PPTCES024MT22-A15V1 Clase Rotación y reflexión en el plano MT-22.
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PPTC
ES02
4MT2
2-A1
5V1
Clase
Rotación y reflexión en el plano
MT-22
Aprendizajes esperados
• Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto al origen.
• Aplicar la rotación de puntos y figuras en el plano cartesiano con respecto a un punto distinto del origen.
• Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a un eje de simetría.
• Aplicar la simetría axial de puntos y figuras con respecto a los ejes coordenados.
• Aplicar simetría central de puntos y figuras con respecto al origen y con respecto a un punto distinto del origen.
• Aplicación de la composición de transformaciones isométricas.
Pregunta oficial PSU
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.
39. Al cuadrado PQRS de la figura 3, con dos lados paralelos al eje x y centro en el origen O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90° alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x. ¿En cuál de las siguientes opciones la figura NO puede ser la imagen de PQRS después de aplicar una o varias de estas transformaciones isométricas?
1. Rotación2. Simetría o reflexión3. Composición de transformaciones
isométricas
1. Rotación
<
Corresponde a un movimiento circular con respecto a un centro de rotación en un ángulo determinado.
La rotación es positiva si es en sentido anti-horario (contrario a los punteros del reloj).
O
O: centro de rotación
Definición
1. Rotación
Si el punto A (x, y) gira con respecto al origen en 90°, 180°, 270° o en 360°; se transforma en otro punto, cuyas coordenadas se indican en la siguiente tabla:
90° 180° 270° 360°
A(x, y)
Punto
Ángulo
(–y, x) (–x, –y) (y, –x) (x, y)
Ejemplo:
90° 180° 270° 360°
A(5, –8)
Punto
Ángulo
(8, 5) (–5, 8) (–8, –5) (5, –8)
Rotación, respecto al origen
1. Rotación
A
Si el punto A (2, 3) gira con respecto al origen en 90°, se transforma en el punto A´(– 3, 2).
A´
1
2
3
4
2 3 4–1–2–3
1
5
Ejemplo:
<
1. Rotación
Ejemplo:
Al rotar el punto A(-2,5) en 180°, en sentido positivo y con centro en el origen éste se transforma en el punto A´(2,-5).
1. Rotación
Al rotar el punto A(-2,5) en 270°, en sentido positivo y con centro en el origen, éste se transforma en el punto A´(5, 2).
Ejemplo:
1. Rotación
El cuadrado ABCD de la figura se transforma en el cuadrado A´B´C´D´ al rotarlo en 90° (sentido negativo), entorno al centro O.
>
Una rotación negativa (o en sentido horario) de 90º equivale a una rotación positiva(o antihoraria) 270º, y viceversa.
<Rotación, respecto a un centro
Ejemplo:
1
2
3
4
2 3 4–1–2–3
1
5
1. Rotación
El punto B(5, 4) se rota en torno al punto A(1, 1) en 90°, obteniéndose el punto B’. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B’?
¿Cómo resolverías la primera parte del problema?
B
A
5
B´
Rotación, respecto a un punto distinto del origen
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo Proceso de admisión 2015.
1
2
3
4
2 3 4–1–2–3
1
5
1. Rotación
B
A
5
B´
Se puede trasladar el punto A al origen utilizando el vector T(– 1, – 1). Al aplicarlo a B, quedaría en las coordenadas (4,3). Luego, se rota en 90°, quedando B en las coordenadas (– 3,4).
Para responder a la pregunta, aplicamos el vector T´(1,1), quedando B en las coordenadas (– 2,5).
Rotación, respecto a un punto distinto del origen
Se puede considerar una simetría como aquel movimiento que aplicado a una figura, produce el efecto de un espejo (refleja la figura).
2. Simetría o reflexión
Definición
2. Simetría o reflexión
Simetría axial: reflexión respecto de un eje.
Eje de Simetría
MA´MA
A A´M
Tipos de simetría
OA
A´
2. Simetría o reflexión
Simetría central: reflexión respecto a un punto.
O : centro de simetría
OA´OA
Tipos de simetría
2. Simetría o reflexión
La simetría axial, corresponde a una transformación geométrica que hace corresponder a cada punto A del plano, otro A’, tal que la recta que los une, es perpendicular a una recta fija llamada eje de simetría.
