Notas de clase: Ecuaciones...

Ecuaciones diferenciales de primer ordenSoluciones por sustitución

Campos de pendientes

Notas de clase: Ecuaciones Diferenciales

Gilberto Arenas Díaz

Universidad Industrial de Santander

Segundo semestre 2010

Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales

Variables separablesEcuaciones linealesEcuaciones exactas

Variables separablesSi se considera la ED de primer orden y0 = f (x, y), cuando f no depende de la

variable y, es decir, f (x, y) = g (x), entoncesdydx= g (x) ,lo cual se puede

resolver por medio de integración. Si g (x) es una función continua, entonces

g (x) dx = G (x) + C.

De�nición (Ecuación separable)

Se dice que una ecuación de primer orden es separables o que tiene variables

separables, si tiene la formadydx= g (x) h (y) .

Observe que esta ecuación se puede solucionar de la siguiente forma

dyh (y)

= g (x) dx

�p(y)= 1

Zp (y) dy =

Zg (x) dx =) P (y) = G (x) + C.

Observe también que la ecuación se puede escribir como

p (y) dy� g (x) dx = 0.

g (x) dx = G (x) + C.

dyh (y)

= g (x) dx

�p(y)= 1

Zp (y) dy =

Zg (x) dx =) P (y) = G (x) + C.

p (y) dy� g (x) dx = 0.

g (x) dx = G (x) + C.

dyh (y)

= g (x) dx

�p(y)= 1

Zp (y) dy =

Zg (x) dx =) P (y) = G (x) + C.

p (y) dy� g (x) dx = 0.

g (x) dx = G (x) + C.

dyh (y)

= g (x) dx

�p(y)= 1

Zp (y) dy =

Zg (x) dx =) P (y) = G (x) + C.

p (y) dy� g (x) dx = 0.

Ecuaciones lineales

De�niciónSe dice que una ED de primer orden de la forma

a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x)

es una ecuación lineal en la variable dependiente y.

Observe que la ED se puede escribir como

dydx+ P (x) y = f (x) .

Esta ecuación se puede solucionar multiplicando por un término conocido comofactor integrante µ (x) = e

RP(x)dx,

P(x)dx dydx+ P (x) e

RP(x)dxy = f (x) e

RP(x)dx,

pero esta ecuación es equivalente a

P(x)dxyi= f (x) e

RP(x)dx.

Ecuaciones lineales

a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x)

dydx+ P (x) y = f (x) .

RP(x)dx,

RP(x)dxy = f (x) e

RP(x)dx,

P(x)dxyi= f (x) e

RP(x)dx.

Ecuaciones lineales

a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x)

dydx+ P (x) y = f (x) .

RP(x)dx,

RP(x)dxy = f (x) e

RP(x)dx,

P(x)dxyi= f (x) e

RP(x)dx.

Ecuaciones lineales

a1 (x)dydx+ a0 (x) y = g (x)

dydx+ P (x) y = f (x) .

RP(x)dx,

RP(x)dxy = f (x) e

RP(x)dx,

P(x)dxyi= f (x) e

RP(x)dx.

Ecuaciones exactas

Observe que y dx+ x dy = d (xy) = 0 =) xy = c.

Si z = f (x, y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en unaregión R del plano xy, su diferencial es

dz =∂f∂x

dx+∂f∂y

Entonces, si f (x, y) = c, se tiene que

∂f∂x

dx+∂f∂y

dy = 0.

Por ejemplo, si x3 + 2x2y2 + y3 = k, entonces�3x2 + 4xy2

�dx+

�4x2y+ 3y2

�dy = 0 =) dy

dx= �3x2 + 4xy2

4x2y+ 3y2

Ecuaciones exactas

Observe que y dx+ x dy = d (xy) = 0 =) xy = c.Si z = f (x, y) es una función con primeras derivadas parciales continuas en unaregión R del plano xy, su diferencial es

dz =∂f∂x

dx+∂f∂y

∂f∂x

dx+∂f∂y

dy = 0.

