos espejo existe el mismo número de ligadurasp − n en cada uno de los núcleos que forman pareja especular. El formalismo de isospín que fueintroducido en este modelo de Heisenberg, era cómodo, pero no tenía el significado físico que tieneactualmente.

En cambio si se consideran los espectros de 14O,14N y14C:

14O 14N 14C

I3 +1 0 -1

I 1 1 1

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2.9 Reglas de selección del isospín 30

Se observa que son totalmente análogos, y este sí que es un argumento a favor de la indepen-dencia de carga de la interacción fuerte, ya que los espectros manifiestan claramente la presenciade estados análogos aunque la composición de esos núcleos no hace intervenir el mismo númerode ligaduras (n− p).

De forma sistemática, el estado de un núcleo caracterizado por N = Z (I3 = 0), llamado núcleoautoconjugado, es un estado singlete de isospín (I = 0). Esto significa que estos núcleos presentanmayor simetría cuando se encuentran en tales estados. Este resultado puede generalizarse: el estadofundamental de un núcleo caracterizado por I3 = −(N − Z)/2, tiene como valor de isospín I elmismo compatible con su valor de I3, es decir I = |I3|. Los estados I = 2 que podría haber en comúncon los núcleos 14

5B, 147N y 14

9F (quintupletes de isospín) están situados a unas energías mucho máselevadas, tan elevadas que los núcleos son inestables por emisión de partículas. Igualmente ocurreen el caso de los núcleos14

5B y 149F, donde el estado fundamental tiene I = 2.

2.9. Reglas de selección del isospín

Ya hemos dicho que el isospín no se conserva en los procesos de interacción electromagnéticani débil, pero debido a que en muchos casos se puede despreciar su influencia, constituye unbuen número cuántico en los sistemas de interacción fuerte, y por tanto conduce a unas ciertasreglas de selección. En particular, las transiciones dipolares eléctricas caracterizadas por |∆I| ylas transiciones β caracterizadas por ∆I = 0, están favorecidas. Esta última regla de selección seinterpreta así: las amplitudes de transición β que relacionan estados análogos están favorecidas yaque el solapamiento de las funciones de onda de los estados inicial y final es óptimo. Por ejemplo,el núcleo 14O en su estado fundamental10 (Jπ = 0+, T = 1), se desintegra por emisión β+ haciael núcleo 14N. Sin embargo, la mayoría de las veces se efectúa la transición, no hacia el estadofundamental de este elemento (Jπ = 1+, I = 0), sino hacia el estado análogo (Jπ = 0+, I = 1)situado a 2.31 MeV del fundamental. Este tipo de transición entre estados análogos es lo que sedenomina transición superpermitida. Estará caracterizado, entre otras cosas, por ∆I = 1, ∆J = 0y ∆Π = 0.

También existen reglas de selección en el dominio de las partículas. Por ejemplo, las desinte-graciones “no leptónicas” de bariones por la interacción débil se efectúan respetando la regla deselección |∆I| = 1/2.

2.10. Clasificación de los estados nucleares: J ,Π,I,I3

Cuando el núcleo está aislado existe isotropía espacial, y , por tanto, el Hamiltoniano conmutacon el operador momento angular ~J, es decir,[

H, ~J]

= 0

10Denotamos por Jπ al momento angular total junto con la paridad.

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2.10 Clasificación de los estados nucleares: J ,Π,I,I3 31

lo que nos permite caracterizar los estados por los valores propios de J2 y Jz, es decir, podemosdejar los autoestados de forma que sean autoestados de los operadores:

J2 |ψ〉 = J (J + 1) |ψ〉Jz |ψ〉 = M |ψ〉

Es decir que las cantidades J y M se conservan. Como ya sabemos. Por Mecánica Cuánticasabemos que M puede tomar 2J + 1 valores y la energía de un estado no depende del valor de M(existe degeneración).

En lo que se refiere al problema de hallar los autoestados de HN ,

HNψN = EψN

Y resulta por lo anterior que podemos elegir ψ = ψ(J) con un valor determinado de J . Si seobservan los resultado experimental es en cuanto a los spines de los estados fundamentales:

• N , Z pares: de forma sistemática se observa que el estado fundamental es Jπ = 0+ (pareceenergéticamente más favorable acoplarse a 0)

• N impar y Z par: parece existir una tendencia a presentar el spin de una partícula solitaria(lo que sugiere un modelo de capas).

• N y Z impares: no hay una regla general.

Además de la conservación de J también podemos elegir los estados nucleares de forma quetengan una paridad definida:

P |ψ〉 = ± |ψ〉

Por tanto podremos caracterizar el estado de un núcleo por Jπ. Pero además como I es un buennúmero cuántico e I3 es una cantidad conservada, podemos completar la caracterización de unnúcleo con I e I3,

ψ (Jπ, I, I3)

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Capítulo 3

Los campos de Dirac y Maxwell

3.1. Introducción

La ecuación de Klein-Gordon fue el primer intento de construir una teoría cuántica relativista.Los problemas fundamentales que surgieron para rechazarla en un primer momento fueron:

• admitía soluciones de energía negativa,

• la densidad de probabilidad asociada con las funciones de onda no era definida positiva.

Sin embargo, Dirac propuso una nueva ecuación, en la que los estados de energía negativa seasociaban a las antipartículas. Este hecho, permitió analizar la ecuación de Klein-Gordon desdeotra perspectiva, y asociarla a una teoría de las partículas de spin cero, que obedecen la estadísticade Bose-Einstein.

Es de esperar, por tanto, que la cuantización del campo de Dirac nos lleve a una teoría paralas partículas de spin semientero, los fermiones. La interacción entre ambas partículas, fermionesde spin 1/2 y bosones de spin nulo, nos lleva a discutir el problema del acople de las electrones deDirac con el campo de Maxwell, y por tanto, a la cuantización de dicho campo. La teoría resultantees la llamada Electrodinámica Cuántica (QED).

3.2. El campo de Dirac

3.2.1. El campo spinorial de Dirac

Después de que Dirac considerara la teoría relativista de la radiación en 1927, trató de construiral año siguiente la teoría relativista de los electrones. Una de las importantes limitaciones era elproblema de las probabilidades negativas. Dirac comenzó observando que la ecuación no relativistade Schrödinger no tenía probabilidades negativas porque era lineal en el tiempo, mientras que alecuación de Klein-Gordon, siendo cuadrática en el tiempo, tenía probabilidades negativas.

32

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3.2 El campo de Dirac 33

Así pues, Dirac intentó encontrar un ecuación de onda que fuera lineal en el tiempo perosatisfaciendo la ligadura relativista:

pµpµ = E2 − ~p 2 = m2 (3.2.1)

La idea original de Dirac fue tomar la raíz cuadrada de la ecuación de la energía. De esta forma,llegó a la representación spinorial del grupo de Lorentz. Dirac comenzó con la ecuación de primerorden:

i∂ψ

∂t=(−iαi∇i + βm

)ψ (3.2.2)

donde αi y β, son matrices constantes, que actúan en un vector columna ψ.Elevando al cuadrado el operador que actúa sobre el campo ψ, queremos recobrar la condición

(3.2.1),

− ∂2

∂t2ψ =

(−i~α ·

−→∇ + βm

)2

ψ =(−∇2 +m2

)ψ (3.2.3)

que es sólo posible si hacemos que las matrices satisfagan:

αi, αk = 2δik

αi, β = 0

α2i = β2 = 1

(3.2.4)

Para hacer las ecuaciones más simétricas podemos definir γ0 = β y γi = βαi. Multiplicando laecuación de onda por β, tenemos la ecuación de Dirac:

(iγµ∂µ −m)ψ = 0 (3.2.5)

donde las matrices γ satisfacen:

γµ, γν = 2gµν (3.2.6)

En Spinors, ya discutimos la representación de O(N) definiendo un álgebra de Clifford, que esprecisamente el álgebra formada por los γµ. Entonces, lo que realmente estamos construyendo esla representación de spin 1/2 del grupo de Lorentz, esto es, los Spinors.

