Raices polinomios

7/23/2019 Raices polinomios

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CURSO DE ÁLGEBRA PARA PÁGINA WEB UTEM. PROFESOR RESPONSABLE:

CARLOS A. SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

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FACULTAD DE CS. NATURALES, MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROYECTO DE FACULTAD "ÁLGEBRA: una propuesta metodológica de aprendizaje autónomo en página web"

SEMANA N° 11: (04 HORAS CÁTEDRA)

UNIDAD V : POLINOMIOS Y TEORÍA DE ECUACIONES

TEMA 4: RAÍCES O CEROS DE POLINOMIOS

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la cantidad posible de raíces reales quepuede tener un polinomio de grado 8 Þ

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar el número o cantidad de variaciones designo de un polinomio.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar el número o cantidad posible de raícesreales positivas que puede tener un polinomio.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar el número o cantidad posible de raícesreales negativas que puede tener un polinomio.

OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar los divisores de un número entero.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar las posibles raíces racionales de unpolinomio.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la cota superior de las raíces reales (SIEXISTEN) de un polinomio.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar la cota inferior de las raíces reales (SIEXISTEN) de un polinomio.OBJETIVO OPERACIONAL: Determinar una raíz aproximada de un polinomioque no tenga raíces racionales, pero sí irracionales.

OBJETIVO OPERACIONAL: Comprobar en un polinomio con coeficientesreales que si este tiene una raíz compleja, su conjugado también es una raízdel polinomio.OBJETIVO OPERACIONAL: Factorizar un polinomio en el cuerpo de los núme-ros complejos.

(4.1) .TEOREMA Si es un polinomio de grado Entonces tiene a lo :ÐBÑ 8. :ÐBÑmás raíces reales no necesariamente todas distintas.8

(4.2) :EJEMPLO(4.2.1) El polinomio tiene como máximo 3 :ÐBÑ œ #B $B #B #"$ #

raíces reales, es decir puede tener 0 ó 1 ó 2 ó 3 raíces reales.(4.2.2) El polinomio tiene como máximo 4 :ÐBÑ œ $B #B %B # B$ % #

raíces reales, es decir puede tener 0 ó 1 ó 2 ó 3 ó 4 raíces reales.(4.2.3) El polinomio tiene como máximo 8 :ÐBÑ œ B $B B "#) & $

raíces reales, es decir puede tener 0 ó 1 ó 2 ó 3 ó 4 ó 5 ó 6 ó 7 u 8 raícesreales.





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(4.3) .REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES(4.3.1) :DEFINICIÓN Sea un polinomio de grado previamente ordenado en :ÐBÑ 8potencias decrecientes de .B

Diremos que hay una INVERSIÓN O VARIACIÓN DE SIGNO cuandodos términos consecutivos del polinomio son de signo contrario.

/4.3.2) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ #B $B #B #"El polinomio está ordenado en$ #

potencias decrecientes de y tiene 2 variaciones de signo.B à33Ñ :ÐBÑ œ $B #B %B # BEl polinomio NO está ordenado en$ % #

potencias decrecientes de ordenándolo quedaB à :ÐBÑ œ #B $B %B B #% $ #

y tiene 1 variación de signo.333Ñ :ÐBÑ œ B $B B B B "#El polinomio está ordenado en) & $ #

potencias decrecientes de y tiene 4 variaciones de signo.B à

(4.3.3) :REGLA DE LOS SIGNOS Si es un polinomio de grado previamente ordenado en :ÐBÑ 8potencias decrecientes de .B Entonces:

(4.3.4) :REGLA N° 1 El NÚMERO DE RAÍCES REALES POSITIVAS de es igual al :ÐBÑnúmero de variaciones de signo de o bien este número disminuído :ÐBÑen un entero par.NOTAR QUE EL NÚMERO DE VARIACIONES DE SIGNO SE ESTUDIA EN :ÐBÑ

(4.3.5) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ #B $B #B #"El polinomio está ordenado en$ #

potencias decrecientes de y tiene 2 variaciones de signo.B à POR LO TANTO, este polinomio PUEDE TENER 0 ó 2 raíces reales positivas.33Ñ :ÐBÑ œ $B #B %B # BEl polinomio NO está ordenado en$ % #


y tiene 1 variación de signo. POR LO TANTO, este polinomio TIENE 1 raíz real positiva.333Ñ :ÐBÑ œ B $B B B B "#El polinomio está ordenado en) & $ #

potencias decrecientes de y tiene 4 variaciones de signo.B à POR LO TANTO, este polinomio PUEDE TENER 0 ó 2 ó 4 raícesreales positivas.





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(4.3.6) : El NÚMERO DE RAÍCES REALES NEGATIVAS deREGLA N° 2 :ÐBÑ :Ð BÑ es igual al número de variaciones de signo de o bien estenúmero disminuído en un entero par.NOTAR QUE EL NÚMERO DE VARIACIONES DE SIGNO SE ESTUDIA EN :Ð BÑ

(4.3.7) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ #B $B #B #"El polinomio está ordenado en$ #

potencias decrecientes de .B tiene 1 variación de signo. :Ð BÑ œ #B $B #B #"$ #

POR LO TANTO TIENE 1 raíz real negativa. :ÐBÑ33Ñ :ÐBÑ œ $B #B %B # BEl polinomio NO está ordenado en$ % #


y tiene 3 variaciones de signo. :Ð BÑ œ #B $B %B B #% $ #

POR LO TANTO, TIENE 1 ó 3 raíces reales negativa. :ÐBÑ333Ñ :ÐBÑ œ B $B B B B "#El polinomio está ordenado en) & $ #

potencias decrecientes de .B tiene 2 variaciones de signo. :Ð BÑ œ B $B B B B "#) & $ #

POR LO TANTO, TIENE 0 ó 2 raíces reales negativa. :ÐBÑ ( NOTAR QUE LAS CONCLUSIONES SON SIEMPRE PARA ) :ÐBÑ

(4.4) :RAÍCES RACIONALES(4.4.1) Sea un polinomio de grado con COEFICIENTES ENTEROS :ÐBÑ 8tal que ; :ÐBÑ œ + + B + B Þ Þ Þ + B

! " # 8# 8 + −3 ™

Si tiene una raíz racional de la forma :ÐBÑ Þ : ;

Entonces es un divisor de y es un divisor de : ; Þ+ +! 8

(4.4.2) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ #B $B #B #"Sea el polinomio .$ #

divisores de+!

œ #" #" À „ " à „ $ à „ ( à „ #"

divisores de+$

œ # # À „ " à „ #

POSIBLES FRACCIONES RACIONALES : ; : ; # #

" $„ " à „ à „ $ à „

„ ( à „ à „ #" à „( #"# #

CONCLUSIÓN: Si este polinomio tiene raíces racionales, esta es algunao algunas de las anteriores.

33Ñ :ÐBÑ œ #B $B %B B #Sea el polinomio % $ #

divisores de+!

œ # # À „ " à „ # divisores de+

% œ # # À „ " à „ #

POSIBLES FRACCIONES RACIONALES : : ; #

"„ " à „ à „ #

: El teorema dice que si este polinomio tiene raícesCONCLUSIÓNracionales, esta es alguna o algunas de las anteriores.





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333Ñ :ÐBÑ œ B $B B B B "#Sea el polinomio ) & $ #

divisores de+!