�dx+

�4x2y+ 3y2

�dy = 0 =) dy

dx= �3x2 + 4xy2

4x2y+ 3y2

Ecuaciones exactas

dz =∂f∂x

dx+∂f∂y

∂f∂x

dx+∂f∂y

dy = 0.

�dx+

�4x2y+ 3y2

�dy = 0 =) dy

dx= �3x2 + 4xy2

4x2y+ 3y2

Ecuaciones exactas

dz =∂f∂x

dx+∂f∂y

∂f∂x

dx+∂f∂y

dy = 0.

�dx+

�4x2y+ 3y2

�dy = 0 =) dy

dx= �3x2 + 4xy2

4x2y+ 3y2

Ecuación exacta

De�niciónUna ecuación diferencial de la forma

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0

se llama exacta si ella corresponde a la diferencial de alguna función f (x, y) enuna región R del plano xy.

Teorema (Criterio para una ecuación diferencial exacta)

Sean M (x, y) y N (x, y) dos funciones continuas y con derivadas parcialescontinuas en una región rectangular R = f(x, y) j a < x < b, c < y < dg.Entonces, la condición necesaria y su�cienta para que la ecuaciónM (x, y) dx+N (x, y) dy sea una diferencial exacta es que

∂M∂y

=∂N∂x

Ecuación exacta

De�niciónUna ecuación diferencial de la forma

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0

se llama exacta si ella corresponde a la diferencial de alguna función f (x, y) enuna región R del plano xy.

Teorema (Criterio para una ecuación diferencial exacta)

Sean M (x, y) y N (x, y) dos funciones continuas y con derivadas parcialescontinuas en una región rectangular R = f(x, y) j a < x < b, c < y < dg.Entonces, la condición necesaria y su�cienta para que la ecuaciónM (x, y) dx+N (x, y) dy sea una diferencial exacta es que

∂M∂y

=∂N∂x

Metodo de solución para ecuaciones exactasDada una ecuación de la forma

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

donde se veri�ca que es exacta.

En tal caso, existe una función f tal que

∂f∂x= M (x, y) y

∂f∂y= N (x, y) .

Se puede determinar f integrando M (x, y) con respecto a x:

f (x, y) =Z

M (x, y) dx+ g (y) .

Ahora derivando con respecto a y se obtiene

∂f∂y=

ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .

De esta ecuación se obtiene que g0 (y) = N (x, y)� ∂

ZM (x, y) dx.

Integrando se obtiene la función g (y), y por consiguiente la ecuaciónf (x, y) = c.

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

donde se veri�ca que es exacta. En tal caso, existe una función f tal que

∂f∂x= M (x, y) y

∂f∂y= N (x, y) .

f (x, y) =Z

M (x, y) dx+ g (y) .

∂f∂y=

ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .

ZM (x, y) dx.

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

∂f∂x= M (x, y) y

∂f∂y= N (x, y) .

f (x, y) =Z

M (x, y) dx+ g (y) .

∂f∂y=

ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .

ZM (x, y) dx.

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

∂f∂x= M (x, y) y

∂f∂y= N (x, y) .

f (x, y) =Z

M (x, y) dx+ g (y) .

∂f∂y=

ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .

ZM (x, y) dx.

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

∂f∂x= M (x, y) y

∂f∂y= N (x, y) .

f (x, y) =Z

M (x, y) dx+ g (y) .

∂f∂y=

ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .

ZM (x, y) dx.

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

∂f∂x= M (x, y) y

∂f∂y= N (x, y) .

f (x, y) =Z

M (x, y) dx+ g (y) .

∂f∂y=

ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .

ZM (x, y) dx.

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

∂f∂x= M (x, y) y

∂f∂y= N (x, y) .

f (x, y) =Z

M (x, y) dx+ g (y) .

