Presentación del proyecto: Una introducción a la...

Presentación del proyecto: Una introducción ala geometría fractal a nivel universitario

Gilberto Arenas Dıaz Sonia M. Sabogal [email protected] [email protected]

Profesores Universidad Industrial de Santander

XXII Coloquio Distrital de Matem aticas y Estadıstica

Universidad Nacional de Colombiadiciembre 4 al 7 de 2006

Bogota, D.C.Presentacion del proyecto: Una introduccion a la geometrıa fractal a nivel universitario– p. 1/21

Motivaciones

Presentacion del proyecto: Una introduccion a la geometrıa fractal a nivel universitario– p. 2/21

Motivaciones

Interés e importanciaque existe en diversasciencias por lageometría fractal


Motivaciones


Necesidad de divulgarlos conceptos básicosde esta geometría


Motivaciones



Ausencia de materialdidáctico (textos formales)en español


Motivaciones



Ausencia de materialdidáctico (textos formales)en español

Trabajo del GrupoFractales UIS


CuatroAtractivos


CuatroAtractivos

Vistosidad ybelleza delas figuras


CuatroAtractivos


Geometría máscercana a lanaturaleza


CuatroAtractivos



Aplicaciones enlas ciencias ylas artes


CuatroAtractivos



Aplicaciones enlas ciencias ylas artes

Problemasabiertos


El autor intelectual. . .



“Las nubes no son esferas,las montañas no son conos,las líneas costeras no soncircunferencias y la cortezade un árbol no es lisa, comotampoco es cierto que la luzviaje en línea recta.”

Benoit Mandelbrot“padre de los fractales”



“Las nubes no son esferas,las montañas no son conos,las líneas costeras no soncircunferencias y la cortezade un árbol no es lisa, comotampoco es cierto que la luzviaje en línea recta.”

Benoit Mandelbrot“padre de los fractales” B. Mandelbrot

(Warsaw, Polonia, 1924- )


“Postulo que muchos de los patrones de la naturaleza son tanirregulares y fragmentarios que, comparándolos con lageometría euclidiana, muestran no solo un más alto grado, sinoun muy distinto nivel de complejidad. El número de las distintasescalas de extensión de patrones naturales es prácticamenteinfinito. La existencia de estos patrones nos reta a estudiar esasformas que la geometría euclidiana deja de lado por carecer deforma para investigar, por así decirlo, la morfología de lo amorfo.Respondiendo a este reto, he concebido y desarrollado unanueva geometría de la naturaleza, cuyo uso puedeimplementarse en diversos campos. Describe muchos de lospatrones irregulares a nuestro alrededor, identificando unafamilia de formas a las que llamaré fractales.”

B. Mandelbrot


La pregunta:

¿Cómo incorporar el estudio de lageometría fractal a los programasacadémicos de las carreras de cienciasbásicas, ingenierías y educación de lasuniversidades colombianas, enfocadodesde la noción de autosimilitud y lossistemas iterados de funciones,haciendo énfasis en la fundamentaciónmatemática que los sustenta?


Grupo Fractales UIS(1992—200)



Geometría ModernaAsignatura de laLic. Matemáticas




Seminario defractales





Dirección detrabajos degrado






Cursillos yponencias






Cursillos yponencias

Publicaciones


Autosemejanza (noción intuitiva):



• El todo es igual a sus partes, salvo un factor de escala.




• El todo está formado por varias copias de si mismo, soloque reducidas y colocadas en diferentes posiciones.





Anaxágoras de Clazoméne (¿500?–428 a.C.)





Anaxágoras de Clazoméne (¿500?–428 a.C.)

El universo fue un caos de innumerables semillas (spermata), alcual la mente (nus), mediante un movimiento de rotación(perichoresis), dió orden y forma. Estas “semillas” no sonelementos pues cada una es tan compleja como el todo .Todo el universo y sus partes, por pequeñas que sean, sonhomogéneos; sus diferencias son sólo diferencias detamaño, no de composición.


Ejemplos:

Movimiento Browniano (1827)


Ejemplos:


Funciones continuas y nunca diferenciables (1875)


Ejemplos:



Conjunto de Cantor (1883)


Ejemplos:




Curvas de Peano (1890)


Ejemplos:





Curva de Koch (1904)


Ejemplos:






Triángulo de Sierpinski (1916)


Ejemplos:







Conjuntos cuyos elementos son conjuntos


Ejemplos:








Fracciones continuas


Ejemplos:








Fracciones continuasLa estructura de Top(X)


Ejemplos:








Fracciones continuasLa estructura de Top(X)

La categoría de las categorías


Algo de historia:

Sistemas dinámicos complejos; 1918–1926; GastonJulia–Pierre J. Louis Fatou.


Algo de historia:

Sistemas dinámicos complejos; 1918–1926; GastonJulia–Pierre J. Louis Fatou.Teoría de la medida y la dimensión; 1919; F. Hausdorff.