œ "# "# À „ " à „ # à „ $ à „ % à „ ' à „ "#

divisores de+)

œ " " À „ "

POSIBLES FRACCIONES RACIONALES : : ; „ " à „ # à „ $ à „ % à „ ' à „ "#

: El teorema dice que si este polinomio tiene raícesCONCLUSIÓNracionales, esta es alguna o algunas de las anteriores.

(4.5) :RAÍCES REALES(4.5.1) :PROPIEDAD Si es un polinomio con COEFICIENTES ENTEROS tal que :ÐBÑ

tiene una raíz de la forma donde es un racional y es+ , + ,È È irracional.

Entonces también es raíz de la ecuación.+ ,È

(4.5.2) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ B #B " " # à " #tiene por raíces a# È È 33Ñ :ÐBÑ œ B B *B &B #% $ #

tiene por raíces a # à " à # $ à # $È È 333Ñ :ÐBÑ œ B ""B %#B &%B &#B &'& % $ #

tiene por raíces a " à $ & à $ & à $ 3 & à $ 3 &È È È È

(4.5.3) COTAS PARA LAS RAÍCES REALES DE UN POLINOMIO Si es un polinomio de grado con coeficientes reales tal :ÐBÑ 8que con y sea :ÐBÑ œ + + B + B Þ Þ Þ + B + ! 5 !

! " # 8 8# 8 Þ

Entonces

(4.5.4) :REGLA 1 Si la tercera fila de la división sintética con como pivote no tiene5números negativos, entonces es una cota superior de las raíces reales5de . :ÐBÑ

(4.5.5) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ #B $B "!B "& $ #

:COTAS DE LAS RAICES REALES

:COTA SUPERIOR NO.5 œ " À " # $ "! "&

# & &# & & #!

NO.5 œ # À # # $ "! "&% "% )

# ( % (





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SI.5 œ $ À $ # $ "! "&' #( &"

# * "( $'

Por lo tanto; es cota superior de las raíces de ; ya que el5 œ $ :ÐBÑ

tercer nivel de la tabla NO tiene cambios de signo y además no esB œ $

raíz.

33Ñ :ÐBÑ œ 'B "(B "($ #


:COTA SUPERIOR

NO.5 œ " À " ' "( ! "(' * *

' * * )

NO.5 œ # À # ' "( ! "("# "! #!

' & "! $

SI.5 œ $ À $ ' "( ! "(") $ *

' " $ #'


tercer nivel de la tabla NO tiene cambios de signo y no es raíz.B œ $

333Ñ :ÐBÑ œ #B "$B "$B "&$ #

:COTAS DE LAS RAICES REALES :COTA SUPERIOR 5 œ " " # "$ "$ "&

# "& ## "& # "(

Por lo tanto; es cota superior de las raíces de ; ya que el5 œ " :ÐBÑ

tercer nivel de la tabla NO tiene cambios de signo y no es raíz.B œ "

(4.5.6) :REGLA 2 Si la tercera fila de la división sintética con como pivoteÐ 5 Ñtiene números positivos y números negativos alternadamente, entoncesÐ 5Ñ :ÐBÑ. es una cota inferior de las raíces reales de( El número cero en la tercera fila puede considerarse con cualesquiera delos signos positivo o negativo, según convenga para satisfacer la regla ).





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(4.5.7) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ #B $B "!B "& $ #

:COTAS DE LAS RAICES REALES :COTA INFERIOR

NO.5 œ " À " # $ "! "& # " ""

# " "" %

NO.5 œ # À # # $ "! "& % # "'

# " ) "

NO.5 œ $ À $ # $ "! "& ' * $

# $ " "#

SI.5 œ % À % # $ "! "& ) #! %!# & "! &&

Por lo tanto; es cota inferior de las raíces de ; ya que5 œ % :ÐBÑ

el tercer nivel de la tabla tiene cambios de signoALTERNADOS y además

B œ % no es raíz.

33Ñ :ÐBÑ œ 'B "(B "($ #


:COTA INFERIOR SI.5 œ " À " ' "( ! "(

' #$ #$' #$ #$ '

Por lo tanto; es cota inferior de las raíces de ; ya que5 œ " :ÐBÑ

el tercer nivel de la tabla tiene cambios de signo ALTERNADOS y además

B œ " no es raíz.

333Ñ :ÐBÑ œ #B "$B "$B "&$ #

:COTAS DE LAS RAICES REALES :COTA INFERIOR 5 œ " " # "$ "$ "& R SÞ

# "" #%# "" #% $*





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5 œ # # # "$ "$ "& R SÞ % ") '#

# * $" ((

5 œ ( ( # "$ "$ "& R SÞ

"% ( %## " ' &(

5 œ ) ) # "$ "$ "& WM Þ "' #% ))

# $ "" ($

Por lo tanto; es cota inferior de las raíces de ; ya que5 œ ) :ÐBÑ

el tercer nivel de la tabla tiene cambios de signo ALTERNADOS y además

B œ ) no es raíz.

(4.5.8) MÉTODO PARA LOCALIZAR RAÍCES REALES Aceptemos que un polinomio se puede considerar como una :ÐBÑfunción real de variable real tal que:

: À Ä :ÐBÑ œ + + B + B Þ Þ Þ + B‘ ‘ definida por! " # 8

# 8

Si visualizamos el gráfico de este tipo de función polinomial,podemos notar que presenta características de CONTINUIDAD, es decir intuitivamente significa que si recorremos el gráfico con un lápiz no lolevantamos en ningún instante (CREÁLO SI NO LO HA VISTO EN CÁLCULOEN UNA VARIABLE). Lo anterior significa que: si consideramos un intervalo talÐB ß B Ñ" # que y son de distinto signo entonces necesariamente en el :ÐB Ñ :ÐB Ñ à" 2

intervalo se tiene a lo menos una RAÍZ O CERO deÐB ß B Ñ :ÐBÑ" # Þ Por lo tanto, se trata de reiterar el proceso disminuyendo la amplituddel intervalo hasta determinar una "aproximación deseada".

(4.5.9) :EJEMPLO :ÐBÑ œ 'B "(B "($ #

Este polinomio NO tiene raíces racionales, es decir de tener :ÐBÑ

raíces reales estas son irracionales.

Luego, por el análisis hecho en (4.5.7) el polinomio tiene una33Ñß

cota inferior en y por (4.5.5) el polinomio tiene una cota superior "à 33Ñß

en . Por lo tanto, como las raíces reales de$ :ÐBÑ están comprendidas enel intervalo y se tiene un cambio deÐ "ß $Ñ :Ð "Ñ œ ' à :Ð$Ñ œ #' ß

signo al pasar de a y como es una función contínua enB œ " B œ $ :

‘ necesariamente su gráfica corta al eje en a lo menos un punto de\

dicho intervalo, por lo tanto tiene una raìz real que es irracional, la que

obtendremos por aproximación.





