Politica de reemplazo de equipos

HENRY J. VILLARROEL

POLITICAS DE REEMPLAZO DE EQUIPOS

HENRY VILLARROEL

POLITICAS DE REEMPLAZO DE EQUIPOS

[email protected]

Reemplazos:Los reemplazos son acciones de mantenimiento

Políticas de Reemplazo

Punto Optimo

CO

STO

PO

R A

ÑO

(M

MB

s)

2500

3000

3500

Curva de Costo Total

Curva de Costos Correctivos

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acciones de mantenimiento que se en el sistema haciendo reparaciones mínimas o reemplazos totales de algunos de los componentes del sistema o del sistema entero.

CO

STO

PO

R A

ÑO

(M

MB

s)

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

INTERVALO DE TIEMPO (ANOS)

Correctivos

Curva de Costos Preventivos

Objetivo de las Políticas de Reemplazo

Determinar los parámetros de la política de mantenimiento preventivo que optimicen algún

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preventivo que optimicen algún criterio. El criterio mas ampliamente utilizado es el costo total esperado por reemplazo por unidad de tiempo. El costo total esperado C(tp) por unidad de tiempo, es una función de tp:

C(tp) = Costo total esperado en el intervalo (0, tp)Longitud esperado del intervalo

Tiempo Optimo de Reemplazo

Es el tiempo minino en que un equipo puede ser Punto Optimo

CO

STO

PO

R A

ÑO

(M

MB

s)

2500

3000

3500

Curva de Costo Total

Curva de Costos Correctivos

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un equipo puede ser reemplazado, es decir, el tiempo donde tanto los costos de penalización (correctivos) y mantenimiento (preventivos) son mínimos, la retención del equipo mas allá de este tiempo conlleva a generar mayores costos, ya que a partir de allí los costos siguen una tendencia elevada.

CO

STO

PO

R A

ÑO

(M

MB

s)

500

1000

1500

2000

2500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

INTERVALO DE TIEMPO (ANOS)

Correctivos

Curva de Costos Preventivos

Tipos de Comportamientos de la Curva total de Costos

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Cuando ambas expresiones de reemplazo tienden a infinito. El costo mínimo se obtiene con

,, ∞→∞→ tpoT

∞=T

Comportamiento tipo I:

Comportamiento tipo II:


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Comportamiento tipo II:

Cuando hay un periodo optimo de mantenimiento finito o edad optima T.

,, ∞→∞→ tpoT


Comportamiento tipo III:

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El comportamiento es ascendiente, el costo mínimo se obtiene reemplazando el equipo inmediatamente.

Políticas mas comunes para el reemplazo de equipos mecánicos son:

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Bloque A una edad Predeterminada

Reemplazo en Bloque:

Reemplazo al fallar Reemplazo preventivo

0 tp

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Un ciclo

El costo total esperado: en un intervalo (0 ,tp) es una suma del costo del mantenimiento preventivo (Cp) más el costo del mantenimiento correctivo (Cf) por el numero esperado de fallas (M(tp)). La longitud esperada del ciclo es tp.

Reemplazo en Bloque

Matemáticamente el reemplazo en bloque puede ser expresado:

tpMCfCptpC

)(*)(

+=

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tp

tpMCfCptpC

)(*)(

+=

Cp = Costos de reemplazos preventivos durante el intervalo (0,tp]

Cf = Costos de reemplazo correctivos durante el intervalo (0,tp]

M(tp) = Numero de falla esperado durante el intervalo (0,tp]

tp = Longitud esperada del intervalo

M(tp):“Es hallado utilizando Estimación

de una función de renovación parametrica”

ESTIMACION DE UNA FUNCION PARAMETRICA

“Cuando la distribucion del tiempo de “Cuando el sistema

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“Cuando la distribucion del tiempo de falla es conocido, se puede determinar el numero de fallas esperado (0,tp) usando”.

APROXIMACIÓN DE TIEMPOS DISCRETOS

(o componente) se observa en intervalos de

tiempos”

∫∑+−

=

−−+=11

0

)(*)]1(1[)(i

i

T

i

dttfiTMTM

Con M(0)=0

Ejemplo de política basada en bloqueLos tiempos de falla de un montacarga siguen un com portamiento de una función de probabilidad de falla exponencial con Tiempo Promed io Entre Falla, MTBF= 33 días. Los costos de mantenimiento preventivo y correctivo osc ilan entre 10000 Bs. y 50000 Bs. respectivamente. Se desea determinar el tiempo ópti mo de reemplazo utilizando la política de reemplazo en bloque

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de reemplazo en bloque

tp

tpMCfCptpC

)(.)(

+=

( )[ ] ∫∑+−

=−−+=

11

0

)(.11)(i

i

T

i

dttfiTMTM

tetf λλ −=)( 030.033

11 ===MTBF

λ

10000=Cp

50000=Cf

33=MTBF días

Tomando intervalos de tp=10 días, se construye los costos totales para cada intervalo:

[ ] ∫∑ −

=+=

10

0

0

0

.)0(1)1( dtte

i

MM λλ

[ ] [ ] 259.0.01.)0(1)1( )0(030.0)10(030.010

=−+=−+= −−− eee tMM λ

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[ ] [ ] 259.0.01.)0(1)1( )0(030.0)10(030.0

0

=

−+=

−+= −+−− eee tMM λ

tp

MCfCptpC

)1(.)(

+=

diasBsC /229510

)259.0.(5000010000)10( =+=

Análogamente para los intervalos de 20, 30, 40, 50,etc. Se construye la siguiente tabla:

Intervalos, t p (días) M(tp) Costo total, C(t p), (Bs./d ías)

10 0.259 2295

20 0.518 1795

Resultados:

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20 0.518 1795

30 0.776 1626.6

40 1.035 1543.7

50 1.293 1493

60 1.532 1443.3

70 1.810 1435.7

80 2.068 1417.5

90 2.335 1408.3

100 2.587 1393.5

Resultados:Curva de Costo Total del Montacarga

1500

2000

2500

Cos

to e

n B

s./d

ías

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0

500

1000

1500

10 20 30 40 50 60 70 80 9010

0

Tiempo en días

Cos

to e

n B

s./d

ías

Se puede observar que la curva de costo total sigue un comportamiento tipo I, donde a medida que aumentan los días el costo sigue disminuyendo, por lo tanto el tiempo óptimo es cuando , es decir cuando el equipo falle, es cuando se obtendrá en tiempo óptimo

∞→T

Reemplazo Basado en la Edad

Reemplazo Reemplazo Por falla Mantenimiento por falla Mantenimiento

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0

Por falla Mantenimiento por falla Mantenimiento . preventivo preventivo

tp tp

C(tp) = Costo total esperado en el intervalo (0,tp)

Longitud esperada del intervalo

Costo total esperado en el intervalo (0,tp): La probabilidad del costo preventivo por la probabilidad de que el equipo sobreviva a la edad de reemplazo planificada + el costo del reemplazo correctivo x la probabilidad de falla del equipo antes del tp. Matemáticamente se puede expresar

Reemplazo Basado en la Edad

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)](1.[)(. tpRCftpRCp −+

Longitud esperada del intervalo: La longitud de un costo preventivo x la probabilidad de sobrevivencia del ciclo + la longitud esperada del ciclo x la probabilidad de un ciclo de falla. Matemáticamente se puede expresar:

∫+ dttpfttpRtp )(.)(.

Finalmente:∫+

−+=

tp

dttpfttpRtp

tpRCftpRCptpC

0

)(*)(.

)](1.[)(.)(

PROBLEMA TIPO:

Un cojinete de deslizamiento de un eje de alta velocidad se desgasta de acuerdo a una distribucionnormal con media de 1.000.000 de ciclos por segundo y una desviación estándar de 100.000 ciclos porsegundos. El costo del mantenimiento preventivo es 50.000 Bs. y el reemplazo por falla es de 100.000Bs.. Determine el tiempo óptimo de mantenimiento (reemplazo) del cojinete utilizando la política basadaen la edad.

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en la edad.

000.100

000.50

?

/000.100

/000.000.1

=

=

=

=

=

Cf

Cp

topt

sc

scx

σ

µ( )

( )

∫

∫

∞−

∞−

+

−+=

==

+

−+=

tptp

tptp

dtttftpRtp

tpRtpRC

Cf

Cp

dosustituyen

dtttftpRtp

tpRCftpRCpC

)()(.

