PR-PREA-A-123-PTA- ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA...

PR-PREA-A-123-PTA-ESTRUCTURA MULTIPLICATIVA

20170317

1

Objetivo general de la STS

General

Fortalecer el conocimiento didáctico de tutores y docentes parala toma de decisiones conscientes y fundamentadas sobreactividades, métodos, recursos, técnicas y formas de trabajo enel aula de clase que mejoren el aprendizaje de los estudiantesrespecto a problemas multiplicativos en los niveles de primaria.

2

Específicos

• Identificar algunas estrategias didácticas para abordar tipos de problemassimples de estructura multiplicativa.

• Reflexionar sobre la formulación y resolución de problemas en contextoscotidianos que permiten generar estrategias multiplicativas.

• Identificar en los textos de PREST situaciones multiplicativas que pueden serabordadas en el aula de clase e incluidas en las planeaciones de aula juntocon los documentos de referencia.

Objetivos específicos de la STS

3

Momentos de la STS

Momento 1: Contextualización e Ideas previas-Retos SABER.

Momento 2: Actividades de los textos de matemáticas -propuesta para multigrado.

Momento 3: Socialización y Conceptualización.

Momento 4: Cierre.

4

Momento 1. Contextualización e Ideas previas-Retos SABER

5

¿Por qué centrarnos en el estructura multiplicativa?

En los análisis de losresultados de las pruebasSaber se evidencia que losEE presentan en rojo ynaranja aprendizajesrelacionados con losproblemas multiplicativos.

En el marco de la ruta deformación hasta elmomento no se le ha dadoprioridad a los tipos deproblemas multiplicativosque se evalúan en laspruebas Saber (factormultiplicante, razón,producto cartesiano).

Cuando se le da al alumnoproblemas en los que semodifica el contexto o se daen otro tiempo distinto alenseñado, lo que elestudiante realiza sonpreguntas como: ¿debohacer una suma o unamultiplicación? (Castaño,2002)

Algunos profesoresdesconocen aún loselementos que hace que unproblema seamultiplicativo, dado que losentienden como merosenunciados en los que hayuna parte informativa y unapregunta a resolver.(Sánchez y Bonilla, 1998)

6

¿Cómo estamos en la solución de problemas multiplicativos?

7

Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas

8

Matriz de referencia

9

Matriz de referencia

10

11

Mallas de aprendizaje

12

Mallas de aprendizaje

13

Problemas Rutinarios y no Rutinarios

En los problemas rutinarios, los datos y la incógnitaestán claramente especificados, hay una única solucióny el camino para obtenerla es fácilmente deducible.

En los problemas no rutinarios, la información que sesuministra o bien es insuficiente, o hay datos quesobran, existen distintas estrategias de resolución,pueden existir distintas soluciones o bien no tenerninguna solución posible. (Baroody, 1994)

Protocolo - Variación y Cambio

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Derechos Básicos de Aprendizajes

COMPONENTESGRADOS Y DBA

1º 2º 3º 4º 5º

PENSAMIENTO

NUMERICO 1, 2, 3 1, 2, 3 1, 2, 3 1, 2, 3 1, 2, 3

Y VARIACIONAL 8 Y 9 8 Y 9 8 Y 9 8 Y 9 8 Y 9

PENSAMIENTO

METRICO 4 Y 5 4 Y 5 4 Y 5 4 Y 5 4 Y 5

Y ESPACIAL 6 Y 7 6 Y 7 6 Y 7 6 Y 7 6 Y 7

PENSAMIENTO

ALEATORIO 10 10 Y 11 10 Y 11 10 Y 1110, 11 Y

12Y ESTADISTICO

pro

ble

ma

s ru

tin

ari

os

pro

ble

ma

s n

o r

uti

na

rio

s

Continuación del Momento 1. Ideas previas-Retos SABER

15

Conformación de equipos – Retos SABER

10 minutos

Indicaciones del Trabajo Cooperativo:

1. Conformen equipos de 5 personas.

1. Asignen los roles para cada uno de los integrantes del equipo.

1. Identifiquen varias diferencias entre los dos problemas que se presentan a continuación.

ROLES:

1. Líder2. Supervisor de

tiempos3. Secretario4. Relator5. Facilitador

5 personas

16

17

¿Qué diferencia encuentro?