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Determinemos una raíz aproximada tal que ¸ ¸ :Ð<Ñ "! œ !Þ!" À#

:Ð "Ñ œ '

:Ð!Ñ œ "( Ê Ð "ß !Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ&Ñ œ "# Ê Ð "ß !Þ&Ñ en se tiene una raíz. :Ð !Þ)Ñ œ $Þ!%) Ê Ð "ß !Þ)Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ*Ñ œ "Þ"%% Ê Ð !Þ*ß !Þ)Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ)&Ñ œ "Þ!$#(& Ê Ð !Þ*ß !Þ)&Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ))Ñ œ !#&$'$ Ê Ð !Þ))ß !Þ)&Ñ en se tiene una raíz

:Ð !Þ)(Ñ œ !Þ")"')# Ê Ð !Þ))ß !Þ)(Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ)(&Ñ œ !Þ!$&"& Ê Ð !Þ)(&ß !Þ)(Ñen se tiene una raíz.

:Ð !Þ)($Ñ œ !Þ!&"((&$ Ê Ð !Þ)(&ß !Þ)($Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ)(%Ñ œ !Þ!!)$%##'Þ

Notar que , por lo tanto una¸ ¸ ¸ ¸ :Ð !Þ)(%Ñ œ !Þ!!)$%## "!#

raíz aproximada es < œ !Þ)(%Þ

Como es raíz aproximada de determinemos las< œ !Þ)(% :ÐBÑ

otras dos raíces:

!Þ)(% ' "( ! "( &Þ#%% "*Þ%%" "'Þ**#

' ##Þ#%% "*Þ%%" ¸ !

Luego,

; :ÐBÑ œ 'B "(B "( ¸ ÐB !Þ)(%ÑÐ'B ##Þ#%%B "*Þ%%"Ñ$ # #

y las otras raíces aproximadas son:

B ̧ ¸ Ê B ¸ #Þ#*' à B ¸ "Þ%""Þ##Þ#%%„ Ð##Þ#%%Ñ %''ÞÞ&)%"# " #

È # ##Þ#%%„&Þ$"""#

Por lo tanto, la factorización está dada por:

'B "(B "( ̧ 'ÐB "Þ%""ÑÐB #Þ#*'ÑÐB !Þ)(%Ñ$ #

:OBSERVACIÓN

Notar que: :Ð !Þ)(%Ñ œ ¸ ! !Þ!!)$%##'

:Ð"Þ%""Ñ œ ¸ ! à :Ð#Þ#*'Ñ œ ¸ !!Þ!!*%)!") !Þ!!%$"!!% ,

lo cual significa que B ¸ #Þ#*' à B ¸ "Þ%"" à B ¸ !Þ)(%" # $

son las raíces aproximadas de :ÐBÑÞ

(4.6) :RAÍCES COMPLEJAS(4.6.1) :TEOREMA Sea un polinomio de grado con coeficientes REALES. :ÐBÑ 8 " Si el complejo es una raíz de .D :ÐBÑ Entonces el conjugado también es una raíz de .D :ÐBÑ





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(4.6.2) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ B "#

tiene por raíces a 3 à 333Ñ :ÐBÑ œ B ""B %#B &%B &#B &'& % $ #

tiene por raíces a " à $ & à $ & à $ 3 & à $ 3 &È È È È 333Ñ :ÐBÑ œ B 'B #$B $%B #'% $ #

tiene por raíces a " 3 à " 3 à # $3 à # $3

(4.6.3) :TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Si es un polinomio de grado :ÐBÑ 8 !Þ Entonces tiene exactamente raíces no necesariamente todas8distintas, y una raíz de multiplicidad se cuenta veces.5 5

(4.6.4) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ % À # à " Þtiene exactamente 2 raíces distintasB " # B )#

33Ñ :ÐBÑ œ tiene exactamente 3 raíces iguales conB $ B $ B "$ #

multiplicidad algebraica 3 : "333Ñ :ÐBÑ œ B ""B %#B &%B &#B &' &tiene exactamente& % $ #

raíces distintas: " à $ & à $ & à $ 3 & à $ 3 &È È È È

(4.6.5) :TEOREMA Si es un polinomio de grado y son las :ÐBÑ 8 ! < ß < ß ÞÞÞ ß <

" # 8

8 raíces del polinomio. Entonces :ÐBÑ puede escribirse como:

:ÐBÑ œ + ÐB < ÑÐB < Ñ Þ Þ Þ ÐB < Ñ8 " # 8

(4.6.6) :EJEMPLO3Ñ :ÐBÑ œ % À # à " Þtiene exactamente 2 raíces distintasB " # B )#

Luego :ÐBÑ puede escribirse como: :ÐBÑ œ %ÐB #ÑÐB "Ñ 33Ñ :ÐBÑ œ tiene exactamente 3 raíces iguales conB $ B $ B "$ #

multiplicidad algebraica 3 : " Luego :ÐBÑ puede escribirse como:

:ÐBÑ œ ÐB "Ñ$

333Ñ :ÐBÑ œ #B ##B )%B "!)B "!%B ""# tiene exactamente& % $ #

& " à $ & à $ & à $ 3 & à $ 3 & raíces distintas: È È È È Luego :ÐBÑ puede escribirse como:

:ÐBÑ œ #ÐB "ÑÐB $ &ÑÐB $ &Ñ ÐB $ 3 & ÑÐB $ 3 È È È È





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASEMANA 11: (02 HORAS EJERCICIO)

GUÍA DE ESTUDIO N° 11

1. Use el método de la división sintética para determinar el cuociente yel resto. Además determine si es factorizable el dividendo.

(1.1) dividendo: divisor:B B &B # B #$ #

(1.2) dividendo: divisor:$B &B B " B "$ #

(1.3) dividendo: divisor:B B B #B # B #% $ # È (1.4) dividendo: divisor:'B "(B "&B ' $B %$ #

(1.5) dividendo: divisor:B $B *B #( B $ 3$ #

2. Determinar para los siguientes polinomios:

a) el número de variaciones de signo;

b) la cantidad posible de raíces positivas;

c) la cantidad posible de raíces negativas;

d) el conjunto de las posibles raíces racionales;

e) las raíces racionales si existen;

(2.1) (2.2) #B #B $B " B B #B # B# $ # % $

(2.3) (2.4) (B B $B " %B *B B #B# % $ & (

(2.5) (2.6)B B B B ( B %B "%B #!% $ # $ #

(2.7) (2.8)#B B B $ #B "$B "$B "&B$ # % $ #

(2.9) (2.10)B %B )B $# B B "$B "!% $ $ #$#

3. Determine las raíces racionales si existen de yB & B # B # %$ #

factorice en .

