POLINOMIOS

Objetivo: Aplicar los conceptos del álgebra de polinomios y

sus propiedades para obtener sus raíces.

DEFINICIÓN DE POLINOMIO

Llamaremos polinomio en x con coeficientes en C a una expresión de la forma:

𝒑 𝒙 = 𝒂𝟎𝒙𝟎 + 𝒂𝟏𝒙

𝟏 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + …+ 𝒂𝒏𝒙

𝒏

donde 𝑎0, 𝑎1, … , 𝑎𝑛 ∈ 𝐶

Sea el polinomio en x con coeficientes en C

GRADO DE UN POLINOMIO

𝒑 𝒙 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙𝟐 + …+ 𝒂𝒏𝒙

𝒏

Si 𝒂𝒏 ≠ 𝟎 el entero no negativo n es el grado del

polinomio, lo que representamos con:

𝒈𝒓 𝒑 = 𝒏

El grado de un polinomio es igual al exponente mayor de la variable

5 x2 Es un polinomio de grado 2

6 x7 - 2 Es de grado 7

3 x5 + 4 x3 - x2 Es de grado 5

2 x4- x3 - x2 ¿De qué grado es?

6 x5 - 4 x2 - 19 x ¿De qué grado es?

3 x15 + x13 - x2 ¿De qué grado es?

13 ¿De qué grado es?

Sean los polinomios en x con coeficientes en C

IGUALDAD DE POLINOMIOS

𝒇 𝒙 =

𝒌=𝟎

𝒏

𝒂𝒌 𝒙𝒌 𝒈 𝒙 =

𝒌=𝟎

𝒎

𝒃𝒌 𝒙𝒌y

Diremos que son iguales, lo que representaremos con 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 , cuando:

i. 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 para 𝑘 ≤ 𝑛 y 𝑏𝑘 = 0 para 𝑛 < 𝑘 ≤ 𝑚, si 𝑛 < 𝑚

ii. 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 para 𝑘 ≤ 𝑛 si 𝑛 = 𝑚

iii. 𝑎𝑘 = 𝑏𝑘 para 𝑘 ≤ 𝑚 y 𝑎𝑘 = 0 para 𝑚 < 𝑘 ≤ 𝑛, si 𝑛 > 𝑚

Sean los polinomios:𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥4 + 𝑏 + 1 𝑥3 + 2𝑥2 + 1 − 3𝑖 𝑥 − 5𝑖𝑔 𝑥 = 𝑖𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑐𝑥2 + d𝑥 + 𝑒

Obtener 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 de modo que 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥)

Solución:

𝒂 = 𝒊

𝒃 = 𝟏

𝒄 = 𝟐

𝒅 = 𝟏 − 𝟑𝒊

𝒆 = −𝟓𝒊

Sean los polinomios en x con coeficientes en C

ADICIÓN DE POLINOMIOS

𝒇 𝒙 =

𝒌=𝟎

𝒏

𝒂𝒌 𝒙𝒌 𝒈 𝒙 =

𝒌=𝟎

𝒏

𝒃𝒌 𝒙𝒌y

El polinomio 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 se define como

𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 =

𝒌=𝟎

𝒏

(𝒂𝒌+𝒃𝒌) 𝒙𝒌

ADICIÓN DE POLINOMIOS: PROPIEDADES

Si 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 , ℎ 𝑥 son polinomios en 𝑥 con coeficientes en C, entonces:

• 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 + 𝒉 𝒙 = [𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 ] + 𝒉 𝒙 …ASOCIATIVIDAD:La agrupación es intrascendente cuando se suman tres cifras

• 𝒇 𝒙 + 𝒈 𝒙 = 𝒈 𝒙 + 𝒇 𝒙 …CONMUTATIVIDAD:

El orden de los sumandos no altera la suma

• Existe un polinomio 𝜽 𝒙 tal que:

𝒇 𝒙 + 𝜽 𝒙 = 𝒇 𝒙 …ELEMENTO IDÉNTICO:

Sumar cero a cualquier cantidad produce la misma cantidad

• Existe un polinomio −𝒇 𝒙 tal que:

𝒇 𝒙 + [−𝒇 𝒙 ] = 𝜽 𝒙 …ELEMENTOS INVERSOS:

Sumar una cifra y su inverso da cero

Sean 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 dos polinomios en x con coeficientes en C, el polinomio 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 se define como:

SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 = 𝒇 𝒙 + [−𝒈 𝒙 ]

Sean los polinomios en x con coeficientes en C:

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

𝒇 𝒙 =

𝒌=𝟎

𝒏

𝒂𝒌 𝒙𝒌 𝒈 𝒙 =

𝒌=𝟎

𝒏

𝒃𝒌 𝒙𝒌y

El polinomio 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 se define como

𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 =

𝒌=𝟎

𝒏+𝒎

𝒄𝒌 𝒙𝒌 𝒄𝒌 =

𝒋=𝟎

𝒌

𝒂𝒋𝒃𝒌−𝒋donde:

Si 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 , ℎ 𝑥 son polinomios en 𝑥 con coeficientes en C, entonces:

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS: PROPIEDADES

• 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 𝒉 𝒙 = [𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 ]𝒉 𝒙 …ASOCIATIVIDAD:La agrupación carece de importancia al multiplicar tres cifras

• 𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 = 𝒈 𝒙 𝒇 𝒙 …CONMUTATIVIDAD:

El orden de los factores no altera el producto

• 𝒇 𝒙 ∗ 𝟏 = 𝒇 𝒙 …ELEMENTO IDÉNTICO:

Multiplicar cualquier polinomio por uno da el mismo polinomio

Si 𝑓 𝑥 , 𝑔 𝑥 , ℎ 𝑥 son polinomios en 𝑥 con coeficientes en C, entonces:

𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 + 𝒉 𝒙 = [𝒇 𝒙 𝒈 𝒙 ] + [𝒇 𝒙 + 𝒉 𝒙 ]

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

Multiplicar un numero y la suma de dos cifras equivale a multiplicar

cada cifra por el número y luego sumar los resultados

Determinar los valores A, B, C para que los polinomios P(x) y q(x) sean iguales

𝑝 𝑥 = 4𝑥2 + 14𝑥 + 8𝑞 𝑥 = 𝐴 3𝑥3 + 2𝑥 + 1 + 𝐵 𝑥2 + 1 + 𝐶(−𝑥2 + 4𝑥 + 1)

Sean 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 dos polinomios en x con coeficientes en C, y 𝑔 𝑥 ≠ 0:

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN PARA POLINOMIOS

𝑔 𝑥 es un factor de 𝑓 𝑥 si existe un polinomio 𝑞 𝑥 con coeficientes en C,

tal que:

𝒇 𝒙 = 𝒈 𝒙 𝒒 𝒙

Se dice entonces que 𝑓 𝑥 es divisible entre 𝑔 𝑥 .

Sean 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 dos polinomios en x con coeficientes en C. Si 𝑔 𝑥 ≠ 0,existen dos polinomios únicos 𝑞 𝑥 y 𝑟 𝑥 con coeficientes en C tales que:

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

𝒇 𝒙 = 𝒈 𝒙 𝒒 𝒙 + 𝒓 𝒙

donde:

𝒈𝒓 𝒓 < 𝒈𝒓 𝒈

O bien

𝒓 𝒙 = 𝟎

Es un procedimiento practico para hallar el cociente y el residuo de la división de un polinomio.

EJEMPLO 1:4𝑥4 − 5𝑥3 + 6𝑥2 + 7𝑥 + 8

𝑥 + 1=𝑓 𝑥

𝑞 𝑥

Grado del cociente:

𝑓 𝑥 ° − 𝑞 𝑥 ° = 4 − 1 = 3

Cociente:

4𝑥3 − 9𝑥2 + 15𝑥 − 8

X+1=0

X= -1

Residuo: 16

EJEMPLO 2:18𝑥5 − 29𝑥3 − 5𝑥2 − 12𝑥 − 16

3𝑥 + 23x+2=0

X= -2/3

Grado del cociente:

𝑓 𝑥 ° − 𝑞 𝑥 ° = 5 − 1 = 4

Cociente:

18𝑥4 − 12𝑥3 − 21𝑥2 + 9𝑥 − 18Residuo: -4

EJEMPLO 3:6𝑥36 + 17𝑥27 − 16𝑥18 + 17𝑥9 + 12

3𝑥9 + 1

Haciendo 𝑥9 = 𝑦, la división es:

6𝑦4 + 17𝑦3 − 16𝑦2 + 17𝑦 + 12

3𝑦 + 1

Grado del cociente:𝑓 𝑥 ° − 𝑞 𝑥 ° = 4 − 1 = 3

Cociente:6𝑦3 + 15𝑦2 − 21𝑦 + 24

Dividiendo entre 32𝑦3 + 5𝑦2 − 7𝑦 + 8

Sustituyendo 𝑥9 = 𝑦2𝑥27 + 5𝑥18 − 7𝑥9 + 8

Residuo: 4

Hallar el residuo y el cociente en:

𝑥3 − 2𝑥2 + 2 − 𝑎2 − 2𝑎 𝑥 − 2𝑎 − 2

𝑥 − 𝑎 − 2

TEOREMA

Sean p 𝑥 un polinomio en 𝑥 con coeficientes en C y c ∈ 𝐶.