1. RETO SABER DE MATEMÁTICAS 3°

En una fiesta se repartieron 15 postres entre los invitados. Si

cada invitado se comió 3 postres, ¿cuál grupo representa el

total de invitados que asistió a la fiesta?

8. RETO SABER DE MATEMÁTICAS 5°

Hugo tiene 36 canicas. Él las organizó varias veces formando filas y

columnas con la misma cantidad de canicas cada una, sin que le

sobrara o faltara alguna.

¿Cuál de las siguientes figuras NO corresponde a una de las

maneras en que Hugo organizó las canicas?

1. RETO SABER MATEMÁTICAS 3° tomado de: ICFES (2015) Cuadernillo de preguntas de Matemáticas, SABER 3°. Pregunta 31, pág. 125.8. RETO SABER MATEMÁTICAS 5° tomado de: ICFES (2013) Cuadernillo de preguntas de Matemáticas, SABER 5°. Pregunta 23, pág. 86.

Problemas Aritméticos (PA)

Los problemas aritméticos de estructura multiplicativa compuestos, son los que

exigen para su resolución más de una multiplicación o una división.

Por ejemplo:En una caja hay 12 paquetes de galletas y cada paquete

contiene 4 galletas, ¿cuántas galletas hay en 3 cajas?

3 x 12 x 4 = ?

Los problemas aritméticos de estructura multiplicativa simples, son los que exigen para su resolución una multiplicación o una división.

Por ejemplo:En un paquete de galletas hay 4 galletas, ¿cuántas galletas hay en 12 paquetes?

12 x 4 = ?

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Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal (PAEV)

• Proposición 1: Juan compró 12 paquetes de galletas• Proposición 2: y cada paquete contiene 4 galletas• Proposición ?: ¿cuántas galletas compró en total?

(P1) (P2) (P?)

• Proposición ?: ¿cuántas galletas compró en total? • Proposición 1: Si Juan compró 12 paquetes de galletas• Proposición 2: y cada paquete contiene 4 galletas

(P?) (P1) (P2)

• Proposición 1: Juan compró 12 paquetes de galletas,• Proposición ?: ¿cuántas galletas compró en total?• Proposición 2: si cada paquete contiene 4 galletas

(P1) (P?) (P2)

En los Problemas aritméticos de enunciado verbal de estructura multiplicativa se encuentran varias formas de disponer las proposiciones:

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Tipos de problemas de la Estructura Multiplicativa

Estructura Multiplicativa

Proporcionalidad directa simple/

Razón/

Isomorfismo de medidas

Producto de medidas/

Producto Cartesiano/

Combinación

Comparación/

Factor multiplicante

Proporcionalidad compuestas/

Conversión

A partir de la lectura de los Referentes Curriculares del MEN, los Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal de Estructura Multiplicativa se clasifican en 4 grandes categorías.

20

En el apéndice de las Mallas de Aprendizaje se pueden identificar tres tipos de problemas multiplicativos: De repetición de grupos igualeso sumas repetidas, Arreglos rectangulares y Operadores multiplicativos.

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¿Qué diferencia encuentro?

Proporcionalidad directa simple/Razón/


Producto de medidas/Producto Cartesiano/

Combinación

Es una relación entre cuatro cantidades

Invitados Postres

1 3

? 15

Es una relación entre tres cantidades, de las cuales una es el producto de las otras dos.

3 canicas x 12 canicas = 36 Canicas

Momento 2. Actividades de los textos PTA

y Propuesta para multigrado

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Organización del trabajo2

0 m

inu

tos

5 personas

1. Conformen equipos de 5 personas.

1. Asignen los roles para cada uno de los integrantes del equipo.

1. Analicen y resuelvan las actividades de los textos del PTA y Multigrado.

1. Seleccione un problema de los trabajados y elabore una carteleradonde responda:

• ¿Cuáles estrategias o procedimientos podrían utilizar los estudiantes para resolver el problema?