Para calcular el comportamiento de esta ecuación bajo el grupo de Lorentz, definamos comolos spinors se transforman bajo alguna representación S(Λ) del grupo de Lorentz:

ψ′(x′) = S(Λ)ψ(x) (3.2.7)

Entonces la ecuación de Dirac se transforma como sigue:[iS−1 (Λ) γµS(Λ)∂µ −m

]ψ =

[iγµ (Λ)νµ ∂ν −m

]ψ = 0 (3.2.8)

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3.2 El campo de Dirac 34

donde hemos multiplicado la ecuación transformada de Dirac por S−1(Λ) por la izquierda, y hemostomado en cuenta el transformado ∂′µ = (Λ)µν ∂

ν . Para que la ecuación sea además, covarianteLorentz, debemos tener la siguiente relación:

S(Λ)γµS−1(Λ) = (Λ−1)µνγν (3.2.9)

que ya habíamos encontrado en la sección Spinors. Para encontrar una representación explícita deS(Λ), introduzcamos la siguiente matriz:

σµν =i

2[γµ, γν ] (3.2.10)

Ya vimos que los generadores de O(N) (ver Elementos de Teoría de Grupos) eran (i/4) [Γµ,Γν ]en la representación spinorial. Por tanto, σµν/2, son los generadores del grupo de Lorentz en estarepresentación.

Escribamos ahora un nuevo generador del grupo de Lorentz que es la suma de los viejos ge-neradores Lµν (que actúan en el espacio−tiempo de las coordenadas) más un nuevo término quetambién genera el grupo de Lorentz, pero en la representación spinorial:

MµνLµν +1

2σµν (3.2.11)

Los σµν también obedecen la siguiente relación:

[γµ, σαβ] = 2i(δµαγβ − δ

µβγα)

(3.2.12)

lo que demuestra que las matrices de Dirac se transforman como vectores en la representaciónspinorial del grupo de Lorentz.

En términos de esta nueva matriz, podemos encontrar una representación explícita de la matrizS(Λ):

S(Λ) = e(−i/4)σµνωµν

(3.2.13)

Ahora podemos construir invariantes bajo el grupo. Cojamos el hermítico conjugado de la ecuaciónde Dirac:

γ†(iγ†

µ←−∂ µ +m

)= 0 (3.2.14)

Podemos afirmar, además, que existe una representación de las matrices de Dirac que satisface:(γ0)†

= γ0

(γi)† = −γi(3.2.15)

donde γ0 es antihermítica y γi hermítica. Esto puede escribirse también como γµdag = γµ.Definamos:

ψ ≡ ψ†γ0 (3.2.16)

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3.2 El campo de Dirac 35

Si aplicamos la ecuación conjugada de movimiento a γ0, podemos reemplazar los γ† por las matricesγ, dejándonos con:

ψ(iγµ←−∂ µ +m

)= 0 (3.2.17)

Bajo una transformación de Lorentz, el nuevo campo ψ obedece:

ψ′(x′) = ψ(x)γ0S(Λ)†γ0 = ψ(x)S−1(x) (3.2.18)

Esto es justo lo que necesitamos para formar tensores invariantes y covariantes. Por ejemplo, ψψes invariante bajo el grupo de Lorentz:

ψ′(x′)ψ′(x′) = ψ(x)S−1(Λ)S(Λ)ψ = ψ(x)ψ(x) (3.2.19)

De la misma forma, ψγµψ es un vector bajo el grupo de Lorentz:

ψ′(x′)γµψ′(x′) = ψS−1γµSψ = ψ(x)Λµνγ

νψ(x) (3.2.20)

donde hemos usado el hecho:

S−1γµS = Λµνγ

ν (3.2.21)

que no es más que decir que γµ se transforman como vectores bajo la representación spinorial delgrupo de Lorentz1.

De la misma forma, es directo mostrar que ψσµνψ se transforma como un verdadero tensor derango 2 bajo el grupo de Lorentz. Para encontrar otros tensores de Lorentz que puedan represen-tarse como bilineales en los spinors, introduzcamos la matriz:

γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3 = − i

4!εµνρσγ

µγνγργσ (3.2.22)

donde εµνρσ = −εµνρσ, y ε0123 = +1. Dado que γ5 se transforma como εµνρσ, se trata de unpseudoescalar; esto es, cambia de signo, bajo transformaciones de paridad. Por tanto, ψγ5ψ, es unpseudoescalar.

De hecho, el conjunto completo de bilineales, sus propiedades de transformación y el númerode elementos en cada tensor vienen dados por:

Escalar : ψψ [1]

Vector : ψγµψ [4]

Tensor : ψσµνψ [6]

Pseudovector : ψγ5γµψ [4]

Pseudoescalar : ψγ5ψ [1]

(3.2.23)

1Para obtener esta fórmula tomar primero una transformación de Lorentz infinitesimal. Entonces S−1γµS sehace proporcional al conmutador entre σλρ y γµ, lo que nos da otra matriz gamma. Si exponenciamos este procesopara transformaciones finitas, obtenemos la ecuación deseada.

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3.2 El campo de Dirac 36

Vemos, por tanto, que hay un total de 16 componentes. Podemos ver que las siguientes 16 matricesson linealmente independientes:

ΓA = I, γµ, σµν , γ5γµ, γ5 (3.2.24)

donde (ΓA)2 = ±1. Para demostrar que estas 16 matrices forman un conjunto completo, asumimos,por el momento, que existe una relación entre ellas, tal que:∑

A

cAΓA = 0 (3.2.25)

donde cA son números. Entonces, multipliquemos esto por ΓB y tomemos la traza. Si ΓB = 1,tenemos que ci = 0. Si ΓB 6= 1, entonces usamos el hecho de que existe ΓC 6= 1 tal que ΓAΓB = ΓC ,si A 6= B. Tomando la traza, vemos que cB = 0. Dado que B es arbitrario, esto determina quetodos los coeficientes son cero, por lo que estas 16 matrices son linealmente independientes.

Dado que las γµ se transforman como un vector bajo el grupo de Lorentz, la siguiente Lagran-giana es invariante bajo el grupo de Lorentz:

L = ψ (iγµ∂µ −m)ψ (3.2.26)

Esta es la Lagrangiana correspondiente a la ecuación de Dirac. Variaciones de esta ecuación porψ o ψ generarán las dos versiones de la ecuación de Dirac.

Hasta ahora, no hemos dicho nada referente la representación de las matrices de Dirac por símismas. De hecho, un número considerable de identidades puede deducirse de estas matrices decuatro dimensiones sin mencionar una representación específica, tales como:

γµγµ = 4

γργµγρ = −2γµ

γργνγµγρ = 4gµν

γργµγνγσγρ = −2γσγνγµ

(3.2.27)

Algunas operaciones con la traza pueden definirse:

Tr(γ5γµ

)= Trσµν = Trγµγνγ5 = 0

Tr (γµγν) = 4gµν

Tr (γµγνγργσ) = 4 (gµνgρσ − gµρgνσ + gµσgνρ)

Tr(γ5γµγνγργσ

)= 4iεµνρσ

(3.2.28)

En particular, esto significa:

Tr (abcd) = 4 [(a · b)(c · d) + (a · d)(b · c)] (3.2.29)

donde a ≡ aµγµ.

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3.2 El campo de Dirac 37

A menudo es conveniente encontrar una representación explícita de las matrices de Dirac. Larepresentación más común de estas matrices es la llamada representación de Dirac:

γ0 =

(I 00 −I

); γi =

(0 σi

−σi 0

);

β =

(I 00 −I

); αi =

(0 σi

σi 0

);

(3.2.30)

donde las σi son las matrices de spin de Pauli. Entonces, el spinor ψ es un campo complejo concuatro componentes que describen una partícula con masa de spin 1/2.

