Portafolio Calculo 2 Unidad

8/16/2019 Portafolio Calculo 2 Unidad

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Definicion De Integral Indefinida

El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la

diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la

integración ni del límite inferior de la integración.

Esto también significa que la solución de la integración indefinida nunca es un número,

sino una función del integrando dado. a forma más fundamental para computar la

integración de un integrando dado es,

!quí el valor de n no debe ser igual a "#.

$ara integrar un integrando de la forma e%ponencial, donde el e%ponente es alguna

variable, solo incremente el valor del e%ponente de la variable por uno y coloque el

nuevo e%ponente en el denominador de la variable dada. Está bastante claro que el

valor de n & "# no es admisible dado que este convertiría el valor del denominador en

cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.

'tro método básico de la integración es,

Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de integración

como salida con la constante dada como su coeficiente.

E%isten algunas fórmulas de integración las cuales se utili(an directamente para la

integración de funciones trigonométricas, funciones e%ponenciales, funciones

logarítmicas, etc.

!lgunas de estas fórmulas se enumeran a continuación,


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)

)

)

)

)

)

Es fundamental tener en cuenta que el método de integración de la multiplicación o ladivisión de dos o más funciones no puede llevarse a cabo de una manera similar a

como lo *acemos con la suma o resta de dos o más funciones. $ara integrar la

multiplicación de funciones primero tenemos que multiplicar los productos y para la

integración de la división de las funciones tenemos que quebrar el cociente.

El cálculo por sustitución es un importante método del cálculo de integrales indefinidas.

Este método es utili(ado cuando el integrando no es sencillo y las fórmulas de


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integración simple no se pueden aplicar directamente. !partando esto un pre+ requisito

importante para este método es que el integrando debe definirse de forma tal que para

cualquier función f%- el integrando es la multiplicación de la diferenciación de f%- y

función de f%- como se muestra a continuación,

!quí tenemos g%- como la función principal. !*ora reempla(amos g%- con a lo que

producirá,

g(x) = a

g’(x) = da/ dx

da = g’(x) dx

os valores anteriores pueden ser sustituidos en la e%presión real como integrando y la

integración se puede seguir como es usual para el nuevointegrando. $or último,

sustituimos de vuelta los valores reempla(adosdentro de la e%presión para obtener la

respuesta final.

$ara anali(ar si la sustitución se *a llevado a cabo de forma correcta o no,

asegúreseque después de la sustitución la nueva variable reempla(ada apare(ca y que

la variable original de la integración desapare(ca completamente del integrando.

ale la pena saber que generalmente no obtenemos el problema de laforma e%acta que

se *a descrito anteriormente. Entoncestenemos primero que modificarlo a una forma en

que la sustitución pueda llevarse a cabo.

eamos a*ora un e/emplo para entender el proceso de resolver integraciones

indefinidas.

5ex + cos(x) – 5 sec2(x) dx

& 0e% 1 sin%- 2 0 tan%- 1 c


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+ 3ee more at4

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puf

$ropiedades De Integrales Indefinidas

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una

función 9 cuya derivada es f, es decir, 9 < & f.

=na condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo esque sea continua en dic*o intervalo.

3i una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que

difieren entre sí en una constante4 si 9# y 9> son dos primitivas de f, entonces e%iste un

número real ?, tal que 9# & 9> 1 ?. ! ? se le conoce como constante de integración.

?omo consecuencia, si 9 es una primitiva de una función f, el con/unto de sus primitivas

es 9 1 ?. ! dic*o con/unto se le llama integral indefinida de f y se representa como4

El proceso de *allar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y

es por tanto el inverso de la derivación. as integrales indefinidas están relacionadas

con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y

proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas

funciones.


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E/emplo

=na primitiva de la función @scriptstyle f%-&@cos%- en @scriptstyle @mat*bbABC, es la

función @scriptstyle 9%-&@sin%- ya que4

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos%- tendrá un

número infinito de primitivas tales como sin%-, sin%- 1 0, sin%- + #, etc. Es más,

cualquier primitiva de la función f%- & cos%- será de la forma sin%- 1 ? donde ? es una

constante conocida como constante de integración.

