POLINOMIOS
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1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008 Hacer clic en la pantalla para avanzar POLINOMIOS p(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x2 + p 3 x3 + … + p n xn • p n ≠ 0 • n es el grado del polinomio • p i son los coeficientes del polinomio • p 0 es el término independiente Operaciones con polinomios Dados dos polinomios: p(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x2 + p 3 x3 + … + p n xn de grado n q(x) = q 0 + q 1 x + q 2 x2 + q 3 x3 + … + q m xm de grado m • Suma p(x) + q(x) = (p 0 + q 0 ) +(p 1 + q 1 )x + (p 1 + q 1 )x2 + … grado de p(x) + q(x): máx (m, n) • Multiplicación p(x) · q(x) = (p 0 q 0 ) +(p 1 q 0 + p 0 q 1 )x + (p0q 2 + p 1 q 1 + p 2 q 0 )x2 + … + (p n q m )xm+n grado de p(x) · q(x): m + n División entera de polinomios p(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x2 + p 3 x3 + … + p n xn de grado n q(x) = q 0 + q 1 x + q 2 x2 + q 3 x3 + … + q m xm de grado m tal que n ≥ m. Dividir consiste en hallar c(x) y r(x) que cumplen: p(x) = q(x) · c(x) + r(x) tal que grado r(x) < grado q(x) Si r(x) = 0 la división es exacta. Grado de c(x) = n - m
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POLINOMIOS. p(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + p 3 x 3 + … + p n x n p n ≠ 0 n es el grado del polinomio p i son los coeficientes del polinomio p 0 es el término independiente. División entera de polinomios - PowerPoint PPT Presentation
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POLINOMIOS
p(x) = p0 + p
1x + p
2x2 + p
3x3 + … + p
nxn
• pn ≠ 0
• n es el grado del polinomio
• pi son los coeficientes del polinomio
• p0 es el término independiente
Operaciones con polinomios
Dados dos polinomios:
p(x) = p0
+ p1
x + p2
x2 + p3
x3 + … + pn
xn de grado n
q(x) = q0
+ q1
x + q2
x2 + q3
x3 + … + qm
xm de grado m
• Suma
p(x) + q(x) = (p0
+ q0
) +(p1
+ q1
)x + (p1
+ q1
)x2 + …
grado de p(x) + q(x): máx (m, n)
• Multiplicación
p(x) · q(x) = (p0
q0
) +(p1
q0
+ p0
q1
)x + (p0q2
+ p1
q1
+ p2
q0
)x2 + … + (pn
qm
)xm+n
grado de p(x) · q(x): m + n
División entera de polinomios
p(x) = p0 + p
1x + p
2x2 + p
3x3 + … + p
nxn de grado n
q(x) = q0 + q
1x + q
2x2 + q
3x3 + … + q
mxm de grado m
tal que n ≥ m. Dividir consiste en hallar c(x) y r(x) que cumplen:
p(x) = q(x) · c(x) + r(x) tal que grado r(x) < grado q(x)
Si r(x) = 0 la división es exacta. Grado de c(x) = n - m
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TEOREMA DEL RESTO
Descomposición factorial
Teorema del resto
El resto de la división de p(x) por el binomio x – a es igual al valor numérico de p(x) para x = a, es
decir, p(a).
Las raíces o ceros de un polinomio p(x) son los valores de x que hacen que el valor numérico de
p(x) es igual a 0. Un número real a es raíz de p(x) si p(a) = 0.
De la misma manera, si a es una raíz de p(x), entonces p(x) es divisible por (x - a).
Descomposición factorial
Cualquier polinomio puede descomponerse como producto de polinomios irreducibles.
Un polinomio es irreducible si sólo es divisible por él mismo o por un polinomio de grado 0.
Polinomios irreducibles son los binomios del tipo x – a, los que no de grado mayor de uno que no
tienen raíces, etc.
División de p(x) entre el binomio x - a
Para dividir p(x) entre q(x) = x – a usamos la regla de Ruffini:
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FACCIONES ALGEBRAICAS
Fracción algebraica
Dos fracciones y son equivalentes si:
p(x) · t(x) = q(x) · s(x)
Para simplificar una fracción algebraica, se descomponen factorialmente numerador y denominador
y eliminar los factores comunes de ambos, si los hubiera:
p ( x )
q ( x ) =
p1
( x ) . r ( x )
q1
( x ) . r ( x ) =
p1
( x )
q1
( x )
p ( x )
q ( x ) con q( x ) ≠ 0
p ( x )
q ( x ) y
s ( x )
t ( x )
Operaciones con fracciones algebraicas
Suma y resta de fracciones algebraicas
Se reducen a común denominador, calculando el mínimo común múltiplo de ambos denominadores. Después se suman
los numeradores:
Multiplicación de fracciones algebraicas
División de fracciones algebraicas
siempre que s(x) ≠ 0
p ( x )
q ( x ) +
s ( x )
t ( x ) =
p1
( x )
m .c. m .[ q ( x ) , t ( x ) ] +
s1
( x )
m .c. m .[ q ( x ) , t ( x ) ]
= p
1( x ) + s
1( x )
m .c. m .[ q ( x ) , t ( x ) ]
p ( x )
q ( x ) . s ( x )
t ( x ) =
p ( x ) . s ( x )
q ( x ) . t ( x )
p ( x )
q ( x ) :
s ( x )
t ( x ) =
p ( x ) . t ( x )
q ( x ) . s ( x )
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IGUALDADES, IDENTIDADES Y ECUACIONES
• Una igualdad algebraica está formada por dos
expresiones algebraicas unidas por el signo igual (=).
• Una identidad algebraica es una igualdad algebraica
que se verifica para cualquier valor que se asigne a
las letras que en ella aparecen, es decir, una igualdad
siempre verdadera.
