Practico5 Res

Tcnico en Gestin de Recursos Naturales y Desarrollo Sustentable Dpto. Rivera Materia: Fsica General Instituto de Fsica Facultad de Ciencias UDELAR

2008

Docente: Mag. Nancy Sosa Pgina 1 de 1

Prctico 5 Cinemtica: Movimiento de Proyectiles

1) Una pelota rueda fuera del borde de una mesa horizontal de 4.23 m de altura. Golpea el suelo en un punto 5.11 m horizontalmente lejos del borde de la mesa. a) Durante cunto tiempo estuvo la pelota en el aire? b) Cul era su velocidad en el instante en que dej la mesa? Resolucin

a) Ecuacin del movimiento segn la direccin y:

j t a 21 j vj yj y t a

21t vyy 2yy0 0

2yy00 ++=++= rrrr

t g 21 v y y 2y0 0 += (1)

Condiciones iniciales:

m j 23.4y0 =r posicin inicial en la direccin y m/s j 0v y0 =r velocidad inicial en la direccin y j 8.9j gay ==r aceleracin Cuando la pelota llega al suelo: y = 0, entonces, imponiendo las condiciones iniciales en (1) tendremos:

s 93.09.84.23 x 2t t 8.9

2123.40 2 === (3)

Por lo tanto: s 93.0t = tiempo de cada de la pelota


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b) Ecuacin del movimiento segn la direccin x:

i t a 21 i t vi xi x t a

21t vxx 2xx0 0

2xx00 ++=++= rrrr (3)


m i 0x0 =r posicin inicial en la direccin x. 2x m/s i 0a =v aceleracin segn la direccin x

Cuando la pelota golpea el suelo tenemos: m i 11.5x =r (4) Sustituyendo las condiciones iniciales, (2) y (4) en (3) tenemos:

m/s 49.593.011.5v 0.93 v0 5.11 t vx x 0x0xx00 ==+=+=

Por lo tanto: m/s 49.5v x0 =r velocidad horizontal de la pelota

2) Un rifle apunta horizontalmente hacia un blanco ubicado a 130 m. La bala golpea 22.8 m abajo del punto de mira. a) Cul es el tiempo de trayecto de la bala? b) Cul es la velocidad de la bala en la boca del arma? Resolucin

a) Ecuacin del movimiento segn la direccin y:

2yy00 t a2

1t vyyrrrr ++=

j t a 21 j vj yj y 2yy0 0 ++=

Condiciones iniciales: m 8.22y0 = posicin inicial

m/s 0v y0 = velocidad inicial en la direccin y 2

y m/s 8.9a = aceleracin en la direccin y cuando y = 0, sustituyendo las condiciones iniciales en la ecuacin de movimiento tenemos:

s 16.28.9

22.8)( x 2t t 8.9218.220 2 =

==


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Por lo tanto: s 16.2t = tiempo de trayecto de la bala b) Ecuacin del movimiento en la direccin x:

2xx00

2xx00 t a 2

1t vx x ta21t vxx ++=++= rrrr


m i 0x0 =r xx0 vv

rr = 2

x m/s i 0a =r Cuando x = 130 m, t = 2.16 s.

Por lo tanto: m/s 6016.2

130v (2.16) v130 xx ===

m/s 60v x = velocidad horizontal (velocidad en la boca del arma) 3) Un proyectil se dispara horizontalmente desde un can ubicado a 45.0 m sobre un plano horizontal con una velocidad inicial de 250 m/s. a) Cunto tiempo permanece el proyectil en el aire? b) A qu distancia horizontal golpea el suelo? c) Cul es la magnitud de su componente vertical de su velocidad al golpear el suelo? Resolucin

a) Ecuacin del movimiento en la direccin y: 2

yy00 t a21t vyyrrrr ++= j t a

21 j t vj yj y 2yy0 0 ++= (1)


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Condiciones iniciales: m j 45y0 =r m/s j 0v y0 =r 2y m/s j 8.9j ga ==r Cuando el proyectil llega al suelo y = 0, y sustituyendo las condiciones iniciales en (1) tendremos:

s 03.39.8

45 x 2t t 9.8 21450 2 ===

Por lo tanto: s 03.3t = tiempo de cada del proyectil. b) Ecuacin del movimiento segn la direccin x:


21t vxx 2xx0 0

2xx00 ++=++= rrrr (2)

Condiciones iniciales: m i 0x0 =r posicin inicial m/s i 250vv xx0 == rr velocidad inicial en la direccin x 2x m/s i 0a =r aceleracin en la direccin x Cuando el proyectil golpea en el suelo sabemos que t = 3.03 s (3) Sustituyendo (3) y las condiciones iniciales en (2) tendremos:

m 757.53.03 x 2500x =+= (4) Por lo tanto: x = 757.5 m distancia horizontal a la que golpea el suelo. c) Ecuacin de la velocidad en la direccin y:

t a vv j t a j vj v t avv yy0yy0yyyy0y +=+=+= rrr (5) Condiciones iniciales: m/s 0v y0 = velocidad inicial segn la direccin y. 2y m/s 8.9a = aceleracin segn la direccin y. s 03.3t = tiempo de cada del proyectil Sustituyendo las condiciones iniciales en (5), tenemos:

m/s 7.29(3.03) x 9.8 vy == Por lo tanto: m/s 7.29vy = componente vertical de la velocidad al golpear el suelo. El signo negativo indica que la velocidad est en sentido contrario al versor j


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4) Usted arroja una pelota a una velocidad de 25.3 m/s y un ngulo de 42.0 arriba de la horizontal directamente hacia una pared como se muestra en la figura. La pared est a 21.8 m del punto de salida de la pelota. a) Cunto tiempo estuvo la pelota en el aire antes de que golpee la pared? b) A qu distancia arriba del punto de salida golpea la pelota a la pared? c) Cules son las componentes horizontal y vertical de la velocidad cuando la pelota golpea la pared? d) La pelota, ha pasado el punto ms elevado de su trayectoria cuando golpea la pared? Resolucin

a) Ecuacin del movimiento segn la direccin x:


21t vxx 2xx0 0

2xx00 ++=++= rrrr

2xx00 t a 2

1t vx x ++= (1) Condiciones iniciales: m 0x0 = posicin m/s 18.8)cos(42 3.25)cos(42 vv 0x0 === velocidad 2x m/s 0a = aceleracin


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Cuando golpea la pared, imponemos la condicin x = 21.8 m

s 16.118.821.8t t 8.188.21 ===

Por lo tanto: t = 1.16 s, tiempo en que la pelota golpea la pared. b) Ecuacin del movimiento segn la direccin y:

2yy00 t a2

1t vyyrrrr ++= j t a

21 j t vj yj y 2yy0 0 ++=

2yy00 t a 2

1t vy y ++= (2) Condiciones iniciales:

m 0y0 = posicin inicial segn y m/s 16.9)sin(42 25.3)sin(42 vv 0y0 === velocidad inicial segn y

2y m/s 8.9a = aceleracin segn y

Sustituyendo las condiciones iniciales en (2):

m 01.13(1.16) x 8.9 x 211.16 x 9.16y 2 ==

Por lo tanto: y = 13.01 m altura a la que golpea la pared c) La componente horizontal de la velocidad es constante, por lo tanto:

vx = 18.8 m/s Componente vertical de la velocidad:

t a vv j t a j vj v t avv yy0yy0yyyy0y +=+=+= rrr (3) Condiciones iniciales:

m/s 16.9)sin(42 25.3)sin(42 vv 0y0 === velocidad inicial segn y 2

y m/s 8.9a = aceleracin segn y s 16.1t = instante en que golpea la pared

Sustituyendo las condiciones iniciales en (3):

m/s 5.53(1.16) x 8.99.16vy == Por lo tanto:

m/s 8.18vx = componente horizontal de la velocidad cuando golpea la pared. m/s 53.5vy = componente vertical de la velocidad cuando golpea la pared

d) Como la componente vertical de la velocidad cuando golpea la pared es positiva, significa que la pelota an est subiendo y por lo tanto an no pas por el punto ms alto de su trayectoria.


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5) En un circo, un Hombre Bala sale de un can y debe aterrizar en una red a 10 m bajo la boca del can. Sus componentes de velocidad inicial son 20.0 m/s hacia arriba y 10.0 m/s horizontal. a) Cunto dura en el aire? b) Dnde debe estar la red? c) Logra pasar el muro?

Resolucin a) Ecuacin del movimiento segn y:

j t a 21 j t vj yjy t a

21t vyy 2yy0 0

2yy00 ++=++= rrrr

2yy00 t a 2

1t vy y ++= (1) Condiciones iniciales: j m 10y0 =r posicin inicial j s/m 0.20v y0 = velocidad inicial j m/s 8.9 j ga 2==r aceleracin Suponiendo que no est la pared, entonces el HB llega al suelo cuando y = 0 Sustituyendo esto y las condiciones iniciales en (1) tenemos:

0t 4.9-t x 2010 t xs/m 8.9 x 21t x m/s 20.0m 100 222 =++=

8.94.240.20

8.95960.20

4.9)( x 24.9)( x 10 x 4)20(0.20

t2

=

==


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4.5 t 1 = y 45.0t2 =

45.0t2 = no tiene sentido fsico

Por lo tanto: s 4.5 t 1 = tiempo que demora en el aire. b) Suponiendo que est no la pared el HB lega al suelo en 4.5 s

ecuacin del movimiento segn x 2x00 ta 21t vxx

rrrr ++=

2xx00 t a 21t vx x ++= (2)

condiciones iniciales: i m 0x0 =r posicin inicial i s/m 0.10v x0 =r velocidad inicial 2x s/m 0a =r aceleracin Sustituyendo las condiciones iniciales en (1): t vx x0= (3) Al cabo de t = 4.5 s la distancia x recorrida estar dada por:

m 45.04.5 x 0.10x == Por lo tanto la red debera estar a una distancia m 45Dx == c) Para saber si choca contra el muro debemos averiguar cul es la altura del HB cuando x = 15 m. Usando (3) determinamos el instante en que x = 15 m:

s 5.1s/m 10

m 15v

xtx0

=== Determinamos la altura correspondiente a 1.5 s, usando (1) con sus condiciones iniciales:

m 28(1.5) x 8.9 x 211.5 x 2010t g

21t vy y 22y00 =+=+=

Por lo tanto, cuando x = 15 m, y = 28 m, o sea que logra pasar el muro pues este tiene solamente 25 m.


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6) Demuestre que la altura mxima alcanzada por un proyectil es: ( )

g2sinv

y2

0omax =

Resolucin En el punto de mxima altura vy = 0, (la velocidad no tiene componente en y) Ecuacin de la velocidad en la direccin y:

t a vv j t a j vj v t avv yy0yy0yyyy0y +=+=+= rrr (1) Condiciones iniciales: 00y0 sinvv = velocidad gay = aceleracin Sustituyendo vy = 0 y las condiciones iniciales en (1):

gsinv

t t gsinv0 0000 == (2) tiempo que demora en llegar a la altura mxima. Ecuacin del movimiento en la direccin y:


21t vyy 2yy0 0

2yy00 ++=++= rrrr

2yy00 t a 2

1t vy y ++= (3) Condiciones iniciales: m 0y0 = posicin m/s sinvv 00y0 = velocidad 2y m/s ga = aceleracin Sustituyendo (2) y las condiciones iniciales en (3) tenemos:

( ) ( )2

200

200

20000

00maxg

sinvg

21

gsinv

gsinv

g21

gsinv

sinvy =

=

Por lo tanto: g2

)sinv( y

200

max =


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7) a) Demuestre que para un proyectil disparado desde la superficie a nivel del terreno con un ngulo 0 respecto a la horizontal, la razn de la altura mxima H y el alcance R est dada por:

( )0 tg 41

RH = . b) Halle el ngulo de proyeccin para el cual la altura mxima H y el alcance horizontal R son iguales. Resolucin a) Ecuacin del movimiento en la direccin y:


21t vyy 2yy0 0

2yy00 ++=++= rrrr

2yy00 t a 2

1t vy y ++= (1) Condiciones iniciales: m 0y0 = posicin m/s sinvv 00y0 = velocidad 2y m/s ga = aceleracin Cuando llega al suelo y = 0, imponiendo esta condicin y las condiciones iniciales en (1) tenemos:

gsin2v

t 0t g 21 sin v t g

21t v0 0000

2y0 === (2)

tiempo en que llega al suelo. (Observar que este intervalo es el doble de lo que demora en llegar al punto de mxima altura, ver resultado del ejercicio anterior) Ecuacin del movimiento segn x:

2xx00

2x00 t a 2

1t vx xta 21t vxx ++=++= rrrr (3)

Condiciones iniciales: 0x0 = posicin 00y0 cosvv = velocidad 0ax = aceleracin

Sustituyendo las condiciones iniciales y (2) en (3) tendremos:

gcossinv2

gsinv2

cosvRx 002000

00 === alcance del proyectil (4)


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Usando el resultado del ejercicio anterior:

00

0

0020

200 tg

41

cossin

41

cossinv2g

g 2)sinv(

RH ===

Por lo tanto: 0tg41

RH = razn entre la altura mxima y el alcance.

b) Cuando H = R: 9.75 4tg tg411 000 ===

Por lo tanto, cuando H = R 9.75 0 = 8) Un proyectil se dispara desde la superficie de un suelo nivelado con un ngulo 0 sobre la horizontal. a) Demuestre que el ngulo de elevacin del punto ms elevado, tal

como se ve en la figura, se relaciona con 0 segn: ( )0tg21

tg = . b) Calcule para 0 = 45. Resolucin

a) Por ejercicio.7: 0tg41

RH = (1)

Aplicando trigonometra: tg21

RH

RH2

2/RH

tg === (2)

Comparando (1) y (2): 00 tg21

tg tg41

tg21 ==

Por lo tanto: 0tg21

tg = b) Cuando 1tg 45 00 ==

Por resultado anterior: 26.6 21

tg ==


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9) Una piedra es proyectada con una velocidad inicial de 36.6 m/s en una direccin a 62 con respecto a la horizontal, hacia un acantilado de altura h, como se muestra en la figura. La piedra golpea el terreno en el punto A en 5.5 s despus del lanzamiento. a) Cul es la altura h del acantilado? b) Cul es la velocidad de la piedra en el momento en que impacta en el punto A? c) Cul es la altura H alcanzada respecto al suelo? Resolucin a) Ecuacin de movimiento en la direccin y:


21t vyy 2yy0 0

2yy00 ++=++= rrrr

2

yy00 t a 21t vy y ++= (1)

Condiciones iniciales: 0y0 = posicin m/s 3.3262sin6.3662sinvv 0y0 === velocidad 2y m/s 8.9ga ==

Sustituyendo las condiciones iniciales en (1): 2y0 t g 21t v y = (2)

Cuando t = 5.5 s tendremos: m 4.29(5.5) x 9.8 x 215.5 x 3.32hy 2 ===

Por lo tanto, la altura del acantilado es: h = 29.4 m b) Ecuacin de la velocidad en la direccin x:

t avv j t a j vj v t avv xx0xx0xxxx0x +=+=+= rrr No hay aceleracin en la direccin horizontal: 0ax =

m/s 17.2cos62 x 6.3662cosvvv 0x0xA ====


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Ecuacin de la velocidad en la direccin y: t a vv j t a j vj v t avv yy0yy0yyyy0y +=+=+= rrr (3)

Aceleracin en la direccin vertical: 2y m/s 8.9ga == Sustituyendo en (3):

m/s 6.215.5 x 8.9 62sin6.365.5 x 8.9 62sinvv 0yA === Por lo tanto, velocidad en el punto A

m/s 2.17vx = componente x de la velocidad m/s 6.21vy = componente y de la velocidad

m/s 6.27vvv yxA =+= mdulo de la velocidad

51.5 26.1vv

tgx

y === ngulo del vector velocidad con el eje x c) En el punto de mxima altura 0vy = Sustituyendo en (3): s 3.3

8.93.32

gv

t t gv0 0yy0 ==== (4)

Sustituyendo (4) en (2): 2.53(3.3) x 9.8 x 213.3 x 3.32H 2 ==

Por lo tanto, altura mxima H = 53.2 m

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