?onstante de integración


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a derivada de cualquier función constante es cero. =na ve( que se *a encontrado una

primitiva 9, si se le suma o resta una constante ?, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre

porque 9 1 ?- & 9 1 ? & 9 1 & 9 . a constante es una manera de e%presar que

cada función tiene un número infinito de primitivas diferentes.

$ara interpretar el significado de la constante de integración se puede observar el

*ec*o de que la función f %- es la derivada de otra función 9 %-, es decir, que para

cada valor de %, f %- le asigna la pendiente de 9 %-. 3i se dibu/a en cada punto %, y-

del plano cartesiano un pequeFo segmento con pendiente f %-, se obtiene un campo

vectorial como el que se representa en la figura de la derec*a. Entonces el problema de

encontrar una función 9 %- tal que su derivada sea la función f %- se convierte en el

problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea

tangente a los vectores del campo. En la figura de la derec*a se observa como al variar

la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condicióny son traslaciones verticales unas de otras.

+ 3ee more at4

*ttp455mitecnologico.com5igestion56ain5$ropiedadesDeIntegralesIndefinidas7st*as*.>gE

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?alculo De Integrales Indefinidas?álculo de Integrales Indefinidas

El cálculo de la integral indefinida es muy parecido al de la integral definida con la

diferencia que al final no necesitamos poner los valores ni del límite superior de la

integración ni del límite inferior de la integración. Esto también significa que la solución

de la integración indefinida nunca es un número, sino una función del integrando dado.

a forma más fundamental para computar la integración de un integrando dado es,

!quí el valor de n no debe ser igual a "#.


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$ara integrar un integrando de la forma e%ponencial, donde el e%ponente es alguna

variable, solo incremente el valor del e%ponente de la variable por uno y coloque el

nuevo e%ponente en el denominador de la variable dada.

Está bastante claro que el valor de n & "# no es admisible dado que este convertiría el

valor del denominador en cero, resultando este en un valor indefinido como respuesta.

'tro método básico de la integración es,

Esto significa que la integración de una constante producirá la variable de integración

como salida con la constante dada como su coeficiente.

E%iste nalgunas fórmulas de integración las cuales se utili(an directamente para la

integración de funciones trigonométricas, funciones e%ponenciales, funciones

logarítmicas, etc.

!lgunas de estas fórmulas se enumeran a continuación,

)

)

)


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)

)

)

Es fundamental tener en cuenta que el método de integración de la multiplicación o la

división de dos o más funciones no puede llevarse a cabo de una manera similar a

como lo *acemos con la suma o resta de dos o más funciones. $ara integrar la

multiplicación de funciones primero tenemos que multiplicar los productos y para la

integración de la división de las funciones tenemos que quebrar el cociente.

El cálculo por sustitución es un importante método del cálculo de integrales indefinidas.

Este método es utili(ado cuando el integrando no es sencillo y las fórmulas de

integración simple no se pueden aplicar directamente. !partando esto un pre+ requisito

importante para este método es que el integrando debe definirse de forma tal que para

cualquier función f%- el integrando es la multiplicación de la diferenciación de f%- y

función de f%- como se muestra a continuación,

!quí tenemos g%- como la función principal. !*ora reempla(amos g%- con a lo que

producirá,

g(x) = a

g’(x) = da/ dx

da = g’(x) dx


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os valores anteriores pueden ser sustituidos en la e%presión real como integrando y la

integración se puede seguir como es usual para el nuevointegrando. $or último,

sustituimos de vuelta los valores reempla(adosdentro de la e%presión para obtener la

respuesta final.