• ¿Cuáles dificultades podrían tener los estudiantes para resolver el problema?• ¿Qué elementos claves intervienen al formular o resolver un problema de tipo

multiplicativo?

30

min

uto

s

ROLES:

1. Líder2. Supervisor de

tiempos3. Secretario4. Relator5. Facilitador

23

24

En la vereda El Otoño vive Don Joaquín, un señor muy amable que tuvo la gran idea de crear una tienda en su casa.

Anexo 2.3: Multigrado - La tienda de mi vereda

Si una cubeta de huevos tiene 12 huevos,

¿cuántos huevos hay en 4 cubetas?

Janneth quiere comprar 3 caramelos,¿cuánto dinero deberá pagar?

Si al destapar 4 bolsas obtengo 48

gomitas,

¿cuántas gomitas habrá en cada bolsa?

Anexo 2.2: La Inauguración

A continuación, se muestra el número de invitados que confirmaron su asistencia al evento:

La rectoría de la escuela está organizando la inauguración de la exhibición artística de las obras de sus estudiantes.

Durante la inauguración, se servirá jugo de manzana a los invitados.

Se planea servir 500 ml de jugo a cada invitado. Cada botella de jugo se vende a $5000 y tiene 1 L de contenido.

Tomado con modificaciones de: MEN. (2016). Cuadernillo del estudiante, texto de Matemáticas Grado 5°, centro 5 de la Situación 2 del Programa Todos a Aprender. Construidos en el marco del convenio PREST Póle regional pour l´einsegnement de la science et de la technologie, Ministerio de Educación Nacional y Universidad de los Andes.

Calcula el número de botellas que se deben comprar y el costo total de jugo de manzana.

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La convención representa 8 personas.

Anexo 2.1: La fiesta de los monstruos

Tomado con modificaciones de: MEN. (2016). Cuadernillo del estudiante, texto de Matemáticas Grado 3°, centro 1 de la Situación 2 del Programa Todos a Aprender. Construidos en el marco del convenio PREST Póle regional pour l´einsegnement de la science et de la technologie, Ministerio de Educación Nacional y Universidad de los Andes.

Si el número de monstruos invitados a la fiesta fuera 8, y

estos amigos llegaran muy hambrientos a la fiesta,

¿cuántos pinchos de bichos necesitaríamos para que

cada uno se comiera 3?

26

27

• ¿Cuáles estrategias o procedimientos podrían utilizar los estudiantes para resolver el problema?

• ¿Cuáles dificultades podrían tener los estudiantes para resolver el problema?

• ¿Qué elementos claves intervienen al formular o resolver un problema de tipo multiplicativo?

Preguntas para socializar

Momento 3. Socialización y Conceptualización

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Reflexiones• ¿Cuáles estrategias o procedimientos podrían utilizar los

estudiantes para resolver el problema?• ¿Cuáles dificultades podrían tener los estudiantes para

resolver el problema?• ¿Qué elementos claves intervienen al formular o

resolver un problema de tipo multiplicativo?


Los estudiantes antes de llegar a una estrategia multiplicativa, pasan por una estrategia realista, esquemática y aditiva. Además, dentro de cada una de ellas se encuentran otras estrategias propias de los estudiantes.

Tomado de Gómez, J. (2007). Estrategias utilizadas por los niños de cuarto grado para resolver problemas multiplicativos simples de tiporazón. Tesis de pregrado. Universidad distrital Francisco José de caldas. Bogotá D.C.

Gómez, J (2013). Una experiencia basada en juegos que permite crear estrategias en los niños para resolver problemas multiplicativos.Revista Pedagogía en Acción, pp. 38-50. ISSN: 2339-3912.http://www.maristasnorandina.org/files/pastoraleducativa/REVISTA_PEDAGOGIA_EN_ACCION_DIGITAL_No_1_2013.pdf

Con relación a la pregunta:

¿Cuáles estrategias podrían utilizar los estudiantes para resolver el problema?

