Unidad 1 - Lección 1.2

Expresiones algebraicas

01/27/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 26

Actividad 1.2• Referencia del Texto: R-3. Problemas impares 9 al 53.

• Asignación 1.2 – R-3: Problemas 16, 26, 32, 38, 48, 54

• Referencia en el Web:

▪ Math2Me

• Suma y resta de polinomios

• Suma de expresiones algebraicas │ fracciones

• Reducir términos con parentésis│ejercicio 1

• Multiplicación de polinomios

• Multiplicación de polinomios│ejercicio 1

• Multiplicación de polinomios│ejercicio 6

• Multiplicación de polinomios│ejercicio 3

• Métodos de factorización

• Factorización por factor común

• Factorización por factor común│ejercicio 1

• Factorización por factor común│ejercicio 2

• Diferencia de cuadrados │ factorización

• Factorización por diferencia de cuadrados│ej 3

• Factorización de un trinomio x²+bx+c

• Factorización de un trinomio │ x²+bx+c

• Factorización de un trinomio ax²+bx+c

• Factorización de un trinomio │ ax²+bx+c

• Factorización de un trinomio ax²+bx+c│ejercicio 1

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS

01/27/2018

“Tres veces un número menos 5” o “El triple de un número menos 5”

3𝑥 − 5

variable

“Diez menos el doble de un número” o “El doble de un número menos que 10”

10 − 2𝑦

“Cinco veces la suma de un número y 4”

5(𝑧 + 4)

Expresión algebraica – Uno o la suma o resta de dos o más términos

Término - número, una variable o el producto de un número y variables.

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Simplificación de Expresiones Algebraicas

• Para simplificar expresiones algebraicas combine sus términos

semejantes.

• Términos semejantes comparten las mismas variables con los

mismos exponentes.

• Ejemplo

• 3y – 7y + 9y

• 4xy2 + 3xy2

• 7x2 + 3x+9x2

• 20x + 5 – 25x – 10

• -3xy2 + 5y - 8xy2

= 7xy2

= 16x2 + 3x

= 5y

= -11xy2 + 5y

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= -5x - 5

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Polinomios (en una variable)• Expresión algebraica compuesta de un término o una suma

finita de términos con una variable con exponentes enteros no negativos. …..Ejemplos

• Grado del polinomio con una variable es el exponente mayor

que la variable tiene. Un término compuesto sólo de una

constante es un polinomio de grado 0.

• No son polinomios:

Monomio

Binomio

Trinomio

Grado 2

Grado 5

Grado 6

𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 1

−3𝑧4 − 3𝑧6 − 12

−3

5𝑦5 − 3𝑦2

5𝑥2

Grado 3Polinomio

𝑥5 − 3𝑥−2 + 1𝑥2 + 1

𝑥3

Monomio Grado 0−4

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Evaluación de Expresiones algebraicas

• El valor de una expresión algebraica, es el valor que

adquiere cuando sus variables reciben un valor.

• Ejemplos:

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Si x = -2

= 5 + 7(−2)

= 5 + −14= −𝟗

= (−2)4+2(−2)3−7(−2)

= 16 + 2 −8 + 14

= 𝟏𝟒= 16 − 16 + 14

5 + 7𝑥

x4 + 2x3 - 7x

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OPERACIONES CON

POLINOMIOS

¿Es 5𝑥2 − 𝑥 − 5𝑥2 = −𝑥 ?

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Adición de polinomios

• 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 + (𝑥2 − 5𝑥 + 4)

• Solución: (Forma Vertical)

• −4𝑥2 + 𝑥 − 1 + (−𝑥2 − 9)

• Solución:

2𝑥2 + 3𝑥 + 1

𝑥2 − 5𝑥 + 4

3𝑥2 − 2𝑥 + 5

−4𝑥2 + 𝑥 − 1

− 𝑥2

−5𝑥2 + 𝑥 − 10

− 9

+

+

= 3𝑥2 − 2𝑥 + 5

= −5𝑥2 + 𝑥 − 10

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Subtracción de polinomios

• 2𝑥2 + 3𝑥 + 1 − (𝑥2 − 5𝑥 + 4)

• 2𝑥2 + 3𝑥 + 1

• −4𝑥2 + 𝑥 − 1 − (−𝑥2 − 9)

• −4𝑥2 + 𝑥 − 1

2𝑥2 + 3𝑥 + 1

− 𝑥2 + 5𝑥 − 4

𝑥2 + 8𝑥 − 3

−4𝑥2 + 𝑥 − 1

𝑥2

−3𝑥2 + 𝑥 + 8

9

+

+

( −𝑥2 + 5𝑥 − 4)+

+ ( 𝑥2 + 9)

= 𝑥2 + 8𝑥 − 3

= −3𝑥2 + 𝑥 + 8

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Multiplicación de Polinomios

• −3𝑥2

• (2𝑥 − 3)(−3𝑥 + 1)

• (𝑥2 + 𝑥 − 1)(−2𝑥 + 5)

2𝑥2 + 3𝑥 + 1 = −6𝑥4− 9𝑥3 − 3𝑥2

Propiedad Distributiva

= −6𝑥2 + 2𝑥 + 9𝑥 − 3

= −6𝑥2 + 11𝑥 − 3

= −2𝑥3 + 5𝑥2 − 2𝑥2 + 5𝑥 + 2𝑥 − 5

= −2𝑥3+ 3𝑥2 + 7𝑥 − 5

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Ejercicios de Práctica #1

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Sume

Reste

Multiplique

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FACTORIZACIÓN

Expresar como un producto …

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Ejemplo 1 – Máximo FC

• Factorice 16x2 + 20x

(4x)(4x) + (4x)(5)

• Factorice: 8x2y2 + 16x3y

(8x2y)y + (8x2y)2x

• Factorice: 60x5 + 24x3 + 36x2

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= 4x

= 8x2y

= 12x2( )

(4x + 5)

(y + 2x)

(5x3 + 2x + 3

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Ejemplo 2 – Máximo FC

• Factorice un factor negativo de la expresión:

a.

b.