Ahora descompongamos ψ(x) en ondas planas para podes comenzar con la cuantización canó-nica. Para esto, necesitamos un conjunto básico de spinors independientes para ψ. Tomamos laelección obvia:

u1(0) =

1000

; u2(0) =

0100

; v1(0) =

0010

; v2(0) =

0001

(3.2.31)

La estrategia ahora, es aplicar a estos spinors S(Λ) para aplicarles un boost y llevarlos a un estadode momento p. Los spinors que ahora dependen del momento son:

uα(p) = S(Λ)uα(0)

vα(p) = S(Λ)vα(0)(3.2.32)

que obedecen:

(γ · p−m)u(p) = 0

(γ · p+m)v(p) = 0

u(p)(γ · p−m) = 0

v(p)(γ · p+m) = 0

(3.2.33)

Si ahora hacemos cero todas las rotaciones, quedándonos sólo con boosts de Lorentz, la matriz detransformación no es difícil de construir. Entonces, los únicos generadores son los generadores K,que además son proporcionales a σi. En particular, tenemos:

S(Λ) =

(cosh(φ/2) ~σ · ~n senh(φ/2)

~σ · ~n senh(φ/2) cosh(φ/2)

)=

√E + n

2m

(I ~σ·~p

E+m~σ·~pE+m

I

)(3.2.34)

donde cosh(φ/2) = [(E +m)/2m]1/2 y senh(φ/2) = [(E −m)/2m]1/2. Aplicando S(Λ) a la base

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3.2 El campo de Dirac 38

de spinor independientes, encontramos:

u1(p) =

√E +m

2m

10pz

E+mp+E+m

, u2(p) =

√E +m

2m

10p−E+mpz

E+m

u1(p) =

√E +m

2m

pz

E+mp+E+m

10

, u1(p) =

√E +m

2m

p−E+m−pz

E+m

01

(3.2.35)

donde p± = px ± ipz.Debido a la descomposición que hemos elegido, los spinors u corresponden a electrones con ener-

gía positiva (moviéndose hacia delante en el tiempo), mientras que los spinors v se correspondencon electrones de energía negativa (moviéndose hacia atrás en el tiempo).

Ahora describiremos spinors de un spin definido. Dado que es posible producir impulsos po-larizados de electrones, es importante determinar cómo incorporar operadores de proyección quepuedan seleccionar un determinado spin.

Esto no es tan simple como puede parecer, dado que nuestro concepto intuitivo de spin estáarraigado con el grupo de rotación, que es sólo un subgrupo del grupo de Lorentz. Sin embargo,el concepto intuitivo de spin y sus autofunciones ya no se pueden aplicar para sistemas a los quele hemos aplicado un boost.

En el sistema en reposo, sabemos que el spin del sistema puede describirse via un vector tri-dimensional ~s que apunta en una determinada dirección. Por tanto, deberíamos introducir elcuadrivector sµ, que, en el sistema en reposo, se reduce a sµ = (0, ~s). Entonces, imponiendo quese transforma como un cuadrivector, podemos aplicar un boost a este vector por una transforma-ción de Lorentz. Si definimos ~s 2 = 1, tenemos que s2

µ = −1. En el sistema en reposo, tenemospµ = (m, 0); luego tenemos también pµs

µ = 0, que debe mantenerse para cualquier sistema porinvariancia Lorentz. Por tanto, ahora tenemos dos condiciones para nuestro cuadrivector de spin:

s2µ = −1

pµsµ = 0

(3.2.36)

Lo que nosotros queremos es definir un operador proyección que seleccione los estados de undeterminado spin. De nuevo, definiremos el operador de proyección invariante Lorentz examinandoel sistema en reposo. De esta forma, sabemos que el operador ~σ · ~s actúa como un operador quedetermina el spin del sistema:

~σ · ~suα(0) = uα(0)

~σ · ~svα(0) = −vα(0)(3.2.37)

Para sistemas de spin 1/2, el operador de proyección en reposo, puede ser escrito como:

P (~s) =1± ~σ~s

2(3.2.38)

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3.2 El campo de Dirac 39

donde el signo + hace referencia al spinor u, y el signo − al spinor v. Nuestra meta es escribir unaversión de esta ecuación a la que le hayamos aplicado un boost. Definamos el operador:

P (s) =1 + γ5s

2(3.2.39)

En el sistema en reposo, este operador se reduce a:

P (s) =1

2

(1 + ~σ · ~s 0

0 1− ~σ · ~s

)(3.2.40)

Esta es la expresión deseada. Las nuevas autofunciones poseen ahora un spin s asociadas a ellasu(k, s). Éstas satisfacen:

P (s)u(k, s) = u(k, s) (3.2.41)P (s)v(k, s) = v(k, s) (3.2.42)

P (−s)u(k, s) = P (−s)v(k, s) = 0 (3.2.43)

Estos spinors pueden ser útiles en algunos cálculos porque satisfacen ciertas relaciones de com-pletitud. Cualquier cuadrispinor puede ser escrito en términos de una combinación lineal de loscuatro uα(0) y vβ(0), ya que éstos abarcan el espacio de los cuadrispinors. Si ahora aplicamos unboost a estos spinors mediante S(Λ), entonces uα(p) y vβ(p) abarcarán el espacio de todos loscuadrispinors que satisfacen la ecuación de Dirac.

Igualmente, uTα(0)vβ(0), etc. poseen 16 elementos independientes, que abarcan el espacio enterode las matrices 4 × 4. Por tanto, uα(0)vβ(0), etc. abarcan el espacio de todas las matrices 4 × 4que también satisfacen la ecuación de Dirac.

Si normalizamos nuestros spinors:

u(p, s)u(p, s) = 1

v(p, s)v(p, s) = −1(3.2.44)

Con esta normalización podemos ver que los spinors satisfacen ciertas relaciones de completitud:∑s

uσ(p, s)uβ(p, s)− vσ(p, s)vβ(p, s) = δσβ (3.2.45)

Para la representación particular que hemos elegido:

uσ(p, s)uβ(p, s) =

(p+m

2m· 1 + γ5s

2

)σβ

(3.2.46)

y,

vσ(p, s)vβ(p, s) = −(m− p

2m· 1 + γ5s

2

)σβ

(3.2.47)

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3.2 El campo de Dirac 40

Si sumamos sobre la helicidad s, obtenemos dos operadores proyección:

|Λ+(p)|αβ =∑±x

uα(p, s)uβ(p, s) =

(p+m

2m

)αβ

|Λ−(p)|αβ = −∑±x

vα(p, s)vβ(p, s) =

(−p+m

2m

)αβ

(3.2.48)

Estos operadores de proyección satisfacen:

Λ2± = Λ±; Λ+Λ− = 0; Λ+ + Λ− = 1 (3.2.49)

Por la relaciones de completitud, Λ± tiene una interpretación simple: proyecta las soluciones deenergía positiva o negativa.

3.2.2. Cuantizando el campo spinorial

Hasta ahora, hemos discutido sólo la teoría clásica. Para hacer la segunda cuantización sobreel campo de Dirac, debemos calcular el momento conjugado del campo spinorial:

π(x) =δL

δψ(x)= iψ† (3.2.50)

Descompongamos el campo spinorial en sus componentes de Fourier:

ψ(x) =

∫ √m

k0

d3k√(2π)3

∑σ=1,2

[bσ(k)uσ(k)e

−ikx + d†α(k)vα(k)eikx]

ψ(x) =

∫ √m

k0

d3k√(2π)3

∑σ=1,2

[b†σ(k)uσ(k)e

ikx + dα(k)vα(k)e−ikx] (3.2.51)

En términos de partículas y antipartículas, este descomposición nos da la siguiente interpretaciónfísica:

ψ(x)

b(p)u(p)e−ipx Aniquila un electrón de energía positivab†(p)v(p)eipx Crea un electrón de energía positiva (3.2.52)

Si invertimos las ecuaciones (3.2.51) y resolvemos para los momentos en términos de los campos:

bα(k) =

∫d3x U

α

k (x)γ0ψ(x)

b†α(k) =

∫d3x ψ(x)γ0Uα

k (x)

dα(k) =

∫d3x ψ(x)γ0V α

k (x)

d†α(k) =

∫d3x V

α

k γ0ψ(x)

(3.2.53)

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3.2 El campo de Dirac 41

donde,

Uk(x) =

√m

k0 (2π)3u(k)e−ikx

Vk(x) =

√m

k0 (2π)3v(k)eikx

(3.2.54)