4. Determine el polinomio de menor grado:(4.1) con coeficientes reales que tenga como raíces a y# " $ 3 Þ

(4.2) con coeficientes enteros que tenga como raíces a y .!ß "ß $ "#

(4.3) con coeficientes enteros que tenga como raíces a ß " ß " 3"#

5. Dado Factorizarlo en y en . :ÐBÑ œ B (B ")Þ% # ‘ ‚





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6. Si es un número primo tal que Determine las posibles5 5 #Þ

raíces racionales de :ÐBÑ œ 'B *B 5 Þ% #

7. Encuentre las soluciones de B 'B "!B B 'B "! œ !

5 % $ #

sabiendo que una de sus raíces es $ 3 Þ

8. Dado . Determine: :ÐBÑ œ B B #B # B# % $

(8.1) número de variaciones de signo; cantidad posible de raícespositivas; cantidad posible de raíces negativas y conjunto de las posiblesraíces RACIONALES (si estas existieran).(8.2) ; el cuociente y el resto al dividirUSANDO DIVISIÓN SINTÉTICA :ÐBÑpor el polinomio ( NO OTRO PROCEDIMIENTO);ÐBÑ œ B # ÞResp: (8.1) una variación ; una raíz positiva ; una o tres raíces

negativas ; .˜ ™ "ß " ß #ß #

(8.2) -ÐBÑ œ à <ÐBÑ œ 'B B B %$ #

9.(9.1) La factorización de en el conjunto de losB # B # B "$ #

números racionales es _______________________________________________________________

(9.2) Considerando ; el cuociente y el resto esBB #B #B"

$

$ #

-ÐBÑ œ <ÐBÑ œ _______________________ _________________________

Resp: (9.1) Ð B " Ñ Ð B B " Ñ#

(9.2) -ÐBÑ œ " à <ÐBÑ œ #B #B "#

10. La factorización de en el conjunto de los númerosB B B "$ #

racionales es ________________________________________________________________Resp: ÐB "ÑÐB "Ñ#





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD DE CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICASEMANA 11: (02 HORAS EJERCICIO)

TALLER DE ESTUDIO N° 11

1. Use el método de la división sintética para determinar el cuociente y

el resto. Además determine si es factorizable el dividendo.

(1.1) dividendo: divisor:#B B $ B #$ #

(1.2) dividendo: divisor:'B "(B "( #B $$ #

2. Determinar para los siguientes polinomios:

a) el número de variaciones de signo;b) la cantidad posible de raíces positivas;


d) el conjunto de las posibles raíces racionales:


(2.1) (2.2)#B $B )B " $B #B #B #B B# $ # % ( & $

(2.3) B B ( B "$ #

3. Determine el polinomio de menor grado con À

(3.1) coeficientes enteros que tenga como raíces a:

(a) (b) ;! à à à # " & '" "# #

È (3.2) coeficientes reales que tenga como raíces a:

/a) (b)! à " à #3 à $ $3 à #È È

4.

(4.1) Dado el polinomio ; factorice completamente en ; y enB "% ‚

(4.2) Encuentre todas las soluciones de la ecuación

#B ""B #)B #% œ ! # #3 Þ$ # sabiendo que una de sus raíces es(4.3) Verifique si es una raíz o cero de# 3 :ÐBÑ œ Ð" 3ÑB (B "& Þ#

Puede deducir que es raíz o cero de ? Por qué ?# 3 :ÐBÑ

5. Hallar un polinomio real de grado 2 tal que y :Ð!Ñ œ & :Ð" 3Ñ œ !Þ





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PRUEBA DE AUTOEVALUACIÓN N° 11:

PROBLEMA 1: TALLER N° 11: APLICAR TODO EL DOCUMENTO AL EJERCICIO TALLER 10 - (6.2)

RESPUESTA: Ð#B $ÑÐB &ÑÐB &ÑÈ È SOLUCIÓN:

1º) Se pide aplicar toda la teoría de este documento al polinomio

:ÐBÑ œ #B $B "!B "& à$ # que usted ya sabeque es factorizable como lo

vió en el TALLER Nº 10 - (6.2).

2º) :POSIBLES RAICES RACIONALES

divisores de + œ "& À „ " à „ $ à „ & à „ "&!

divisores de : ;+ œ # „ " „ #$

Por lo tanto; de tener raíces racionales; debe ser alguna de las

siguientes: „ " à „ $ à „ & à „ "& à „ à „ à „ à „" $ & "&# # # #

3º) :RAÍCES POSITIVAS

Se estudia los cambios de signo en :ÐBÑ œ #B $B "!B "&Þ$ #

Tiene 1 cambio de signo, lo cual significa que tiene UNA raíz positiva.

4º) :RAÍCES NEGATIVAS

Se estudia los cambios de signo en

:Ð BÑ œ #B $B "!B "&Þ$ #

Tiene 2 cambio de signo, lo cual significa que tiene DOS O CERO raíz

negativa. :OBSERVACIÓN

3º) y 4º) indica que se pueden dar los siguientes casos:

a) tiene UNA raíz positiva y DOS raíces negativas (en ) :ÐBÑ ‘

o b) tiene UNA raíz positiva y NINGUNA raíz negativa; por lo tanto :ÐBÑ

como el polinomio es de grado 3 , necesariamente las otras dos raíces son

complejas y además conjugadas, ya que los coeficientes de son números :ÐBÑ

reales.

5º) :COTAS DE LAS RAICES REALES

a) :COTA SUPERIOR NO.5 œ " À " # $ "! "&

# & &# & & #!





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NO.5 œ # À # # $ "! "&% "% )

# ( % (

SI.5 œ $ À $ # $ "! "&

' #( &"# * "( $'


tercer nivel de la tabla NO tiene cambios de signo y además no es raíz.B œ $

Luego, 2º) se reduce a " à $ à & à "& à „ à „ à „ à " $ & "&# # # #

b) :COTA INFERIOR

NO.5 œ " À " # $ "! "& # " ""

# " "" %

NO.5 œ # À # # $ "! "& % # "'

# " ) "

NO.5 œ $ À $ # $ "! "& ' * $

# $ " "#

SI.5 œ % À % # $ "! "& ) #! %!

# & "! &&

Por lo tanto; es cota inferior de las raíces de ; ya que el5 œ % :ÐBÑ

tercer nivel de la tabla tiene cambios de signo ALTERNADOS.

Luego, 5º a) se reduce a „ à „ à „" $ &# # #

OBSERVACIÓN:

Esto significa que las raíces reales de están comprendidas en el :ÐBÑ

intervalo abierto Ð % ß $ Ñ

6º) deVERIFICAR SI TIENE RAÍCES RACIONALES; „ à „ à „" $ &# # #

Evaluando se tiene: :ÐBÑ Á ! Á ! ! :Ð Ñ :Ð Ñ :Ð Ñ œ" " $# # #

Por lo tanto, tiene a como raíz y además es un :ÐBÑ B œ #B $$#

factor de es decir . Dividiendo por se :ÐBÑß :ÐBÑ œ Ð#B $Ñ -ÐBÑ :ÐBÑ #B $

tiene que Por lo tanto:-ÐBÑ œ B &Þ#

#B $B "!B "& œ Ð#B $ÑÐB &ÑÐB &Ñ$ # È È 7º) Luego, es factorizable en . Notar que las raíces son UNA positiva :ÐBÑ ‘

y DOS negativas, lo cual se determinó como una de las posibilidades en 4º) a).





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PROBLEMA 2: TALLER N° 11: (1.2) RESPUESTA: cuociente: resto:$B %B ' "#

NO ES FACTORIZABLE POR # B $ Þ La factorización del dividendo es aproximadamente:

'B "(B "( ̧ 'ÐB "Þ%""ÑÐB #Þ#*'ÑÐB !Þ)(%Ñ$ #

SOLUCIÓN:

1º) es raíz o cero deB œ #B $ Þ$#

2º) $# ' "( ! "(

* "# ")' ) "# "

3º) DE LA ÚLTIMA COLUMNA DE LA TABLA se obtiene que:

cuociente: resto:'B )B "# "#

pero OJO!! para la división de por ; y se pide dividir 'B "(B "( B $ # $#

por .# B $

Para lo cual hagamos el siguiente arreglo algebraico:'B "(B "( " 'B "(B "( " "

#B$ # #B B#$ # $ #

$ $# #

œ Ð Ñ œ Ð'B )B "#Ñ ‘ œ Ð$B %B 'Ñ # "

#B$

Verifiquemos que el resultado está correcto:

Ð$B %B 'Ñ œ# "#B$ #B$

Ð$B %B'ÑÐ#B$Ñ"#

œ 'B *B )B "#B"#B")"#B$

$ # #

œ 'B "(B "(

#B$

$ #

COMPROBADO!!

