DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTASCARRERA DE INGENIERIA MECANICA

ASIGNATURA: FISICA II

TRABAJO PREPARATORIODE LABORATORIO No. 1.1

Tema de la practica: OSCILACIONES LIBRESRealizado por: Buenano Franco Paul SebastianCurso y NRC: C-302 1743Fecha: 14 de abril de 2014

1. Consultar Sobre:

a) Componentes del movimiento:La longitud de onda () es la distancia que existe entre dos puntos con- secutivos de la perturbacionque oscilan en la misma fase, es decir que se encuentran en el mismo estado de vibracion. Su unidadde medida en el S.I. es el metro (m).

La amplitud es la distancia de una cresta a donde la onda esta en equilibrio. La amplitud es usadapara medir la energa transferida por la onda. Cuando mayor es la amplitud, mayor es la energatransferida (la energa transportada por una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud).

El perodo (T) es el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a su longitud deonda o lo que es igual al tiempo que tarda cada punto de la perturbacion en realizar una oscilacioncompleta. Su unidad de medida en el S.I. es el segundo (s).

La frecuencia (f ) es el numero de longitudes de onda que avanza la onda en cada segundo o loque es igual al numero de oscilaciones completas que realiza cada punto de la perturbacion en cadasegundo. Su unidad de medida es el Hertz (Hz). El perodo y la frecuencia son inversos entre si.

T = 1F

La velocidad de propagacion (V ) es la distancia que recorre la perturbacion en cada segundo.Comoel tiempo que tarda la propagacion en avanzar una longitud de onda es T, entonces:

v = fEl sonido es una onda mecanica longitudinal que se puede propagar por solidos, lquidos y gases.En su desplazamiento por los gases origina variaciones de presion, densidad y desplazamiento delas masas de gas por el que se propaga. Al llegar al odo actua sobre la membrana del tmpano y,a traves de la cadena de huesecillos del odo medio, transmite al cerebro por el nervio auditivo lapercepcion del sonido.

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b) Modelos fsicos y matematicos de oscilaciones libres.

Tomamos como punto de partida un sistema de masa-resorte. Cuando una partcula se despla-za una distancia x con respecto a la posicion de equilibrio, sobre la partcula actua una fuerzaque es proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a este, tal como se muestra en lafigura.

Realizando el diagrama de cuerpo libre se obtiene:

x = maxFe = maxkx = max

Teniendo en cuenta que la aceleracion es la segunda derivada de la posicion x con respecto al tiem-po, podemos expresar la ecuacion del movimiento como una ecuacion diferencial de segundo orden.

d2xdt2 =

kxm

La ventaja de expresar las oscilaciones en terminos de una ecuacion diferencial es que podemos es-tablecer analogas entre sistemas fsicos oscilantes completamente diferentes: mecanicos electricos,hidraulicos, etc.x = f(t)x = sen(wt)x = Acos(wt) Solucion de la ecuacion diferencial es decir es la EC del MASx = Asen(wt) Puede ser sen o cos, las dos funciones son armonicas tomando como partida laprimera ecuacion se tiene quev = Asen(wt)a = w2Acos(wt)a = w2xd2xdt2 = w2x( km )x = w2xw2 = km Oscilador Armonico Donde w= frecuencia angulark= constante del resortem= masa de la particula

c) El pendulo de Polh

Pendulo de Pohl para demostraciones de oscilaciones forzadas y amortiguadas y resonancias. Unvolante de inercia (2) esta acoplado a un resorte espiral (5) y, a traves de este, a una estimula-cion variable (motor)(1). El amortiguamiento esta controlado por un freno electromagnetico (4). Elpendulo de Pohl es un pendulo de torsion constituido por un volante o disco metalico (v.g., cobre)que puede rotar alrededor de un eje y que, mediante un resorte espiral, recupera su posicion deequilibrio, oscilando alrededor de esta.

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Frecuencia y periodo de las oscilacionesPuesto que el pendulo de Pohl es una variante del pendulo de torsion, la frecuencia angular yperodo de sus oscilaciones libres vienen dados por las mismas expresiones; esto es:

w =

I T = 2pi

I

donde es el coeficiente de torsion del resorte espiral, cuyo valor depende de su forma y dimensionesy de la naturaleza del material eI es el momento de inercia del volante.Utilidades y usosEl mecanismo de los relojes de pulsera mecanicos, accionado mediante un resorte espiral, tieneun periodo de oscilacion que puede calcularse mediante la formula anterior. El reloj esta reguladomediante el ajuste del momento de inercia de la rueda de o volante de inercia I (mediante unostornillos) y de forma mas precisa mediante el cambio del coeficiente de torsion del resorte.

d) Oscilaciones libres y amortiguadas

Oscilaciones amortiguadas

Para explicar el amortiguamiento, podemos suponer que ademas de la fuerza elastica F = kx,actua otra fuerza opuesta a la velocidad F = kv, donde k es una constante que depende delsistema fsico particular. Todo cuerpo que se mueve en el seno de un fluido viscoso en regimenlaminar experimenta una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad y de sentido contrarioa esta.La ecuacion del movimiento se escribe m = kx V Expresamos la ecuacion del movimiento enforma de ecuacion diferencial, teniendo en cuenta que la aceleracion es la derivada segunda de laposicion x, y la velocidad es la derivada primera de x.

d2xdt2 + 2

dxdt + (w0)

2x (w0)2 = km y 2 =

m

La solucion de la ecuacion diferencial tiene la siguiente expresion x = Aexp()sen(wl + ) conw2 = w02 2La caracterstica esencial de la oscilacion amortiguada es que la amplitud de laoscilacion disminuye exponencialmente con el tiempo. Por tanto, la energa del oscilador tambiendisminuye. Estas perdidas de energa son debidas al trabajo de la fuerza F de rozamiento viscosoopuesta a la velocidad. En el espacio de las fases (v-x) vemos que el movil describe una espiral queconverge hacia el origen.Si el amortiguamiento es grande, puede ser mayor que w0, y w puede llegar a ser cero (oscilacionescrticas) o imaginario (oscilaciones sobre amortiguadas). En ambos casos no hay oscilaciones y lapartcula se aproxima gradualmente a la posicion de equilibrio. La energa perdida por la partculaque experimenta una oscilacion amortiguada es absorbida por el medio que la rodea. Como aplica-cion de las oscilaciones amortiguadas se ha descrito un modelo para el coeficiente de restitucion.

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Oscilaciones libres

Cuando la partcula esta desplazada x de la posicion de equilibrio, actua sobre ella una fuerza elas-tica que es proporcional a x, y de sentido contrario, tal como se muestra en la figura.La ecuacion del movimiento se escribema = kxTeniendo en cuenta que la aceleracion es la derivada segunda de la posicion x, podemos expresarla ecuacion del movimiento como ecuacion diferencial de segundo orden

d2xdt2 + w0

2x = 0 w02x = km

w0 se denomina frecuencia propia o natural del oscilador armonico.La solucion de esta ecuacion diferencial es la ecuacion de un M.A.S. que hemos estudiado en elapartado definicion de M.A.S. x = Asin(w0t+ )La ventaja de expresar las oscilaciones en terminos de una ecuacion diferencial es que podemos es-tablecer analogas entre sistemas fsicos oscilantes completamente diferentes: mecanicos electricos,hidraulicos, etc.La caracterstica esencial de una oscilacion libre es que la amplitud se mantiene constante, y portanto, la energa total se mantiene constante. En el espacio de las fases (v-x) el movil describe unaelipse.El espacio de las fases nos muestra otra perspectiva del comportamiento de un oscilador, y se repre-senta el momento lineal (o la velocidad) en el eje vertical, y la posicion del movil en el eje horizontal.

2. ResuelvaQue valores de beta, el movimiento es oscilatorio sub-amortiguado, crticamente amortiguado y sobreamortiguado?

x.. + mx. + k0

mx = 0

movimiento sub-amortiguado: = 0movimiento crticamente amortiguado: < 0; > 0movimiento sobre amortiguado: < 0; > 0En un sistema masa-resorte, el modelo matematico esta dado por:x.. + 2x. + 20x = 0De acuerdo con ello,se trata de una oscilacion amortiguada? Justifique2 = 2 = 1w2 = 202 < w2

1 < 20Movimiento sub-amortiguado

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3. Realice la simulacion de: (elongacion,rapidez y aceleracion)Realice la representacion grafica de las componentes del movimiento para un sistema masa-resorte cuyomodelo matematico es:

x.. + 2x. + 5x = 0x.. + 2x. + w2x = 0x.. + mx

. + k0m x = 0x.. + 2x. + 5x = 0m2 + 2m+ w2

Se debe evaluar el discriminante para saber su amortiguamiento

2 W 2

W . =2 W 2

W . =

12 52W . =

4Como

2 W 2 es negativo entonces la oscilacion es subamortiguado

Con la expresion matematica graficamos los elementos del movimiento en un simulador en lnea(http://www4.uva.es/goya/Java/amortiguadas/amortiguadas.html)

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4. Preguntas:

a) Defina el concepto: elongacion, amplitud,frecuencia natural,periodo.

Elongacion (x)Es la distancia existente entre la posicion de equilibrio y el cuerpo en un instante cualquiera.Amplitud (A)Es la distancia existente entre la posicion de equilibrio y cualquiera de las posiciones extremas.El perodo (T)Es el tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a su longitud de onda o lo que esigual al tiempo que tarda cada punto de la perturbacion en realizar una oscilacion completa. Suunidad de medida en el S.I. es el segundo (s).

La frecuencia (f)Es el numero de longitudes de onda que avanza la onda en cada segundo o lo que es igual al numerode oscilaciones completas que realiza cada punto de la perturbacion en cada segundo. Su unidadde medida es el Hertz (Hz). El perodo y la frecuencia son inversos entre s.

T = 1f

b) Determine mediante el analisis dimensional las dimensiones del coeficiente de amortiguamiento.Unidades:

(kg/s)Dimensiones:

[M/T ]

c) Detalla al menos tres diferencias entre oscilaciones libres y oscilaciones amortiguadas

- Oscilacion libre es que la amplitud se mantiene constante, y por tanto, la energa total se mantieneconstante.- Oscilacion amortiguada es que la amplitud de la oscilacion disminuye exponencialmente con eltiempo. Por tanto, la energa del oscilador tambien disminuye.

- El espacio de las fases nos muestra otra perspectiva del comportamiento de un oscilador, y se repre-senta el momento lineal (o la velocidad) en el eje vertical, y la posicion del movil en el eje horizontal.

- En el espacio de las fases (v-x) vemos que el movil describe una espiral que converge hacia el origen.

d) Defina cuasi-frecuencia y realice la demostracion matematica.

La expresion 2piw22 define el cuasi periodo, que e sel intervalo de tiempo entre dos maximos

sucesivos x(t).

Y la expresionw222pi es la cuasi frecuencia.

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