Ahora insertemos nuestra descomposición de Fourier de nuevo, en la expresión del Hamiltoniano:

H =

∫d3x

(πψ −L

)=

∫d3x ψ(iγ0∂0ψ) =

=

∫d3x k0

∑α

[b†α(k)bα(k)− dα(k)d†α

] (3.2.55)

Aquí encontramos un serio problema, es decir, que la energía del Hamiltoniano puede ser negativa.Sin embargo, existe una forma de quitarnos este signo menos. Definamos las relaciones de conmu-tación canónicas en el mismo instante de tiempo de los campos y campos conjugados medianteanticonmutadores , en lugar de con conmutadores :

ψi(~x, t), ψ†j(~y, t) = δ3(~x− ~y)δij (3.2.56)

Para que las relaciones canónicas de anticonmutación se cumplan„ los momentos de Fourier debenobedecer por sí mismos las relaciones de anticonmutación, dadas por:

bα(k), b†α′(k′) = δα,α′δ

3(~k − ~k′)

dα(k), d†α′(k′) = δα,α′δ

3(~k − ~k′)(3.2.57)

Si ahora ordenamos de forma normal el Hamiltoniano, quitaremos el punto cero infinito de energía,y, por tanto:

H =

∫d3k k0

∑α

[b†α(k)bα(k) + d†α(k)dα(k)

]~P =

∫d3k ~k

∑α

[b†α(k)bα(k) + d†α(k)dα(k)

] (3.2.58)

Por tanto el uso de relaciones de anticonmutación y de orden normal, resuelve fácilmente elproblema del Hamiltoniano con autovalores de energía negativos.

Aún más, los d† pueden interpretarse como operadores creación para la antimateria (o operado-res aniquilación para los electrones de energía negativa). De hecho, esta fue la motivación originalpara que Dirac postulase la antimateria. Para ver como emerge la interpretación de estos nuevosestados, observemos que la Lagrangiana de Dirac es invariante bajo:

ψ → siΛψ; ψ → ψe−iΛ (3.2.59)

Además debe existir una corriente conservada con tal simetría. Una aplicación directa del teoremade Noether nos lleva a:

Jµ = ψγµψ; ∂µJµ = 0 (3.2.60)

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3.2 El campo de Dirac 42

que se conserva, si usamos la ecuación de Dirac.Clásicamente, la carga conservada es definida positiva al ser proporcional a ψψ. Esta es pues, una

mejora respecto a la ecuación de Klein-Gordon, donde la carga podía ser negativa. Sin embargo,una vez cuantizado el sistema, la carga de Dirac también puede ser negativa. La carga cuantizadaasociada con esta corriente vienen dada por:

Q =

∫d3xJ0 =

∫d3x : ψ†ψ : =

∫d3k

∑α

[b†α(k)bα(k)− d†α(k)dα(k)

](3.2.61)

Esta cantidad puede ser negativa y de ahí que no pueda asociarse con la densidad de probabilidad.Sin embargo, podemos, como se hace en el campo de Klein-Gordon, interpretar esto como lacorriente asociada con el acople al electromagnetismo; así Q corresponde a la carga eléctrica. Eneste caso, el signo menos en Q es una característica útil, ya que significa que d† es el operadorcreación de la antimateria, esto es, un positrón con carga opuesta al electrón.

Por lo que hemos dicho, tenemos que abandonar la interpretación simple de ψ como una funciónde onda de un solo electrón, pues ahora describe ambos, electrón y positrón. Las relaciones deanticonmutación también reproducen el Principio de Exclusión de Pauli que hallamos en mecánicacuántica. Dado que d†α(k)d†α(k) = 0, sólo una partícula puede ocupar un estado de energía distintocon un determinado spin. Un estado multipartícula, vendrá dado entonces por:

N∏i=1

d†αi(ki)

M∏j=1

b†αj(kj) |0〉 (3.2.62)

con sólo una partícula en cada estado cuántico dado. Este es el primer ejemplo del teorema de laestadística de spin: las teorías de campo definidas con spin entero y conmutadores son llamadasbosónicas, mientras que las teorías con spin semientero son cuantizadas con anticonmutadores yson llamadas fermiónicas. La existencia de dos tipos de estadísticas, una basada en conmutadores(estadística de Bose-Einstein), y otra basada en anticonmutadores (estadística de Fermi-Dirac), hasido observada experimentalmente en muchas situaciones físicas, y se ha empleado para explicarel comportamiento a bajas temperaturas de los sistemas e incluso de las enanas blancas.

El tensor de energía−momento puede calcularse también a partir del teorema de Noether2:

T µν = iψγµ∂µψ

M λµν = iψγλ(xµ∂ν − xν∂µ − i

2σµν)ψ

(3.2.63)

El tensor de momento angular es:

Mµν =

∫M 0µνd3x =

∫d3x iψ†

(xµ∂ν − xν∂µ − i

2σµν)ψ (3.2.64)

Observemos que el tensor de momento angular tiene un elemento extra proporcional a σµν , lo querepresenta que la teoría tiene un spin de 1/2.

2El término Lagrangiano en el tensor de energía−momento puede eliminarse ya que la Lagrangiana de Dirac escero si se cumplen las ecuaciones de movimiento.

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3.2 El campo de Dirac 43

Para completar nuestra discusión, podemos calcular como un campo spinorial se transformacomo un campo de spin 1/2 bajo el grupo de Poincaré:

U(Λ, a)ψα(x)U−1(Λ, a) = S−1(Λ)αβψβ (Λx+ a) (3.2.65)

Una de las hipótesis fundamentales de la teoría de campos es que debe ser causal. De hecho,el teorema de la estadística de spin está íntimamente ligado con la microcausalidad, es decir,que las señales no pueden propagarse a una velocidad mayor que la de la luz. Desde el punto devista de la teoría de campos, la microcausalidad puede interpretarse como que el conmutador (oanticonmutador) de dos campos bosónicos (fermiónicos) se anula para separaciones espaciales:

[φ(x), φ(y)] = 0 para (x− y)2 < 0

ψ(x), ψ(y) = 0 para (x− y)2 < 0(3.2.66)

Par demostrar el teorema de la estadística de spin, cuanticemos los bosones con anticonmuta-dores, y llegaremos a una contradicción. Para grandes separaciones encontramos además que:

〈0|φ(x), φ(y) |0〉 =

∫d3k

(2π)32ωk

(e−ik(x−y) + eik(x−y)

)

∼exp

(−m

√|~x− ~y|2 − (x0 − y0)2

)|~x− ~y|2 − (x0 − y0)2

(3.2.67)

que claramente viola nuestra hipótesis de microcausalidad (de la misma forma, los fermionescuantizados con conmutadores llevan a una contradicción).

Históricamente, Dirac introdujo anticonmutadores y antimateria, y al mismo tiempo se preocu-pó de que la teoría tuviera o no problemas con los estados de energía negativa. Dado que todos lossistemas físicos prefieren los estados de menor energía, existe una probabilidad finita de que todoslos electrones de la naturaleza decaigan en estos estados de energía negativa, constituyendo unacatástrofe. Para resolver este problema de los estados de energía negativa, Dirac dio una nuevainterpretación del vacío: consideró que el vacío está formado por un mar infinito de estados deenergía negativa. La materia ordinaria no radia de repente una cantidad infinita de energía y decaeal mar de estados de energía negativa, porque éste está completamente lleno. Por las relaciones deanticonmutación, sólo un electrón puede ocupar un estado de energía negativa a la vez. Así queun electrón no podría decaer en el mar de estados de energía negativa si éste ya está lleno, De etaforma, electrones de energía positiva no podrían decaer en avalancha hacia los estados de energíanegativa.

Sin embargo, un electrón del mar de Dirac puede ser expulsado del mismo, creando un hueco.Este hueco actuará como una partícula. Dirac observó que la ausencia de un electrón de carga −|e|y estado de energía negativa −E es equivalente a la presencia de una partícula de carga positiva+|e| y energía positiva |E|. Este hueco posee entonces una carga positiva y la misma masa que elelectrón.