Realista

Esquemática

Aditiva

Multiplicativa

29

http://www.maristasnorandina.org/files/pastoraleducativa/REVISTA_PEDAGOGIA_EN_ACCION_DIGITAL_No_1_2013.pdf

Anexo 2.3: Multigrado - La tienda de mi veredaESTRATEGIAS DE MULTIPLICACIÓN - RAZÓN



Estrategia Realista Cuenta uno a uno los elementos ya sea mediante una representación pictórica o manipulable.

Estrategia Esquemática Esquematiza los dibujos y hacen agregaciones sucesivas con números.

Las estrategias de los estudiantes fueron tomadas de: Gómez, J. (2007). Estrategias utilizadas por los niños de cuarto grado para resolverproblemas multiplicativos simples de tipo razón. Tesis de pregrado. Universidad distrital Francisco José de caldas. Bogotá D.C.

Las estrategias se pueden encontrar resumidas en: Gómez, J (2013). Una experiencia basada en juegos que permite crear estrategias en losniños para resolver problemas multiplicativos. Revista Pedagogía en Acción, pp. 38-50. ISSN: 2339-3912.http://www.maristasnorandina.org/files/pastoraleducativa/REVISTA_PEDAGOGIA_EN_ACCION_DIGITAL_No_1_2013.pdf

Estrategia Aditiva – con Agrupamiento

Incorpora los signos aditivos y agrupan de dos o de más sumandos.

“primero sumé 12 + 12, después sumé 24 + 12 y por último sumé 36 +12, entonces me dio 48”

“Puse los 12 huevos en cada cubeta y obtuve la respuesta contando”

“Puse 4 cubetas y empecé a poner los 12 huevos. Luego conté”

30





Estrategia Aditiva – con duplicación

Utiliza signos aditivos y va duplicando hasta obtener el resultado.

Estrategia Multiplicativa – con Descomposición

Descompone uno de los números para luego multiplicarlos.

Estrategia Multiplicativa – con Algoritmo

Utiliza el algoritmo formal de la multiplicación.

“yo multipliqué 4 por 12 y me dio 48”

“Descompongo el 12 en 5+5+2; luego multiplico 5x4=20; otra vez 5x4=20 ; y después 2x4=8, y al final sumé todo y me dio 48 ”

“Sumé dos veces 12 y me dio 24, entonces sumé 2 veces 24 y me dio 48”

ESTRATEGIAS DE MULTIPLICACIÓN - RAZÓN



31


Anexo 2.3: Multigrado - La tienda de mi veredaESTRATEGIAS DE PARTICIÓN - RAZÓN

Estrategia Realista – con Reparto

Modela como con material concreto.

Estrategia Esquemática – con Reparto Esquematiza los dibujos, establece ciertas correspondencias y es menos dependiente de la presencia de todos los elementos.

Estrategia Multiplicativa – con Ensayo y Error

Hace conjeturas de lo que puede contener cada grupo (paquete) e intenta con varios números.

“yo multipliqué varios números por 4 para obtener 48, hasta que me dio con el número 12”

“yo dibujé los 4 paquetes y fui repartiendo los 48 caramelos de a 2”

“Repartí todas las gomitas en las bolsas”

Si al destapar 4 bolsas

obtengo 48 gomitas,

¿Cuántas gomitas tendrá

cada bolsa?



32


Anexo 2.3: Multigrado - La tienda de mi veredaESTRATEGIAS DE AGRUPAMIENTO - RAZÓN

Estrategia Realista – con agrupamiento

Cuenta uno a uno los elementos y de los grupos que se forman ya sea mediante una representación pictórica o manipulable.

Estrategia Esquemática – con agrupamiento

Esquematiza los dibujos, establece ciertas correspondencias y es menos dependiente de la presencia de todos los elementos para contar las agrupaciones.

Estrategia Aditiva – con agrupamientoUtiliza adiciones y va abreviando los procedimientos para hacer sus cuentas, agrupando de dos o de más sumandos.

