Revist.a INTEGR.ACIONUniversidad Indust.rial de Sant.anderEscuela de Mat.emáticasVol. 13, No 1, p. 116, enero-junio de l!J!}r,

Estructura geométrica y algebraica de lasmecánicas clásica y cuántica

BERENICE GUERRERO·OSWALDO LEZAMAt

La mecánica clásica considera el mundo formado por puntos materiales, lla-mados partículas, cada uno caracterizado por su masa (no nula), su posicióu(punto geométrico) y su velocidad (vector), sometidos a una fuerza (ley física).En un modelo físicointervienen los siguientes elementos: El espacio de posiciónde las partículas llamado espacio de configuración. El espacio formado porel conjunto de estados instantáneos, llamado espacio de estado o espaciode fase y las leyes físicas que determinan cómo se lleva a cabo el cambio d<,los estados, llamadas los observables.Tanto el espacio d.e configuración'como el espacio de fase tienen estructurasgeométricas, cuyas características y propiedades matemáticas constituyen laherramienta básica del estudio de los sistemas físicos. Las cantidades físicas 1I

observables tienen estructuras algebraicas sobre el espacio de fase y determinanlas leyes que gobiernan los movimientos en un sistema físico.El propósito de esta notas es mostrar las diferentes estructuras tanto geomé-tricas como algebraicas que subyacen en los diferentes sistemas físicos de lamecánica clásica y su relación con las estructuras de la mecánica cuánti<'a.

"Depart.amento de Mat.emát.icas y Estadíst.ica. llniversidad Nacional de Colombia. Bo-gotá, COLOMBIA. (bguerrer@hernel'Ot,eca.icfes.gov.eo)

tDepartament.o de Mat.emát.icas y Estadística. Universidad Naeional de Colombia. flogotá. COLOMBIA. (olezama@hemcrnleea.icfes.gov.co)

Los trabajos citados en la bibliografía han sido la fuente para la realización deestas ndtas.

Ejemplo 1. Una partícula de ma..<;am que se mueve a lo largo de una rectaR. El espacio de coofiguraciónde este sistema físico es la recta R.Un estado instantáneo de la partícula nos determipa su· posición x sobre larecta y su velocidad v. El con,junto de todos los estados instantáneos es elespacio de estado T R,

Si suponemos que la partícula es sometida a una fuerza F, dada por una leyfísica, F : R ~ IR,el estado de la partícula en el tiempo t depende del estadoinicial (xo, vo) en el tiempo to Y de la fuerza F. El conjunto de funciones Fforma el espacio de los observables del sistema.

Ejemplo 2. Consideremos dos partículas que se mueven en el espacio IR3,conposiciones x 1 y X2 respectivamente, cuyas coordenada..<;son

( 1 2 3)Xl = q, q , q ,

entonces el espacio de configuración M de este sistema es el conjunto de posi-ciones del par de partículas, es 'decir,

M = {(Xl. X2) E R3 x R31xl ::f: X2}'

Si VI es la velocidad de la partícula situada en Xl y V2 es la velocidad de lapartícula en X2, entonces el espacio de estado es el conjunto formado por losvectores velocidad en cada posición, esto es,

El conjunto de vectores velocidad v en un punto del espacio de configuración,es un espacio vectorial que notamos por TqM para q E M, con q = (Xl, X2) =(q 1, q2, q3, pl, p2, p3) .

. En los ejemplos anteriores los e~pacios de configuración de los sitemas sonabiertos del espacio euclidiano IRn,y los espacios de estado son espacios vec-toriales formados por los vectores velocidad en cada posición.

Debido a las características que debe reunir el espacio de configuración parainterpretar un sistema físico, la estructura más apropiada para este espacio esla de variedad diferenciable, es decir, un subconjunto delRn que sea unión suavede superficies, donde podamos hablar de vector tangente, espacio tangente,fibrado tangente, campo vectorial, dual del espacio tangente, etc.Cuando el espacio de configuración es una variedad M, en lugar de trabajar conlas coordenadas cartesianas usuales, usamos las coordenadas generalizadas, esdecir, coordenadas locales de tal manera: que la teoría física sea independiented.e la escogencia de coordenadas.