Dirac postuló que este hueco se correspondería con un nuevo estado de la materia, un antielec-trón. El vacío fue entonces elevado a un infinito almacén de materia de energía negativa.

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3.2 El campo de Dirac 44

La teoría de los huecos de Dirac, determina que un nuevo proceso físico es posible, la producciónde pares, donde la materia puede aparecer a partir del propio vacío. Los fotones que chocan conun electrón del mar de Dirac, pueden expulsarlo creando un hueco, y, por tanto, dando lugar a unpar, el electrón y su hueco, esto es, un electrón y un positrón.

Nuestra interpretación inicial (de que los electrones de energía negativa van hacia atrás en eltiempo son equivalentes a los positrones de energía positiva que van hacia delante en el tiempo)es equivalente a la mar de energía negativa de Dirac. De hecho, quitar la constante infinita delHamiltoniano, puede interpretarse como quitar la energía del mar de energía negativa de Dirac.

Para observar como estos estados de energía positiva y negativa se mueven en el tiempo, defi-namos la evolución de nuestra función de onda a través de una fuente J(x) como sigue:

(iγµ∂µ −m)ψ = J(x) (3.2.68)

Par resolver esta ecuación, introducimos el propagador de Dirac:

(iγµ∂µ −m)SF (x− y) = δ4(x− y) (3.2.69)

Entonces las soluciones a la ecuación de onda vienen dadas por:

ψ(x) = ψ0(x) +

∫d4y SF (x− y)J(y) (3.2.70)

donde ψ0 es solución de la ecuación de Dirac homogénea.Una representación explícita del propagador de Dirac puede obtenerse usando la transformada

de Fourier:

SF (x− y) =

∫d4p

(2π)4e−ip(x−y)

γµpµ +m

p2 −m2 + iε(3.2.71)

que satisface:

SF (x− y) = (iγµ∂µ +m) ∆F (x− y) (3.2.72)

donde ∆F (x− y) es el propagador de Klein-Gordon.Ahora podemos resolver integrando sobre k0. Respecto al caso de Klein-Gordon, tenemos un

factor adicional de p+m en el numerador.Integrando la energía, podemos escribir la función de Green en términos de ondas planas. El

resultado es casi idéntico al que se halla en el propagador de Klein-Gordon, excepto por la inclusiónde las matrices:

SF (x− x′) = −i∫

d3p

(2π)3

m

E

[Λ+(p)e−ip(x−x

′)θ(t− t′) + Λ−(p)eip(x−x′)θ(t′ − t)

]=

=

∫d3p

[−iθ (t− t′)

2∑r=1

ψrp(x)ψrp(x

′) + iθ(t′ − t)4∑r=3

ψrp(x)ψrp(x

′)

] (3.2.73)

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3.2 El campo de Dirac 45

donde:

ψrp(x) ≡√m

E(2π)−3/2 ωr(~p)e

−i~ε rpx (3.2.74)

donde εr = (1, 1,−1,−1) y ω1 = u1, ω2 = u2, ω3 = v1 y ω4 = v2. Escritos de esta manera, losestados con energía positiva se desplazan hacia delante en el tiempo, mientras que los estados conenergía negativa se propagan hacia atrás en el tiempo.

Ahora podemos reemplazar las ondas planas ψp, por el campo spinorial cuantizado ψ(x) to-mando el valor esperado del vacío del campo spinorial:

iSF (x− y)αβ = 〈0|Tψα(x)ψβ(y) |0〉 (3.2.75)

que es uno de los más importantes resultados, usado en las matrices de scattering.

3.2.3. Los neutrinos de Weyl

Hemos visto que la representación spinorial del grupo de Lorentz es realmente reducible si in-troducimos los operadores de proyección PL y PR. Aunque nosotros no teníamos que preocuparnosde esto, porque el grupo completo de Poincaré es irreducible para estados masivos.

Sin embargo, existe un situación en la que la representación spinorial es reducible incluso bajoel grupo de Poincaré, y es cuando los fermiones carecen de masa. Por ejemplo, podemos tomaruna representación imaginaria de las matrices γ, que nos da los llamados spinors de Majorana.Para nuestros propósitos es más útil tomar la representación de Weyl, que nos permite obteneruna representación de los neutrinos.

Si tomamos la representación:

γ0 =

(0 II 0

); γi =

(0 σi

−σi 0

); γ5 =

(I 00 I

)(3.2.76)

Entonces, en esta representación, podemos escribir dos operadores quirales:

PR =1 + γ5

2=

(I 00 0

)PL =

1− γ5

2=

(0 00 I

) (3.2.77)

Para ver cómo estos operadores afectan al campo del electrón, dividamos ψ como sigue:

1 + γ5

2ψ =

(ψR0

)1− γ5

2ψ =

(0ψL

) (3.2.78)

Dado que PR y PL conmutan con los generadores de Lorentz:

[PL,R, σµν ] = 0 (3.2.79)

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3.3 El campo de Maxwell 46

tenemos que el spinor de cuatro componentes ψ realmente abarca una representación reducibledel grupo de Lorentz. Aunque ψL y ψR forma cada uno una representación reducible del grupo deLorentz, no constituyen una representación del grupo de Poincaré para partículas con masa. Paraencontrar una representación irreducible del grupo de Poincaré debemos imponer m = 0.

La razón de que estos fermiones quirales deban ser no masivos es que el término de masa mψψen el Lagrangiano no es invariante bajo dos transformaciones de Lorentz independientes. Dadoque:

ψψ = ψLψR + ψRψL (3.2.80)

los términos de masa en la acción necesariamente mezclarán estas dos representaciones distintasdel grupo de Lorentz. Por tanto, esta representación nos fuerza a tener fermiones de masa nula;es decir, que esta es una teoría de neutrinos sin masa.

La teoría de los neutrinos de masa nula es invariante bajo las siguientes transformacionesquirales:

ψ → eiγ5Λψ

ψ → ψeiγ5Λ(3.2.81)

Esta simetría es violada por los términos con masa. Así pues, la representación spinorial del grupode Poincaré (para partículas de masa nula) es reducible, y tenemos la libertad de escoger unarepresentación spìnorial de dos componentes en lugar de una de cuatro.

3.3. El campo de Maxwell

3.3.1. Las ecuaciones de Maxwell

Ahora que hemos discutirlo el electrón libre de Dirac, nos gustaría tratar el acople del electrónde Dirac al campo de spin 1 de Maxwell, Aµ. La teoría resultante es, como hemos dicho, laelectrodinámica cuántica.

Nuestra discusión sobre el campo no masivo de spin 1 comienza con las ecuaciones de Maxwell:−→∇ ~E = ρ

−→∇ × ~B − ∂ ~E

∂t= ~j

−→∇ ~B = 0

−→∇ × ~E +

∂ ~B

∂t= 0

(3.3.1)

La fuente, además, obedece la ecuación de conservación:

∂ρ

∂t+−→∇~j = 0 (3.3.2)

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3.3 El campo de Maxwell 47

Dado que la divergencia del rotacional es cero, y dado que el rotacional del gradiente tambiénse anula, podemos reemplazar los campos magnético y eléctrico por el potencial:

~E = −−→∇A0 − ∂ ~A

∂t; ~B =

−→∇ × ~A (3.3.3)

Estas ecuaciones son invariantes bajo transformaciones de Lorentz. Para ver esta invarianciade forma más clara definamos:

Aµ =(A0, ~A

)jµ =

(ρ,~j) (3.3.4)

Entonces la ecuación de conservación de la corriente puede reescribirse como:

∂µjµ = 0 (3.3.5)

y las ecuaciones de Maxwell pueden resumirse como:

∂µFµν = jν (3.3.6)

donde:

Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (3.3.7)

o bien:

F µν =

0 −E1 −E2 −E3

E1 0 −B3 B2

E2 B3 0 −B1

E3 −B2 B1 0

(3.3.8)

y:

F 0i = −Ei; F ij = −εijkBk (3.3.9)

Podemos derivar las ecuaciones de Maxwell a partir del Lagrangiano:

L = −1

4FµνF

µν =1

2

(~E2 − ~B2

)(3.3.10)

Si introducimos ésta en las ecuaciones del movimiento de Euler-Lagrange tenemos que la ecuaciónde movimiento viene dada por:

∂µFµν = 0 (3.3.11)

que es la clásica ecuación de Maxwell cuando no hay fuente.

