Ecuaciones de Dirac

8/18/2019 Ecuaciones de Dirac

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La ecuación de Dirac

17 de marzo de 2015

Ecuación de Dirac 17 de marzo de 2015 1 / 36


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Hamiltoniano de Dirac

El hamiltoniano propuesto por Dirac es el siguiente:

H D = −i α · ∇ + β m

y conduce a la siguiente ecuación:

i ∂ t + i α · ∇ − β mψ = 0Los objetos αi y β satisfacen las siguientes relaciones:

β 2 =

αiα j + α jαi = 2 δ ij

αiβ + βαi = 0



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Dirac probó que, para part́ıculas con masa, la ḿınima dimensiónpara representar el álgebra mediante matrices era n = 4.

Representación de Dirac:

αi = 0 σiσi 0 β = 00 −

Para mostrar que este formalismo es invariante de Lorentz, multiplica-mos la ecuación de Dirac por β (por la izquierda):



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iβ ∂ tψ + iβ αi∂

i

−β 2m

ψ = 0

Si llamamos γ 0 ≡ β , γ i ≡ βαi, y usando que β 2 = ,

iγ 0 ∂ tψ + i γ · ∇ − mψ = 0Definiendo un cuadrivector γ µ = (γ 0, γ ), la ecuación queda como:

(iγ µ

∂ µ − m)ψ = 0donde ψ es un vector de cuatro componentes.



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Matrices de Dirac

1

Al cuadrivector γ µ

se le conoce como Matrices de Dirac

2 Dicho cuadrivector no transforma bajo Lorentz como lo hacexµ

3 Satisface: {γ µ, γ ν } = 2gµν y γ µ = gµν γ ν

4 A veces es útil definir γ 5 = γ 5 = i γ 0γ 1γ 2γ 3, donde:

γ 5 = 0 0

5 Mediante cálculo directo, γ µ† = γ 0γ µγ 0



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Relación enerǵıa–momentum

A la ecuación de Dirac en notación covariante, apliquemos el operador

(i γ ν

∂ ν + m) por izquierda:

(i γ ν ∂ ν + m)(i γ µ∂ µ − m)ψ = 0

(−γ ν γ µ∂ ν ∂ µ − m2)ψ =

Notar que:

γ ν γ µ∂ ν ∂ µ = 1

2{γ µ, γ ν }∂ ν ∂ µ = gµν ∂ ν ∂ µ = ∂ µ∂ µ

Por tanto, los spinores de Dirac tambiém satisfacen K–G:

(∂ µ∂ µ + m2)ψ = 0

∴ E 2 = p 2 + m2



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Ecuación adjunta y corriente conservada

Tomemos el hermı́tico conjugado de la ecuación de Dirac:

−i ∂ µψ†γ µ† − mψ† = 0

−i ∂ µψ†

γ

0

γ

µ

γ

0

− mψ†

= · γ 0−i ∂ µψ†γ 0γ µ − mψ†γ 0 =

Si definimos el spinor adjunto ψ ≡ ψ†γ 0, la ecuación queda escrita

como sigue: i ∂ µψγ µ + mψ = 0



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Ahora,

i γ µ∂ µψ

−mψ = 0 ψ ·

i ∂ µψγ µ + mψ = 0

· ψy sumando,

i ψγ µ∂ µψ + i ∂ µψγ µψ = 0

∂ µ

ψγ µψ

=

∂ µ µ =

y hemos encontrado una cantidad conservada. La corriente es:

µ = ψγ µψ



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Notemos que:

0 = ψγ 0ψ = ψ†

ψ ≥ 0y la probabilidad vuelve a ser positiva definida.

La densidad lagrangiana para el campo spinorial es:

L = ψ(i γ µ∂ µ − m)ψ

La ecuación de Euler–Lagrange para ψ nos entrega la ecuación de

Dirac; para ψ, la ecuación adjunta.



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Spinores de una part́ıcula libre

Como el spinor de Dirac satisface la ecuación de K–G, entonces admitesoluciones de onda plana:

ψ(x) = u( p) e−i pµxµ

donde u( p) es un spinor de cuatro componentes independientes de xµ.Este spinor satisface:

(γ µ pµ − m)u( p) = 0

(I) Sistema de referencia con la part́ıcula en reposo: En este caso, pµ = (E, 0 ).



