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Polyominos linealesgeneralizados, funciones deGreen y matrices de Green

A. Carmona1, A.M. Encinas1 and M. Mitjana2

1Dept. Matematica Aplicada III

2Dept. Matematica Aplicada I

VIII JMDA Almerıa 2012

Polyominos lineales generalizados, funciones de Green y matrices de Green

Introduction

Motivation

Polyominos

I Presentacion de los poliominos



Introduction

Motivation

Polyominos

I Presentacion de los poliominosI Presentacion de los poliominos lineales



Introduction

Motivation

Polyominos

I Presentacion de los poliominosI Presentacion de los poliominos linealesI Interes en Quımica Organica



Introduction

Polyominos soportados por un camino

Polyominos lineales generalizados: Ln

I V ={x1, . . . , x2n

}x1 x2 x3 xn−1 xn

x2n x2n−1 x2n−2 xn+2 xn+1

c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

I ci = c(xi, xi+1) > 0, i = 1, . . . , 2n− 1



Introduction



I V ={x1, . . . , x2n

}x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

I ci = c(xi, xi+1) > 0, i = 1, . . . , 2n− 1

I ai = c(xi, x2n+1−i) ≥ 0, i = 1, . . . , n− 1



Introduction



I V ={x1, . . . , x2n

}x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

I ci = c(xi, xi+1) > 0, i = 1, . . . , 2n− 1

I ai = c(xi, x2n+1−i) ≥ 0, i = 1, . . . , n− 1

I Encadenamiento de P ∈ Ln: s = #{i : ai > 0}



Introduction



I Camino

x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



Introduction



I Ciclo

x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



Introduction



I Cadena Lineal

x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



Introduction



I Cadena Hexagonal



Introduction



I Phenyleno



Introduction

Funcion de Green

Laplaciano combinatoriox1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

I Operador Laplaciano: L(u)(x) =∑y∈V

c(x, y)(u(x)− u(y)

)



Introduction

Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

I

Laplaciano Combinatorio: L

L =

c1 + ai1 −c1 −ai1−c1 c1 + c2 + ai2 −c2 −ai2

. . .. . .

. . .

−ai2 −c2n−2 c2n−2 + c2n−1 + ai2 −c2n−1−ai1 −c2n−1 c2n−1 + ai1



Introduction

Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

I L es semidefinido positivo, singular y L(v) = 0 iff v = cte



Introduction

Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1


I Operador y funcion de Green: G y G(x, y)

ISi 〈f, 1〉 = 0, entonces u = G(f) es la unica solucion de laecuacion de Poisson L(u) = f tal que 〈u, 1〉 = 0



Introduction

Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



IDada f , entonces u = G(f) es la unica solucion de la ecuacionde Poisson L(u) = f − 1

n〈f, 1〉 tal que 〈u, 1〉 = 0



Introduction

Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



IDada f , entonces u = G(f) es la unica solucion de la ecuacionde Poisson L(u) = f − 1

n〈f, 1〉 tal que 〈u, 1〉 = 0

I G ◦ L = L ◦ G = I − 1n〈·, 1〉 =⇒ G = L†



Perturbacion del Laplaciano

Funcion de Green

Perturbacion con dipolosx1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

I Obtenemos el Polyomino, anadiendo s ramas




Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1


I Consideremos el Dipolo, σj =√aij(εxij − εxn+1−ij

)




Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



)I L = Lpath +

s∑j=1Pσj , donde Pσj (u) = σj〈σj , u〉




Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



)I Λ =

(〈Gpath(σm), σk〉

)=⇒

(bkm

)=(I + Λ

)−1




Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



)I Λ =


)=⇒

(bkm

)=(I + Λ

)−1I G = Gpath −

s∑k,m=1

bkmPGpath(σm)Gpath(σk), Pστ (u) = σ〈τ, u〉




Funcion de Green



c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



)I Λ =


)=⇒

(bkm

)=(I + Λ

)−1I G(x, y) = Gpath(x, y)−

s∑k,m=1

bkmGpath(σm)(x)Gpath(σk)(y)



Perturbacion del Laplaciano de un camino

Funcion de Green del camino

Funcion de Green y resistencia efectivax1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