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3.3 El campo de Maxwell 48

Una consecuencia clave de esta construcción es que la teoría de Maxwell es invariante bajo unasimetría local, esto es, una cuyos parámetros dependen del espacio−tiempo3:

δAµ = ∂µΛ(x) (3.3.12)

Si aplicamos transformaciones de Lorentz sucesivas, observaremos que forman un grupo con laregla de adición:

Λ3 = Λ1 + Λ2 (3.3.13)

Esta es la misma ley de adición que encontramos para U(1), así que las ecuaciones de Maxwellson localmente invariantes bajo U(1) (ver Elementos de Teoría de Grupos).

Bajo esta transformación, el tensor de Maxwell es un invariante:

δFµν = 0 (3.3.14)

así que la Lagrangiana también es invariante.Hay por tanto una gran redundancia en la teoría. Las ecuaciones para Aµ son idénticas a las

ecuaciones para A′µ = Aµ + ∂µA.

También debemos observar que el tensor de energía−momento asociado con la teoría de Ma-xwell tiene propiedades erróneas. No es simétrico ni invariante gauge. Una aplicación intuitiva delteorema de Noether nos da el siguiente tensor de energía−momento:

T µν = −F µλδνAλ +1

4gµνFρσF

ρσ (3.3.15)

que no es simétrico. Esto determina que no tenemos un tensor de momento angular que se conserve.Aún peor, ni siquiera tenemos la invariancia gauge, ya que no está completamente escrito entérminos del tensor Fµν .

Sin embargo, dado que el tensor de energía−momento no es una cantidad directamente medible,podemos añadirle libremente un tensor:

T µν → T µν + ∂λ(F µλAν

)(3.3.16)

El tensor resultante es simétrico, invariante gauge y se conserva:

T µν = F µρF νρ +

1

4gµνFρσF

ρσ (3.3.17)

Aunque hemos añadido un término extra, esto no afecta a las cargas, que son directamen-te medibles. Para ver cuáles son las cargas conservadas que están asociadas a este tensor deenergía−momento, tenemos:

T 00 =1

2

(~E2 + ~B2

)T i0 =

(~E × ~B

)i (3.3.18)

es decir, la densidad de energía y el vector de Poynting. Este nuevo tensor de energía−momentoes una cantidad aceptable físicamente y además es compatible con la invariancia gauge.

3Una transformación cuyos parámetros son constantes es llamada una t4ransformación global, como las trans-formaciones de isospin y de Lorentz.

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3.3 El campo de Maxwell 49

3.3.2. Acoplando campos

El problema cuya solución perseguimos es escribir el Lagrangiano de la teoría de Dirac acopladaa la teoría de Maxwell. El camino más conveniente es usar la corriente del electrón como fuentepara el campo de Maxwell. La corriente del electron está dada por ψγµψ, y proponemos el acople:

eAµψγµψ (3.3.19)

Ya vimos que esta corriente surge a causa de la invariancia del Lagrangiano bajo la simetríaψ → exp (iΛ)ψ. Consideremos Λ como un parámetro local gauge, de tal forma que Λ es unafunción del espacio−tiempo. Queremos un Lagrangiano invariante bajo:

ψ(x)→ eieΛ(x)ψ(x)

Aµ → Aµ − ∂µΛ(x)(3.3.20)

El problema con esta transformación es que Λ(x) es una función del espacio−tiempo. Por tanto,la derivada de un spinor ∂µψ no es un objeto covariante. De hecho, tiene incluso un términoextraño en su transformación, ∂µΛ(x). Para eliminar este término extraño introducimos la derivadacovariante:

∂µ → Dµ ≡ ∂µ + ieAµ (3.3.21)

La ventaja de introducir la derivada covariante es que se transforma de forma covariante bajo unatransformación gauge:

Dµψ → eieΛ(x)Dµψ + (ie∂µΛ− ie∂µΛ)ψ → eieΛ(x)Dµψ (3.3.22)

Esto significa que el siguiente Lagrangiano es invariante:

L = ψ (iγµDµ −m)ψ − 1

4FµνF

µν (3.3.23)

que obtenemos simplemente reemplazando ∂µ por Dµ.En el límite de velocidades pequeñas comparadas con la de la luz, la ecuación de Dirac debería

reducirse a la versión modificada de la ecuación de Schrödinger. Nos interesa conocer las correc-ciones de la ecuación de Dirac al orden más bajo. Esto nos permitiría reproducir los resultados norelativistas y las correcciones a los mismos. La ecuación de movimiento de Dirac, en la presenciade un potencial electromagnético es ahora:

i∂ψ

∂t=[~α · (−i

−→∇ − e ~A) + βm+ eAµ

]ψ (3.3.24)

Para encontrar las soluciones de esta ecuación, descompongamos este cuadrispinor en dos spinorsmás pequeños:

ψ =

(φχ

)=

(e−imtΦe−imtΨ

)(3.3.25)

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3.3 El campo de Maxwell 50

De este modo la ecuación de Dirac puede descomponerse como la suma de dos ecuaciones spino-riales:

i∂φ

∂t= ~σ · ~πχ+ eA0φ+mφ

i∂χ

∂t= ~σ · ~πφ+ eA0χ+mχ

(3.3.26)

donde ~π = ~p−e ~A. Ahora, eliminaremos χ. Para pequeños campos podemos hacer la aproximacióneA0 2m. En ese caso, podemos resolver la segunda ecuación como sigue:

χ ∼ ~σ · ~π2m

φ φ (3.3.27)

En esta aproximación, la ecuación de Dirac puede ser expresada como una ecuación de Schrödinger,pero con correcciones importantes dependientes del spin:

i∂Φ

∂t=

[(~σ · ~π)2

2m+ eA0

]Φ =

=

[(~p− r ~A)2

2m− e

2m~σ · ~B + eA0

(3.3.28)

donde hemos usado el hecho de que:

(~σ · ~π)2 = ~π 2 − e~σ · ~B (3.3.29)

Esta ecuación da la primera corrección a la ecuación de Schrödinger en presencia de un campoelectromagnético. Clásicamente, sabemos que la energía de un dipolo magnético en un campomagnético está dada por el producto escalar del momento magnético por el campo magnético:

E = −~µ · ~B = − e~2mc

~σ · ~B (3.3.30)

Dado que ~S = ~~σ/2 el momento magnético del electrón es:

~µ ≡ e

mc

~~σ2

= 2( e

2mc

)~S (3.3.31)

Por tanto, la teoría de Dirac predice que el electrón debería tener un momento magnético dosveces mayor que el que uno esperaría que tuviera, esto es, dos veces el magnetón de Bohr.

Otro resultado importante es el desdoblamiento de las líneas espectrales del átomo de hidrógeno.Para resolver este problema y buscar correcciones del átomo de Schrödinger, hacemos ~B = 0, ytomamos A0 como el potencial de Coulomb. La ecuación de Dirac puede entonces reescribirsecomo:

Eψ =

(−i~α ·

−→∇ + βm− Zα

r

)ψ = Hψ (3.3.32)

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3.3 El campo de Maxwell 51

donde α = e2/4π y,

H =

(m− Zα

r~σ~p

~σ~p −m− Zαr

)(3.3.33)

Es conveniente ahora introducir una primera solución a la ecuación de Dirac. Primero, como enel caso de Schrödinger, queremos separar variables, así que tomamos ψ ∼ f(r)Y (θ, φ), donde lafunción radial está explícitamente separada. Segundo, dado que ∇2 contiene el operador CasimirL2i , en el formalismo usual de Schrödinger, escogemos Y (θ, φ) como el esférico armónico estándar,

esto es, las autofunciones del operador momento angular. Para el caso del spin, tenemos que:

~J = ~L+ ~S = ~L+ ~σ/2 (3.3.34)

esto es, que tenemos una combinación lineal de spin orbital ~L y spin intrínseco ~S. Por tanto,nuestras autofunciones para el caso de Dirac, deben etiquetarse con los autovalores j, l y m.