4º) Por lo tanto; cuociente: resto:$B %B ' "# 5º) El dividendo no es factorizable por ; pero esto no significa que# B $

no sea factorizable Analicemos con los elementos del documento:Þ

a) :POSIBLES RAICES RACIONALES

divisores de + œ "( À „ " à „ "(!

divisores de : ;+ œ ' „ " „ # à „ $ à „ '$

Por lo tanto; de tener raíces racionales; debe ser alguna de lassiguientes: „ " à „ "( à à„ à „ à „ à „ „ à „" "( " "( " "(

# # $ $ ' '

b) :RAÍCES POSITIVAS Se estudia los cambios de signo en :ÐBÑ œ 'B "(B "(Þ$ #

Tiene 2 cambio de signo, lo cual significa que tiene DOS O CERO raíz positiva.

c) :RAÍCES NEGATIVAS

Se estudia los cambios de signo en :Ð BÑ œ 'B "(B "(Þ$ #

Tiene 1 cambio de signo, lo cual significa que tiene UNA raíz negativa.





PÁG. 16



:OBSERVACIÓN

b) y c) indica que se pueden dar los siguientes casos:

tiene DOS raíces positiva y UNA raíz negativa (en ).3Ñ :ÐBÑ ‘

o tiene NINGUNA raíz positiva y UNA raíz negativa; por lo tanto33 :ÐBÑcomo el polinomio es de grado 3 , necesariamente las otras dos raíces son

complejas y además conjugadas, ya que los coeficientes de son números :ÐBÑ

reales.

d) :COTAS DE LAS RAICES REALES

:COTA SUPERIOR

NO.5 œ " À " ' "( ! "(

' * *' * * )

NO.5 œ # À # ' "( ! "("# "! #!

' & "! $

SI.5 œ $ À $ ' "( ! "(") $ *

' " $ #'


tercer nivel de la tabla NO tiene cambios de signo y además no es raíz.B œ $Luego, el conjunto en 5º a) se reduce a

" à "( à à„ à à „ à „ à „" "( " "( " "(# # $ $ ' '

:COTA INFERIOR

SI.5 œ " À " ' "( ! "( ' #$ #$

' #$ #$ '

Por lo tanto; es cota inferior de las raíces de ; ya que el5 œ " :ÐBÑ

tercer nivel de la tabla tiene cambios de signo ALTERNADOS y ademásB œ " no es raíz.

Luego, el conjunto en 5º) d) se reduce a „ à „ à „ à" " " "(# $ ' ' .

Esto significa que las raíces reales de están comprendidas en el :ÐBÑ

intervalo abierto Ð " ß $ Ñ





PÁG. 17



6º) deVERIFICAR SI TIENE RAÍCES RACIONALES; „ à „ à „ à" " " "(# $ ' '

Evaluando se tiene: :ÐBÑ Á ! Á ! Á ! :Ð Ñ :Ð Ñ :Ð Ñ" " "# # $

:Ð Ñ :Ð Ñ :Ð Ñ :Ð Ñ" " " "($ ' ' 'Á ! Á ! Á ! Á !

Por lo tanto, NO tiene raíces racionales, es decir de tener raíces :ÐBÑreales estas son irracionales.

7º) Luego, como las raíces reales de :ÐBÑ están comprendidas en el

intervalo y se tiene un cambio de signoÐ "ß $Ñ :Ð "Ñ œ ' à :Ð$Ñ œ #' ß

al pasar de a y como es una función contínua enB œ " B œ $ : ‘

necesariamente su gráfica corta al eje en a lo menos un punto de dicho\

intervalo, por lo tanto tiene una raìz real que es irracional, la que obtendremos

por aproximación.

Determinemos una raíz aproximada tal que ¸ ¸ :Ð<Ñ "! œ !Þ!" À#

:Ð "Ñ œ '

:Ð!Ñ œ "( Ê Ð "ß !Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ&Ñ œ "# Ê Ð "ß !Þ&Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ)Ñ œ $Þ!%) Ê Ð "ß !Þ)Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ*Ñ œ "Þ"%% Ê Ð !Þ*ß !Þ)Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ)&Ñ œ "Þ!$#(& Ê Ð !Þ*ß !Þ)&Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ))Ñ œ !#&$'$ Ê Ð !Þ))ß !Þ)&Ñ en se tiene una raíz

:Ð !Þ)(Ñ œ !Þ")"')# Ê Ð !Þ))ß !Þ)(Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ)(&Ñ œ !Þ!$&"& Ê Ð !Þ)(&ß !Þ)(Ñen se tiene una raíz. :Ð !Þ)($Ñ œ !Þ!&"((&$ Ê Ð !Þ)(&ß !Þ)($Ñ en se tiene una raíz.

:Ð !Þ)(%Ñ œ !Þ!!)$%##'Þ

Notar que , por lo tanto una raíz¸ ¸ ¸ ¸ :Ð !Þ)(%Ñ œ !Þ!!)$%## "!#

aproximada es < œ !Þ)(%Þ

8º) Como es raíz aproximada de determinemos las otras< œ !Þ)(% :ÐBÑ

dos raíces: !Þ)(% ' "( ! "( &Þ#%% "*Þ%%" "'Þ**#

' ##Þ#%% "*Þ%%" ¸ !

Luego, ; :ÐBÑ œ 'B "(B "( ¸ ÐB !Þ)(%ÑÐ'B ##Þ#%%B "*Þ%%"Ñ$ # #

y las otras raíces aproximadas son:

B ̧ ¸ Ê B ¸ #Þ#*' à B ¸ "Þ%""Þ##Þ#%%„ Ð##Þ#%%Ñ %''ÞÞ&)%

"# " #È # ##Þ#%%„&Þ$""

"#

Por lo tanto, la factorización está dada por:

'B "(B "( ¸ 'ÐB "Þ%""ÑÐB #Þ#*'ÑÐB !Þ)(%Ñ$ #





PÁG. 18



:OBSERVACIÓN

Notar que: :Ð !Þ)(%Ñ œ ¸ ! !Þ!!)$%##'

:Ð"Þ%""Ñ œ ¸ ! à :Ð#Þ#*'Ñ œ ¸ !!Þ!!*%)!") !Þ!!%$"!!% , lo

cual significa que son las raícesB ¸ #Þ#*' à B ¸ "Þ%"" à B ¸ !Þ)(%" # $aproximadas de :ÐBÑÞ

PROBLEMA 3: TALLER N° 11: (2.2) RESPUESTA: a) 2 b) DOS O CERO raíz positiva c) UNA raíz negativa d) ! à „ " à „ $ à „ à „" $

# #

e) B œ !.SOLUCIÓN:

1º) Ordenar el polinomio en potencias decrecientes de B À

: ÐBÑ œ #B #B #B B $B" ( & % $ #

: ÐBÑ œ B Ð#B #B #B B $Ñ" # & $ #

Se observa que es raíz racional, faltando por analizar:B œ !