$ara anali(ar si la sustitución se *a llevado a cabo de forma correcta o no,

asegúreseque después de la sustitución la nueva variable reempla(ada apare(ca y que

la variable original de la integración desapare(ca completamente del integrando.

ale la pena saber que generalmente no obtenemos el problema de laforma e%acta que

se *a descrito anteriormente. Entoncestenemos primero que modificarlo a una forma en

que la sustitución pueda llevarse a cabo.

eamos a*ora un e/emplo para entender el proceso de resolver integracionesindefinidas.

5ex + cos(x) – 5 sec2(x) dx

& 0e% 1 sin%- 2 0 tan%- 1 c

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TEMA 1: CALCULO DIRECTO DE LMITE! E"a#$a% d&%ec'ae'e $ #*&'e eseco'%a% e# "a#o% $e 'oa ,(x) c$ado se %ee-#a.a e# "a#o% de x -o% $"a#o% a E0e-#o 1: Ca#c$#a% d&%ec'ae'e 1 2 2 #& x x x !o#$c& !e%ee-#a.a e# "a#o% de x -o% 2 3 se %es$e#"e #a o-e%ac& -#a'eada 1 2 21 4 1 1 2 2 2 #& x x ( ) ( ) x 1 1 2 2 #& x x x E0e-#o 2: Ca#c$#a%d&%ec'ae'e 4 2 5 2 1 x x x #& x !o#$c& !e %ee-#a.a d&%ec'ae'e e#"a#o% de x -o% 61: 7 4 2 1 5 4 1 2 1 5 1 4 2 5 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x #&x 8 s&-#&9cado 4 4 2 5 2 1 x x x #& x E0e-#o : ca#c$#a% 2 4 2 2 x x #&x !o#$c& A# e"a#$a% d&%ec'ae'e: 4 4 2 2 2 4 2 4 2 2 2 ( ) x x #& x 8se o;'&ee $a &de'e%&ac& C$ado se -%ese'a es'os casos esecesa%&o o;se%"a% s& e# $e%ado% o deo&ado% o a;os so,ac'o%&.a;#es8 co e# 9 de e#&&a% #os '


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(d&,e%ec&a de c$ad%ados) E# deo&ado% o es ,ac'o%&.a;#e AGo%a e# #*&'ese '%as,o%a 2 2 2 2 4 2 2 2 x (x )(x ) #& x x #& x x 8 se e#&&a e# ,ac'o%(x+2) 3 $eda%*a #& (x ) x x #& x x 2 2 4 2 2 2 8 a# e"a#$a% d&%ec'ae'e 2 24 2 4 2 2 x x #& x TALLER 1 E"a#Ha d&%ec'ae'e #os s&g$&e'es #*&'es 1

2 5 2 1 #& x x x 2 5 2 12 2 2 x x x x #& x 2 4 12 2 2 x x x #& x 4 44 2 2 2 2 x x x x #& x 5 2 2 #& 2x 4x 5 x TEMA 2: LMITE! AL IFIITO Ees'e caso se '&ee e c$e'a ,$c&oes %ac&oa#es E0e-#o 1: ca#c$#a% x x x xx #& x 2 4 5 2 1 !o#$c& A# e"a#$a% d&%ec'ae'e 2 2 4 5 2 1 4 52 1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x #& x 8 se o;'&ee $a &de'e%&ac& a%a e"&'a%es'o se d&"&de 'a'o a# $e%ado% coo a# deo&ado% -o% #a "a%&a;#e dea3o% ex-oe'e8 e es'e caso -o% x 2 2 2 2 2 2 4 11 2 1 5 4 1 1 2 1 5 4 5 2 1 4 5 2 1 x x #& x x #& x x x x #& x x x x x x x x x xx #& x x x x x #& x x x x x 5 1 5 1 5 4 1 1 2 1 5 4 5 2 1 2 2 2 x#& x #& #& x #& x #& #& x x x x x #& x x x x x x x E0e-#o 2: Ca#c$#a% x x x

#& x 5 B 2 !o#$c& !& se e"a#Ha d&%ec'ae'e se o;'&ee $a&de'e%&ac&8 -a%a e"&'a% es'o se ,ac'o%&.a de'%o de# %ad&ca# co e# 9 dee#&&a% #a x de# deo&ado% Ac'&"&dad d&seada -o% e# doce'e L&c6Ig:Ros&%o F$e'es RocGa ) x x x x x ( 2 2 2 B 5 B 5 (!e saca ,ac'o% coHx2 3 #$ego se d&"&de e'%e es'e)8#$ego: 5 5 B 5 B 5 5 B B 5 B 5 5 B 2 2 2 2 2 2 2 x #& x ) #& #& x x #& ( x x x #& x ) x x x ( #& x ) x x x ( #&x x x #& x x x x x x x x e#&&ado # a x TALLER 2 x x x x #& x 2 2 B B 1 2 2 x x x #& x 7 4 7 1 2 1 4 2 4 x x x x #& x x x x #& x 2 1 x x x#& x 2 5 2 TEMA RE?LA! @A!ICA! DE DERI>ACIJ Ua "e. cooc&da#a de9&c& de de%&"ada8 se -$ede $'&.a% %eg#as -%Kc'&cas -a%a ca#c$#a% #a

de%&"ada de d&,e%e'es ,$c&oes8 se'as %eg#as so: 1 DERI>ADA DE UACO!TATE: La de%&"ada de $a cos'a'e es &g$a# a ce%o !&;o#&cae'e:s& ,(x) = c8 e'oces ,’(x)=8 s&edo c $a cos'a'e -a%a 'odos #os "a#o%es dex E0e-#o: 3= 65 8 e'oces 3’ = 2 DERI>ADA DE UA FUCIO LIEAL: #ade%&"ada de #a ,$c& #&ea# es &g$a# a# coe9c&e'e de #a "a%&a;#e!&;o#&cae'e: !& ,(x)=x+;8 e'oces ,’(x)=8 s&edo #a -ed&e'e de#a %ec'a E0e-#o: 3 = 62x+8 e'oces 3’=62 DERI>ADA DE UA OTECIA:La de%&"ada de $a -o'ec&a es &g$a# a #a -o'ec&a $#'&-#&cada -o% #a ;asee#e"ada a# ex-oe'e eos 1 !&;#&cae'e: s& ,(x) x 8 e'oces 61 ,(x) x E0e-#o: 5 3 x 8 e'oces 5 1 4 3 5x 5x O;se%"ac&: Rec$ADA DE FUCIOE! E!ECIALE! F$c&De%&"ada ,(x)= ax ,’(x)=) = ax #a ,(x) = ex ,’(x)= ex ,(x) = #ogax ,’(x)= x #a 1 ,(x) = #x ,’(x)= x 1 ,(x) = sex ,’(x)=cosx ,(x) = cosx ,’(x)=6sex ,(x)=


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'ax ,’(x)=sec2 x ,(x)= co'x ,’(x)=6cosc2 x ,(x)=secx ,’(x)=secx'ax ,(x)=coscx ,’(x)=6coscxco'x TALLER Ca#c$#e #a de%&"ada de #as s&g$&e'es,$c&oes 11 1B ,(x) x 12 ,(x) 5x 1 5 4 ,(x) x 14 x ,(x) 15 2 5 x ,(x) TEMA 4: AL?E@RA DE DERI>ADA! 1 DERI>ADA DE UA !UMA O DIFERECIA

DE FUCIOE!: La de%&"ada de $a s$a o %es'a de ,$c&oes es &g$a# a #as$a o %es'a de #as de%&"adas de cada $a de #as ,$c&oes !&;#&cae'e:!& ,(x) 3 g(x)8 '&ee de%&"adas 3 F(x) = ,(x) N g(x)8 e'oces F (x) , (x) g (x)E0e-#o: F(x) = sex+#x !o#$c& !e o;se%"a $e F() es'K ,o%ada -o% dos,$c&oes 8 ##aeos ,(x) = sex 3 g(x)= #x8 de ae%a $e ,’(x)= cosx 3g’(x)= x 1 Coo F(x) = ,(x) + g(x)8 e'oces F (x) , (x) g (x) %ee-#a.ado xF (x) cos x 1 Ac'&"&dad d&seada -o% e# doce'e L&c6Ig: Ros&%o F$e'esRocGa 5 2 DERI>ADA DEL RODUCTO DE DO! FUCIOE!: #a de%&"ada de#-%od$c'o de dos ,$c&oes es &g$a# a #a de%&"ada de #a -%&e%a ,$c& -o% #aseg$da8 Ks #a -%&e%a -o% #a de%&"ada de #a seg$da !&;#&cae'e: !&

,(x) 3 g(x)8 '&ee de%&"adas 3 F(x)=,(x)g(x)8 e'oces F (x) , (x) g(x) ,(x) g(x) E0e-#o: Ca#c$#a% F’(x) 8 s& F(x) = F(x) x cos x 5 !o#$c& !ea ,(x) = 5x8 e'oces ,’(x)= 15x2 3 g(x) = cosx8 e'oces g’(x)=6sex Coo F(x) =,(x)g(x) F (x) , (x) g(x) ,(x) g (x) %ee-#a.ado #as de%&"adas F (x) x cos x xsex F (x) 15x cos x x ( sex) 2 2 15 5 5 DERI>ADA DEL COCIETE DEDO! FUCIOE!: La de%&"ada de# coc&e'e de dos ,$c&oes es &g$a# a #ade%&"ada de #a ,$c& de# $e%ado% -o% #a ,$c& de# deo&ado% eos#a ,$c& de# $e%ado% -o% #a de%&"ada de #a ,$c& de# deo&ado%8d&"&d&do -o% e# c$ad%ado de #a ,$c& de# deo&ado% !&;#&cae'e: s&g(x) , (x) F(x) 8 e'oces 2 g(x) , (x) g(x) , (x) g (x) F (x) E0e-#o: s& x e x F(x)

8 Ga##a% F’(x) !o#$c& !ea ,(x) = x 8 s$ de%&"ada ,’(x)=x2 3 g(x) = e x 8 s$de%&"ada g’(x)= e x Coo g(x) , (x) F(x) 8 e'oces 2 g(x) , (x) g(x) , (x) g (x)F (x) 8 %ee-#a.ado x x x x x x e x e x e e x e x e F (x) 2 2 2 2 TALLER 4 Ca#c$#e #a de%&"ada 3 de #as s&g$&e'es ,$c&oes 1 4 3 cos x 5x1B 3 e 'a x x 17 # x x 3 5 1 3 x # x 2 2 4

Pasos para integrar por cambio de variable

1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:


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Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:

2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3º Se vuelve a la variable inical:

Ejemplo


13/42

Cambios de variables usuales

1.

2.

3.

4.

5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un

mismo radicando lineal ax + b, el cambio de variablees t elevado al

mínimo comn mltiplo de los índices!

6. Si es par:

7. Si no es par:


14/42

Ejemplos

1


15/42

2

3


16/42

4

5


17/42

6

Función trigonométrica

En matemáticas, las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el finde e%tender la definición de las ra(ones trigonométricas a todos los números reales y

comple/os.

https://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Razones_trigonom%C3%A9tricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Razones_trigonom%C3%A9tricashttps://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas


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as funciones trigonométricas son de gran importancia

en física, astronomía, cartografía, náutica, telecomunicaciones, la representación de

fenómenos periódicos, y otras muc*as aplicaciones.

odas las funciones trigonométricas de un ángulo J pueden ser construidas geométricamente en

relación a unacircunferencia de radio unidad de centro O.

