GRADO Y VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

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- - 41 - GRADO DE UN POLINOMIO a) GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (GA) Esta dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos. Ejemplo: El mayor es 8, luego GA = 8 b) GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (GR) Esta dado por el mayor de los exponentes de la variable referida. Ejemplo : P = (x,y) = 3x 4 y- 5x 3 y 7 + 2x 5 y- y 4 GRx = 5 GRy = 7 EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1) Escribir los grados correspondientes a cada una de las expresiones dadas. EXPRESIÓN GA GR x GRy GR z GR t -5x 7 yz 4 12 7 1 4 - -2 z y x 3 2 7 6 2 3 1 - 5 1 xy 8 t 10 1 8 - 1 X + y 1 1 1 - - 2x 2 +x+y 2 2 1 - - 2) ¿Cuál es el grado de la siguiente expresión? P (x) = 1 + x +2x 2 + 3x 3 + 4x 4 +…… a) 4 b) 10 c) 6 d) 8 e) No tiene grado Solución : Es una expresión de infinitos términos por lo tanto no es polinomio y no tiene grado. Respuesta (e) 3) Dar el grado del siguiente polinomio P (x) = 6 + x m - 3 2 x m+7 + 5 1 x m+3 a) m b) 6 c) 10 d) m+7 e) 12 Solución : El grado o grado absoluto, está dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos. El polinomio es un trinomio de grado m+7. Respuesta ( d ) 4. Hallar m si el siguiente polinomio es de grado absoluto igual a 10. P (x) = 7 +5x m+6 - 3x m+7 a) 1 b) 5 c) 3 d) 4 e) 2 Solución : En el trinomio el mayor grado absoluto de sus términos es “m+7”, m + 7 = 10 m = 3 Respuesta ( c ) 5. Calcular “a” si el siguiente polinomio es de cuarto grado. P (x) = 3 3 4 2 1 9 2 a a x x a) 7 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5 Solución : En el trinomio el mayor grado absoluto de sus términos es a - 3 a- 3 = 4 , a = 7

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GRADO DE UN POLINOMIO a) GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO (GA) Esta dado por el mayor de los grados absolutos de sus términos. Ejemplo: 3)Solución : Es una expresión de infinitos términos por lo tanto no es polinomio y no tiene grado. Respuesta (e) Dar el grado del siguiente polinomio P(x) = 6 + xm - 3 a) m d) m+7 Solución : b) 6 e) 122 xm+7 +1 m+3 x 5c) 10El mayor es 8, luego GA = 8 b) GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO (GR) Esta dado por el mayor de los exponentes de la variable referida.

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GRADO DE UN POLINOMIO

a) GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO(GA)

Esta dado por el mayor de los gradosabsolutos de sus términos.

Ejemplo:

El mayor es 8, luego GA = 8

b) GRADO RELATIVO DE UN POLINOMIO(GR)

Esta dado por el mayor de los exponentesde la variable referida.

Ejemplo :

P = (x,y) = 3x4y - 5x3y7 + 2x5y - y4

GRx = 5 GRy = 7

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

1) Escribir los grados correspondientes a cadauna de las expresiones dadas.

EXPRESIÓN GA GRx GRy GRz GRt

-5x7yz4 12 7 1 4 -

-2 zyx 327 6 2 3 1 -

5

1xy8t 10 1 8 - 1

X + y 1 1 1 - -

2x2+x+y 2 2 1 - -

2) ¿Cuál es el grado de la siguiente expresión?

P (x) = 1 + x +2x2 + 3x3 + 4x4 +……

a) 4 b) 10 c) 6d) 8 e) No tiene grado

Solución :

Es una expresión de infinitos términos por lotanto no es polinomio y no tiene grado.

Respuesta (e)

3) Dar el grado del siguiente polinomio

P(x) = 6 + xm - 3 2 xm+7 +5

1xm+3

a) m b) 6 c) 10d) m+7 e) 12

Solución :

El grado o grado absoluto, está dado por elmayor de los grados absolutos de sustérminos.El polinomio es un trinomio de grado m+7.