)](1].[000.100)(.000.50[

000.100

000.50

)()(*

)](1[*)(*

∫∞−

−=tp

p dttftR )(1)( dtptR

xt

etp2

).(2

1

2

1.1)( σ

µ

πσ

−−∫−=∞−

−−=σµφ xt

tRp

1)(

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−σ

µφ xtDonde Es la distribución normal estándar

dt

xt

tdtfttp pt

t e2

2

1

2

1)(.

−−

∫ ∫

∞− ∞−= σ

µ

πσ

Utilizando un artificio matemático, la integral puede ser igual a:

( )[ ] dt

xt

xxt etp

2

2

1

2

1.

−

−+−∫

∞−

σµ

µµπσ

Separando las dos integrales se obtiene:

( ) dtpt

xt

x

xt

xt etp

e ∫∞−

+

−−

−−

−∫∞−

2

2

1

2

1

2

2

1

2

1. σ

µ

πσµσ

µ

µπσ

22

−− µµ

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2

2

1

2

2

2

1

−=

−

−−

−−

σµ

σ

µσµ xt

xt

xt

eedt

dPero:

−−

−−

+∫

∞−σ

µφσ

µ

πσµσ

xtx

xt

dt

ddtetp

2

2

1

2

1 2.

Sustituyendo:

)(

2

2

1

2

2

2

1

2

1)(. tpIntegral

xtx

xt

dt

xt

tp tptdttft ee =

−+

−−

−=

−−

∫

∞−∫

∞−

=

σµφµ

σµ

π

σσ

µ

πσ

Resultando:

∫

+

−=

−−100000

2

100000

1000000

2

1

)100000(.100000

)100000(.50000100000)100000(

dt

t

etR

RC

Para el calculo del costo total en cada intervalo, comenzamos con tp=100000 c/s

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∫∞−

+2

)100000(.100000 dteRπσ

100000 1000000(100000) 1 1 ( 9) 1 0 1

100000R φ φ− = − = − − = − =

Calculamos la confiabilidad en tp=100000 c/s

[ ]9100000

2

100000

1000000100000

2

1

2

100000100000

2

100000

1000000

2

1

2−+

−−

−=∫∞−

−−

φππσ

edt

t

et

Evaluamos la integral en tp=100000 c/s

21 1000000100000 1000002 100000( 100000) .(0) 100000.(0) 0.

2 2

tt

Integral tp e dtσ π π

−−= = = − + =∫

−∞

Sustituyendo en la ecuación de costo total basado en la edad se obtiene, el costo total en el intervalo de tp=100.000 c/s

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cicloBsC .5000.0

100000

50000

0)1.(100000

)1.(50000100000)100000( ==

+

−=

Análogamente se obtienen los siguientes costos por periodo tp, con lo cual se construye un tabla y la grafica

∫∞−

+

−=

−−100000

2

2

100000

1000000

2

1

)100000(.100000

)100000(.50000100000)100000(

dt

t

etR

RC

πσ

RESULTADOS

tpo(ciclosxseg)

R(tp) Integral (tp) C(tp) Bs./ciclo

100000 1.0000 0.0000 0.5000

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200000 1.0000 0.0000 0.2500

300000 1.0000 0.0000 0.1667

400000 1.0000 0.00085 0.1249

500000 1.0000 0.21025 0.0999

600000 1.0000 18.9264 0.0833

700000 0.9987 756.7580 0.0715

800000 0.9772 30435.4757 0.0629

900000 0.8413 50089.8280 0.0717

1.000000 0.5000 106418.9584 0.1236

0.3

0.4

0.5

0.6

Cos

to B

s./C

iclo

Tiempo Óptimo

RESULTADOS

Políticas de Reemplazo HENRY VILLARROEL

0

0.1

0.2

100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Tiempo en Ciclos x Segundos (x 1 E+03)

Cos

to B

s./C

iclo

Se puede apreciar que la curva de costo total sigue un comportamiento tipo II, donde se observa un punto de inflexión en la curva que corresponde al mínimo valor de costo, el tiempo optimo para realizar el reemplazo o la tarea de mantenimiento se obtiene a los 800000 ciclos x segundos

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