Algo de historia:


Problema de la medición de la longitud de una costa; 1961;Lewis Fry Richardson.


Algo de historia:



Estudio de la variación de los precios en la bolsa devalores; 1962; Benoit Mandelbrot.


Algo de historia:




Publicación: ¿Que tan larga es la costa de Gran Bretaña?;1967; Benoit Mandelbrot.


Algo de historia:




Publicación: ¿Que tan larga es la costa de Gran Bretaña?;1967; Benoit Mandelbrot.

NACIMIENTO DE LA GEOMETRÍA FRACTAL; década delos 70’s; Benoit Mandelbrot.


Algo de historia:

Libros: “Los objetos fractales, forma, azar y dimensión”(1975, B. Mandelbrot) y “The fractal geometry of nature”(1983, B. Mandelbrot).


Algo de historia:


Formalización matemática de la noción de autosimilitud(1981, J. E. Hutchinson): Fractals and Self-Similarity,Indiana Univ., J. Math., 30 (1981), 713-747.


Algo de historia:


Formalización matemática de la noción de autosimilitud(1981, J. E. Hutchinson): Fractals and Self-Similarity,Indiana Univ., J. Math., 30 (1981), 713-747.

Dekking (1982), Falconer (1985), Hata (1985), Barnsley(1985), Wicks (1991), Bandt y Kekker (1991), Charatonik yDilks (1994), etc.


Algunos grupos de investigación:

Grupo de Investigación de Fractales Aplicados a laGeología (GIFAG)-IGME: Fractales y Geología, unacombinación productivahttp://www.madrimasd.org/informacionIDI/entrevistas/quienesquien/detalleGrupo.asp




Grupo de Geometría Fractal, Universidad de Buenos Aireswww.fi.uba.ar/autoridades/secretarias/invydoc/laboratorios/index.php





FractalTec: Proyecto Libre de Investigación en MatemáticaFractal y Teoría del Caos

http://www.fractaltec.org/





FractalTec: Proyecto Libre de Investigación en MatemáticaFractal y Teoría del Caos

http://www.fractaltec.org/

neumann.dma.fi.upm.es/docencia/doctorado/curso02-03/trabajosdeinvestigacion/geometriafractalI.html


En la educación matemática:

“La misión de los educadores es preparar a las nuevasgeneraciones para el mundo en que tendrán que vivir. . .Por esto, como el mundo actual es rápidamente cambiante,también la escuela debe estar en continuo estado de alertapara adaptar su enseñanza, tanto en contenidos como enmetodología, a la evolución de estos cambios. . . En casocontrario,. . . se origina un desfase o divorcio entre laescuela y la realidad ambiental, que hace que los alumnosse sientan poco atraídos por las actividades del aula. . . loprimero que deben tener los educadores es un buenconocimiento del mundo exterior y de su posible evoluciónen los próximos años. . . ”



“La misión de los educadores es preparar a las nuevasgeneraciones para el mundo en que tendrán que vivir. . .Por esto, como el mundo actual es rápidamente cambiante,también la escuela debe estar en continuo estado de alertapara adaptar su enseñanza, tanto en contenidos como enmetodología, a la evolución de estos cambios. . . En casocontrario,. . . se origina un desfase o divorcio entre laescuela y la realidad ambiental, que hace que los alumnosse sientan poco atraídos por las actividades del aula. . . loprimero que deben tener los educadores es un buenconocimiento del mundo exterior y de su posible evoluciónen los próximos años. . . ”

Santaló (C. Parra y I. Saiz, Didáctica de las Matemáticas –Aportes y Reflexiones, 1994, pág. 21 a 37).



Santaló:



Santaló:

“. . . pero queda otro problema, también importante, que consisteen la matemática necesaria para aquellas profesiones en lasque la matemática no es un fin sino un medio para su mejorejercicio. Es decir, averiguar cuál es la matemática que puedeser útil a los profesionales no matemáticos de nivel terciario. . .actualmente, entre la gran producción matemática de losúltimos años. . . es seguro que habrán surgido nuevosresultados y nuevas ideas que podrían ser de utilidad en ciertasramas del saber, como física, biología, química, ingeniería,economía, ciencias sociales y muchas otras,. . . Sería urgenteque las universidades y los centros de investigacióninvolucrados se dispusieran a organizar cursos o seminariospara la divulgación de las nuevas adquisiciones y consideraranla posibilidad de incluirlas en los programas de las asignaturasde matemáticas de la carrera correspondiente. . . ”



Santaló:



Santaló:

“. . . queremos referirnos, para terminar, a los llamados fractales introducidos porMandelbrot, como ejemplo de objetos geométricos relativamente recientes cuyo estudioha despertado mucho interés por su amplio espectro de aplicaciones, desde las artesplásticas hasta la física, la biología y la astronomía, y que tiene muchas vinculacionescon la computación y, además con las teorías “caóticas” que se están desarrollando acaballo entre la física y la filosofía. . . Es un campo interesante que con el auge de lascomputadoras resulta de mucho interés por ayudar al desarrollo de la creatividad y lafantasía,. . . Se trata de un ejemplo típico en la evolución de las realizacionesmatemáticas: primero aparecen casos aislados como gérmenes de ideas nuevas cuyoalcance no se conoce; surgen luego nuevos conocimientos o nuevas técnicas quepermiten el desarrollo del germen y su mayor comprensión; finalmente, aparecen lasaplicaciones que permiten una mejor comprensión de los fenómenos naturales. Lamisión de los matemáticos es ayudar a los especialistas de otras ramas a quienes lasnuevas concepciones puedan ser útiles, simplificando las dificultades para sucomprensión para que puedan ser intuidas y utilizadas sin mayores dificultades. . . ”


Tres caminos deacercamiento



Sistemas Iterados deFunciones – Autosemejanza




Sistemas Dinámicos yTeoría del Caos –Conjuntos de Julia




Sistemas Dinámicos yTeoría del Caos –Conjuntos de Julia

Teoría de la medida yla dimensión – dimensión“extraña”


Objetivos:

Contribuir a la divulgación, estudio, enseñanza einvestigación de la geometría fractal a nivel universitario.


Objetivos:


Incorporar el estudio de la geometría fractal a losprogramas académicos de las carreras de ciencias básicas,ingenierías y educación de nivel superior.


Objetivos:



Elaborar material didáctico de alta calidad que facilite laenseñanza de la geometría fractal a nivel universitario.


Objetivos:




Documentar y mejorar el material existente del GrupoFractales-UIS y sistematizar su forma de apropiación en losestudiantes.


Objetivos:




Documentar y mejorar el material existente del GrupoFractales-UIS y sistematizar su forma de apropiación en losestudiantes.Presentar una propuesta dirigida a una entidad financiadoraexterna (por ejemplo Colciencias) con el ánimo deimplementar, aplicar, evaluar y mejorar los resultadosobtenidos en el presente proyecto de investigación.


Metodología:

Recopilación del material y documentos elaborados por elGrupo Fractales-UIS.


Metodología:


Revisión y clasificación del material.


Metodología:



Análisis del material.


Metodología:



Análisis del material.Paralelamente:


Metodología:




Revisión bibliográfica sobre teorías pedagógicas.


Metodología:




Revisión bibliográfica sobre teorías pedagógicas.Asignatura de Geometría Moderna


Metodología:





Sistematización y elaboración del nuevo material didáctico.


Metodología:





Sistematización y elaboración del nuevo material didáctico.

Escritura del informa final.


Algunos impactos esperados:

Contribuir con la divulgación de la geometría fractal en losniveles de educación básica y media (2 monografías deLicenciatura en Matemáticas o de Especialización enEnseñanza de la Matemáticas).




Creación e incorporación de cursos de introducción a lageometría fractal en los programas académicos de cienciasbásicas, ingenierías y educación de las universidadescolombianas, bien sea como asignatura básica, o electiva,o a manera de seminario.




Creación e incorporación de cursos de introducción a lageometría fractal en los programas académicos de cienciasbásicas, ingenierías y educación de las universidadescolombianas, bien sea como asignatura básica, o electiva,o a manera de seminario.Iniciación a nivel nacional de grupos y centros deinvestigación en geometría fractal.




Creación e incorporación de cursos de introducción a lageometría fractal en los programas académicos de cienciasbásicas, ingenierías y educación de las universidadescolombianas, bien sea como asignatura básica, o electiva,o a manera de seminario.Iniciación a nivel nacional de grupos y centros deinvestigación en geometría fractal.

Generación de la línea de investigación en geometríafractal, dentro de la Facultad de Ciencias de la UniversidadIndustrial de Santander.



Involucrar la enseñanza de la geometría fractal como unaalternativa a explorar, en los grupos de trabajo einvestigación del campo de la educación matemáticaexistentes en nuestro país.



Involucrar la enseñanza de la geometría fractal como unaalternativa a explorar, en los grupos de trabajo einvestigación del campo de la educación matemáticaexistentes en nuestro país.

Interactuar con grupos de investigación en geometría fractalde otros países, como por ejemplo los que reseñamos enanteriormente.


Referencias

[1] M. Barnsley. Fractals Everywhere, Academic Press, Inc.

San Diego, 1988.

[2] B. Mandelbrot. Los Objetos Fractales. Forma, azar y

dimensión. Tusquets Editores, S.A. Barcelona, 1993.

[3] B. Mandelbrot. The fractal Geometry of Nature. Freeman

San Francisco, 1992.

[4] G. N. Rubiano. Fractales para profanos. Universidad

Nacional de Colombia, Editorial Unibiblos, Bogotá, 2002.


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