1
2
3
4
2 3 4-1-2-3
1
5
A A’
eje de simetría: x = 1
M
AM MA’
AA’ es perpendicular al eje de simetría
x
y
3 unidades3 unidades
Simetría axial en el plano cartesiano
2. Simetría o reflexión
1
2
3
4
2 3 4-1-2-3
1
5
Ejemplo 1:
Al aplicar una simetría axial al lápiz de la figura, respecto al eje de las ordenadas (y), el resultado es el siguiente:
A A’4 unidades4 unidades
x
y
Simetría axial en el plano cartesiano
1
2
3
2 3 4-1-2-3
1
2. Simetría o reflexión
Ejemplo 2:
Al aplicar una simetría axial a la imagen de la figura, respecto al eje de las abscisas (X), el resultado es el siguiente:
A
A’
3 unidades
-2
-3
-1
x
y
3 unidades
Simetría axial en el plano cartesiano
2. Simetría o reflexión
La simetría central corresponde a una transformación isométrica de modo que el simétrico de un punto A, con respecto a un punto O, es A`, donde y A` pertenece a la recta .OA´OA AO
Ejemplo:
O3
1
2
4
2 3 4-1-2-3
1
5
A A´
B
B´
C
C´
OA´OA
OB´OB
OC´OC
La simetría central equivale a una rotación de 180º con respecto a un punto.
x
y
Simetría central en el plano cartesiano
Algunas de sus obras
El artista clave que representa al tema de isometrías, es Escher (1898). Para él la escuela era una pesadilla, excepto las clases de dibujo. Sin embargo, el carácter matemático de sus obras ha hecho que sea uno de los artistas más populares en los entornos científicos, especialmente matemáticos e informáticos.
3. Composición
Curiosamente, sus conocimientos matemáticos siempre fueron muy limitados. Muchas de las conclusiones gráficas y matemáticas a las que llegó, que le permitirían realizar algunos de sus trabajos, tuvo que descubrirlas por sí mismo.
“Peces y barcos” “Jinetes” “Mariposas”
Composición de transformaciones isométricas
180°
3. Composición
¿Cómo lo hizo?
Realizó rotaciones de 60° alrededor de un centro “O”.
Composición de transformaciones isométricas
¿Cómo crear una imagen para teselar?
Podemos usar polígonos regulares como el cuadrado, triángulo equilátero y hexágono regular, los que permiten cubrir el plano.
3. Composición
Una teselación es una regularidad o patrón de figuras que cubre completamente una superficie plana, de manera que no queden espacios y no se superpongan las figuras.
Ejemplo de composición: Teselación
Además, mediante transformaciones isométricas, se pueden descubrir nuevos diseños para teselar.
3. Composición
5° …podemos cubrir el Plano (Teselar).
Ejemplo:
1° 2° 3° 4°
Aplicando simetría y traslación…
3. Composición
Composición en el plano cartesiano
Ejemplo:
Si el punto A (– 2,3) es parte de la mariposa de la figura, ¿cuáles serán sus nuevas coordenadas luego de aplicar una rotación positiva de 90° respecto al origen, y a continuación una traslación T(5,3)?
1
2
3
2 3 4-1-2-3
1
x
yA
3. Composición
Composición en el plano cartesiano
1
2
3
2 3 4-1-2-3
1
x
yA
A´
1° Al aplicar una rotación positiva de 90° respecto al origen resulta:
A(– 2,3) A´(– 3, – 2)
2° Al aplicar el vector traslación T(5,3) resulta: A´(– 3, – 2) A´´(2,1)
A´´
Pregunta oficial PSU
ALTERNATIVA CORRECTA
A
Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2014.
39. Al cuadrado PQRS de la figura 3, con dos lados paralelos al eje x y centro en el origen O del sistema de ejes coordenados, se le aplica una o varias rotaciones en 90° alrededor del origen y/o reflexiones con respecto al eje x. ¿En cuál de las siguientes opciones la figura NO puede ser la imagen de PQRS después de aplicar una o varias de estas transformaciones isométricas?
Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
1 A Transformaciones Isométricas Comprensión
2 D Transformaciones Isométricas Comprensión
3 B Transformaciones Isométricas Aplicación
4 B Transformaciones Isométricas Aplicación
5 C Transformaciones Isométricas ASE
6 A Transformaciones Isométricas Aplicación
7 D Transformaciones Isométricas Aplicación
8 A Transformaciones Isométricas Comprensión
9 B Transformaciones Isométricas Aplicación
10 A Transformaciones Isométricas ASE
11 C Transformaciones Isométricas Comprensión
12 D Transformaciones Isométricas Aplicación
Tabla de corrección
Nº Clave Unidad temática Habilidad
13 C Transformaciones Isométricas ASE
14 D Transformaciones Isométricas Comprensión
15 E Transformaciones Isométricas ASE
16 E Transformaciones Isométricas ASE
17 B Transformaciones Isométricas Comprensión
18 D Transformaciones Isométricas ASE
19 E Transformaciones Isométricas ASE
20 D Transformaciones Isométricas ASE
21 D Transformaciones Isométricas ASE
22 A Transformaciones Isométricas Aplicación
23 C Transformaciones Isométricas ASE
24 E Transformaciones Isométricas ASE
25 E Transformaciones Isométricas ASE
Síntesis de la clase
Rotación
Simetría o Reflexión
Respecto a un punto distinto del origen
Respecto al origen
CentralAxial
Composición
Prepara tu próxima clase
En la próxima sesión, estudiaremos Taller de Geometría general
Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414
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Equipo Editorial Matemática