I La funcion de Green del camino sobre 2n vertices es

I

Gpath(xi, xj) =1

4n2

min{i,j}−1∑`=1

`2

c`+

2n−1∑`=max{i,j}

(2n− `)c`

−max{i,j}−1∑`=min{i,j}

k(2n− `)c`







c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

I La Resistencia Efectiva es R(xi, xj) = 2n

max{i,j}−1∑`=min{i,j}

1

c`







c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



1

c`

I Gpath(σk)(xj) = 2n√aik

2n−ik∑`=max{j,ik}

1

c`−

2n−ik∑`=ik

1

c`







c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



1

c`

I 〈Gpath(σk), σm〉 =√aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})







c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



1

c`

I 〈Gpath(σk), σm〉 =√aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})

I OBJETIVO: Determinar(I + Λ

)−1, Λ =


)



Matrices de Green

Matrices de tipo D

Inversion de la matriz I + Λ

I Λ =(√

aikaim R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im}))



Matrices de Green

Matrices de tipo D


I Λ =(√


I D: Matriz diagonal de entradas ai1 , . . . , ais



Matrices de Green

Matrices de tipo D


I Λ =(√



I

I + Λ = D12

[D−1 + A

]D

12 , donde

A =

R(xi1 , x2n+1−i1) R(xi2 , x2n+1−i2) · · · R(xis , x2n+1−is)


......

. . ....

R(xis , x2n+1−is) R(xis , x2n+1−is) · · · R(xis , x2n+1−is)



Matrices de Green

Matrices de tipo D


I Λ =(√



I

I + Λ = D12

[D−1 + A

]D

12 , donde

A =



......

. . ....


I Si αj = R(xij , x2n+1−ij ) = 2n

2n−ij∑`=ij

1

c`=⇒ A =

(αmax{k,m}

)



Matrices de Green

Matrices de tipo D


I Λ =(√



I

I + Λ = D12

[D−1 + A

]D

12 , donde

A =



......

. . ....


I(I + Λ

)−1= I− D

12 (A−1 + D)−1D

12



Matrices de Green

Matrices de tipo D

Propiedades de A =(R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})

)I Parametros α1, . . . , αs



Matrices de Green

Matrices de tipo D



I Matriz de tipo D debil: Σ =(αmin{k,m}

)



Matrices de Green

Matrices de tipo D




)I Matriz de tipo D: Si ademas α1 < · · · < αs



Matrices de Green

Matrices de tipo D





I Matriz de tipo D inverso debil: Σ =(αmax{k,m}

)



Matrices de Green

Matrices de tipo D






)I Matriz de tipo D inverso: Si ademas α1 > · · · > αs



Matrices de Green

Matrices de tipo D







I Matriz de Green: G =(αmin{k,m}

)◦(βmax{k,m}

)



Matrices de Green

Matrices de tipo D








)◦(βmax{k,m}

)I gkm = αmin{k,m}βmax{k,m} =

{αkβm, si k ≤ m,αmβk, si k ≥ m



Matrices de Green

Matrices de tipo D








)◦(βmax{k,m}

)I

G es una matriz de Green no singular siiG−1 es una matriz triangular irreducible



Matrices de Green

Matrices de tipo D


)I Parametros: α1, . . . , αs ( αs+1 = 0)





Matrices de Green

Matrices de tipo D


)I Parametros: α1, . . . , αs ( αs+1 = 0)



I

Σ es invertible sii αi 6= αi+1. Ademas, si γj = (σj −σj+1)−1

Σ−1 =

γ1 −γ1 0 · · · 0

−γ1 γ1 + γ2 −γ2 · · · 0

......

. . .. . .

...

0 0 · · · γs−2 + γs−1 −γs−10 0 · · · −γs−1 γs−1 + γs



Matrices de Green

Matrices de tipo D


)I Parametros: αj = R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})

I α1 > · · · > αs > 0 =⇒ A es una matriz de tipo D inverso



Matrices de Green

Matrices de tipo D


)I Parametros: αj = R(xmax{ik,im}, x2n+1−max{ik,im})

I α1 > · · · > αs > 0 =⇒ A es una matriz de tipo D inverso

I

A−1 =

γ1 −γ1 0 · · · 0

−γ1 γ1 + γ2 −γ2 · · · 0

......