2º) :ÐBÑ œ #B #B #B B $Þ& $ #

a) : 2 variaciones de signoVARIACIONES DE SIGNO Þb) : Se estudia los cambios de signo enRAÍCES POSITIVAS :ÐBÑ œ #B #B #B B $& $ # ÞTiene 2 cambio de signo, lo cual significa que tiene DOS O CERO raíz positiva.

c) : Se estudia los cambios de signo enRAÍCES NEGATIVAS

:Ð BÑ œ #B #B #B B $& $ # Þ

Tiene 1 cambio de signo, lo cual significa que tiene UNA raíz negativa.

:OBSERVACIÓN

b) y c) indica que se pueden dar los siguientes casos:

tiene DOS raíces positiva y UNA raíz negativa (en ) y 23 Ñ :ÐBÑ ‘

raíces complejas y conjugada.

o tiene NINGUNA raíz positiva y UNA raíz negativa y 4 raíces33 Ñ :ÐBÑ

complejas y conjugadas (salvo multiplicidades).

d) :POSIBLES RAICES RACIONALES

: ÐBÑ œ B Ð#B #B #B B $Ñ" # & $ #

Se sabe que es una raíz racional, falta por analizar el polinomioB œ !

:ÐBÑ œ #B #B #B B $& $ #

divisores de ;+ œ $ À „ " à „ $! divisores de : ;+ œ # „ " „ #&

Por lo tanto; de tener raíces racionales; debe ser alguna de lassiguientes: „ " à „ $ à „ à „" $

# #





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e) : es una raíz racional.RAÍCES RACIONALES B œ !

deVERIFICAR SI TIENE RAÍCES RACIONALES; „ " à „ $ à „ à „" $# #

Evaluando se tiene: :ÐBÑ œ #B #B #B B $& $ #

:Ð $Ñ Á ! :Ð$Ñ Á ! :Ð "Ñ Á ! :Ð"Ñ Á !

:Ð Ñ Á ! :Ð Ñ Á ! Á ! Á !$ $# #

:Ð Ñ :Ð Ñ" "# #

Por lo tanto, tiene UNA SOLA raíz racional, que es :ÐBÑ B œ !Þ

PROBLEMA 4: TALLER N° 11: (3.2) RESPUESTA:

a) polinomio de coeficientes reales: B B B B " # B " # B' & % $ #

polinomio de coeficientes complejos

B Ð" $ #3ÑB Ð $ Ð# # $Ñ3ÑB # $ 3B% $ #È È È È b) polinomio de coeficientes reales: B ( B " )% #

polinomio de coeficientes complejos: B Ð # $3ÑB $ # 3# È È

a) ! à " à #3 à $È SOLUCIÓN:

1º) Si el polinomio es de coeficientes reales, entonces:

#3 Ê #3 $ Ê $es raíz también es raíz ; es raíz también es raízÈ È

2º) El polinomio de menor grado es: :ÐBÑ œ ÐB #3ÑÐB #3ÑÐB ÑÐB "ÑBÈ È $ÑÐB $

:ÐBÑ œ B B B B "#B "#B' & % $ #

OBSERVACIÓN:

3º) Si el polinomio es de coeficientes complejos, entonces:

El polinomio de menor grado es:

:ÐBÑ œ ÐB #3ÑÐB $ÑÐB "ÑBÈ :ÐBÑ œ B Ð" $ #3ÑB Ð $ Ð# # $Ñ3ÑB # $ 3B% $ #È È È È

b) $3 à #È SOLUCIÓN:

1º) Si el polinomio es de coeficientes reales, entonces:

es raíz también es raíz $3 Ê $3

es raíz también es raízÈ È # Ê #





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2º) El polinomio de menor grado es:

:ÐBÑ œ ÐB $3ÑÐB $3ÑÐB ÑÈ È #ÑÐB #

:ÐBÑ œ ÐB *ÑÐB œ ÐB (B ")Ñ# # % ##Ñ

:ÐBÑ œ B (B ")

% #

OBSERVACIÓN:

3º) Si el polinomio es de coeficientes complejos.

Entonces:

El polinomio de menor grado es:

:ÐBÑ œ ÐB $3ÑÐB #Ñ œ B Ð # $3ÑB $ # 3È È È #

:ÐBÑ œ B Ð # $3ÑB $ # 3# È È

PROBLEMA 5: TALLER N° 11: (4.3) RESPUESTA: si es raíz. no es raíz.# 3 # 3

SOLUCIÓN:

1º) El polinomio evaluado en resulta :ÐBÑ œ Ð" 3ÑB (B "& B œ # 3#

:Ð# 3Ñ œ Ð" 3ÑÐ# 3Ñ (Ð# 3Ñ "& œ Ð" 3ÑÐ$ %3Ñ (3 " œ !#

Por lo tanto es raíz de# 3 :ÐBÑÞ

2º) No, ya que tiene coeficientes complejos y la propiedad del :ÐBÑ

conjugado se verifica cuando tiene coeficientes reales.

PROBLEMA 6: TALLER N° 11: 5. RESPUESTA: .&

##B &B &

SOLUCIÓN:

1º) El polinomio está dado por con ; y :ÐBÑ œ +B ,B - + ß , ß - −# ‘

. Además, como es raíz, también lo es . :Ð!Ñ œ - œ & " 3 " 3

Luego: :Ð" 3Ñ œ +Ð" 3Ñ ,Ð" 3Ñ & œ #3 + 3 , , & œ !#

:Ð" 3Ñ œ +Ð" 3Ñ ,Ð" 3Ñ & œ #3 + 3 , , & œ !#

SUMANDO: Ê # , œ "! Ê , œ & Ê

REEMPLAZANDO: Ê #3 + & 3 œ ! Ê + œ &#

2º) Por lo tanto es el polinomio pedido. :ÐBÑ œ B &B &&#

#





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 22 DE NOVIEMBRE DE 2007: 15:45-17:05

CONTROL N° 2: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __ 12PROFESOR__ __ CARLOS SEPÚLVEDA BUSTAMANTE

(4.1) (4.2) TOTAL

PUNTAJEPREGUNTA 4:(4.1) Determine para el siguiente polinomio:

:ÐBÑ œ B %B )B $% $



d) la cota superior de las raíces reales;

e) la cota inferior de las raíces reales;

f) el conjunto de las posibles raíces racionales si existieran.


(4.2) Determine la factorización del polinomio

:ÐBÑ œ B #B #B "$ #en el conjunto de los números complejos. (AYUDA: es un factor del polinomio)B B "#

PONDERACIONES: (4.1) = 08 (4.2) = 07 PUNTOS. TIEMPO: 20 minutos.

JUSTIFIQUE DETALLADAMENTE





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PAUTA DE CORRECCIÓN SECCIÓN 12PREGUNTA 4:(4.1) :SOLUCIÓN

a) :ÐBÑ œ B %B )B $% $

tiene 2 variaciones de signo. "

b) tiene 2 variaciones de signo. :ÐBÑ œ B %B )B $% $ Por lo tanto, tiene 2 o 0 raíz positiva. "

c) tiene 2 variación de signo :Ð BÑ œ B %B )B $% $ Por lo tanto, tiene 2 o 0 raíz negativa. "

d) COTA SUPERIOR: 5 œ " R S" " % ! ) $

" $ $ &" $ $ & )

5 œ # # " % ! ) $ R S# % ) !

