Polinomios

Prof. Caroline Rodríguez

Universidad de Puerto Rico en Arecibo

Departamento de Matemáticas

Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión

algebraica que cumple con las siguientes

condiciones:

Ningún término de la expresión tiene un

denominador que contiene variables

Ningún término de la expresión tiene un

radical que contiene variables

Los exponentes de las variables son enteros

no-negativos.

Polinomios Un polinomio tiene la siguiente forma general:

𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒐

donde:

𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎0 son números reales y

los exponentes de las variables son enteros no-

negativos. ({0, 1, 2, …})

Ejemplos de Polinomios

3x2 – 5x + 1

4y – 3 y2 + 4y5

9 − 4x − 2x3

5

2xy – 7x2y2 + 6x

p3 + q2 – 5p2q 3

Con los últimos

dos ejemplos

mostramos que

polinomios se

pueden definir en

más de una

variable.

En énfasis en este

curso serán

polinomios en

una variable.

Ejemplos No-Polinomios

Los siguientes son ejemplos de expresiones que

NO polinomios:

143 2 xx

53

4 x

x

42

772

3 xxx

354 22

3

xx

3

2

3

174

x

xx

Clasificar Polinomios

Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad

de términos:

• monomio: un solo término

• binomio: dos términos

• trinomio: tres términos

• De ahí en adelante no reciben nombres particulares

y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli

significa plural, o muchos)

Evaluación de Polinomios:

Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente ya que los polinomios SON expresiones algebraicas.

Ejemplo: Evaluar 3x2 – 5x + 1, para x = 2.

= 3(2)2 – 5(2) + 1

= 3(4) – 10 + 1

= 12 – 10 + 1

= 3

hay que tomar en cuenta el

orden operaciones para

simplificar

Evaluación de Polinomios Ejemplo: Evaluar para x=0 y x = -3 el polinomio del ejemplo

anterior: 3x2 – 5x + 1

a) = 3(0) – 5(0) + 1

= 0 – 0 + 1

= 1

b) = 3(-3)2 – 5(-3) + 1

= 3(9) + 15 + 1

= 27 + 15 + 1

= 43

Evaluación de Polinomios

Ejemplo: Evaluar 2pq + 6pq2 – 4p2q para p = 2 y q = -3

Notas:

• Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables.

• Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay

una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq simplica multiplicar el

valor de p or el valor de q

= 2(2)(-3) + 6(2)(-3)2 – 4(2)2(-3)

= -12 + 12(9) – 4(4)(-3)

= -12 + 108 + 48

= 144

Grado y coeficiente principal

Definimos el grado de un polinomio de la siguiente forma:

(i) Si el polinomio es un polinomio en una variable el grado

del polinomio será la potencia mayor de la variable

(ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado del

polinomio se determina sumando las potencias de las variables

en cada término y eligiendo la suma mayor.

El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del

término que le da el grado al polinomio.

Polinomio Grado Coeficiente Principal

5x – 7

2+ 7z – 4z2

2y – 51y2 – 2y6 – 7

3r2 – 5r3 + 3r + 45

2xy + 6x3y – 4xy2

4x2y – 5x2y2 + xy4

42x3y2 – x3y3 – 11x3y

Grado de Polinomios – Práctica

1

2

6

3

4

5

6

5

-4

-2

-5

6

1

-1

SUMA Y RESTA DE

POLINOMIOS

Polnomios

Suma y rests de polinomios a) Para sumar o restar polinomios, se suman o se restan los

coeficientes de los términos semejantes de ambos

polinomios .

b) Luego, se ordenan los términos según el grado.

(ascendente o descendente)

c) La operación de resta requiere aplicar propiedad

distributiva al sustraendo . Esto afectará el signo de

TODOS los términos de éste.

d) Si no existen términos semejantes en los polinomios, el

polinomio nuevo se compone de los términos de cada

polinomio, en orden de grado

Suma y resta de polinomios - ejemplos

13)3x (4x 11) 5x 3x ( a) 22

10)– 11x (2x 7) 5x – (13x b) 22

Veamos los siguientes ejemplos:

13) (11 3x) (5x )4x (3x 22

24 8x 7x 2

(-10) (-11x) )(-2x 7 (-5x) 13x 22

)10 7 (-11)x -5( -2)x(13 2

10 (-11x) )(-2x 7 (-5x) 13x 22

17-16)x ( 11x 2

1716x 11x 2

Suma y resta de polinomios - ejemplos

8x)- 6x- (-22 8) 4x- (2x 22

4x) 3x 2(11– 8) 4x– (2x c) 22

22)- (8 )6x- (-4x 8x)- (2x 22

14- 10x- 6x- 2

146x10x- 2 Forma descendente

10x 6x14- 2 Forma ascendente

Suma y resta de

polinomios -

ejercicios