Basándonos en estos argumentos, escogemos como nuestra primera solución:

ψ†jm =

(i|Glj(r)/r|φ′jm|Flj(r)/r|(~σ · r)φ′jm

)(3.3.35)

Introduciendo esta solución en la ecuación (3.3.33), y factorizando para la parte angular, encon-tramos que la parte radial de nuestras autofunciones obedecen:(

E −m+Zα

r

)Glj(r) = −dFlj(r)

dr∓(j +

1

2

)Flj(r)

r(E +m+

r

)Flj(r) = −dGlj(r)

dr∓(j +

1

2

)Glj(r)

r

(3.3.36)

donde usamos el signo + ó − para j = l + 1/2 ó j = l + 1/2. Expandiendo en potencias estaecuación en r, estas series de ecuaciones pueden ser resultas en términos de funciones hipergeo-métricas. Estas funciones, una vez expandidas en serie de potencias, nos dan los autoestados deenergía del átomo de hidrógeno:

Enj = m

1 +

(Zα

n− (j + 1/2) +√

(j + 1/2)2 − Z2α2

)2−1/2

(3.3.37)

Experimentalmente, esta fórmula da las correcciones dependientes de spin a la fórmula de Bohr,al orden más bajo. En contraste con la fórmula usual de Bohr, la energía es ahora una función delnúmero cuántico principal n y del spin total j. De nuevo por expansión de potencias, podemosrecobrar el resultado no relativista al orden más bajo:

Enj = m

[1− Z2α2

2n2− (Z2α2)2

2n4

(n

j + 1/2− 3/4

)+ · · ·

](3.3.38)

Aún así, sólo hemos considerado el electrón de Dirac interaccionando con el potencial de Coulomb.No es sorprendente, por tanto, que esta fórmula desprecie pequeñas correcciones en los niveles delátomo de hidrógeno (la siguiente corrección que es el desplazamiento de Lamb).

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3.3 El campo de Maxwell 52

3.3.3. Cuantizando el campo de Maxwell

Debido a la invariancia gauge, hay complicaciones cuando cuantizamos la teoría. Una cuantiza-ción intuitiva de la teoría de Maxwell fallará por una simple razón: el propagador no existe. Paraver esto escribamos la Lagrangiana de la siguiente forma:

L =1

2AµAµν∂

2Aν (3.3.39)

donde:

Pµν = gµν − ∂µ∂ν/(∂)2 (3.3.40)

El problema con este operador, es que no es invertible, y por tanto, no podemos construir unpropagador para la teoría. De hecho, esto es típico de toda teoría gauge, no sólo de la teoría deMaxwell. Ocurre también en Relatividad General y Teoría de Supercuerdas. El hecho de que nosea invertible es porque Pµν es un operador de proyección, esto es, su cuadrado es igual a sí mismo:

PµνPνλ = P λ

ν (3.3.41)

y proyecta estados longitudinales:

∂µPµν = 0 (3.3.42)

El hecho de que Pµν sea un operador proyección ya apunta a que la teoría de Maxwell es unateoría gauge. Este operador proyección, proyecta cualquier estado con la forma ∂µΛ, que es justola invariancia gauge.

La solución de nuestro problema es romper esta invariancia, escogiendo un gauge. Dado quetenemos la libertad de añadir ∂µ a Aµ, escogeremos valores específicos de Λ que romperán dichainvariancia. Garantizaremos este grado de libertad si la variación δAµ = ∂µΛ puede ser invertida.Hay varias formas de fijar el gauge y remover las redundancias. Podemos, por ejemplo, colocarligaduras directamente en el campo gauge Aµ, o añadir el siguiente término a la Lagrangiana:

− 1

2α(∂µA

µ)2 (3.3.43)

donde α es arbitrario. Algunos de los gauge más comunes pueden verse en la tabla 3.3.1. Cada vezque fijamos la ligadura restringiendo el campo Aµ, debemos comprobar que existe una elección deΛ tal que esta condición gauge sea posible. Por ejemplo, si hacemos A3 = 0, debemos demostrarque:

A′3 = 0 = A3 + ∂3Λ (3.3.44)

tal que:

Λ =

∫ x

d3xA3 (3.3.45)

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3.3 El campo de Maxwell 53

Gauge de Coulomb gauge ∇iAi

Gauge Axial gauge A3 = 0

Gauge Temporal A0 = 0

Gauge de Landau ∂µAµ = 0

Gauge de Landau α = 0

Gauge de Feynman α = 1

Gauge Unitario α =∞

Tabla 3.3.1: Gauge más comunes.

En el gauge de Coulomb, extraemos los modos longitudinales del campo desde el principio. Pa-ra demostrar que la libertad que nos ofrece la elección gauge nos permite hacer esta elección,escribamos:

−→∇ · ~A′ =

−→∇ ·

(~A+−→∇Λ)

= 0 (3.3.46)

Resolviendo para Λ tenemos:

Λ =1−→∇2

−→∇ · ~A = −

∫d3x′

4π|~x− ~x′|−→∇ ′ · A(x′) (3.3.47)

De la misma forma si elegimos el gauge de Landau, podemos encontrar una Λ tal que:

Λ = − 1

∂2∂µA

µ (3.3.48)

Para comenzar el proceso de la cuantización canónica, tomaremos el gauge de Coulomb donde sóloa los estados físicos se les permite propagarse. Calculemos primero el canónico conjugado de loscampos. Dado que A0 no aparece en la Lagrangiana, esto nos dice que A0 no parece propagarse,lo que es un signo de que existen modos redundantes en la acción.

Sin embargo, los otros modos, tienen canónicos conjugados:

π0 =δL

δA0

= 0

πi =δL

δAi= −Ai − ∂iA0 = Ei

(3.3.49)

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3.3 El campo de Maxwell 54

Escribamos la Lagrangiana como:

L = −1

4F 2µν =

1

2F 2

0i −1

4F 2ij (3.3.50)

Ahora introduzcamos el campo independiente Ei usando un truco. Reescribimos la acción como:

L = −1

2E2i − EiF0i −

1

4F 2ij (3.3.51)

Eliminado ahora Ei a través de su ecuación de movimiento, encontramos que Ei = F0i. Introdu-ciendo de nuevo este valor en la Lagrangiana, encontramos la Lagrangiana original.

Podemos escribir la Lagrangiana para la electrodinámica cuántica (QED), como:

L = − ~E · ~A− A0−→∇ · ~E − 1

2~E2 − 1

4F 2ij + ψ(iD −m)ψ

= − ~E · ~A− 1

2

(~E2 + ~B2

)+ L

(ψ, ~A

)− A0

(~∇ · ~E − eψγ0ψ

) (3.3.52)

A0 es un multiplicador de Lagrange. Si resolvemos la ecuación de movimiento para este campo,encontramos que existe una ligadura adicional:

Ley de Gauss−→∇ · ~E = ρ = eψγ0ψ (3.3.53)

Por tanto, la ley de Gauss surge tras resolver la ecuación de movimiento de A0. Si ahora contamoslos grados de libertad independientes, encontramos que tenemos sólo dos grados de libertad me-nos, que se corresponden con los dos estados independientes de helicidad transversal. De las cuatrocomponentes de Aµ, vemos que A0 puede ser eliminada por su ecuación de movimiento, y que po-demos escoger el modo longitudinal, dejándonos con dos estados de helicidad que son precisamenteaquellos predichos por la teoría de grupos en Representaciones del grupo de Poincaré.