Respuesta ( d )

4. Hallar m si el siguiente polinomio es degrado absoluto igual a 10.

P(x) = 7 +5xm+6 - 3xm+7

a) 1 b) 5 c) 3d) 4 e) 2

Solución :

En el trinomio el mayor grado absoluto de

sus términos es “m+7”,

m + 7 = 10

m = 3

Respuesta ( c )

5. Calcular “a” si el siguiente polinomio es de

cuarto grado.

P(x) = 3 34

2

192 aa xx

a) 7 b) 2 c) 4d) 6 e) 5

Solución :

En el trinomio el mayor grado absoluto de

sus términos es a - 3

a - 3 = 4 , a = 7

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CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOS

Respuesta ( a )

1) Escribir los grados correspondientes a cadauna de las expresiones dadas.

EXPRESIÓN GA GRx GRy GRz GRt 6x3yz4

X3 +xy - t5

437

31

tyzxt

M(x)= 9m4x

P(x;y)= 34373 zxxy

2) Hallar m+n si el siguiente polinomio es degrado 8 respecto a “y” y de 3° gradorespecto a “x”.

P(x,y)=2132

3

1211 nmnmm yxyxx 1 +

a) 9 b) 12 c) 15d) 11 e) 17

3) Del siguiente polinomio se conocen lossiguientes datos:

GRx = 7 ; GRy = 8

P(x,y)=21 532 nnmm yyxx

¿Cuál es el GA de P(x,y)?

a) 12 b) 10 c) 9d) 14 e) 11

4) Hallar “m” si el siguiente polinomio es degrado absoluto igual a 14.

P(x)=mmm xxx

3

53616 89

a) 23 b) 6 c) 14d) -9 e) 8

5. Hallar la suma de coeficientes de:P(x) si este polinomio es grado 7

P(x)=42

3

13 mmm xxx

a)3

17 b)

3

5c)

3

11

d)3

23 e)

3

23

Page 3: GRADO Y VALOR NUMÉRICO DE UN  POLINOMIO

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REFORZANDO

MIS CAPACIDADES

1. Escribir los grados correspondientes a cadauna de las expresiones dadas.

EXPRESIÓNGA GRx GRy GRz GRt

0,35tz

1-9ytz

3x2y-2 222 tty

M(x,y)= 77726 yxa

E(y,t)= 2y2 – 3t3

2. ¿Cuál es el grado absoluto de la siguienteexpresión?

P = (x,y) = 6x4y5 - 0,2x9y + 18xy20

a) 9 b) 21 c) 40d) 20 e) 10

3. ¿Cuál es el grado absoluto de la siguienteexpresión?

P(x,y) = 2 91834 21053 yxyxyx

a) 8 b) 5 c) 18d) No tiene grado e) 10

4. Dar el grado del siguiente polinomio.

P(x,y)=0,3 559479 28,023

12 yxyxyx

a) 16 b) 13 c) 10d) No tiene grado e) 39

5. Dar el grado del siguiente polinomio.

M(x) = 10 +xm-5 - 2 mm xx8

13 2

a) m b) m+2 c) m-5

d) No tiene grado e) 1

6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sonciertas?

I. Un polinomio es una expresiónalgebraica racional entera.

II. El grado es una característica sólo de lospolinomios.

III. Si los coeficientes de un polinomio sonnúmeros reales, entonces se trata de unpolinomio en R.

IV.Al establecer el grado de un polinomiosólo se toman en cuenta los exponentesde las variables.

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo IIId) I y II e) Todas

7. Calcular “a” si el siguiente polinomio es de8° grado.

P(x) = 6 38

7

1

3

15 aa xx

a) 5 b) 0 c) 8d) No tiene grado e) 11

8. Hallar la suma de coeficientes de P(x) si estepolinomio es de grado 10.

P(x) = 2mxm - 32

2

1 mm xx

a) 14 b) 28 c)2

25

d)3

25 e) 7

9. Hallar la suma de coeficientes de P(x)

sabiendo que es de GA =12.

P = (x) = 2a2xa+1 - 3axa+5 + 7axa+10

a) 14 b) 12 c) 8d) 6 e) 16

10. Hallar el valor de m si el polinomio.

P(x,y) = es de GRx = 10

P(x,y)=23871 7329 yxyx mm

a) 1 b) 5 c) 3

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d) 7 e) 6

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Ejemplo:

P (x)= 2x3 + 3x2 + 3; x = 2

Hallar V.N

P (2)= 2(23) + 3(22) + 3

= 16 + 12 + 3 = 31

El V.N de un polinomio es el resultado desustituir x por a.