La mecánica clásica puede ser newtoniana, lagrangiana Q hamiltoniana. Lasdiferencias entre estos sistemas físicos. tienen que ver con la estructura delespacio de configuración sobre el cual se define cada uno de estas mecánicas.La mecánica newtoniana estudia. el movimiento de un sistema de puntos conuna masa, en el espacio euclidfano. Las propiedades básicas de la mecánicanewtoniana son invariantes respecto del grupo (de Lie) de movimientos eu-clidianos (observables) de ese espacio.La mecánicalagrangiana describe el movimiento de un sistema mecánico cuyoespacio de configuración tiene estructura de variedad diferenciable. Los ob-servables de esta mecánica son difeomorfismos(ful,lciones lagrangianas) que

, actúan sobre el espacio tangente. Las propiedadades básicas de la mecánicalagrangiana son invariantes respecto del grupo de estos difeomorfismos.En un sistema mecánico hamiltoni~no el espadode configuración está dadopor una variedad de dimensión par con estructura simpléctica y el movimientodel sistema depel,lde.de una funclón. sobre el espacio de fase (func~ón hamilto-niana). Los conceptos y las propiedades hásica de la mecánicahamiltonianason invariantes respecto del grupo de difeomorfismos simplécticos, es decir,difeomorfismos sobre el espacio de fase que preservan su estructura simpléctica.

Desde sus comienzos las leyes de la mecánica han estado formuladas sobre basesgeométricas y algebraicas. Es decir, los espacios sobre los que se construyenmodelos mecánicos tienen estructuras geométricas,y los observables de lossistemas físicos tienen estructuras algebraicas bíén determinadas.

De los comentarios anteriores podemos concluir que un sistema físico tieneuna estructura geométrica compuesta por un espacio de configuración M quegeneralmente es una variedad diferenciab1e. Los elementos q (t) de ese espacioM representan configuraciones instantáneas del sistema físico, y el vector

v (to) = !!.-q (t)/ = 4 (ta)dt to

es la velocidad de' la partícula en el tiempo to.Para cada q (to) E M el conjunto de los vectores velocidad v (t) en to son vec-tores tangentes al espacio M en el punto q (to), Y forman un espacio vectorialllamado el espacio tagente a M en el punto q (to) que notamos por Tq(to)M.

La unión de los espacios tangentes TqM cuando q recorre M forma el fibradotangente T M sobre M. Entonces un punto del fibrado tangente T M describela posición y la velocidad de varias partículas del sistema en un Cierto tiempo.Por ello podemos interpretar T M como al espacio cinemático.Si 11, es la dimensión del espacio de configuración M, todo sistema de coor-denadas locales (q1, ... , qn)sobre M da lugar a un sitema de coordenadaslocales sobre el fibrado tangente T M, dado pór (q1, ... , qn, V 1, ... , V n), dondelos vi con i = 1, ... ,11, son las coordenadas del vector velocidad. Entonces, uncambio de coordenadas sobre T M corresponde a un cambio de coordenadassobre NI y viceversa.De la misma forma como definimos el fibrado ,tangente, podemos definir elfibrado cotangente T* M, dual de TM. Para cada q E M, el espacio dual T; Mdel espacio tangente TqM es el espacio vectorial de las funciones lineales,

T;M = (TqM)* = {p: TqM - R}.