. . .. . .

...

0 0 · · · γs−2 + γs−1 −γs−10 0 · · · −γs−1 γs−1 + γs

γs = R(xis , x2n+1−is)

−1,

γk =[R(xik , xik+1

) +R(x2n+1−ik+1, x2n+1−ik)

]−1



Matrices de Green

Problemas de Sturm–Liouville

Calculo de(bkm)= (I + Λ)−1, s ≥ 3

I(I + Λ

)−1= I− D

12 (A−1 + D)−1D

12



Matrices de Green



I(I + Λ

)−1= I− D

12 (A−1 + D)−1D

12

IA−1 + D es triangular y por tanto,

(A−1 + D

)−1es una matriz

de Green, que esta determinada por la funcion de Green deun problema discreto de Sturm–Liouville.



Matrices de Green



I(I + Λ

)−1= I− D

12 (A−1 + D)−1D

12


(A−1 + D

)−1es una matriz


ai1 + γ1 −γ1 0 · · · 0

−γ1 ai2 + γ1 + γ2 −γ2 · · · 0

......

. . .. . .

...

0 0 · · · ais−1+ γs−2 + γs−1 −γs−1

0 0 · · · −γs−1 ais + γs−1 + γs



Matrices de Green



I(I + Λ

)−1= I− D

12 (A−1 + D)−1D

12


(A−1 + D

)−1es una matriz


ai1 + γ1 −γ1 0 · · · 0

−γ1 ai2 + γ1 + γ2 −γ2 · · · 0

......

. . .. . .

...

0 0 · · · ais−1+ γs−2 + γs−1 −γs−1

0 0 · · · −γs−1 ais + γs−1 + γs

I (aik + γk−1 + γk)zk − γk−1zk−1 − γkzk+1 = 0



Matrices de Green



I(I + Λ

)−1= I− D

12 (A−1 + D)−1D

12


(A−1 + D

)−1es una matriz


I (aik + γk−1 + γk)zk − γk−1zk−1 − γkzk+1 = 0, 2 ≤ k ≤ s− 1



Matrices de Green



I(I + Λ

)−1= I− D

12 (A−1 + D)−1D

12


(A−1 + D

)−1es una matriz


I (aik + γk−1 + γk)zk − γk−1zk−1 − γkzk+1 = 0, 2 ≤ k ≤ s− 1

I

Si {uk}sk=1, {vk}sk=1 son las soluciones que satisfacen

u1 = γ1, u2 = ai1 + γ1, vs−1 = ais + γs−1 + γs, vs = γs−1,

bkm = δkm −√aikaim

γ1((ai1 + γ1)v1 − γ1v2

) umin{k,m}vmax{k,m}



Polyominos autocomplementarios

Solucion de los problemas de Sturm–Liouville


x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1

IP ∈ Ln es autocomplementario si existen a, r1, r2 > 0 con

aij = a, R(xij , xij+1) = r1 y R(x2n+1−ij+1 , x2n+1−ij ) = r2






x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



I(a+ 2(r1 + r2)

−1)zk − (r1 + r2)−1zk−1 − (r1 + r2)

−1zk+1 = 0






x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



I(a+ 2(r1 + r2)

−1)zk − (r1 + r2)−1zk−1 − (r1 + r2)

−1zk+1 = 0

I 2(a(r1 + r2)

2+ 1)zk − zk−1 − zk+1 = 0






x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



I zk+1 = 2qzk + zk−1, con q = 1 +ar

2y r = r1 + r2






x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



I zk+1 = 2qzk + zk−1, con q = 1 +ar

2y r = r1 + r2

I ui =1

rVi−1(q), vi =

[R(xis , x2n+1−is)Vs−i(q) + rUs−1−i(q)

]rR(xis , x2n+1−is)






x1 x2 x3 xn−1 xn


c1 c2

c2n−1 c2n−2

cnaisais−1ai1



Ibkm = δkm −

aVmin{k,m}−1(q)

R(xis , x2n+1−is)[aUs−1(q) + Vs−1(q)

]×[R(xis , x2n+1−is)Vs−max{k,m}(q) + rUs−1−max{k,m}(q)

]

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