" # % ! $

5 œ % WM % " % ! ) $% ! ! $#

" ! ! ) $&

como el tercer nivel tiene términos no negativos es COTA SUPERIOR5 œ % "

e) COTA INFERIOR: 5 œ " " " % ! ) $ R SÞ

" & & $" & & $ !

(notar que es una raízo cero deB œ " :ÐBÑ Ñ 5 œ # # " % ! ) $ WM Þ

# "# #% $#

" ' "# "' $&

como el tercer nivel tiene términos con signos alternados

es COTA INFERIOR5 œ # "

f) divisores de :+ œ $ „ " à „ $!

divisores de ;+ œ " „ "%





PÁG. 23



Por lo tanto; las posibles raíces racionales si existieran sería algunadel siguiente conjunto: „ " à „ $ " y con el análisis anterior, este se reduce a: „ " à $

g) En e) se determinó que es una raíz racional.B œ " En d) se determinó que no es raíz.B œ "

Verifiquemosen : :ÐBÑ œ B %B )B $% $ :Ð$Ñ œ )" "!) #% $ œ ! Ê B œ $ es una raíz racional.

Por lo tanto, tiene dos raíces racionales: B œ " à B œ $ #

(4.2) :SOLUCIÓN1º) Si es un factor, entonces es divisible por B B "# .2º) En efecto.

:B #B #B " B B " œ B " $$ # #

B B B$ #

_______________________ B B "#

B B "#

_______________ !3º) Por lo tanto; la factorización en es‘

B #B #B " œ ÐB B "ÑÐB "Ñ "$ # #

y en los Complejos:

B B " œ ! Ê B œ œ „ 3 "# "„ "%# # #

" $ È È

está dada por:

ÐB 3ÑÐB 3ÑÐB "Ñ #" "# # # #

$ $È È





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA JUEVES 22 DE NOVIEMBRE DE 2007: 11:30-13:00

CONTROL N° 3 DE AYUDANTÍA: ÁLGEBRA (MAT-601)

NOMBRE_______________________________SECCIÓN________

PREGUNTA 1 2 3 4 NOTAPUNTAJE


SUS RESPUESTASPREGUNTA 1:

Exprese en su forma polar o trigonométrica el siguiente número complejo:

D œ $ $ $ 3È SOLUCIÓN:

1º) Representar en el plano cartesiano D œ $ $ $ 3 ´ Ð$ $ ß $ÑÈ È

&

pertenece al primer cuadrante.)

2º) < œ Ð$ $ Ñ $ œ ' $É È # #

º>+8 œ œ œ >+8 Ð Ñ œ $! %) )$ " "

$ $ $ $

"È È È

3º) Por lo tanto; D œ 'Ð-9= $! 3 =/8 $! Ñ $º ºes la forma polar o trigonométrica.





PÁG. 25



PREGUNTA 2:Dado el número complejo: D œ # $ 3

Calcule usando el Teorema de "DE MOIVRE"; È % D

expresando sus resultados en la forma binomial + , 3 Þ(TODOS LOS CÁLCULOS CON DOS DECIMALES BIEN APROXIMADOS)SOLUCIÓN:

1º) Representar en el plano cartesiano D œ ´ Ð# ß $Ñ# $ 3

pertenece al cuarto cuadrante.)

2º) < œ # Ð $Ñ œ "$È È # # º>+8 E œ œ E œ >+8 Ð Ñ œ &'Þ$"$ $ $

# # #"

º º ºPor lo tanto;) œ $'! &'Þ$! œ $!$Þ(! $

D œ "$Ð-9= $!$Þ(! 3 =/8 $!$Þ(! Ñ #È º º3º) Luego;

È É % %

D œ È "$Ð-9= $!$Þ(! 3 =/8 $!$Þ(! Ñº º

œ "$ÐÈ ) -9= 3 =/8 Ñ$!$Þ(! 5 $'! $!$Þ(! 5 $'!% %º º º º

con 5 œ !ß "ß #ß $ #

5 œ ! < œ"

È ) "$Ð-9= 3 =/8 Ñ œ !Þ$% "Þ$% 3 #$!$Þ(! $!$Þ(!% %

º º 5 œ "

< œ# È )"$Ð-9= 3 =/8 Ñ œ "Þ$% !Þ$% 3 #''$Þ(! ''$Þ(!

% %º º

5 œ # < œ$

È )"$Ð-9= 3 =/8 Ñ œ !Þ$% "Þ$% 3 #"!#$Þ(! "!#$Þ(!

% %º º

5 œ $ < œ%

È )"$Ð-9= 3 =/8 Ñ œ "Þ$% !Þ$% 3 #"$)$Þ(! "$)$Þ(!

% %º º





PÁG. 26



PREGUNTA 3:(3.1) Determine la factorización de en el conjunto de losB $B (B &$ #

números complejos.SOLUCIÓN:

1º) Posibles raíces racionales: " à " à & à &2º) Notar que no es raíz o cero. :Ð "Ñ œ "' B œ "

es raíz o cero. :Ð"Ñ œ ! B œ " #3º) Usando división sintética: " " $ ( &

" # &" # & !

Es decir:

B $B (B & œ ÐB "ÑÐB #B &Ñ$ # # #

4º) La factorización en el conjunto de los complejos es:B #B & œ ! Ê B œ œ " „ # 3# #„ %#!

# È

# Por lo tanto:

B $B (B & œ ÐB "ÑÐB Ð" #3ÑÑÐB Ð" #3ÑÑ$ #

œ ÐB "ÑÐB " #3ÑÑÐB " #3Ñ #

(3.2) Determine el valor de de modo que se cumpla la condición dada:5

ÐB 5 B $ B B (Ñ À ÐB #Ñ &% $ #

tiene resto .SOLUCIÓN: Como el divisor tiene como raíz a B œ #Þ $ Usando el teorema del resto se tiene que: :Ð#Ñ œ "' ) 5 "# # ( œ & Ê ) 5 œ ' # Por lo tanto: 5 œ $

% #





PÁG. 27



PREGUNTA 4: Determine para el siguiente polinomio:

:ÐBÑ œ #B "$B "$B "&$ #

a) el número de variaciones de signo;






SOLUCIÓN:a) tiene 3 variaciones de signo. :ÐBÑ œ #B "$B "$B "& #$ # b) tiene 3 variaciones de signo. :ÐBÑ œ #B "$B "$B "&$ #

Por lo tanto, tiene 3 o 1 raíz positiva. #

c) tiene 1 variación de signo :Ð BÑ œ #B "$B "$B "&$ # Por lo tanto, tiene 1 raíz negativa. #

d) COTA SUPERIOR: 5 œ " " # "$ "$ "&

# "& ## "& # "(

como el tercer nivel tiene términos no negativos

es COTA SUPERIOR5 œ " $e) COTA INFERIOR:

5 œ " " # "$ "$ "& R SÞ # "" #%

# "" #% $*

5 œ # # # "$ "$ "& R SÞ % ") '#

# * $" ((

5 œ ( ( # "$ "$ "& R SÞ "% ( %#

# " ' &(

5 œ ) ) # "$ "$ "& WM Þ "' #% ))

# $ "" ($


es COTA INFERIOR5 œ ) $





PÁG. 28



f) divisores de :+ œ "& „ " à „ $ à „ & à „ "&!

divisores de ;+ œ # „ " à „ #$

Por lo tanto; las posibles raíces racionales si existieran sería alguna delsiguiente conjunto:

„ " à „ $ à „ & à „ "& „ à „ à „ à „ $;" $ & "&# # # #

y con el análisis anterior, este se reduce a: " à $ à & à „ à à à " $ & "&

# # # #





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SÁBADO 24 DE NOVIEMBRE DE 2007: 11:30-13:00

CONTROL N° 3 DE AYUDANTÍA: ÁLGEBRA (MAT-601)

NOMBRE_______________________________SECCIÓN________

PREGUNTA 1 2 3 4 NOTAPUNTAJE


SUS RESPUESTAS

PREGUNTA 1:Exprese en su forma polar o trigonométrica el siguiente número complejo:

D œ Ð $ $ ß $ÑÈ SOLUCIÓN:

1º) Representar en el plano cartesiano D œ Ð $ $ ß $ÑÈ

& pertenece al segundo cuadrante.)