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La ecuación de autovalores queda:

(Eγ 0

−m)u(E ) = 0

m 00 −m

uAuB

= E

uAuB

donde hemos representado al spinor u (de cuatro componentes) me-

diante dos spinores de Weyl , uA y uB.

Los autovalores y autovectores son triviales. y los escribimos en funciónde dos spinores de Weyl:

χ(1) = 1

0

∧ χ(2) = 01



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Aśı,

u(1) =

χ(1)

0

, u(2) =

χ(2)

0

con E = m

u(3) =

0χ(1)

, u(4) =

0χ(2)

con E = −m

(II) Sistema de referencia con la part́ıcula en movimiento: En este caso, p = 0. Aśı:

(Eγ 0 − γ · p − m)u( p) = 0

γ 0 ·(E − γ 0γ · p − mγ 0)u( p) =

(E − α · p − mβ )u( p) =( α · p + mβ )u( p) = Eu( p)



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Escribiendo en forma matricial,

m σ · pσ · p −m uAuB = E uAuB lo que se reduce a:

(σ·

p )uB = (E −

m)uA ∧

(σ·

p )uA = (E + m)uB

∴ (E − m)uA = (σ · p )2

E + m uA

Calculando, (σ

· p )2 = p

2

y aśı:

E 2 = p2

+ m2 → E = ±

p2 + m2



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Volviendo al problema,

uA(1) = χ(1) =

10

, uA(2) = χ(2) =

01

En este caso, el segundo spinor de Weyl satisface:

uB(s) =

σ · pE + m

χ(s) , s = 1, 2

la cual solo funciona para las soluciones con E > 0, ya que de otro

modo uB diverge en el sistema de referencia donde la part́ıcula está enreposo.



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El spinor de Dirac con E > 0 queda:

u(s)( p) = N χ(s)

σ · pE + m

χ(s) , s = 1, 2

donde N es una constante de normalización. Encontramos las otras

soluciones L.I. si tomamos:

ub(1) = χ(1) =

10

, ub

(2) = χ(2) =

01

y por tanto,

uA(s) =

σ · pE − m uB

(s) = − σ · p−E + m uB(s)



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Por el mismo argumento anterior, para E


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Introduciendo la normalización u†u = 2E → N = √ E + m, loscuatro spinores son:

u(1,2) =√

E + m

χ(1,2)

σ · pE + m

χ(1,2)

v(1,2) =

√ E + m

σ · pE + m

χ(2,1)

χ(2,1)



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Invariancia de Lorentz

Asociemos a cada punto del espacio–tiempo xµ la matriz herḿıtica:

X (xµ) =

x0 + x3 x1 − ix2x1 + ix2 x0 − x3

El determinande de esta matriz es:

det(X ) = xµxµ

Consideremos un elemento M ∈ SL(2, ) y la matriz X dada por:

X = (M −1)†XM −1 ↔ X = M †X M

Notar que X también es herḿıtica, y puede escribirse como:



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X = x

0 + x3 x1 − ix2

x1

+ ix2

x0

− x3

Además,

det(X ) = det (M †X M ) = det (M †)det(X )det(M ) = det (X )

pues det (M ) = 1. Aśı,ds

2= ds2

Entonces, los eventos x y x están relacionados por una tranformaciónde Lorentz representada por M .

Ahora nos preguntamos, ¿cómo transforman las matrices de Pauli?


D fi l i i i´


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Definamos la siguiente notación:

σµ = (σ0, σ ) ∧

σµ = (σ0, −σ )

Es fácil ver que:X (x) = xµσµ

Del mismo modo,X (x) = xµσ

µ

La relación M †X M = X significa que:

xµM †

σµM = xµ

σµ = Lµν x

µ

σν

y como los xµ son arbitrarios, descubrimos la forma en que transforman

las matrices de Pauli:

M †

σµM = Lµν

σν



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De una manera similar, se puede definir la matriz

X 1(x) = xν σν

y verificar que también cumple con:

det(X 1) = xν xν

Entonces, mediante un razonamiento análogo, podemos mostrar queexiste una matriz N ∈ SL(2, ) tal que:

N †σµN = Lµν σν

Es posible probar que ambas matrices están relacionadas mediante:

N −1 = M †



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Para estudiar cómo transforman los spinores bajo el grupo de Lorentz,conviene introducir una nueva representación para las matrices de Di-

rac:

Representación Chiral:

αi = −σi 00 σi β = 0 σ0

σ0 0

Con ello,

γ 0 = 0 σ0σ0 0

, γ i = 0 σi−σi 0 , γ 5 = −σ0 00 σ0



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En la representación chiral, escribimos el spinor de Dirac de la siguienteforma:

ψ = ψLψR Consideremos la ecuación de Dirac:

(i ∂ t + i α · ∇ − mβ )ψ = 0Realizando las multiplicaciones matriciales, se llega a las siguientesecuaciones acopladas:

i σ0∂ tψL − i σk∂ kψL − mψR = 0i σ0∂ tψR + i σ

k∂ kψR − mψL = 0


fi


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Empleando la notación definida con anterioridad,

i

σµ∂ µψL − mψR = 0

i σµ

∂ µψR − mψL = 0El lagrangiano correspondiente es:

L = i ψL†

σµ∂ µψL + i ψR

†σµ∂ µψR

−m(ψL

†ψR + ψR†ψL)

Ahora, demostraremos que el lagrangiano tiene la misma forma encualquier sistema de referencia: Sean x y x el mismo evento en el espacio–tiempo, medidos en sistemas de referencia S y S respectiva-

mente:

xµ

= Lµν xν , ∂ µ = Lµ

ν ∂ ν , ∂ µ = Lν µ∂

ν



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El lagrangiano expresado en el sistema S es:

L = i ψL†

σµLν µ∂

ν ψL + i ψR

†σµLν µ∂ ν ψR − m(ψL†ψR + ψR†ψL)

= i ψL†

M †σν M ∂ ν ψL + i ψR†N †σν N ∂ ν ψR

− m(ψL†ψR + ψR†ψL)

Ahora, hacemos las siguientes definiciones:ψL(x) es un left-handed spinor si transforma como

ψL(x) = M ψL(x)

ψR(x) es un right-handed spinor si transforma como

ψR(x) = N ψR(x)



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Recordando que M †N = ,

ψL †ψR

= ψL†M †N ψR = ψL†ψR

ψR †ψL

= ψR†N †M ψL = ψR

†ψL

y por tanto, ambas cantidades son invariantes de Lorentz (escalares).

Entonces, el lagrangiano en el sistema S queda:

L = i ψL †σµ∂ µψL + i ψR †σµ∂ µψR − m(ψL †ψR + ψR †ψL)

con lo que queda demostrado que el lagrangiano se escribe del mismo

modo en cualquier sistema inercial.


Simetŕıas discretas


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Simetrıas discretas

Una manera alternativa de probar invariancia bajo Lorentz es la si-guiente: considerar que la transformación del spinor está mediada poruna matriz, i.e.

ψ(x) → ψ(x) = S (L)ψ(x)Aśı,

(i γ µ∂ µ − m)ψ(x) = 0(i γ µLν µ∂

ν − m)S −1ψ(x) =

S ·

(i Sγ µS −1Lν µ∂ ν − m)ψ(x) =

(i γ ν

∂

ν − m)ψ

(x

) =

La relación impuesta es:

Sγ µS −1Lν µ ≡ γ ν



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Paridad. La paridad espacial es la simetŕıa discreta más simple. Pro-ponemos la siguiente transformación:

ψ(t, −x) = Pψ(t, x)De una forma similar, para que los nuevos campos también satisfaganla ecuación de Dirac, se debe cumplir que:

Pγ µP−1Lν µ = γ ν

¿Cómo se relaciona la paridad con la definición de los spinores ψL yψR? Para responder esta pregunta, notamos que:

x = −x → ∇ = −∇

Por tanto, se cumplen las siguientes igualdades:



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σµ∂ µ = σµ∂ µ ∧ σµ∂ µ = σµ∂ µSi se utiliza lo anterior en el lagrangiano, se concluirá que será inva-

riante cuando:

ψL p(x ) = ψR(x) ∧ ψR p(x ) = ψL(x)

Inversión temporal. En este caso, la relación viene dada por:

ψ(−t, x) = Tψ(t, x)