La unión de los espacios vectoriales duales T; M cuando q recorre Mes elfibrado vectoría! T* M sobre M, llamado el fibmdo c.otangente.En términos de las coordenadas locales, dado q E M q = (q 1, ... ,q n), sinotamos por 4 = (41, ... ,4n) las coordenadas de la velocidad, entonces

( 1 n·1 .n)q , ... ,q ,q , ... ,q

forman un conjunto de coordenadas locales sobre TM. De la misma forma, sinotamos por p = (P1, ... ,Pn) las coordenadas duales sobre el espacio vectorialT; M,es decir, Pi : T~M - R entonces

forman un conjunto de coordenadas locales sobre el fibrado cotangente T* M.Por lo tanto la dimensión de los espacios tangente y cotangente es 2n.Los movimientos de un sistema mecánico están dados por curvas J.t (t) definidassobre el espacio de configuración M o sobre el espacio de fase T M o T* M,gobernadas por leyes físicas que nos dicen cómo ca.mbia un estado del sistemaen el tiempo.En mecánica newtoniana un movimiento del sistema está dado por una curvaJ.t con valores en M definida sobre un intervalo 1

J.t (t) = q (t) = (q 1(t) , ... , qn (t») ,donde n es la dimensión del espacio M. J.t es una trayectoria en el espaciode configuración que nos determina un cambio del sistema físico en el tiempo,gobernado por la ecuación newtoniana del movimiento, la cual para q E Mestá dada por la igualdad

..i 8Fm'iq = ~-.,8ql.

donde F es una cantidad física del sistema (fuerza u observable) y ij la segundaderivada de q respecto del tiempo.En un sistema mecánico lagrangiano el movimiento está determinado por lafunción lagrangiana L : TM -. IR, definida sobre el fibrado tangente del espaciode configuración, y gobernado por la ecuación,

d (aL.). _ aLdt 8tj - oq'

llamada la ecuación de Euler-Lágrange.En el caso general de Un sistema hamiltonial1o el Illovimiento está determi-nado pOLel hamiltoniáno (H), función definida sobl'e el fibrado cotangente(con estructti'rade variedad simpléctica) H : T*M-. IR,Y gobernado por lasecuaciones de Hamilton

. ( ) 8H ( ) , .i () 8H ( )Pi t = - 8qi q, P , q t = 8Pi q, P,

donde (ql (t) , ... , qn (t), Pl (t) , ... , Pn (t»), es una trayectoria sobre el espacioT*M.

En los sistemas mecánicos más simples, el espacio de fase es el espacio vectorialreal T M de dimensión 2n con coordenadas (ql, ... , qTl, tjl, ... ,tjn), las cuales

dl'snilwll la posición y la velocidad de las partículas que componen el sistema.En sistemas más dos el espacio de fase es el fibradocotangente T* M del espaciode configuración ]vI.

En \ln sistema mecánico clásico las fuerzas están dadas por una energía cinéticay una energía potencial, definidas· sobre el fibrado tangente del espacio decOllfiguración.La enegía cinética r es una función del fibrado tangellte a valores reales, r :T Al -~t IR,la cual, restringida al espacio vectorial Tq1'4, para cada q E M es\lna métrica sobre M. Es decir,

donde (-,.) es un producto interno en TqM.La energía potencial V definida sobre el fibrado tangente T M,

('sLí determinada por el potencial V: M --+ IR(levantamiento de V), el cual('S \lna función diferenciable sobre et'espacio de configuración 1'4.

lJil cllergía total es la: función definida sobre el fibrado tangente T M por laSllllla de estas dos enegías:

El trahajo de Lagrange consistió en determinar las leyes del movimiento entL"rminosde la función L = r - V, definida sobre el fibrado tangente T M,llamada el lagrangiallo del sistema.Es decir, dada una trayectoria JL(t) = (q(t),tj(t)) sobre el espacio de fase'1'/1'[, LagTange encontró que el movimiento del sistema está gobernado por la

llamada la (~cun.cíón de EuieT-Ln.grn.nge, donde q1, ... , qn, tj1, ... ,tjn son lascoordenadas locales sobre T M conqilas coordenadas de la velocidad vi yL=I'-V.

Hamiltoll llegó a un resultado equivalente partiendo de la transformación deLegelHlre 1\ .Yde la función de Lagrange L, no necesariamente de la forma('- V.