Intuitivamente esto nos dice que un fotón moviéndose en la dirección z puede vibrar en lasdirecciones x e y, pero no en la dirección z o en la dirección del tiempo. Esto se corresponde conla comprensión intuitiva de los fotones transversales. En el gauge de Coulomb, podemos reducirtodos los campos a sus componentes transversales eliminando sus componentes longitudinales.Dividamos las partes longitudinales y transversales como sigue ~E = ~ET + ~EL, donde

−→∇ET y−→

∇EL = ρ. Resolvamos ahora para EL en términos de ρ. En ese caso, tenemos:

~EL =

−→∇∇2

ρ (3.3.54)

Si introducimos esto en la Lagrangiana encontraremos que todos los modos longitudinales secancelan, dejando sólo las partes transversales, excepto por el término:

1

2~E 2L =

1

1

∇2ρ =

e2

∫d3xd3y

ψ†(~x, t)ψ(~x, t)ψ†(~y, t)ψ(~y, t)

|~x− ~y|(3.3.55)

Este último término es el llamado término instantáneo de los cuatro fermiones de Coulomb, queparece violar la relatividad especial, pues esta interacción viaja instantáneamente a través del

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3.3 El campo de Maxwell 55

espacio. Sin embargo, como mostraremos al final de esta sección este término se cancela con otrotérmino en el propagador, de forma que la simetría Lorentz no se rompe.

Si ahora imponemos relaciones de conmutación canónicas, obtendremos una nueva complica-ción. Intuitivamente, nos gustaría imponer:[

Ai(~x, t), πj(~y, t)

]= −iδijδ3(~x− ~y) (3.3.56)

Sin embargo, esto no puede ser correcto porque tomamos la divergencia de ambos miembros dela ecuación. La divergencia de Ai es nula, así que el miembro izquierdo es nulo, pero no así elmiembro derecho. Debemos modificar nuestras relaciones canónicas de conmutación como sigue:[

Ai(~x, t), πj(~y, t)

]= −iδij(~x− ~y) (3.3.57)

donde el miembro derecho debe ser transversal, esto es:

δij =

∫d3k

(2π)3ei~k(~x−~x′)

(δij −

kikj~k2

)(3.3.58)

Como antes, nuestro próxima tarea es descomponer el campo de Maxwell en términos de los modosde Fourier, y demostrar que satisfacen las relaciones canónicas de conmutación. Sin embargo,debemos llevar cuidado de mantener la condición de transversalidad, que impone una ligadura enel vector de polarización. La descomposición está dada por:

~A(x) =

∫d3k√

(2π)32k0

2∑λ=1

~ελ(k)[aλ(k)e−ikx + aλ

†(k)eikx

](3.3.59)

Para mantener ~A transversal, tomamos la divergencia de esta ecuación y la igualamos a cero. Estosignifica que debemos imponer4:

~ε λ · ~k = 0

~ε λ(k) · ~ε λ′ = δλ λ′(3.3.60)

Invirtiendo estas relaciones, podemos resolver para los momentos de Fourier en términos de loscampos:

aλ(k) = i

∫d3x√

(2π)32k0

eikx←→∂ 0~ε

λ(k) · ~A(x)

a†λ(k) = −i∫

d3x√(2π)32k0

e−ikx←→∂ 0~ε

λ(k) · ~A(x)

(3.3.61)

4La forma más sencilla de satisfacer estas condicione de transversalidad s tomar el momento a lo largo dela dirección z y mantener el vector de polarización totalmente en las direcciones transversales, es decir, en lasdirecciones x e y.

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3.3 El campo de Maxwell 56

Para satisfacer las relaciones canónicas de conmutación entre los campos, debemos imponer lassiguientes relaciones de conmutación entre los momentos de Fourier5:[

aλ(k), a†λ′(k′)]

= δλ,λ′δ3(~k − ~k′) (3.3.62)

Insertemos ahora la descomposición de Fourier en la expresión de la energía y del momento:

H =1

2

∫d3x

(~E2 + ~B2

)=

2∑λ=1

∫d3k ω|a†λ(k)aλ(k)|

~P =

∫d3x

(: ~E × ~B :

)=

∫d3k ~k

2∑i=1

aλ†(k)aλ(k)

(3.3.63)

Después de hacer el orden normal, la energía es de nuevo positiva. Finalmente, queremos calcularel propagador de la teoría. De nuevo existe una complicación, porque el campo es transversal. Laforma más simple de construir el propagador es escribir el valor esperado ordenado en el tiempode los dos campos. El cálculo es casi idéntico al realizado para los campos escalares y al quenosotros hemos explicitado en los campos spinoriales, excepto que tenemos que insertar un tensorde polarización:

iDtrF (x− x′)µν = 〈0|TAµ(x)Aν(x′) |0〉 = i

∫d4k

(2π)4

e−ik(x−x′)

k2 + iε

2∑λ=1

ελµ(k)ελν(k) (3.3.64)

La anterior expresión no es invariante Lorentz ya que tenemos estados transversales. Estos tér-minos que violan la invariancia Lorentz desaparecen con la matriz S completa. Para ver estoexplícitamente, escojamos una nueva base ortogonal de cuatro vectores, dados por ε1µ(k), ε2µ(k),kµ y un nuevo vector ηµ = (1, 0, 0, 0). Cualquier tensor puede ser expandido en serie de potenciasde esta nueva base. Por tanto, la suma sobre los vectores de polarización que aparecen en el pro-pagador puede expresarse siempre en términos de los tensores gµν , ηµην , kµkν y kµην . Podemoscalcular los coeficientes de esta expansión imponiendo que ambos miembros de la ecuación seantransversales. Entonces vemos que:

2∑λ=1

ελµ(k)ελν(k) = −gµν −

kµkν(k · η)2 − k2

+(k · η)(kµην + kνηµ)

(k · η)2 − k2− k2ηµην

(k · η)2 − k2(3.3.65)

Afortunadamente todos los términos no invariantes que envuelven η pueden eliminarse. Los tér-minos proporcionales a kµ desaparecen cuando se insertan en una amplitud de scattering. Estoes porque el propagador se acopla a dos corrientes, que a su vez se conservan por la invarianciagauge.

Si eliminamos términos proporcionales a kµ en el propagador, tenemos que:

DtrF (x− x′)µν = −gµν∆F (x− x′;m = 0)− ηµην

δ(t− t′)4π|~x− ~x′|

(3.3.66)

5Debemos notar que el signo de las relaciones de conmutación nos da estados de norma positiva. No existeestados de norma negativa, ni fantasmas, en esta construcción del gauge de Coulomb, En cambio en la cuantizaciónde Gupta−Bleuler, sí que existen tales estado fantasma.

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3.3 El campo de Maxwell 57

El primer término es lo que queremos ya que es covariante. El segundo término es proporcional altérmino de Coulomb. En cualquier diagrama de Feynman, esto ocurre entre dos corrientes, creando(ψ†ψ)∇−2(ψ†ψ). Este término es el que cancela el término de Coulomb en el Hamiltoniano, en laecuación (3.3.55).

Como esperábamos, hemos encontrado que aunque las funciones de Green son dependientesdel gauge (y poseen términos que viajan instantáneamente a través del espacio), la matriz S esinvariante Lorentz y causal.

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Índice alfabético

Aanticonmutadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 y ss.antimateria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 y ss.antipartículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32, 40antisimétrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

Ccampo bosónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 32, 40 de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 de Maxwell . . . . . . . . . . . . . 4, 32, 46, 49, 52, 55 de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 de spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 fermiónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 irreducible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 spinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40, 43, 45

cuantizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 spinorial de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10, 15campo!spinorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56conmutadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 42, 43constante de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Eecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Electrodinámica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . 32, 54estadística de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Ggauge

de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 54, 56 de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 más comunes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52generador de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11grupo O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4, 8 SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4, 7 de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 de rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 especial

de matrices en dos dimensiones . . . . . . . . .6 grupo SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 no Abeliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 uniparamétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10grupo de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Lley de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Lie álgebra de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 grupo de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Mmar de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 44

58

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ÍNDICE ALFABÉTICO 59

microcausalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Nneutrinos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45, 46 de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

Rrepresentación de O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 irreducible

de SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6de U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

representación irreducible de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Sspinors . . . . . . . . . . . 7, 11, 13, 33, 35, 37 y ss., 49 de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45subgrupo SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

Ttensores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7teorema de Baker-Campbell-Hausdorff . . . . . . . . . . . . 12 de la estadística de spin . . . . . . . . . . . . . . 42, 43

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[12] Jean Zinn-Justin, Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Ed. Clarendon Press.

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