DEL RESIDUO

El residuo de dividir 𝒑 𝒙 entre 𝒙 − 𝒄 es igual a 𝒑 𝒄

EJEMPLO:

Hallar el residuo de dividir el polinomio 𝑃 𝑥 = 4𝑥4 + 10𝑥3 + 19𝑥 + 5 entre x+3

𝑥 + 3 = 0 𝑥 = −3𝑃 −3 = 4(−3)4+10(−3)3+19 −3 + 5 = 2

Residuo= 2

Hallar, sin efectuar la división, el residuo de:

1. 𝑥2−2𝑥+3𝑥−1

2. 𝑥3−3𝑥2+2𝑥−2𝑥+1

3. 𝑥4−𝑥3+5𝑥−2

4. 𝑎4−5𝑎3+2𝑎2−6𝑎+3

5. 𝑚4+𝑚3−𝑚2+5𝑚−4

6. 𝑥5+3𝑥4−2𝑥3+4𝑥2−2𝑥+2𝑥+3

TEOREMA

Sean p 𝑥 un polinomio en 𝑥 con coeficientes en C y c ∈ 𝐶.

DEL FACTOR

𝒑 𝒙 es divisible entre 𝒙 − 𝒄 sí y sólo si 𝒑 𝒄 = 𝟎.

EJEMPLO:

Usa el teorema del factor para probar que x+1 es un factor de 𝑥13 + 1

𝑥 + 1 = 0𝑥 = −1

𝑃 −1 = (−1)13+1 = 0 ∴ 𝑥 + 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑥13 + 1

https://es.khanacademy.org/math/algebra2/arithmetic-with-polynomials/polynomial-remainder-theorem/v/polynomial-remainder-theorem

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que

se indican:

1. 𝑥3 − 5𝑥 − 1 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑥 − 32. 𝑥6 − 1 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑥 + 13. 𝑥4 − 2𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑥 − 1)4. 𝑥10 − 1024 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑥 + 2)

La raíz de un polinomio es un número tal (real o complejo) quehace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuandoresolvamos un polinomio a cero, las soluciones son las raíces delpolinomio.

Sea p 𝑥 un polinomio en 𝑥 con coeficientes en C y sea 𝛼 unnúmero complejo.

RAÍCES Ó CEROS DE UN POLINOMIO

𝜶 es una raíz de 𝒑 𝒙 si 𝒑 𝜶 = 𝟎.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Todo polinomio de grado n tiene n raíces. (Carl Friedrch

Gauss, 1798)

Una forma en la que podemos interpretar este teorema es como sigue,

ya que se puede factorizar un polinomio dadas las raíces y hay n raíces

para todo polinomio de este grado, entonces:

f(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + an-3 xn-3 + ... + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = (x - r1) (x - r2) ... (x - rn)

factores lineales

donde r1, r2, ... , rn son las raíces de f(x).

TEOREMARAÍCES RACIONALES

Sea

𝒑 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙

𝒏−𝟏 + …+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎

un polinomio en 𝒙 con coeficientes enteros, donde 𝒂𝒏 ≠ 𝟎, 𝒂𝟎 ≠

𝟎 y 𝒏 ≥ 𝟏. Si un número racional es raíz de 𝒑(𝒙) y𝒑

𝒒es su

mínima expresión, entonces 𝒑 es un factor de 𝒂𝟎 y 𝒒 es un

factor de 𝒂𝒏.

1. Se determina por lo menos un cero del polinomio.

Cuando el primer coeficiente del polinomio es 1 se toman todos los divisoresdel termino independiente con su doble signo. Ejemplo:

𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 4𝑥2 + 7𝑥 − 12𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠: ±1,±2,±3,±4,±6,±12.

𝑃 1 = (1)3+4 1 2 + 7 1 − 12 = 0 ∴ 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜

Cuando el coeficiente del primer termino es diferente de 1, se procede comoen el caso anterior y además se considera las fracciones que resultan de dividirtodos los divisores del termino independiente entre los divisores del primercoeficiente. Ejemplo:

𝑃 𝑥 = 4𝑥3 + 3𝑥2 + 3𝑥 − 9

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠: ±1,±3,±9,±1

2, ±3

2, ±9

2, ±1

4, ±3

4,9

4.

Termino

independiente

2. De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomioo factor

3. El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisorobtenido mediante división sintética.

Ejemplo:

Factorizar: 𝑥3 − 4𝑥2 − 25𝑥 + 28

1. Se determinan los posibles ceros:𝑃. 𝐶.= ±1,±2,±4,±7,±14,±28

2. Para x=1, el valor numérico del polinomio es:𝑃 1 = (1)3 − 4 1 2 − 25 1 + 28 = 0

∴ 𝑥 − 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟

De donde se obtiene el cociente: 𝑥2 − 3𝑥 − 28 que es el otro factor buscado.