• Una ecuación algebraica es una igualdad algebraica
que solo se verifica para determinados valores de sus
indeterminadas, que se denominan incógnitas.
Ecuaciones bicuadradas
Caso particular de ecuaciones de grado superior a dos:
ax4 + bx2 + c = 0
Efectuamos el cambio x2 = t:
at2 + bt + c = 0
Resolvemos por el procedimiento habitual de las ecuaciones de segundo grado. Cada una de las
soluciones de t da lugar a dos soluciones de x, es decir:
x = t
• Ecuaciones de primer grado
• Ecuaciones de segundo grado
discriminante Δ = b2 – 4ac
O Si Δ > 0, existen dos soluciones
O Si Δ = 0, existe una única solución, llamada raíz
doble
O Si Δ < 0, no existe ninguna solución
• Ecuaciones de grado superior a dos
p(x) = 0, en general, se factoriza p(x).
a x 2 + b x + c = 0 x = - b b
2 - 4a c
2a
a x + b = 0 x = - b
a
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ECUACIONES
Ecuaciones irracionales
Son aquellas cuya incógnita aparece bajo el signo radical. Para resolverlas se aísla el término irracional y se elevan los dos miembros a la potencia que indique el índice de la raíz. Puede ser que se tenga que repetir este
proceso varias veces. Puedenaparecer soluciones nuevas que no lo sean de la ecuación original. Hay que comprobarlas todas.
Ecuaciones exponenciales
La incógnita se encuentra en el exponente. Para resolverlas, usamos alguno de estos métodos:
• Expresar los dos miembros como potencias de la
misma base
• Realizar cambios de variable
• Tomar logaritmos en los dos miembros de la ecuación
Ecuaciones logarítmicas
La incógnita se encuentra dentro de una expresión logarítmica.
Para resolver estas ecuaciones se utilizan propiedades de los logaritmos, según
convenga.
Ecuaciones racionales
Son las que presentan fracciones algebraicas. Se resuelven reduciéndolas a común denominador. Se eliminan los denominadores y se soluciona la ecuación que queda.
Pueden aparecer soluciones nuevas que no lo sean de la ecuación original. Hay que comprobarlas todas.p ( x ) + r ( x ) m .c. m .[ q ( x ), t ( x )] = s
p ( x )
q ( x ) + r( x ) =
s ( x )
t ( x ) ;
p
1( x )
m .c. m .[ q ( x ) , t ( x ) ] +
r ( x ) . m .c. m . [ q ( x ) , t ( x ) ]
m .c. m .[ q ( x ) , t ( x ) ] =
s1
( x )
m .c. m .[ q ( x ) , t ( x ) ] ;
1.
1( x )
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INECUACIONES
Inecuaciones con una incógnita
• Inecuaciones de primer grado: p(x) < 0, p(x) > 0, p(x) ≤ 0 y p(x) ≥ 0
Se opera en los dos lados de la desigualdad para despejar la incógnita, recordando que si se multiplica o divido por
un número negativo, la desigualdad cambia de dirección.
• Inecuaciones de segundo grado: se factoriza el polinomio p(x) = a · (x – x1
) · (x – x2
), donde x1
y x2
son las raíces
de p(x).
El signo de p(x) cambiará en x1
y x2
. Los intervalos de signo constante son (-∞,x1
), (x1,
x2
) y (x2,
+∞). Cogeremos los
intervalos que cumplan la desigualdad. Si no es estricta (<, >) los intervalos serán abiertos. Si es estricta (≥, ≤), los
intervalos serán cerrados.
Inecuaciones racionales
Son del tipo:
• se seleccionan los intervalos que hagan que el numerador y el denominador tengan el mismo signo
• se seleccionan los intervalos que hagan que el numerador y el denominador tengan distinto signo
• En el caso de desigualdades no estrictas, , también serán solución los valores de la incógnita que
anulen el polinomio del numerador, es decir, que cumplan que p(x) = 0
• En todos los casos hay que tener en cuenta que q(x) no puede ser cero
p ( x )
q ( x ) < 0,
p ( x )
q ( x ) > 0,
p ( x )
q ( x ) 0 y
p ( x )
q ( x ) 0
p ( x )
q ( x ) > 0 ó
p ( x )
q ( x ) 0
p ( x )
q ( x ) < 0 ó
p ( x )
q ( x ) 0
, p ( x )
q ( x ) 0 y
p ( x )
q ( x ) 0
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SISTEMAS DE ECUACIONES
Clasificación de los sistemas de ecuaciones
• Por el grado de las incógnitas:
O Sistema lineal: si todas las ecuaciones son lineales
O Sistema no lineal: si alguna de las ecuaciones no es lineal (cuadrados, cubos, raíces, etc.)
• Según las soluciones:
O Sistema compatible: es el que tiene solución:
• Sistema compatible determinado: solución única
• Sistema compatible indeterminado: múltiples soluciones
O Sistema incompatible: no tiene solución.
Sistemas de ecuaciones lineales
• Para sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas se utilizan los métodos de sustitución, igualación
y reducción.
• Para más de dos ecuaciones, se utiliza el método de Gauss o de triangulación: consiste en aplicar el método
de reducción, de tal manera que en una de las ecuaciones sólo quede una incógnita, en otra dos incógnitas, entre
las que se encuentre la que se ha mantenido en la ecuación anterior, en otra queden tres incógnitas, entre las que
estén las dos de la ecuación anterior, etc.
Sistemas de ecuaciones no lineales
No hay procedimiento estándar para resolver este tipo de sistemas de ecuaciones. En general se emplea el método de sustitución. Si existe alguna ecuación lineal, lo más fácil es despejar en dicha ecuación y sustituir en las
demás.
