Presentacin de PowerPoint

GEOMETRA ANALTICA Y LGEBRASESIN 7: PLANOS EN EL ESPACIODepartamento de Ciencias

PLANOS

Luego, los estudiantes responden a las siguientes interrogantes: Cmo se define un plano en el espacio tridimensional? Cuntos tipos de ecuaciones del plano existen? Qu relacin existe entre rectas y planos en el espacio tridimensional Cmo se calcula la distancia mnima entre un punto exterior al plano y al plano mismo? LOGRO DE SESINAl finalizar la sesin, el estudiante grafica planos en el espacio tridimensional, utilizando propiedades de nmeros reales, puntos, vectores en el espacio; de forma precisa.

Preliminares. Definiciones.El plano. Definicin.Ecuaciones del plano:Ecuacin vectorialEcuacin paramtricaEcuacin simtrica4) Relacin entre planos:Planos paralelasPlanos ortogonalesngulos entre planos Distancia mnima de un punto a un plano.

CONTENIDOSEL PLANO. PRELIMINARESDefinicin 1.Dos vectores son paralelos si y slo si uno de ellos es mltiplo del otro.

Definicin 2.Sean los vectores , los vectores son linealmente dependiente, si y slo si

EL PLANO. PRELIMINARESDefinicin 3.Sean los vectores , los vectores son

linealmente independiente, si y slo si

GrficamenteSon L.D.Son L.I.

EL PLANO. ECUACIN VECTORIALDefinicin 3.

GrficamenteSea el plano que pasa por , y contiene a los vectores no paralelos , su ecuacin vectorial es:

xyzEL PLANO. CASOSCasos:

Definicin 5.Un vector es un vector normal a un plano, si es ortogonal al plano .

EL PLANO. ECUACIN PARAMTRICADefinicin 6.En la ecuacin vectorial del plano, si le damos coordenadas a los puntos, se tiene:

EL PLANO. ECUACIN NORMALDefinicin 7.Sea el plano que pasa por cuyo vector normal es , su ecuacin normal del plano es:

Ejemplo. Hallar la ecuacin del plano, si pasa por el punto (3,7,9) y el vector normal es paralelo al vector (-1,2,4).Solucin.Tenemos como dato y un vector normal lo podemos tomar el mismo vector con la misma direccin o algn vector paralelo al vector (-1,2,4). Considerando el mismo vector, se tiene:

ECUACIN CARTESIANA DEL PLANODefinicin 8.Sea el plano que pasa por cuyo vector normal es , su ecuacin cartesiana del plano, se consigue reemplazando las coordenadas de cada punto en la ecuacin normal del plano. Es decir:

Al multiplicar y simplificar trminos, llegamos a la ecuacin:

ECUACIN CARTESIANA DEL PLANOEjemplo.Sea el plano que pasa por cuyo vector normal es . Hallar la ecuacin cartesiana del plano.

Al multiplicar y simplificar trminos, llegamos a la ecuacin:Solucin.

Ec. Cartesiana del plano.ECUACIN SIMTRICA O SEGMENTARIA DEL PLANODefinicin 9.Es aquella ecuacin de la forma:

Donde los nmeros son las intersecciones del plano con los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente. yzxmnpRELACIN ENTRE PLANOS Definicin 10.Sean las ecuaciones cartesianas o generales de los planos: Decimos que los planos:PLANOS PARALELOS Y PERPENDICULARES

Donde los vectores normales son:

Son paralelos si y solamente si

Son perpendiculares si y solamente si

NGULO ENTRE PLANOSDefinicin 11.El ngulo entre planos es el mismo ngulo que forman sus respectivos vectores normales.

Donde los vectores normales son:

Sean los planos:

DISTANCIA MNIMA DE UN PUNTO EXTERIOR A UN PLANODefinicin 12.La distancia mnima de un punto exterior a un plano es la longitud ortogonal trazado del punto al plano. Proposicin: La distancia del punto exterior al plano

Es:

1. Hallar la ecuacin vectorial del plano que contiene a los puntos A=(1,0,2), B =(0,2,4) y C =(2,-4, 8).2. Hallar la ecuacin paramtrica del plano que contiene al punto A=(1,0,-6), y es perpendicular al vector B =(8,-2,4).3. Hallar la ecuacin cartesiana del plano que corta a los ejes coordenados, eje x en 5, eje y en 6 y eje z en 4. Graficar dicho plano.EJERCICIOS PROPUESTOSNCDIGOAUTORTITULOEDITORIALAO1516.3 OROZOROZCO MAYREN, GILBERTOGeometra Analtica: Teora y AplicacionesTrillas20072516.182 ESPI/EESPINOZA, RAMOS EDUARDOGeometra Vectorial en R32004, s.n.20043516.32ESPIESPINOZA RAMOS, EDUARDOGeometra Analtica Plana :Terico-PrcticoS.n200704/09/2014

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS