BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA

Facultad de Ciencias de la Electrónica

Practica 5. Generación de una función f(t) a partir de su expresión

en series de Fourier. Sistemas de Comunicación

DR. Richard Torrealba Meléndez

23-junio-2015 Verano 2015

Equipo :

Martínez Lugao Idvard Francisco Mendoza Morales Noé

Pastor Torres Eduardo

Practica 5. Generación de una función f(t) a partir de su expresión en series de Fourier.

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Índice Justificación ............................................................................................................................ 3

Objetivo .................................................................................................................................. 3

Marco Teórico ......................................................................................................................... 3

Desarrollo matemático ........................................................................................................... 6

Implementación ................................................................................................................ 11

Resultados ..................................................................................................................... 11

Conclusiones ......................................................................................................................... 14

Bibliografía ............................................................................................................................ 14

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Justificación

Durante la práctica se hará uso de la teoría vista en clase para la generación de una función

a partir de su expresión en series de Fourier, esto logrando a partir de la suma de varias

señales.

Objetivo

Generar una función f(t) a partir de su expresión en series de Fourier.

Marco Teórico

Serie de Fourier

Las Series de trigonométricas de Fourier, o simplemente series de Fourier fueron

desarrolladas por el matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier (21 de marzo de 1768

en Auxerre - 16 de mayo de 1830 en Paris).

La idea que subyace en las series de Fourier es la descomposición de una señal periódica en

términos de señales periódicas básicas (senos y cosenos) cuyas frecuencias son múltiplos

de la señal original.

La descomposición es un proceso fundamental en el área científica en general ya que

permite el análisis de las propiedades y la síntesis de los objetos o fenómenos.

La serie de Fourier de una función periódica f(x) de periodo T, también conocida como señal,

definida en un intervalo de longitud T está dada por la ecuación 1

Ecuación 1: expresión de serie de Fourier

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Además, de la ecuación 1 podemos definir las siguientes variables:

*Sumas parciales:

Para la serie de Fourier de una función f(x) periódica definida en un intervalo de longitud T

la k-´esima suma parcial, representada por Sk(x) está dada por:

ec.2

Generador de señales

Un generador de señales, de funciones o de formas de onda es un dispositivo electrónico

de laboratorio que genera patrones de señales periódicas o no periódicas tanto analógicas

como digitales. Se emplea normalmente en el diseño, prueba y reparación de dispositivos

electrónicos.

Es un instrumento versátil que genera diferentes formas de onda cuyas frecuencias son

ajustables en un amplio rango. Las salidas más frecuentes son ondas sinusoidales,

triangulares, cuadradas y diente de sierra. Las frecuencias de estas ondas pueden ser

ajustadas desde una fracción de hertz hasta varios cientos de kilo hertz.

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Un generador de funciones puede fijar la fase de un generador de funciones con una

armónica de una onda sinusoidal del otro generador. Mediante el ajuste de fase y amplitud

de las armónicas permite general casi cualquier onda obteniendo la suma de la frecuencia

fundamental generada por un generador de funciones de los instrumentos y la armónica

generada por el otro. El generador de funciones también se puede fijar en fase a una

frecuencia estándar, con lo que todas las ondas de salida generadas tendrán la exactitud y

estabilidad en frecuencia de la fuente estándar.

Sumador inversor

Un sumador inversor tiene múltiples entradas por el pin inversor que se suman y se

invierten. El vo estará dado por cada entrada multiplicada por su peso, que a su vez estará

dado por la división de RF sobre la resistencia que presente cada entrada. En esta

configuración, cada entrada tiene su propia impedancia de entrada que será la misma

resistencia de entrada que presente, es decir la entrada v1 presentara una impedancia de

entrada R1, y así también las demás entradas, solo hay una impedancia de salida que está

en el orden de los mili Ohms o menos.

Figura 1. Sumador inversor

Para hallar vo se realiza superposición. Se hallara el peso que genere una entrada a la señal

de salida, y luego se generalizara para todas las entradas. En vista que la diferencia de

potencial entre el pin inversor y el pin no inversor es cero, la salida de una entrada j solo

será afectada por su respectiva resistencia de entrada y la RF, las resistencias de las entradas

que fueron apagadas no afectan en nada.

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Ecuación 3: voltaje de salida en función del voltaje de entrada

Para el balanceo del circuito (eliminar corriente de bias según la teoría de amplificadores

operacionales) se debe colocar una resistencia en el pin no inversor de valor igual al paralelo

de todas las resistencias de entrada y RF.

Ecuación 4: Resistencia de bias en función de ganancias en nodo inversor

Figura 2. Sumador inversor con resistencia de eliminación de corriente de bias.

Desarrollo matemático Para la implementación de la práctica decidimos generar la señal cuadrada denotada en el

ejercicio 1.29 del libro de HSU que dice lo siguiente:

Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por f(t) = 1 para -pi < t < 0, f(t) = 0 para 0 < t <pi, y se cumple que f(t + 2_) = f(t).

Una vez hecho el desarrollo del ejercicio, se obtiene la serie de Fourier denotada por la

ecuación 5. El desarrollo del ejercicio lo encuentra en el documento anexo “tarea 2 -

Series de Fourier”.

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𝒇(𝒕) =𝟏

𝟐−∑

𝟏

𝒏𝝅(𝟏 − (−𝟏)𝒏)𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒕)

∞

𝒏=𝟏

Ecuación 5: serie de Fourier de señal cuadrada

Para la implementación del circuito, debemos definir ciertos parámetros que conformarán

la nueva señal, para ello recurrimos a el código implementado en Matlab que hace la suma

se Fourier que genera nuestra f(t) asignando el número de armónicos deseados, de ello

podemos observar, en la figura 3, que a partir de 5 señales armónicas podemos generar una

señal “aceptable” esto en cuestiones prácticas.

Figura 3: Sumatoria de Fourier de 5 señales armónicas y una fundamental

Por otro lado, ya habiendo decidido qué señales se implementarán, iniciamos el diseño del

amplificador operacional en su configuración sumador inversor, de ello sabemos que

tenemos un voltaje de offset o DC (según la serie de Fourier), una señal fundamental, y las

5 señales armónicas, en total 7 señales a sumar.

Ahora haces el diseño del circuito, comenzamos definiendo las ganancias en la tabla 1,

donde tendremos tipo de señal y valor de magnitud según su serie de Fourier. Cabe

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recordar que el valor de magnitud está dado por la serie de Fourier como 2/n(pi), además,

haciendo un pequeño análisis al resultado, la suma sólo es válida para valor n impar debido

al factor (-1)n. Los valores implementados se han modificado por un factor de pi, además de

que la señal será dada con un voltaje medio en cero, esto por cuestiones prácticas.

Número

de señal

Tipo de señal Valor de señal

ideal

1 DC/obset ½

2 Fundamental 2/pi

3 1er armónico 2/3pi

4 2do armónico 2/5pi

5 3er armónico 2/7pi

6 4to armónico 2/9pi

7 5to armónico 2/11pi

Tabla 1: valores correspondientes a la serie de Fourier a implementar.

Se propone, acorde a la teoría del amplificador operacional, una resistencia de referencia

Rf, misma que cumpla con un valor múltiplo de resistencia, para ello recurrimos a la tabla 2

donde se hacen los cálculos pertinentes, finalmente se calcula la resistencia de Bias por

medio de la resistencia equivalente de las demás y ésta se concluye por ser 4.6K ohms.

Valor N Ganancia deseada

Múltiplo Resistencia referencia Valor resistencia entrada

0.00 1 100 10000 10000

1.00 0.31830914 31.8309142 15708

3.00 0.10610305 10.6103047 47124

5.00 0.06366183 6.36618284 78540

7.00 0.04547273 4.54727345 109956

9.00 0.03536768 3.53676824 141372

11.00 0.02893719 2.89371947 172788

Tabla 2: cálculo de resistencias a implementar

Software utilizado

En esta práctica se utilizaron 2 software: Multisim 11.0 y Scope; el primero

implementado como parte de la simulación del circuito (veamos si nos va a servir o no dicho

diseño) y el segundo nos servirá para sustituir los generadores de señal en el diseño físico

por su equivalente, esto a partir de una computadora.

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Multisim 11.0

Se utilizó para la tarea de simular lo planteado como problema.