Luego el polinomio factorizado es: (𝑥2−3𝑥 − 28)(𝑥 − 1)

Finalmente: P 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 − 4 𝑥 − 1

Las raíces racionales son: 𝜶𝟏 = 𝟏,𝜶𝟐 = 𝟏,𝜶𝟑 = 𝟒

-3

𝑃 𝑥 = 6𝑥5 − 5𝑥4 − 41𝑥3 + 71𝑥2 − 37𝑥 + 6

𝑔𝑟 𝑃 𝑥 = 5 → 𝑃 𝑥 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 5 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠

𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠: ±1,±1

2,±1

3,±1

6, ±2,±

2

3,±3,±

3

2,±6

6 − 5 − 41 71 − 37 66 1 − 40 31 − 6

6 1 − 40 31 − 6 0

1

2

12 26 − 28 66 13 − 14 3 0−18 15 − 36 − 5 1 0

6𝑥2 − 5𝑥 + 1 = 0

𝑥 =5 ± 52 − 4(6)(1)

2(6)

𝑥 =5 ± 1

12→ 𝑥1 =

1

2y 𝑥2 =

1

3

∴ 𝜶𝟏 =𝟏

𝟐, 𝜶𝟐 =

𝟏

𝟑, 𝜶𝟑 = 𝟏, 𝜶𝟒 = 𝟐, 𝜶𝟓 = −𝟑

La regla de los signos de Descartes está relacionado con el numero desoluciones positivas de una ecuación polinómica, es decir, nos sirvepara poder determinar la cantidad de raíces positivas, negativas oimaginarias que tiene como resultado un polinomio de grado “n”. Paraun polinomio, siendo:

La cantidad de raíces reales positivas es igual al número de cambiosde signo de f(x) o disminuido en ese número en una cantidad enterapar.

La cantidad de raíces reales negativas es igual al número de cambiosde signo de f(-x) o disminuido en este número en una cantidad enterapar.

𝒑 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙

𝒏−𝟏 + …+ 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎

Llamando C (p) al número de cambios de signo en la lista de coeficientes delpolinomio, en este caso C(p) = 5. Por Lo tanto hay un máximo de 5 raíces realesnegativas.

Hay varias posibilidades que analizamos a continuación:

1º Posibilidad: Al haber 0 raíces positivas, 5 negativas, y el polinomio original es degrado 5 el total de raíces es 5, habiendo 0 raíces imaginarias.

También puede ser menor que los cambios de signo por un múltiplo par, en estecaso seria

SEA EL PLINOMIO 𝑃 𝑥 = 6𝑥5 − 5𝑥4 − 41𝑥3 + 71𝑥2 − 37𝑥 + 6DETERMINAR LAS POSIBILIDADES EN QUE PUEDEN PRESENTARSELAS RAÍCES DE P(X)

𝑃 𝑥 = +6𝑥5 − 5𝑥4 − 41𝑥3 + 71𝑥2 − 37𝑥 + 6

1 2 3 4Raíces reales positivas: 4, 2, 0

𝑃 −𝑥 = −6𝑥5 − 5𝑥4 + 41𝑥3 + 71𝑥2 + 37𝑥 + 6Raíces reales negativas: 1

1

Raíces reales Raíces

complejasTotal

Positivas Negativas

4 1 0 5

2 1 2 5

0 1 4 5

𝑃 𝑥 = 38𝑥8 + 41𝑥6 + 104𝑥4 + 11𝑥2 + 98

𝑃 𝑥 = +38𝑥8 + 41𝑥6 + 104𝑥4 + 11𝑥2 + 98Raíces reales positivas: 0

𝑃 −𝑥 = +38𝑥8 + 41𝑥6 + 104𝑥4 + 11𝑥2 + 98Raíces reales negativas: 0

Raíces reales Raíces

complejasTotal

Positivas Negativas

0 0 8 8

Sea 𝒑 𝒙 un polinomio en 𝒙 con coeficientes en 𝐑.

RAÍCES COMPLEJAS

Si 𝜶 = 𝒂 + 𝒃𝒊, con 𝒃 ≠ 𝟎, es una raíz de

𝒑(𝒙) entonces 𝜶 = 𝒂 − 𝒃𝒊 es otra raíz de 𝒑(𝒙).

Determinar los números reales a y b de manera que z=1+i sea raíz del polinomio

𝑝 𝑥 = 𝑥5 + 𝑎𝑥3 + 𝑏