Índice

Kocultar L

• # ?onceptos básicos

o #.# Definiciones respecto de un triángulo rectángulo

o #.> 9unciones trigonométricas de ángulos notables

o #.: Definición para un número real cualquiera

o #.M Bepresentación gráfica

• > 9unciones trigonométricas de ángulo doble

• : Definiciones analíticas

o :.# 3eries de potencias

o :.> Belación con la e%ponencial comple/a

o :.: ! partir de ecuaciones diferenciales

• M 9unciones trigonométricas inversas

o M.# Bepresentación gráfica

• 0 Nenerali(aciones

https://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1uticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1uticahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1uticahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Telecomunicaciones&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Telecomunicaciones&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Conceptos_b.C3.A1sicoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Definiciones_respecto_de_un_tri.C3.A1ngulo_rect.C3.A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Funciones_trigonom.C3.A9tricas_de_.C3.A1ngulos_notableshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Definici.C3.B3n_para_un_n.C3.BAmero_real_cualquierahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Representaci.C3.B3n_gr.C3.A1ficahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Funciones_trigonom.C3.A9tricas_de_.C3.A1ngulo_doblehttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Definiciones_anal.C3.ADticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Series_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Relaci.C3.B3n_con_la_exponencial_complejahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#A_partir_de_ecuaciones_diferencialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Funciones_trigonom.C3.A9tricas_inversashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Representaci.C3.B3n_gr.C3.A1fica_2https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Generalizacioneshttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Astronom%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cartograf%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%A1uticahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Telecomunicaciones&action=edit&redlink=1https://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_goniom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9tricahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Conceptos_b.C3.A1sicoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Definiciones_respecto_de_un_tri.C3.A1ngulo_rect.C3.A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Funciones_trigonom.C3.A9tricas_de_.C3.A1ngulos_notableshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Definici.C3.B3n_para_un_n.C3.BAmero_real_cualquierahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Representaci.C3.B3n_gr.C3.A1ficahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Funciones_trigonom.C3.A9tricas_de_.C3.A1ngulo_doblehttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Definiciones_anal.C3.ADticashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Series_de_potenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Relaci.C3.B3n_con_la_exponencial_complejahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#A_partir_de_ecuaciones_diferencialeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Funciones_trigonom.C3.A9tricas_inversashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Representaci.C3.B3n_gr.C3.A1fica_2https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Generalizaciones


19/42

• O ;istoria

• P éase también

•

G Beferencias

o G.# Qibliografía

o G.> Enlaces e%ternos

Conceptos básicosKeditar L

Identidades trigonométricas fundamentales.

as funciones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de

un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. as funciones trigonométricas son

funciones cuyos valores son e%tensiones del concepto de ra(ón trigonométrica en un

triángulo rectángulo tra(ado en una circunferencia unitaria de radio unidad-. Definiciones

más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones

diferenciales, permitiendo su e%tensión a valores positivos y negativos, e incluso a números

comple/os.

E%isten seis funciones trigonométricas básicas. as últimas cuatro, se definen en relación

de las dos primeras funciones, aunque se pueden definir geométricamente o por medio de

sus relaciones. !lgunas funciones fueron comunes antiguamente, y aparecen en las

primeras tablas, pero no se utili(an actualmente R por e/emplo el verseno # " cos J- y

la e%secante sec J " #-.

https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Historiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Referenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Bibliograf.C3.ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Enlaces_externoshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica&action=edit&section=1https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Versenohttps://es.wikipedia.org/wiki/Versenohttps://es.wikipedia.org/wiki/Exsecantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Exsecantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Exsecantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Historiahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#V.C3.A9ase_tambi.C3.A9nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Referenciashttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Bibliograf.C3.ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica#Enlaces_externoshttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica&action=edit&section=1https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitariahttps://es.wikipedia.org/wiki/Versenohttps://es.wikipedia.org/wiki/Exsecante


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FunciónAbreviatu

raEquivalencias (en radianes)

Seno se8 s&

Coseno cos

Tangente 'a8 'g

Cotangen

tec'g (co')

Secante sec

Cosecant

ecsc (cosec)

Definiciones respecto de un triángulo rectánguloKeditar L

https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(trigonometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Cotangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Cotangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Secante_(trigonometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Cosecantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Cosecantehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica&action=edit&section=2https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica&action=edit&section=2https://es.wikipedia.org/wiki/Seno_(trigonometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Cosenohttps://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Cotangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Cotangentehttps://es.wikipedia.org/wiki/Secante_(trigonometr%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Cosecantehttps://es.wikipedia.org/wiki/Cosecantehttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica&action=edit&section=2


21/42

$ara definir las ra(ones trigonométricas del ángulo4 , del vértice A, se parte de

un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este

triángulo rectángulo que se usará en los sucesivo será4

•a *ipotenusa h- es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del

triángulo rectángulo.

• El cateto opuesto a- es el lado opuesto al ángulo .

• El cateto adyacente b- es el lado adyacente al ángulo .

odos los triángulos considerados se encuentran en el $lano Euclidiano, por lo que la suma

de sus ángulos internos es igual a S radianes o #GT-. En consecuencia, en cualquier

triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre y S5> radianes. as

definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas

para ángulos dentro de ese rango4

#- El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la*ipotenusa4

El valor de esta relación no depende del tamaFo del triángulo rectángulo que eli/amos,

siempre que tenga el mismo ángulo , en cuyo caso se trata de triángulos seme/antes.

>- El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitudde la *ipotenusa4

:- a tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la deladyacente4

M- a cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la delopuesto4

https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttps://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Radianhttps://es.wikipedia.org/wiki/Radianhttps://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo_rect%C3%A1ngulohttps://es.wikipedia.org/wiki/Hipotenusahttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Catetohttps://es.wikipedia.org/wiki/Radian


22/42

0- a secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la *ipotenusa y la longitud delcateto adyacente4

O- a cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la *ipotenusa y la longituddel cateto opuesto4

Funciones trigonométricas de ángulos notablesKeditar L

0 !0 "# $0 %0

sen 1

cos 1

tan 1

Definición para un número real cualquieraKeditar L

Artículo principal: 9unción real

Uo es posible utili(ar la definición dada anteriormente, un coseno de para valores de

menores o iguales a o valores mayores o iguales a S5>, pues no se podría construir un

triángulo rectángulo tal que uno de sus ángulos mida radianes. $ara definir los valores de

estas funciones para valores comprendidos entre y >S, se utili(ará entonces

una circunferencia unitaria, centrada en el origen de coordenadas del plano cartesiano. 3e

definirán las funciones trigonométricas seno y coseno como la abscisa y la ordenada,

respectivamente, de un punto $ perteneciente a la circunferencia, siendo el ángulo,

medido en radianes, entre el semie/e positivo % y el segmento que une el origen con $.

https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica&action=edit&section=3https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica&action=edit&section=4https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitariahttps://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica&action=edit&section=3https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica&action=edit&section=4https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_realhttps://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia_unitaria


23/42

$uede observarse que estas funciones toman valores entre +# y #. Uótese que para valores

entre y S5>, los valores obtenidos para el seno y el coseno con esta definición, coinciden

con los obtenidos utili(ando la noción de ra(ón trigonométrica. 3i el valor de % está fuera

del intervalo K,>SL, puede descomponerse como %&>8S1%V siendo 8 un número entero y %V

un valor entre y >S. 3e asignará a % los mismos valores de seno y coseno que los

asignados a %V, ya que puede interpretarse a % como un ángulo coterminal con %V, y por lo

tanto, las coordenadas del punto $ serán las mismas en ambos casos.

Integración por partes

https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)https://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)


24/42

El método de integración or artes permite calcular la integral de un

roducto de dos funciones aplicando la fórmula:

"as funciones logarítmicas, #arcos# y polin$micas se eligen como u!

"as funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen

como v' !

Caso &

En este primer caso aplicamos la f$rmula directamente, tomando la x como u!

Caso '

Si al integrar or artes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos

como u y se repite el proceso n veces!