La formulación hamiltoniana consiste en lo siguiente: dada la transformaciónde Lagrangc L : T M --+ IR,para cada v en el espacio tangente TqM sea I\q (v)

Áq (v, w) =dd L (v + tW)1t t==O

para q E M Y v,w en TqM.Con base en estas funciones Áq para cada q E M, la transformación de Le-gendre Á determinada por L, la cual relaciona los fibrados vectoriales T M YT* M, está dada por la función '

para q E M Y V,w en TqM.Cuando L = r - V, la función de Legendre Á es un difeomorfismo de fibradosy, por lo tanto, se pueden intercambiar los espacio cinemático T M Y de faseT*M.'

Dada la tranformación de Legendre A" la energía total E : T M -+ R estádefinida por la iguaJ.dad

para q E M Y v E TqM.Si la función de Lagrange L es igual a r - V, esta energía E se puede escribir

d· d 1 1 (.) ln'l ·nen coor ena as oca es q, q = q , .. " q , q ., . , : ' q como

E ( .) ( aL)' .i', L '( .)q, q = 8¡¡Í q. - q, q ,

aL araqi = aqi'

1r(q,q)=(q,q)=2 'í";

9íjq q

(:~) qí _ L (q, q) = 2r (q, q) - (r (q,q) - V (q))

= r'(q, q) + V (q)= E(q,q),

es decir, E = r + V, como se tenía con Lagrange.La función hamiltoniana es la función sobre el espacio de fase T* M que satis-face la igualdad H o /\ = E, la cual en coordenadas podemos escribir como:

nH (q1, ... ,q7,\pl, ... ,Pn) = LPi'/ - L (q,4).

1

J.L (t) = (q1(t), ... ,qn (t) ,Pl (t), ... ,Pn (t)),

con Pi, i = 1, ... , n las coordenadas duales, Hamilton encontró que los mo-vimientos del sistema físico están gobernados por el sistema de ecuacionesdiferenciales de primer orden:

dqi 8H-=-. -,dt 8Pi

Puesto que las ecuaciones que gobiernan el movimiento. según Lagrange secumplen para trayec:toriasr¡ (t) en el espacio de estado TM, Ypuesto que cadatrayectoria sobre T M induce una trayectoria (/\ o p:) (t) sobre el espacio defase T* M, entonces las ecuaciones hamiltonianas del movimiento se tienen siy solo si las ecuaciones de Euler-Lagrange se cumplen. Es decir, las ecua-ciones de Hamilton (2) son equivalentes a las ecuaciones de Euler-Lagrange(1), mediante la transformación de Legendre, como Hamilton lo demostró.Si F : T* M - R es una función que representa una cantidad física sobre elespacio' de fase, la derivada de F respecto del tiempo es la función sobre elfibrado cotangente:

F = L(8F. dqi + 8F dPi') .. 8q' dt 8Pi dt,

. (8F 8H 8F8H)F =¡: 8qi 8Pi - 8Pi 8qi .,

Esta expresión puede simplificarse introduciendo el corchete de Poisson {" .}de dos funciones suaves F y G sobre el espacio de fase T* M mediante laigualdad

F G = (8F 8G _ 8F 8G){, } ¡: 8qi 8Pi 8Pi 8qi .,

Este corchete .es independiente de la escogencia. del lagrangiano L y del hamil-toniano H.

Si la transformación de Legendre A : T M ~ T* M es un isomorfismo, entoncesexiste un corchete dePoisson sobre el fibrado T M que dependc de L, inducidopor el corchete de pbisson dcfinido en T* M Y por la transformación' A, dctal manera que las leyes de la dinámica se pueden expresar para toda funciónsuave F : T M ~ IR por la igualdad

Recordemos quc un Corchete de Poisson sobre una varicdad M cs ullaaplicación bilineal sobre el espacio de funciones suaves Coo (M) que satisfacelas siguientes condiciones:

(a) {E, G} = -{G, F} antisilllctría.

-(b) {F, GH} = H {F, G} + G{F, H} Rcgla dc Leibniz.

(c) {F, {G, H}}' + {G,{H,F}} + {H, {F, G}} = OIdentidad de .Jacobi.