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−𝑦5 − 6𝑦2 − 4 = −1 𝑦5 + −1 6𝑦2 + (−1)4

= −1 (𝑦5 + 6𝑦2 + 4)

= − (𝑦5 + 6𝑦2 + 4)

−3𝑦2 − 6𝑦 + 9 = −3 𝑦2 + −3 2𝑦 − −3 3

= −3 (𝑦2 + 2𝑦 − 3)

= −3(𝑦2 + 2𝑦 − 3)

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Ejemplo 3 -Factorizando por agrupación

Factorice: 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 6𝑥 + 6𝑦

(𝑎𝑥 + 𝑎𝑦) + (6𝑥 + 6𝑦) =

𝑎(𝑥 + 𝑦) + 6(𝑥 + 𝑦) =

Factorice: 𝑚𝑝2 + 7𝑚 + 3𝑝2 + 21(𝑚𝑝2 + 7𝑚) + (3𝑝2 + 21) =

𝑚(𝑝2 + 7)• Otra manera:

𝑚𝑝2 + 3𝑝2 + 7𝑚 + 21 =(𝑚𝑝2 + 3𝑝2) + (7𝑚 + 21) =𝑝2(𝑚 + 3) + 7(𝑚 + 3) =

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(𝑥 + 𝑦)(𝑎 + 6)

Prof. José G. Rodríguez Ahumada

(𝑝2 + 7)(𝑚 + 3)

(𝑚 + 3)(𝑝2 + 7)

+ 3(𝑝2+ 7) =

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Ejercicios de Práctica #2

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Factorice el MFC Factorice por agrupación

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• Factorice:

𝑥2 − 3𝑥 − 10

01/27/2018 Prof. José G. Rodríguez Ahumada

= (𝑥 + )(𝑥 + )

−10 × 1 = −10−10 + 1 = −9

𝑝 + 𝑞 𝑝 ∙ 𝑞

𝑥2 − 3𝑥 − 10 = (𝑥 − 5 )(𝑥 + 2)

10 × −1 = −1010 + −1 = 9

5 × −2 = −105 + −2 = 3

−5 × 2 = −10−5 + 2 = −𝟑

Factorización de trinomios

𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

Determine dos factores 𝑝, 𝑞 de

-10 que sumen a -3

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Ejercicios de Práctica #3

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Factorice el trinomio

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Factorización de trinomios

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎

• Ejemplo 1 - Factorice

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2𝑥2 + 15𝑥 + 18

Paso 1 - Identifique 𝑎, 𝑐

𝑎 = 2 , 𝑐 = 18

Paso 2 - Calcule 𝑎𝑐𝑎𝑐 = 2 ∙ 18 = 36

Paso 3 - Determine dos factores de 36 que sumen a 15

12 × 3 = 3612 + 3 = 15

𝑝 + 𝑞 𝑝 ∙ 𝑞

Paso 4 - Re-escriba el término lineal usando estos números 𝑝, 𝑞

2𝑥2 + 15𝑥 + 18 = 2𝑥2 + 12𝑥 + 3𝑥 + 18

= (2𝑥2 + 12𝑥)

= 2𝑥(𝑥 + 6) + 3(𝑥 + 6)

+ (3𝑥 + 18) Agrupe términos

Paso 5 - Factorice por agrupación

= (2𝑥 + 3)(𝑥 + 6)

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Ejercicios de Práctica #4

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Factorice el trinomio

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Diferencia de cuadrados: a2 – b2 = (a - b)(a + b)

• Factorice 𝑥2 – 9𝑥2 – 32 =

4𝑥2 – 25 =

(2𝑥)2 – (5)2 =

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(𝑥 – 3)(𝑥 + 3)

(2𝑥 – 5)(2𝑥 + 5)

16𝑥4 − 1 = ( )2 − ( )24𝑥2 1

= (4𝑥2 − 1)(4𝑥2 + 1)

= (2𝑥 − 1)(2𝑥 − 1) (4𝑥2 + 1)

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Diferencia de Cubos

a3 – b3 =(a - b)(a2 + ab + b2)

Factorice:

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8𝑥3 − 1 = ( )3 − ( )32𝑥 1

= (2𝑥 − 1) (4𝑥2+ 2𝑥+ 1)

64𝑦3 − 27= ( )3 − ( )34𝑦 3

= (4𝑦 − 3)(16𝑦2 + 12𝑦 + 9)

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Suma de Cubos

a3 + b3 =(a + b)(a2 - ab + b2)

Factorice:

01/27/2018

8𝑥3 + 1 = ( )3 + ( )32𝑥 1

= (2𝑥 + 1) (4𝑥2 − 2𝑥+ 1)

125𝑧3 + 8𝑥3 = ( )3 + ( )35𝑧 2𝑥

= (5𝑧 + 2𝑥)(25𝑧2 − 10𝑥𝑧 + 4𝑥2)

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Ejercicios de Práctica #5

Prof. José G. Rodríguez Ahumada01/27/2018

Factorice

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Ejercicios del Texto

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Ejercicios del Texto …..

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