EJEMPLO DE APLICACIÓN

1) Hallar el V.N de 3xy2 + 3x2y para x = 6; y= -2

a) -144 b) -188 c) -288d) -88 e) -44

Solución :

3(6) (2)2 + 3 (-6)2 (-2)

= -18(4) – 6(36)= -72 – 216= -288

Rpta. ( c )

2) Calcular el V.N de la expresión E para x = -3, y = -2 y m = 1

E =2

232

yx

myx

a)19

1 b)

19

3 c) +

19

3

d) 19 e) 0

Solución :

E =2)2()3(

)1()2()3(232

E =19

3

289

126

Rpta. ( b )

3) Calcular el V.N de S para a= 3 y b= -2.

)(:)( 2432 babaS

a) -2 b)3

1c)

5

1

d) -1 e)18

1

15

5

49

83

23

2324

32

S

Rpta. ( d )

4) El V.N. de F es 7 para x = 1, y = 2 ¿Cuáles el valor de a?

F = ax2 + y2

a) 6 b) 7 c) 3d) 4 e) 5

Solución :

F = a (1)2 + (2)2 = 7

a + 4 = 7

a = 3Rpta. ( c )

5) ¿Cuál de las siguientes afirmaciones esfalsa?I. El valor numérico (V.N) de una

expresión algebraica es siempre unnúmero entero.

II. Dado P (x) = x2 + 2x + a2 las únicasvariables son a y x.

III. M(a,x)=3 2 a2x7 es un monomio cuyaúnica variable es x.

IV. En el monomio M(x) = -7 7511 xa el

coeficiente es -7 11

a) Sólo I. b) Sólo II. c) Sólo III

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CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOS

d) I y II e) Todas

Rpta. ( e )

1. Dado P(x) = 3x3+2x2+x+4; Hallar P(2) - P(1)

Rpta. 28

2. Dado Q(x) = 2x3 – 3x2 + 5x – 3, hallarQ (3) - Q (4)

Rpta. 58

3. Si P(x;y) = x2 + 2xy –y2 . Hallar P(2;1) + P(1;2)

Rpta. 8

4. Si Q(x;y) = 3x3 – 2x2 y + 3xy2 – 2y3 ; hallarQ (3;2) - 2Q (2;3)

Rpta. 65

5. El V.N de x2 + xmy + y2 para x = 18 e y

= 2 es 50. Calcular el valor que se ledebió haber dado a m.

a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 10

6. Si P(x+1) = 3x – 2Calcular ))2(()2( PPPpP

a) 15 b) -13 c) 0d) 12 e) -10

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REFORZANDO

MIS CAPACIDADES

1. Si P(x) = 3x-1, calcular P (1) P(0)

2. Si P(x) = 2x+1,

calcular 1)0(

)1( P

P

P

3. Sea P(x) = 3x+1; Q(x) = 2x-3

Calcular:)(

)3(

)2(

)0(

oP

Q

P

P

4. Si P(x) = 12

x y Q(x) = 1

3

x

Calcular:)8()7(

)3()2(

1

.

QP

QP

5. Si P(x) = x2+2x+1 y Q(x) = 2x-1 halla

)1()3( QPQP

6. Si P(x) = x2+2x+1,halla )5()4( PP

7. Si P(x) = 2x + 4, Q(x) = P(x+1). Calcula Q(1)

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

8. Si P(x) = 3x + 1

Q(x) = P(X+1) .Calcular

Q )(oQ

a) 2 b) 4 c) 8d) 16 e) 32

9. Si el polinomio P(x) = x2 - 6x +9 determinar

el valor de)4()3(

)3()2(

PP

PP

a)7

5 b) 1 c)

3

2

d)4

3 e)

4

1

10. Sabiendo que:f(x-1) = (1 + x) (1 + x2) (1 +x3)(1 + x4)(1

+ x5)

Calcule f(o)

a) 1 b) 0 c) -1d) 2 e) 32