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PLANO CARTESIANO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Es el módulo de la medida algebraica de un segmento.

Del teorema de Pitágoras se obtiene:

( ) √ ( ) ( )

De donde:

( ) √( ) ( )

Distancia de un punto al origen de

coordenadas:

√

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

Si P1 ( X1 ; Y1 ) y P2 ( X2 ; Y2 ) son los extremos de un segmento P1 P2,

Las coordenadas ( x ; y ) de un punto P que divide a este segmento en la razón dada:

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Dónde: r ≠ -1

También:

(*) Si r es (+) P se encuentra dentro del segmento

(*) Si r es (-) P se encuentra en la parte exterior del segmento

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO

“P” es el punto medio r = 1 y se cumplirá:

INCLINACIÓN Y PENDIENTE DE UNA RECTA

INCLINACIÓN DE UNA RECTA

La inclinación de una recta es el ángulo que forma el semieje positivo x con la recta cuando

está dirigida hacia arriba.

α1 : Inclinación de L1

α2 : Inclinación de L 2

0º ≤ α < 180º

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PENDIENTE DE UNA RECTA

“La pendiente de una recta es la tangente trigonométrica de su inclinación”.

La pendiente de una recta se denota generalmente como “m” y se cumple:

m = tg α

La siguiente tabla muestra las inclinaciones para todas las posiciones que puede tomar una

recta y sus pendientes.

EXPRESIÓN ANALÍTICA DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA

“La pendiente de una recta no paralela al eje de las ordenadas, ni coinciden con él; es igual a la

diferencia entre las ordenadas de dos puntos de la recta dividida por la diferencia de las

abscisas”.

(*) Si la recta es horizontal (y1 = y2), su

pendiente es 0.

(*) Si la recta es vertical (x1 = x2), ella no

tiene pendiente.

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RECTAS PARALELAS

Son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Es evidente que dos rectas verticales son

paralelas, pero por no tener pendiente.

Si: α1 = α2 m1 = m2

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas son perpendiculares si la diferencia de sus inclinaciones es un ángulo recto. “Dos

rectas, de las cuales ninguna es perpendicular al eje de abscisas, son perpendiculares si y sólo

si el producto de sus pendientes es -1”

(*) Si: |α1 – α2| = 90°

m1 . m2 = -1

O también:

(*) Es evidente que dos rectas una

vertical y la otra horizontal, son

perpendiculares, pero no satisfacen

la condición dada.

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ÁNGULO QUE DETERMINAN DOS RECTAS SECANTES

El ángulo entre las rectas, se mide en sentido antihorario, de la recta inicial a la final. En la

figura, la recta inicial es L 1 y la recta final es L 2.

Observamos que:

θ = α2 – α1

TANGENTE DEL ÁNGULO QUE DETERMINAN DOS RECTAS SECANTES

tg θ = tg(α2 – α1)

m1 ≠ m2

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LA LÍNEA RECTA

Es el lugar geométrico de todos los puntos que tienen una misma pendiente y que pasan por un

mismo punto. Una recta representada en el plano cartesiano tiene la forma de una ecuación

lineal y sus ecuaciones tienen características particulares para sus posiciones relativas al

sistema de coordenadas.

ECUACIONES DE LA RECTA

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

La ecuación general de la recta “L ” cuya pendiente “m” es igual a

es:

Ax + By + C = 0

Dónde:

Si; y = 0

Representa la intersección con el eje “x”

Si; x = 0

Representa la intersección con el eje “y”

Comprobación:

( )

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ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE

La recta que pasa por el punto dado P1 ( x1 , y1 ) y tiene la pendiente dada m, tiene por

ecuación

y – y1 = m ( x – x1 )

ECUACIÓN PENDIENTE Y ORDENADA

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La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación

y = mx + b

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

La recta que pasa por dos puntos dados P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) tiene por ecuación

( ), x1 ≠ x2

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

La distancia d de una recta Ax + By + C = 0 a un punto dado P1 ( x1 – x1 ) puede obtenerse

sustituyendo las coordenadas del punto en el primer miembro de la forma normal de la ecuación

de la recta. El valor esta dado entonces por

√

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DISTANCIA ENTRE RECTAS PARALELAS

La distancia entre las rectas paralelas L 1 : Ax + By + C1 = 0 y la recta

L 2 : Ax + By + C2 = 0 viene dado por:

√