Una variedad M con Ull corchete de Poisson definido sobre las funciones dife-renciables eoo' (M), se llama una variedad de Poisson.Cuando el espacio de configuración M de un sistema físico cs una variedad,el corchete (4) define un corchete de Poisson sobre el esp~cio de funcionesdiferenciables Coo (M), con lo cual M es una variedad dc Poisson.

En mecánica clásica las cantidades físicas, o sea los observablr.s, son identifica-dos coh las funciones sóbre el espacio de fasé <5= TM 0<5 = T* M, Y formanel espacio A = Coo (<5). Esto se debe a que las cantidades físicas definidas so-bre el eflpacio de ~onfiguación M determinan en forma natural las cantidadesfísicas definidas sobre el fibrado tangente T M o sobre elfibradb cotangenteT* M. En esta sección identificaremos las estructuras algebraiclts que posee elespacio de observables A= C~ (~). 'El espacio de las funciones diferellciables A = Coo (lB) es un álgcbra asociativay conmutativa sobre los reales con respecto a la adición y multiplicación usual

de funciones. Además, el corchete de Poisson (4), definido sobre este espacio,le da a A = Cco (Q;) una estructura de álgebra de Lie. Si Q; es un grupo deLie, el álgebra A = Coo (Q;) tiene también estructura de álgebra de Hopf, comoveremos a continuación.Sea A un álgebra sobre los reales. Se dice que Aes de Hopf si A posee unacomultiplicación ~, una counidad E y una antípoda 8, las cuales cumplenlas siguientes condiciones:

donde 1 representa la idéntica de A y A ® A es el producto tensoria1. Laimagen de a E A mediante ~ se acostumbra a denotar por

~(a) = I:a'®a";(a)

/1 : A ---> A ® IRes el isomorfismo natural definido {>or "l (a) = a ® 1,a E A. ',2 se define de manera similar. (Las condiciones' (i) y (ii) definensobre A una estructura de coálgebra). '

(iii) ~ Y f son morfismos de álgebras. (Sobre A®A se considera la estructuranatural de IR-álgebra dada por el producto (a ® b) (c ® d) = ac ® bd.Además, las condiciones (i), (ii) Y (iii) definen sobre A una estructurade biálgebra).

(iv) 8 : A ---> A es una aplicación lineal que cumple las siguientes condi-

m o (8 ® 1) o '¿l = i o E, m o (1® $) o ~ = i ()f;

m : A ® A ---> A denota la multiplica.ción de A, m (a ® b) =ab, ei :IR ---> A representa la a.plicación lineal que define el elemento unidadde A, i (1) = 1.

El álgebra de Hopf A se acostumbra a notar por (A, m, i, ~,'f, 8); se dice queA es conmutativa si m es una operación conmutativa., es decir, ab = ba paracualesquiera elementos a y b de .A.. A es coconmutativa si

donde T : A®A --+ A®A es la aplicación lineal definida por T (a ® b) = b®a.Ya estamos en capacidad de mostrar que si el espacio de fase 1.5 es un grupode Lie, entonces el espacio de observables A = Cco (1.5)es un álgebra de Ropfconmutativa. Sabemos que A es una IR-álgebra asociativa, conmutativa y conunidad. El producto en 1.5

1.5 x 1.5

(g, h)

--+ 1.5t--+ gh

permite definir la comultiplicación, la counidad y la antípoda. En efecto, elisomorfismo natural

CCO(6) ® Cco (6) ~ Cco (6 x 1.5)F' ® F" ~ (F' F") (g,h) = F' (g) F" (h)

Cco (0)F

Cco (1.5)® Cco (1.5).1. (F)(g, h) = F (gh).

eF (e),

donde e es el elemento neutro del grupo 1.5.La antípoda se define por

Cco (1.5)F

CCO(I.5)S (F) (g) = F (g-l)

para cada 9 E 1.5.

La verificación de las condiciones (i)-(iv) es un ejercicio sencillo. Veamosadicionalmente que si 1.5 es un grupo abeliano entonces A es coconmutativa:sean F E A y g, h E 1.5;entonces

T 0.1. (F) (g, h) = L F" (g) F' (h)(F)

= L F' (h) F" (g)(F)

= F (hg)= F (gh)= .1. (F)(g, h) .