La naturaleza de T implica que las soluciones de la ecuación de Dirac

debeŕıan ser mapeadas a soluciones de la ecuación compleja conjugada.De un modo análogo al anterior, se puede ver que:

Lν µTγ µ∗T

−1 = −γ ν



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Conjugación de carga. El campo de Dirac posee carga, por lo cualtiene sentido definir la conjugación de la misma. El mapeo viene dado

por:ψ(x) = Cψ∗(x)

tal que ψ resuelve la misma ecuación que ψ. Sustituyendo,

0 = (i γ µ∂ µ − m)ψ = (i γ µ∂ µ − m)Cψ∗ = (−i γ µ∗∂ µ − m)C∗ψ∗La expresión anterior se anula si:

−γ µ

= Cγ µ∗

C

∗


Covariantes Bilineales


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Covariantes Bilineales

De modo de escribir diferentes densidades langrangianas, será útil es-tudiar las propiedades de transformación bajo Lorentz de las siguientescombinaciones bilineales de spinores:

(1) ψψ

ψψ = ψ†γ 0ψ =

ψL† ψR

† 0

0

ψLψR

= ψL†

ψR + ψR†

ψL



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ψψ = ψL†ψR

+ ψR†ψL

= ψL†M †N ψR + ψR

†N †M ψL

= ψL†ψR + ψR†ψL

= ψψ

Ante paridad,

ψ pψ p = ψL p†ψR

p + ψR p†ψL

p = ψR†ψL + ψL

†ψR = ψψ

Por tanto, ψψ es un escalar bajo Lorentz y bajo paridad.

(2) ψγ 5ψψγ 5ψ = ψ†γ 0γ 5ψ = ψL

†ψR − ψR†ψL



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Mediante un cálculo directo se puede probar que este bilineal trans-forma como escalar ante transformaciones de Lorentz propias, y quecambia de signo ante paridad: se dice que es un pseudo-escalar.

(3) ψγ µψ

ψγ µψ = ψL†

σµψL

+ ψR†σµψR

= ψL†

M †σµM ψL + ψR†N †σµN ψR

= ψL†Lµν σν ψL + ψR†Lµν σν ψR

= Lµν ψγ ν ψ

y transforma como un cuadrivector bajo Lorentz. Ante paridad,

ψ pγ µψ p = ψR†σµψR + ψL†σµψL


Lo anterior significa que las componentes espaciales cambian de signo


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Lo anterior significa que las componentes espaciales cambian de signobajo paridad. Por tanto, a este bilineal se le dice cuadrivector.

(4) ψγ 5

γ µ

ψ

ψγ 5γ µψ = ψL†σµψL − ψR†σµψR

= ψL†M †

σµM ψL − ψR†N †σµN ψR

= ψL†

L

µ

ν σν ψL − ψR†Lµν σν ψR= Lµν ψγ

5γ ν ψ

y transforma como un cuadrivector bajo Lorentz. Ante paridad,

ψ pγ 5γ µψ p = ψR†σµψR − ψL†σµψLlo que significa que las componentes espaciales no cambian de signo:hablamos de un cuadrivector axial.



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Definición.

σµν ≡ i2

[γ µ, γ ν ]

(5) ψσµν ψ

ψσµν ψ = i

2ψL

†(

σµσν

− σν σµ)ψR + ψR

†(σµ

σν

−σν

σµ)ψL

ψσµν ψ = i

2

ψL

†M †(σµσν − σν σµ)N ψR+ ψR

†N †(σµ

σν

−σν

σµ)M ψL

Recordando que M †N = N M † = M N † = N †M = ,


i † † †


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ψσµν ψ = i

2

ψL

†(M †σµM )(N †σν N )ψR− ψL†(M †

σν M )(N †σµN )ψR

+ ψR†(N †σµN )(M †σν M )ψL− ψR†(N †σν N )(M †σµM )ψL

= i

2ψL

†(LµασαLν βσ

β

−Lν β

σβLµασα)ψR

+ ψR†(Lµασ

αLν βσβ − Lν βσβLµασα)ψL= LµαL

ν β

i

2

ψL

†(

σασβ −

σβσα)ψR

+ ψR†(σασβ − σβσα)ψL= LµαL

ν β ψσ

αβψ

y transforma como un tensor de dos ı́ndices.


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