∂f∂y=

ZM (x, y) dx+ g0 (y) = N (x, y) .

ZM (x, y) dx.

Ejemplos�3x2y+ ey� dx+

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =

R �3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)

N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.f (x, y) =

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

�) My = 3x2 + ey = Nx. Por tanto es exacta.

f (x, y) =R �

3x2y+ ey� dx+ g (y) = x3y+ xey + g (y)N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)

=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.

) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.�3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

N (x, y) = x3 + xey � 2y = x3y+ xey + g0 (y)=) g0 (y) = �2y =) g (y) = �y2.) f (x, y) = x3y+ xey � y2 = C.

�3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

) Mt = �2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

�x3 + xey � 2y

�dy = 0.

M (x, y) =�3x2y+ ey�, N (x, y) =

�x3 + xey � 2y

3y2 � t2

�dydt+

t2y4 = 0, y (1) = 1.

M (t, y) =�

3y2 � t2

�, N (t, y) =

t2y4) Mt = �

2ty5 = Ny.

f (t, y) =R �3y2 � t2

�dy+ g (t) =

t2 � 32

y2�+ g (t)

N (x, y) =t

2y4 =t

2y4 + g0 (t) =) g0 (t) = 0 =) g (t) = C.

) f (x, y) =1y4

t2 � 32

y2�= C =) C =

�14� 3

�= �5

Ecuaciones homogéneasEcuación de BernoulliReducción para separación de variables

Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α.

Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.Una ED escrita en la forma diferencial

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

se dice que es homogénea si ambos coe�cientes M y N son funcioneshomogéneas del mismo grado. Es decir

M (tx, ty) = tαM (x, y) y N (tx, ty) = tαN (x, y) .

Si M y N son homogéneas de grado α, se pueden escribir

M (x, y) = xαM (1, u) y N (x, y) = xαN (1, u) , donde u =yx

M (x, y) = yαM (v, 1) y N (x, y) = yαN (v, 1) , donde v =xy

Cualquiera de las dos sustituciones reducirá la ED homogénea a una EDseparable.

Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α. Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.

Una ED escrita en la forma diferencial

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

Ecuaciones homogéneasSi una función f posee la propiedad f (tx, ty) = tαf (x, y) para algún α 2 R,entonces se dice que f es una función homogénea de grado α. Por ejemplo,f (x, y) = x2 + y2 + xy; f (x, y) = x3 + x2y+ xy2 + y3.Una ED escrita en la forma diferencial

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

se dice que es homogénea si ambos coe�cientes M y N son funcioneshomogéneas del mismo grado.

Es decir

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

Ecuación homogéneaObserve que la ED

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

se puede escribir como

xαM (1, u) dx+ xαN (1, u) dy = 0 o M (1, u) dx+N (1, u) dy = 0,

donde u = y/x o y = ux.

Al sustituir el diferencial dy = udx+ xdu, se obtiene

M (1, u) dx+N (1, u) [udx+ xdu] = 0

pero acomodando términos se tiene

[M (1, u) + u �N (1, u)] dx+ x �N (1, u) du = 0

N (1, u) duM (1, u) + u �N (1, u)

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

donde u = y/x o y = ux. Al sustituir el diferencial dy = udx+ xdu, se obtiene

M (1, u) dx+N (1, u) [udx+ xdu] = 0

[M (1, u) + u �N (1, u)] dx+ x �N (1, u) du = 0

N (1, u) duM (1, u) + u �N (1, u)

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

M (1, u) dx+N (1, u) [udx+ xdu] = 0

[M (1, u) + u �N (1, u)] dx+ x �N (1, u) du = 0

N (1, u) duM (1, u) + u �N (1, u)

M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0,

M (1, u) dx+N (1, u) [udx+ xdu] = 0

[M (1, u) + u �N (1, u)] dx+ x �N (1, u) du = 0

N (1, u) duM (1, u) + u �N (1, u)

Ecuación de BernoulliLa ecuación diferencial de la forma

dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,

donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli.