Luego si el espacio de fase <!S es un grupo de Líe abeliano, entonces el espacio deobservables A = Cco (~) es un álgebra de Hopf conmutativa y coconmutativa.Podemos ahora preguntamos si existe una relación de compatibilidad entre laestructura geométrica de ~ (variedad de Poisson) y la estructura algebraicade A (álgebra de Hopf).Sean ~ un grupo de Lie y A = Cco (~) el álgebra de funciones suaves sobre ~;se dice que ~ es un grupo de Lie-Poisson si 0 es una variedad de Poisson concorchete {, } : A 0 A -4 A tal que la comultiplicación d de A es compatiblecon el corchete, es decir,

donde A2 (Q) es el producto exterior de grado 2 de g, es una solución de laecuación de Yang-Baxter clásica, es decir,' si los 3-tensores

T12 = 2:rijxi 0 Xj 0 1, T13 = L:rijxi 0 i0 Xj, r23 = L:rij10 Xi 0 Xj

~j iJ iJ

[T12, T13 + r23] + [r¡3, r23] = O,

con [.,.] en A3 (Q), entonces el corchete inducido por r

{F, G} =L:rij (8~F8jG - 8iF8jG),i,j

define sobre A una estructura de álgebra de Hopf-Poisson. 8~y 8i denotanlos campos vectoriales invariantes a derecha e izquierda respectivamente, loscuales vienen dados por

(8:F) (g) =!!:...F (etxig)! 'dt t::::Q

donde 9 E llS Y e : g ---+ llS es la aplicación exponencia1.La idea de cuantización que expondremos en la próxima sección está gobernadapor las relaciones (5), (6) Y (7) que acabamos de presentar.

Posiblemente la forma más sencilla de entender la idea de cllantización es lasiguiente: el mundo y sus sistemas físicos son cuánticos, la mecánica clá..,icaysus sistemas físicos no son más que aproximaciones del mundo cuántico; cadasistema clásico corresponde a uno cuántico, el cu'al, en la situación límite enque los parámetros cuánticos convergan a (~ero,restaura el sistema clásico ori-ginal. Esta idea sencilla, pero imprecisa de la cuantizacióu, puede formalizarse(aunque no de manera única) mediante las estructuras geométrico-algebraicasde las secciones anteriores. La idea de cuantización que consideraremos en-seguida es la presentada en [11J y corresponde a la llamada cuantización deHermann Weyl (otros métodos de cuantización pueden leerse en [12]).Sea llS un grupo de Lie-Poisson concotchete dado por (6); la cuantizacióndel álgebra A = Coo (llS) de observables, consiste en definir unu'uevo producto

*h : A ® A ---+ A,

que depende de un cierto parámetro h E IRtal que se cumplen las siguientescondiciones:

(i) El espacio Ah = A con el producto *h es un álgebra asociativa, noconmutativa y con la misma unidad de A.

(ii) Si h = Oel producto en Ah coincide con el producto en A.

(ili) La estructura de coálgebra de Ah coincide con la de A.

(iv) ~ (F *h G) = ~ (F) *h ~(G).

(v) lim t (F *h G - G *h F) = {F, G} (límite semi-clásico)11 ....• 0 1.

(cl producto natural *h inducido en Ah 0 Ah viene dado por (F10 F2) *h(Gl 0 G2) = (Fl *h Gl) 0 (F2 *h G2)).Surgc ahora la siguiente pregunta: ¿Es cuantizable cada grupo de Lie-PoissonQ; con corchete (7) inducido por una solución de la ecuación de Yang-Baxterclásica? La respuesta a esta pregunta está dada en términos de la ecuación deYang -Baxter cuántica. Explicaremos a continuación los principales elementosdel proceso de cuantización tanto del álgebra A = Coo (Q;) como de la ecuaciónde Yang-Baxter clásica. Una construcción completa puede leerse en [11].La idea es definir un producto *h : A0A --+ A que dependa de un parámetroh E nfy que cumpla las condiciones (i)-(v). El producto *h se torna entonces