De acuerdo con los cálculos que se realizaron se colocan los generadores de

señales y las resistencias calculadas como entradas para el OpAmp con configuración

sumador inversor. De ello se genera el diagrama eléctrico implementado en la figura

4.

Figura 4. Simulación en multisim

Seleccionaremos con doble click el osciloscopio en el simulador y se abrirá una nueva

ventana que nos permitirá ver qué pasa en el osciloscopio, como se ilustra en la figura 5.

Figura 5. Osciloscopio de multisim.

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Como se observó de varias señales sinusoidales ahora tenemos una señal cuadrada, o en el

límite eso parece.

Scope

Este software sirve para generar una señal desde una computadora por el puerto

de audio.

Es útil en caso de que no sea de fácil acceso conseguir generadores de señales.

Figura 6. Ventana de Scope para configurar como generador de señales.

Para configurar Scope como generador de señales se tendrá que verificar los

siguientes parámetros, según la figura 6:

*Seleccionar como generador de señal: “Signal generator” (marcado de color rosa).

*Seleccionar canal de la señal: “chanel 1” (marcado de color morado) para los Jack

de un canal conseguidos en el centro de reciclado, caso contrario, canal 2

preferentemente.

*Seleccionar voltaje de amplitud: (marcado de color amarillo).

*Seleccionar la frecuencia de la señal: “Hz” (marcado de color verde).

*Seleccionar la fase de la señal: “Phase” (marcado de color azul).

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Implementación

Se armara el circuito como la simulación en multisim en una breadboard.

Figura 7. Implementación física del circuito.

Al principio de cada una de las 5 resistencias de señal se conectara un generador en este

caso gracias a la aplicación de scope se hara con computadoras portátiles.

Como se muestra a continuación en la figura 8.

Figura 8: Utilización de computadoras portátiles como fuente de señales sinusoidales.

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Se utlizará una fuente simétrica de 12 volts para alimentar el OpAmp. Para dar precisión al

circuito, hacemos medición de la fuente de voltaje con un multímetro, ya que se cuenta con

errores en el medidor de la fuente de voltaje.

Figura 9 Utilización de fuente simétrica para alimentar al OpAmp.

Análisis y Resultados

Los resultados obtenidos fueron los esperados a partir de varias señales sinusoidales

obtenidas para generar una señal cuadrada, se crearon a partir de la serie de Fourier. Cabe

mencionar que hay inconvenientes en el resultado, esto comparado con lo generado en la

simulación, se detalla en un momento las circunstancias.

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Figura 10. Resultados prácticos.

Cabe mencionar que hay distorsión de la señal, no es lo esperado, y esto se debe a diversos

factores, uno de ellos es la cantidad de ruido que meten los cables largos de los generadores

además de los puentes, se podría mejorar en un circuito impreso y puntas especiales; La

segunda razón se debe al desfase existente entre las computadores, esto se debe a que no

iniciaron su funcionamiento en un tiempo t0, una posible solución es el diseño de un

software que nos permita el desfase de dicha señal de un modo fácil, con Scope se puede

hacer, sin embardo éste se limita al canal 2, mismo que, lamentablemente, no teníamos

acceso por la compatibilidad de Hardware. No obstante, también se puede mejorar la señal

mandando más señales básicas, más armónicos, esto debido a que mientras mayor sea el

número de señales cada vez se acerca a la señal ideal, la cuadrada.

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Conclusiones La serie de Fourier tiene diversas aplicaciones en la electrónica, además, se logra conocer

el diseño de señales complejas en base de señales más simples. Una de las aplicaciones a

las que referimos es al generador de señales, por ejemplo, donde la señal que emite se logra

a partir de esta teoría.

Con las series de Fourier, damos un paso adelante a la comprensión de la trasformada de

Fourier, misma que abre un gran panorama a la teoría de comunicaciones, y con ella lograr

una etapa de emisión de señales a nuestros alrededores.

Bibliografía http://www.emis.de/journals/DM/v5/art6.pdf (21-06-2015)

http://cb.mty.itesm.mx/ma3002/materiales/ma3002-series-fourier.pdf (21-06-2015)

http://www.forosdeelectronica.com/tutoriales/generador.htm (21-06-2015)

https://sites.google.com/site/electronicabasicayavanzada/home/amplificador-

operacional/sumador-inversor (21-06-2015)