La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.En efecto, si u = y1�n, entonces

dudx= (1� n) y�n dy

dx() dy

(1� n)dudx

sustituyendo esto en la ecuación inicial se obtiene

(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du

dx+ P (x) � (1� n)

y1�n = (1� n) � f (x) ,

pero esta ecuación es equivalente a la ecuación lineal

dudx+Q (x) � u = g (x) ,

donde Q (x) = (1� n)P (x) y g (x) = (1� n) f (x) .

dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,

donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli. La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.

En efecto, si u = y1�n, entonces

dx() dy

(1� n)dudx

(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du

dx+ P (x) � (1� n)

y1�n = (1� n) � f (x) ,

dudx+Q (x) � u = g (x) ,

dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,

donde n es cualquier número real (n 6= 0 y n 6= 1), se llama ecuación deBernoulli. La sustitución u = y1�n reduce cualquier ecuación de esta forma auna ecuación lineal.En efecto, si u = y1�n, entonces

dx() dy

(1� n)dudx

(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du

dx+ P (x) � (1� n)

y1�n = (1� n) � f (x) ,

dudx+Q (x) � u = g (x) ,

dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,

dx() dy

(1� n)dudx

(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn

() dudx+ P (x) � (1� n)

y1�n = (1� n) � f (x) ,

dudx+Q (x) � u = g (x) ,

dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,

dx() dy

(1� n)dudx

(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du

dx+ P (x) � (1� n)

y1�n = (1� n) � f (x) ,

dudx+Q (x) � u = g (x) ,

dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,

dx() dy

(1� n)dudx

(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du

dx+ P (x) � (1� n)

y1�n = (1� n) � f (x) ,

dudx+Q (x) � u = g (x) ,

dydx+ P (x) � y = f (x) � yn,

dx() dy

(1� n)dudx

(1� n)dudx+ P (x) � y = f (x) � yn () du

dx+ P (x) � (1� n)

y1�n = (1� n) � f (x) ,

dudx+Q (x) � u = g (x) ,

donde Q (x) = (1� n)P (x) y g (x) = (1� n) f (x) .Escuela de Matemáticas Ecuaciones Diferenciales

Reducción para separación de variablesUna ecuación diferencial de la forma

dydx= f (Ax+ By+ C)

siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables mediante lasustitución u = Ax+ By+ C, con B 6= 0.

En efecto. Observe que al realizar la sustitución entonces

dudx= A+ B

dydx() dy

dudx� A

implicando que la ecuación inicial se transforme en

dudx� A

B= f (u) ,

la cual se puede escribir como la ecuación separable

duf (u) +A

dydx= f (Ax+ By+ C)

siempre se puede reducir a una ecuación con variables separables mediante lasustitución u = Ax+ By+ C, con B 6= 0.En efecto. Observe que al realizar la sustitución entonces

dudx= A+ B

dydx() dy

dudx� A

B= f (u) ,

duf (u) +A

dydx= f (Ax+ By+ C)

dudx= A+ B

dydx() dy

dudx� A

B= f (u) ,

duf (u) +A

dydx= f (Ax+ By+ C)

dudx= A+ B

dydx() dy

dudx� A

B= f (u) ,

duf (u) +A

Ejercicios

�y2 + xy

�dx+ x2 dy = 0.

x+ 3y3x+ y

2x2y dx =�3x3 + y3� dy.

xdydx+ y =

xdydx� (1+ x) y = xy2.

3�1+ x2� dy

dx= 2xy

�y3 � 1

y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.

Ejercicios

�y2 + xy

�dx+ x2 dy = 0.

x+ 3y3x+ y

2x2y dx =�3x3 + y3� dy.

xdydx+ y =

3�1+ x2� dy

dx= 2xy

�y3 � 1

y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.