“Yo sumé varias veces el 12 hasta que me diera 48”

“Yo conté de 12 en 12 hasta que me dio 48 y así pude saber cuantos paquetes eran”

“Yo encerré de a 12 caramelos en una bolsa hasta que se acabaron, luego conté

y medió 4 paquetes”

Si cada paquete de caramelos contiene 12 caramelos ¿Cuántos paquetes de caramelos se requieren para empacar 48 caramelos?



33



Para formular y/o resolver un problema se propone considerar varios elementos claves como: la cantidad desconocida, la forma de expresar verbalmente la relación, la naturaleza de las cantidades, la longitud del problema, entre otras. (Puig, 1995)

Puig, L., y Cerdán, F. (1995). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Editorial síntesis.Gómez, J. (2007). Estrategias utilizadas por los niños de cuarto grado para resolver problemas multiplicativos simples de tipo razón. Tesis de

pregrado. Universidad distrital Francisco José de caldas. Bogotá D.C.


¿Qué elementos claves intervienen al formular o resolver un problema de tipo multiplicativo?

Cantidad desconocida

4 x 12 = ? 4 x ? = 48 ? x 12 = 48

Forma de expresar verbalmente la relación

“Cada” “Por”

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Cantidad desconocida tomada de: Puig, L., y Cerdán, F. (1995). Problemas aritméticos escolares. Madrid: Editorial síntesis.

Cantidaddesconocida

Bolsa Gomitas

1 ?

4 48

Cubeta Huevos

1 12

4 ?

Paquetes Caramelos

1 12

? 48

Multiplicación-Razón

Agrupamiento-Razón

Partición-Razón

División

Multiplicación

Si al destapar 4 bolsas obtengo 48 gomitas,

¿cuántas gomitas tendrá cada bolsa?4 x ? = 48

Si cada paquete de caramelos contiene 12

caramelos, ¿cuántos paquetes de caramelos

se requieren para empacar 48 caramelos?

? x 12 = 48

4 x 12 = ?Si una cubeta de huevos tiene 12 huevos,


División

35


Formas de expresar la relación tomado de: Gómez, J. (2007). Estrategias utilizadas por los niños de cuarto grado para resolver problemasmultiplicativos simples de tipo razón. Tesis de pregrado. Universidad distrital Francisco José de caldas. Bogotá D.C.

Forma de Expresar la relación

Si en la tienda a Julián le cobraron 750 pesos por 3 bombones ¿cuánto cuesta un bombón?

Si al destapar 4 bolsas obtengo 48 gomitas,

¿cuántas gomitas tendrá cada bolsa?cada

por

Más adelante puedo comprender que:

“20 kilómetros por hora”

es equivalente a decir

“20 kilómetros cada hora”

36

Anexo 2.3: Multigrado - La tienda de mi veredaCon relación a la pregunta:

¿Cuáles dificultades podrían tener los estudiantes para resolver el problema?

Error al interpretar un verbo (repartir) como un procedimiento a realizar.

Si un profesor en su clase tiene 15 niños

y repartió 5 lápices a cada niño, ¿cuántos lápices hay en total?

15 ÷ 5 = 3

Error al interpretar la forma de expresar verbalmente la relación (por) como un procedimiento a realizar.

Las dificultades fueron tomadas de: Gómez, J. (2007). Estrategias utilizadas por los niños de cuarto grado para resolver problemasmultiplicativos simples de tipo razón. Tesis de pregrado. Universidad distrital Francisco José de caldas. Bogotá D.C.

750 x 3 = 2.250

Si en la tienda a Julián le cobraron 750 pesos por 3 bombones, ¿cuánto cuesta un bombón?

37

38




Los diagramas ayudan a los estudiantes a reconocer la estructura esencial deun problema de enunciado y a seleccionar, en consecuencia, la operaciónidónea (Dickson, Brown y Gibson, 1991, p. 256).

Pueden utilizar diagramas que combinen imágenes, números ysímbolos para buscar una generalización como 17 x 8:

¿Cuántas personas asistirán a lareunión, sabiendo que un muñecorepresenta 8 personas?

