1Dinmica de rotacin.. Conservacin del momento angular.

Jos Luis Contreras

2Indice

Slido Rgido. Energa Cintica de rotacin. Momento de Inercia. Segunda Ley de Newton aplicada a la rotacin. Movimiento de rodadura. Naturaleza vectorial de la rotacin. Momento angular. Conservacin del momento angular. Cuantizacin del momento angular.

3Introduccin.

Concepto de Slido rgido.

Dos partes: Rotacin y Momento angular.

Conservacin del momento angular : tercera ley de conservacin importante que vemos.

Aplicaciones. Atomos

(espin), Motores, etc

Rotacin en torno a un eje y en el espacio.

4Energa cintica de rotacin I Slido que se mueve:

Cmo se mueve el centro del cuerpo Movimiento en torno al CM

22, 2

121

CMiii

totc vMumErr +=

Energa en

sistema CM Energa

del CM

5Energa cintica de rotacin II Slido rgido que gira con velocidad

en torno

a un eje

Cada punto tiene un velocidad lineal. Todos tienen la misma velocidad angular.

= ii rvEje11 rm

22 rm

( )22

22,

21

21

21

ii

iiiiic

rm

rmvmE

=

==

6Energa cintica de rotacin III Slido rgido que gira con velocidad

en torno

a un eje

Eje11 rm

22 rm

22, 2

1 iiii

icrot rmEE ==22

21

=

iiirot rmE

Energa cintica de rotacin

2

21 IErot =

7Momento de Inercia I Agrupamos la informacin del cuerpo y el eje de giro en una sola cantidad:

Eje11 rm

22 rm

=i

iirmI2

Equivale a M en movimiento de rotacin

[ ] 22 mkgMLI =

8Momento de Inercia II Como se calcula ?

Eje11 rm

22 rm

=i

iirmI2

Masas discretas: sumando

Ejemplos

9Momento de Inercia III Como se calcula ?

Masas continuas: Integrando

Ejemplos:

barra, anillo, disco

Eje

dmr

=Cuerpo

dmrI 2

10

Momento de Inercia IV Teorema Steiner

o ejes paralelos:

Masas continuas: Integrando

Ejemplo:

Varilla

a2Eje

212 MaII +=

1Eje

CM

El CM es especial

Ejemplo: varilla

11

Momento de Inercia V Ejemplo: Una varilla que gira

Eje

M, L

Con qu velocidad llegar abajo ?

Qu fuerza ejercer sobre el soporte ?

12

Segunda ley de Newton para la rotacin Para que un cuerpo giro no solo cuenta la fuerza que apliquemos Sino donde

1Fr

2Fr

1Fr

2Fr

SI NO

13

Segunda ley de Newton para la rotacin Supongamos un cuerpo que gira alrededor de un eje y acelera

(o frena):

r2Eje

En el Plano del circulo

Visto desde arriba

cF

tF Fr

senFFt =r

r

14

Segunda ley de Newton para la rotacin Supongamos un cuerpo que gira alrededor de un eje y acelera

(o frena): existir una fuerza

tF Fr senFFt =

r

Slo la componente

tangencial cambia

cFr

tt Fam =

rvmFFam ccc

2

=+=

15

Segunda ley de Newton para la rotacin

( ) senFrmam t == r( )( ) senFrmr = r

== senrFrm r2Momento de una fuerza

Respecto de un eje

=I Segunda ley de Newton para la rotacin FaMI

16

Segunda ley de Newton para la rotacin

= 2iii rm

Iexternoneto =, Segunda ley de Newton para la rotacin FaMI

Si tengo muchas partculas

extiii ,int, +=

=+=

iii

iexti

ii

ii rm

2,int,

17

Momento de una fuerza respecto de un eje senrF = r

rsenF = r

Fsenrr=

Momento de una fuerza...

Fuerza tangencial x r

Brazo de palanca x Fuerza

Cmo se abre una puerta ?

Cmo funciona un balancn ?

18

Momento debido a la gravedad

Eje hacia la pantalla

Eje CM

imir

iiii senrgm =iii xgm =

==i

iii

iextneto xgm ,

y

x

CMextneto Mgx=,! gira No00 == CMx

19

Rodadura Un cuerpo que rueda gira y se desplaza ...

= RadiovCMr

CM

CMvv

22

21

21 IvME CMc += r

222

21

21 IMREc +=

Ejemplo

20

Momento angular

Objetivos

Estudiar la rotacin en el espacio

Introducir el concepto de Momento Angular

y su conservacin.

Ver qu ocurre en Mecnica cuntica

21

Rotacin y vectores: Las rotaciones en el espacio son raras ... Importa el orden. No es fcil sumarlas.

Sin embargo, podemos definir como gira un cuerpo en el espacio dando su velocidad angular vector

en cada instante

Eje v Mdulo el de

Direccin Eje de giro Sentido Regla mano dcha.

22

Rotacin y vectores: Tambin podemos definir el momento de una fuerza respecto de un punto

como un vector

senFr = rrr

Sentido Regla mano dcha.

r

Frrrr ,

rrO

Fr

r

23

Rotacin y vectores: Es siempre respecto de un punto

r

r

rrO

Fr

rCoinciden si tomamos como eje

La direccin de r

24

Rotacin y vectores: Podemos simplificar la cosas definiendo el producto vectorial.

BArr

BACrrr =

senBAC = rrr

BACrrr

,Sentido Regla mano dcha.

25

Propiedades producto vectorial I

ABBArrrr =

0= AA rr

( ) CABACBA rrrrrrr +=+( )

dtBdAB

dtAdBA

dtd

rrrrrr +=

26

Propiedades producto vectorial II

0=== kkjjii rrrrrr0= AA rr

jik

ikj

kji

rrrrrrrrr

=== Z

O

Xir

jrk

r

Slo vale si ....