2º) < œ Ð $ $ Ñ $ œ ' $É È # # >+8 E œ œ E œ >+8 Ð Ñ œ $! #$ " "

$ $ $ $

"È È È º

º º º) œ ")! $! œ "&! #

3º) Por lo tanto; D œ 'Ð-9= "&! 3 =/8 "&! Ñ $º ºes la forma polar o trigonométrica.





PÁG. 30



PREGUNTA 2:Dado el número complejo: D œ Ð $ ß "ÑÈ

Calcule usando el Teorema de "DE MOIVRE"; È $ D

expresando sus resultados en la forma binomial + , 3 Þ(TODOS LOS CÁLCULOS QUE CORRESPONDAN CON DOS DECIMALES BIEN

APROXIMADOS)SOLUCIÓN:

1º) Representar en el plano cartesiano D œ Ð $ ß "Ñ $ 3È È ´

pertenece al segundo cuadrante.)

2º) < œ Ð $ Ñ " œ #É È # # º>+8 E œ E œ >+8 Ð Ñ œ $!" "

$ $

"È È

º º ºPor lo tanto; ) œ ")! $! œ "&! #

D œ #Ð-9= "&! 3 =/8 "&! Ñ #º º3º) Luego;

È $ D œ È $ #Ð-9= "&! 3 =/8 "&! Ñº º

œ #ÐÈ $ -9= 3 =/8 Ñ"&! 5 $'! "&! 5 $'!$ $

º º º º

con 5 œ !ß "ß # #

5 œ ! < œ"

È $ #Ð-9= 3 =/8 Ñ œ !Þ)" !Þ*( 3 $"&! "&!$ $

º º 5 œ "

< œ# È $ #Ð-9= 3 =/8 Ñ œ "Þ#% !Þ$% 3 $&"! &"!

$ $

º º 5 œ #

< œ$ È $ #Ð-9= 3 =/8 Ñ œ !Þ%$ "Þ") 3 $)(! )(!

$ $º º





PÁG. 31



PREGUNTA 3:(3.1) Dada la ecuación B ( B ' 3 œ !$ a) Verifique que es una raíz de la ecuación3b) Determine las otras raíces.

SOLUCIÓN:a) Ð3Ñ ( Ð3Ñ ' 3 œ 3 3 œ !$

Por lo tanto es una raíz de la ecuación.3 #b)1º) Por a) se tiene que es un factor del polinomioB 3 :ÐBÑ œ B ( B ' 3$ 2º) Usando división sintética: 3 " ! ( '3

3 " '3" 3 ' !

Es decir: B ( B ' 3$ œ ÐB 3ÑÐB 3 B 'Ñ# #3º) Luego:

B 3 B ' œ ! Ê B œ œ# 3 „ "#%# #

3„&3 È

"

Por lo tanto: B œ # 3 à B œ $ 3 4º) Las raíces de la ecuación son:

B œ $ 3 à B œ 3 à B œ # 3 $

(3.2) Determine el valor de de modo que se cumpla la condición dada:5 es divisible por .) B 5 B $ B % B %$ #

SOLUCIÓN:Como el divisor tiene como raíz a B œ %Þ $

Usando el teorema del resto se tiene que: :Ð%Ñ œ &"# "' 5 "# % œ ! Ê "' 5 œ %*' # Por lo tanto: 5 œ $" #





PÁG. 32



PREGUNTA 4: Determine para el siguiente polinomio:

:ÐBÑ œ B B B #B $& $ # a) el número de variaciones de signo;





f) el conjunto de las posibles raíces racionales si existieran.SOLUCIÓN:a) tiene 3 variaciones de signo. :ÐBÑ œ #B B B #B $& $ # b) tiene 3 variaciones de signo. :ÐBÑ œ B B B #B $& $ #

Por lo tanto, tiene 3 o 1 raíz positiva. #c) tiene 0 variación de signo :Ð BÑ œ B B B #B $& $ #

Por lo tanto, NO tiene raíz negativa. # (0 BIEN, SI CONSIDERA EL SIGNO DE EN como positivo! B%

tendría 2 variaciones de signo, y por lo tanto tendría 2 o 0 raíces negativas)d) COTA SUPERIOR: 5 œ " " " ! " " # $

" " # " $" " # " $ !

WM

(notar que es raíz o cero de )B œ " :ÐBÑ como el tercer nivel tiene términos no negativos

es COTA SUPERIOR5 œ " $e) COTA INFERIOR: 5 œ " " " ! " " # $ WM Þ

" " # $ &" " # $ & )


es COTA INFERIOR5 œ " $

f) divisores de :+ œ $ „ " à „ $!

divisores de ;+ œ " „ "&

Por lo tanto; las posibles raíces racionales si existieran sería alguna delsiguiente conjunto: „ " à „ $ $ y con el análisis anterior, este se reduce a: "





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UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MARTES 20 DE NOVIEMBRE DE 2007: 14:15-15:35

CONTROL N° 2: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __ 13PROFESOR__ __ LUIS OROZCO FUENZALIDA

(4.1) (4.2) TOTAL


:ÐBÑ œ B (B $B "% #








:ÐBÑ œ B B B "$ #

en el conjunto de los números complejos. (AYUDA: es una raíz o cero del polinomio)B œ "







PÁG. 34



UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 21 DE NOVIEMBRE DE 2007: 17:15-18:35

CONTROL N° 2: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __ 21PROFESOR__ __ NORMA BUSTOS CERDA

(4.1) (4.2) TOTAL


:ÐBÑ œ B B B #B #% $ #








:ÐBÑ œ B B B "$ #

en el conjunto de los números complejos. (AYUDA: es un factor del polinomio)B "#







PÁG. 35

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANAFACULTAD CS. NAT., MATEMÁTICA Y DEL MEDIO AMBIENTEDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MIÉRCOLES 21 DE NOVIEMBRE DE 2007: 15:45-17:05

CONTROL N° 2: ÁLGEBRA (MAT-601)NOMBRE_______________________________SECCIÓN__ __ 22PROFESOR__ __ ANDRÉS CARRILLO LÓPEZ

(4.1) (4.2) TOTAL


:ÐBÑ œ B B B B $% $ #








:ÐBÑ œ B #B #B "$ #

en el conjunto de los números complejos. (AYUDA: es raíz o cero del polinomio)B œ "



Raices polinomios

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