8 2 x 83 x 8

En las mallas de aprendizaje se menciona que:

39




Dickson, Brown y Gibson (1991) demuestran que el aprendizaje del significadode la multiplicación es mucho más difícil que el de la suma; esto debido a que:

• La suma trata de conjuntos de objetossimilares.

• La multiplicación suele tratar con conjuntosde objetos diferentes y asociaciones entreelementos y subconjuntos equivalentes.

40




Según Obando y otros (2006):

La relación multiplicativa fundamental escuaternaria, es decir, se relacionan cuatrocantidades, de dos conjuntos diferentes:

En las mallas de aprendizaje se menciona que:

41




La representación (esquemática o realista) ayuda a la comprensión del significado de la operación requerida, de allí que se propongan representaciones con gráficas y tablas, además de la representación numérica.

Si el número de monstruos invitados a

la fiesta fuera 8, y estos amigos llegaran

muy hambrientos a la fiesta ¿cuántos

pinchos de bichos necesitaríamos para

que cada uno se comiera 3? ¿Cuántos

bichos se necesitarían para un grupo de

invitados?

Cada pincho son necesarias 3 babosas gordas

42




Error al seleccionar los datos del problema cuando hay otros datos y la longitud del enunciado del problema es muy larga.

Error al seleccionar los datos del problema y cambiar la estructura.

Si el número de monstruos invitados a la fiesta

fuera 8, y estos amigos llegaran muy

hambrientos a la fiesta, ¿cuántos pinchos de

bichos necesitaríamos para que cada uno se

comiera 3?

8 + 3 = 11

Calimo quiere invitar de 5 a 10 monstruos, ayudémosle

llenando las siguientes tablas para que él pueda decidir

cuántos amigos puede invitar según su presupuesto.

Recuerda que para cada pincho son necesarias 3 babosas

gordas, 4 gusanos jugosos y 5 arañas peludas.

Las dificultades fueron tomadas de: Gómez, J. (2007). Estrategias utilizadas por los niños de cuarto grado para resolver problemasmultiplicativos simples de tipo razón. Tesis de pregrado. Universidad distrital Francisco José de caldas. Bogotá D.C.

43




+ =

Enunciado Verbal

Numéricos

Gráficosy/o jeroglíficos

(combinado de palabras y dibujos)

Hay 8 Monstruos invitados a la fiesta, cada se come 3 pinchos,

¿Cuántos pinchos se necesitan en total?

x =8 3 ?

Los Problemas Aritméticos de Estructura Multiplicativa se pueden presentar de diferentes formas: a nivel de enunciado verbal, numérico, gráfico y/o jeroglíficos.

El concepto de estructura multiplicativa fue creado porVergnaud (1988) y consiste en un conjunto de problemas queinvolucran operaciones aritméticas y nociones de tipomultiplicativo, como multiplicación, división, fracción, razón,etc.

Concepto de estructura multiplicativa

44

Tipos de problemas de la Estructura Multiplicativa

Estructura Multiplicativa

Proporcionalidad directa simple/

Razón/


Producto de medidas/


Combinación

Comparación/



Conversión

A partir de la lectura de los Referentes Curriculares del MEN, los Problemas Aritméticos de Enunciado Verbal de Estructura Multiplicativa se clasifican en 4 grandes categorías.

45En el apéndice de las Mallas de Aprendizaje se pueden identificar tres tipos de problemas multiplicativos: De repetición de grupos iguales

o sumas repetidas, Arreglos rectangulares y Operadores multiplicativos.

46

Problemas de Isomorfismo de medidasProporcionalidad directa

simple/

Razón/


47

Problemas de CombinaciónProducto de medidas/


Combinación

48

Problemas de Comparación

El Chavo tiene una varita de 13 cm y Kiko tiene otra que es 4 veces más que la del Chavo. ¿Cuánto mide la varita de Kiko?

Comparación/


“veces más”

49

Problemas de Proporcionalidad compuesta

En una caja hay 12 paquetes de galletas y cada paquete contiene 4 galletas, ¿cuántas

galletas hay en 3 cajas?

3 x 12 x 4 = ?


Conversión

Momento 4: Cierre

50

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