25/42

Caso !

Si tenemos una integral con s$lo un logaritmo o un #arco#, integramos por partes tomando: v' = 1!


26/42

Caso "

Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral %ue hay %ue

calcular, se resuelve como una ecuaci$n!

Integración por sustitución trigonométricaa integración por sustitución trigonométrica sirve para integrar funciones que tienen lasiguiente forma

, y

Este método se basa en el uso de triángulos rectángulos, el teorema de $itágoras eidentidades trigonométricas.

En el caso general la integral a resolver es4

3implifiquemos paso a paso el término de la raí(, en primer lugar sacaremosfactor común, y operaremos para poder de/arlo como suma de cuadrados.

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles4

https://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttps://es.wikipedia.org/wiki/Integralhttps://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras


27/42

#. W es decir4

>. W es decir4

:. W es decir4

teniendo la forma las ecuaciones conocidas4 con

Estos los cambios que *ay que reali(ar según la situación4

#.

>.

:.

a integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en , seresuelve y se des*ace el cambio.

ntegración por sustitución trigonomtrica

"as sustituciones %ue involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a

cabo en a%uellas integrales cuyo integrando contiene una expresi$n de la

forma:

con y

"a sustituci$n trigonométrica permite transformar una integral en otra %ue

contiene funciones trigonométricas cuyo proceso de integraci$n es más

sencillo!

Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:


28/42

a

E# &'eg%ado co'&ee $a ,$c& de #a ,o%a

co

Se hace el cambio de variable escribiendo

donde

Si entonces

&demás:

pues y como

entonces por lo %ue

"uego:

'omo entonces

(ara este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a

partir de la figura siguiente:


29/42

Ejemplos:

1

!ea co

"uego:

Sustituyendo:

'omo entonces y

&demás por lo %ue


30/42

Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura

siguiente:

(or ltimo:

2

Sea

"uego


31/42

Sustituyendo

'omo entonces por lo %ue puede utili)arse la

siguiente figura para dar el resultado final:

"uego:

Sea


32/42

&demás:

Sustituyendo:

4

Sea


33/42

"uego

Sustituyendo

pues y

*ambién puede utili)arse:

5 E0e%c&c&o -a%a e# es'$d&a'e

E0e%c&c&o -a%a e# es'$d&a'e


34/42

B E0e%c&c&o -a%a e# es'$d&a'e

;

E# &'eg%ado co'&ee $a ex-%es& de #a ,o%a

co

acemos un cambio de variable escribiendo donde y

Si entonces

&demás

'omo y entonces es positiva

y por tanto

"as otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente

figura:


35/42

Integrales por Fracciones Parciales - Cálculo Integral

Enviado por Cliffor Jerry errera Castrillo

#. !asos

>. E"ercicios #esueltos

http://www.monografias.com/usuario/perfiles/cliffor_herrerahttp://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml#pasosahttp://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml#ejercicioahttp://www.monografias.com/usuario/perfiles/cliffor_herrerahttp://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml#pasosahttp://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml#ejercicioa


36/42

Pasos


37/42

Ejercicios Resueltos


38/42

#esolviendo el $istema


39/42


40/42


41/42

3olución de la Integral $or 9racciones $arciales

Entonces


42/42

eer más4 *ttp455XXX.monografias.com5traba/osYY5integrales+fracciones+parciales+calculo+

integral5integrales+fracciones+parciales+calculo+integral.s*tml7i%((MY$9;OlH9

(asamos la integral del - miembro al .-!

Sumamos las integrales y multiplicamos en los dos miembros por /0.1!

Sacamos factor comn e1x

!
http://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml#ixzz49PFH6lKFhttp://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml#ixzz49PFH6lKFhttp://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml#ixzz49PFH6lKFhttp://www.monografias.com/trabajos99/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral/integrales-fracciones-parciales-calculo-integral.shtml#ixzz49PFH6lKF

Portafolio Calculo 2 Unidad

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