Ejercicios

�y2 + xy

�dx+ x2 dy = 0.

x+ 3y3x+ y

2x2y dx =�3x3 + y3� dy.

xdydx+ y =

3�1+ x2� dy

dx= 2xy

�y3 � 1

y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.

Ejercicios

�y2 + xy

�dx+ x2 dy = 0.

x+ 3y3x+ y

2x2y dx =�3x3 + y3� dy.

xdydx+ y =

3�1+ x2� dy

dx= 2xy

�y3 � 1

y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.

Ejercicios

�y2 + xy

�dx+ x2 dy = 0.

x+ 3y3x+ y

2x2y dx =�3x3 + y3� dy.

xdydx+ y =

3�1+ x2� dy

dx= 2xy

�y3 � 1

y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.

Ejercicios

�y2 + xy

�dx+ x2 dy = 0.

x+ 3y3x+ y

2x2y dx =�3x3 + y3� dy.

xdydx+ y =

3�1+ x2� dy

dx= 2xy

�y3 � 1

y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.

Ejercicios

�y2 + xy

�dx+ x2 dy = 0.

x+ 3y3x+ y

2x2y dx =�3x3 + y3� dy.

xdydx+ y =

3�1+ x2� dy

dx= 2xy

�y3 � 1

y1/2 dydx+ y3/2 = 1, y (0) = 4.

Ejercicios

2dydx=

yx� x

y2 , y (1) = 1.

1� x� yx+ y

(x+ y) dy� (1� x� y) dx = 0.dydx= 1+ ey�x+5.

yx+ ey/x, y (1) = 1.

(1� sin x tan y) dx+ cos x sec2 y dy = 0.2xy dx+

�x2 + 1

�dy = 0, y (1) = 2.

Ejercicios

2dydx=

yx� x

y2 , y (1) = 1.

1� x� yx+ y

yx+ ey/x, y (1) = 1.

�x2 + 1

�dy = 0, y (1) = 2.

Ejercicios

2dydx=

yx� x

y2 , y (1) = 1.

1� x� yx+ y

(x+ y) dy� (1� x� y) dx = 0.

dydx= 1+ ey�x+5.

yx+ ey/x, y (1) = 1.

�x2 + 1

�dy = 0, y (1) = 2.

Ejercicios

2dydx=

yx� x

y2 , y (1) = 1.

1� x� yx+ y

yx+ ey/x, y (1) = 1.

�x2 + 1

�dy = 0, y (1) = 2.

Ejercicios

2dydx=

yx� x

y2 , y (1) = 1.

1� x� yx+ y

yx+ ey/x, y (1) = 1.

�x2 + 1

�dy = 0, y (1) = 2.

Ejercicios

2dydx=

yx� x

y2 , y (1) = 1.

1� x� yx+ y

yx+ ey/x, y (1) = 1.

(1� sin x tan y) dx+ cos x sec2 y dy = 0.

2xy dx+�x2 + 1

�dy = 0, y (1) = 2.

Ejercicios

2dydx=

yx� x

y2 , y (1) = 1.

1� x� yx+ y

yx+ ey/x, y (1) = 1.

�x2 + 1

�dy = 0, y (1) = 2.

Campos de pendientesIsoclinas

Isoclinasy0 = x2 � y, Isoclinas son parábolas y = x2 �m

y0 = x2 � y, Exact solution is:�

C2e�x � 2x+ x2 + 2

Campos de pendientesUse el campo de direcciones dado para trazar a mano una curva soluciónaproximada que cumpla la condición inicial dada.y0 = xy2, (a) y(0) = 0; (b) y(1) = 2; (c) y(�2) = �2.

Sea y0 = sin x cos y, trace la curva solución aproximada para y (0) = �5/2.

Use el campo de direcciones dado para trazar a mano una curva soluciónaproximada que cumpla la condición inicial dada.y0 = 1� xy2, (a) y(0) = 0; (b) y(1) = 2; (c) y(�2) = 1.

Notas de clase: Ecuaciones...

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