27

Propiedades producto vectorial III

zyx

zyx

BBBAAAkji

BA

rrrrr =

Otra forma de calcular el producto vectorial

Ejemplo: jiBjiArrrrrr +=+= 22

28

Propiedades producto vectorial IV

Interpretacin geomtrica

Ar

Br

senAh = r

Area===

Bh

senBABAr

rrrr

29

Momento Angular Es siempre respecto de un punto

Cuanto cuesta parar uncuerpo

Lr

rrO

pr

Lr

Ejemplo: partcula que gira con =cte

prL rrr =

30

Momento Angular y Momento de InerciaEjemplo: partcula que gira con =cte

O

jmvprr =

Lr

iRrrr =

r prLrrr =

( ) jRmiRL rrr =( )

kmR

jimRLr

rrr

2

2

==

rr IL =krr =

31

Momento Angular y Momento de Inercia

rr paraleloLSigue siendo vlida siempre, SI

rr IL =Recuerda a vmp rr =

En general rr

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

IIIIIIIII

L

32

Momento Angular y Momento de Inercia

Ejemplo: Alrededor de un cilindro de radio 0,2 m y masa 10 kg

est

arrollada una

cuerda. Si tiro de ella con fuerza de 10 N

Cual ser su aceleracin angular ?

Cul ser su velocidad angular al cabo de 10 segundos ?

Y su momento angular ?

33

Propiedades Momento Angular IPara un sistema de partculas

CMCMCMsist LvMrLrrrr +=

En torno al CM CMLr

EspinOrbitalsist LLLrrr += Planetas, electrones..

Pero un electrn no tiene CM !

34

Propiedades Momento Angular II

rr

r IdtLd

externoneto ==,

Para un sistema de partculas

Anlogo a

amdtpdF externoneto

rrr ==,

IdtdL =

Eje fijo

35

Conservacin Momento Angular

cteLdtLd

extne ===rrr 00,

Si no hay momento neto externo el momento angular se conserva.

cteILextne === 0, En torno a un eje fijo

36

Conservacin Momento Angular

0, =extner Si... No hay fuerzas externas

(puede haberlas internas, no cuentan)

El momento de las fuerzas externas es 0, aunque estas no lo sean.

Ej: Fuerzas centrales: electrones, planetas..

37

Conservacin Momento Angular Ejemplo: Dos nios de masa 50 kg

giran en

una plataforma de masa despreciable a 1 m del centro y 3 rps.

A qu

velocidad girarn

si se acercan a 0,5 m del centro ?

Ejemplo:

rr

rqkqF

rr2

21=

0321

, === rqkqrrFren

rrrrr

38

Momento Angular y Energa Una relacin til

IL

IE rc

== 2, 2

1

ILE rc 2

2

, =

mpE tc 2

2

, =Recuerda a ...

39

3 Leyes de Conservacin

cteLextne ==rr 0,

cteEW mecconsno == 0

ctepF extneta == rr

0,

Ejemplos:

40

Cuantizacin del Momento angular I

( ) ,...2,1,02

1 =+== lhllLL orbitorbital r

Los momentos angulares que aparecen tomos y partculas no pueden tomar cualquier valor, slo mltiplos de una constante fundamental.

sJhh == 341005,12

lmhmL zorbital ,...2,1,02,==

41

Cuantizacin del Momento angular II

)!10(106 720 atgm

La constante fundamental h

es MUY PEQUEA

( )

23000103

210106

1231

26202

hsmkg

mRL

=

mR 610=Ej: un virus que gire en un crculo de 1 micra a velocidad de 1 rps

42

Cuantizacin del Momento angular III Ej:

Cuales son las energas de rotacin

posibles para una molcula de N2 ?

( ) 0, 1 EllE rc +=2

0 221

= h

IE

( )25,0142 duI =d= distancia entre tomos.

Gira en torno al centro de masas.

?10 09 = Emd

,...6,2 00 EEE =

43

Cuantizacin del Momento angular III La energa de rotacin tambin est

cuantizada

( ) 222, 22

122

1

+=== h

Ill

ILIE rc

Las partculas tienen un momento angular bien definido, para los fermiones

( ) ),,(21

21 npeshssLLs espinespin =+===

r

Dinmica de rotacin..Conservacin del momento angular.Indice Introduccin.Energa cintica de rotacin IEnerga cintica de rotacin IIEnerga cintica de rotacin IIIMomento de Inercia IMomento de Inercia IIMomento de Inercia IIIMomento de Inercia IVMomento de Inercia VSegunda ley de Newton para la rotacinSegunda ley de Newton para la rotacinSegunda ley de Newton para la rotacinSegunda ley de Newton para la rotacinSegunda ley de Newton para la rotacinMomento de una fuerza respecto de un ejeMomento debido a la gravedad RodaduraMomento angular Rotacin y vectores: Rotacin y vectores: Rotacin y vectores: Rotacin y vectores: Propiedades producto vectorial IPropiedades producto vectorial IIPropiedades producto vectorial IIIPropiedades producto vectorial IVMomento AngularMomento Angular y Momento de InerciaMomento Angular y Momento de InerciaMomento Angular y Momento de InerciaPropiedades Momento Angular IPropiedades Momento Angular IIConservacin Momento Angular Conservacin Momento Angular Conservacin Momento Angular Momento Angular y Energa 3 Leyes de Conservacin Cuantizacin del Momento angular I Cuantizacin del Momento angular II Cuantizacin del Momento angular III Cuantizacin del Momento angular III