donde In : A 0 A --+ A es el producto inicial de A y F ,F' : A 0 A ~ A sedefinen como sigue. Sea 9 el álgebra de Lie de Q;, U (9) su álgebra envolvente(es decir, el álgebra cociente del álgebra tensorial de 9 por el ideal biláterogenerado por los elementos dela forma AB - BA - [A, B]), Y U (9)~2 [[h)J el. 2¡í.lgebra dc series formales en hcon coeficientes en U (9)~ = U (9)0U (9). Sea7l" >. la representación de U (9) por medio de operadores diferenciales invariantesa izquierda sobre Q;, es decir,

donde {Xl, .. ", xn} es una base de 9 y 81, ... , 8n son los correspondientescampos vectoriales invariantes a izquierda; nótese que cada 8i es una aplicaciónlineal de A en A. Entoces se toma

1Fl = --r.

2

De manera similar se define F' mediante la antirepresentación de U (9) pormedio de operadores diferenciales 8~ invariantes a izquierda, y se toma

donde F-I es el inverso de F en U (Q)®2[[h]] (F es invertible ya que su términoindependiente es uno).Esta manera de definir *h admite algunas observaciones: En primer lugar,F involucra a la representación de la solución r de la ecuación de Yang-Baxter clásica en U (Q)®2. En segundo lugar, aparentemente FI, F2,' .. puedentomarse arbitrariamente; sin embargo, cuando se prueba la asociatividad de*h surge la llamada ecuación de Yang-Baxter cuántica que impone a F, Y porlo tanto a FI¡F2, , co:qdiciones. En efecto, si notamos por X el conjuntode elementos Xl, , Xn de U (Q), entonces F puede escribirse en la formaF (X, y), donde Y representa a los elementos Xl. ... , X n en el segundo factorde U (Q)®2. Se prueba entonces que *h es un producto asociativo si F satisfacela ecuación

conocida como la ecuación de Yang-Baxter cuántica; esta relación tiene®3lugar en U (Q) Y Z representa a los elementos Xl.' .. ,Xn en el tercer factor.

Si representamos el álgebra de Lie Q, y por lo tanto el álgebra U (Q), medianteun espacio V de dimensión finita

entonces podemos presentar (9) en su forma habitual: Sea T E EndR (V ® V)la transformación de permutación, T (VI ® V2) = v2 ® VI,

R = F-I(y, X)F(X, Y) E U (Q)®2 [[h}} Y R = T o (p ® p)(R);·

donde I es la transformación idéntica de V. Nótese que R E AutR (V ® V).Como resumen de la presente sección podemos anotar lo siguiente: El álgebrade Hopf-Poisson A = coo (~) <lefinida con el corchete (7) es cuantizable me-diante el producto (8) si F (y por lo tanto R) satisface la ecuación de Yang-baxter cuántica. Además, se puede demostrar que Ah es un álgebra de Hopf-Pq,isson no conmutativa. Si Ah es no coconmutativa entonces se dice que Ahes un grupo cuántico, es decir, un álgebra de Hopf~Poisson no conmutativay no coconmutativa, ebtenida a partir de una deformación de A mediante unparámetro (ver [8]).

En estas notas hemos mostrado de una manera no formal un recorrido que vadesde las leyes de la mecánica clásica hasta llegar a la noción de grupo cuántico,usando la idea de cuantización de Weyl. Vimos cómo las leyes de la mecánicaclásica son expresables por medio "de funciones suaves sobre una variedad 18.Si 18 es un grupo de Lie y disponemos de una solución de la ecuación deYe-ng-Baxter clásica, entonces el espacio A = Coo (18) de observables es unálgebra de Hopf-Poisson conmutativa. Esta última puede ser deformada pormedio de un parámetro h en un álgebra de Hopf-Poisson no conmutativa Ahmediante una solución de la ecuación de Yang-Baxter cuántica. Si Ah es nococonmutativa se tiene entonces un grupo cuántico.

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