Plan de Superacion-3 10º

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PLAN DE SUPERACIÓN DE LOGROS TERCER PERIODOGRADO DECIMO

Docente: Samir Franco Hernández Área: Matemáticas Asignatura: Trigonometría

Fecha de Entrega: Septiembre 23 de 2011 Fecha de Asesoría: ________________ Fecha de Evaluación: ________________

Logros Evaluados:

Determinar el área de un triángulo oblicuángulo aplicando el teorema del seno y del cosenoEstablecer relaciones entre los elementos de un vector y las funciones trigonométricas, pararesolver problemas de aplicaciónReconocer las identidades trigonométricas básicas y la emplea para simplificar expresiones

Calcular la distancia entre dos puntos, el punto medio de una porción de recta, la pendiente y elángulo de inclinación

Criterios de Evaluación:

♦Asistir a la asesoría programada y orientada por el educador♦Presentar el plan de trabajo completo y en los tiempos asignados para ello♦Aprobar como mínimo el 60 % de la evaluación de superación de logros

RESUMEN

Teorema de los senos

Cada lado de un tr iángulo es d irectamente proporcional al seno del ángulo

opuesto.

Teorema del coseno

En un triángulo el cuadrado de cada lado es igual a la suma d e los cuadrados de

los otros dos menos el doble p roducto del producto de ambos por el coseno d el

ángulo que forman.



Área de un triángulo

El área de un tr iángulo es la mitad de l producto de una base por la a ltura

correspondiente.

Caso 1: Se conocen las medidas de dos lados y el ángulo comprendido entreellos

El área de un triángulo es el semiproducto de dos de sus lados por el seno del

ángulo que forman.

Caso 2: Se conocen las medidas de tres lados

Fórmula de Herón:

S = 1 (a+ b + c) semiperímetro del triángulo2

A= √s(s-a)(s-b)(s-c)

Ejemplos:

1. Determinar el área de ABC si a = 4cm, b = 5 cm y C = 124°

A = a. b Sen C = 4cm. 5cm Sen 124° = 20 cm2 . 0,82 = 16, 4 cm2 = 8,2 cm2

2 2 2 2

Respuesta: El área del triángulo ABC es de 8,2 cm2

h

c

bA

B

C

a

A

A

C

A

B

c

a= 4 cm

b=5cm



2. Determinar el área de MNP si m = 4,3cm, n = 5,6 cm y p = 6,2 cm

Se calcula el semiperimetro S = 1 (a+ b + c) = 1 ( 4,3 + 5,6 + 6,2) = 1 (16,1) = 8,05 cm2 2 2

El área es:

A= √s(s-a)(s-b)(s-c) = √8,05(8,05 – 4,3)(8,05-5,6)(8,05 – 6,2)

A = √ 8,05 (3,75)(2.45)(1,85) = √ 136.84 = 11,69 cm2

Respuesta: El área del tr iángulo es 11,69 cm 2

VECTORES

Un vector queda definido cuando se dan dos puntos en un orden determinado; El primero se llamaorigen o punto de aplicación del vector y el segundo extremo.

La longitud del segmento determinado por los dos puntos es el módulo del vector, la recta a la quepertenece dicho segmento es su dirección y el sentido que sobre dicha recta determina el orden en quese dan los dos puntos es el sentido.

Para la escritura de vectores se utiliza la notación V, la notación V, sin flecha, indica módulo del vector.

La eficacia de una cantidad vectorial depende de la dirección en la que actúa. Por ejemplo, supongauna fuerza (cantidad vectorial) que mueve una caja grande arrastrándola por el suelo. La caja semoverá más fácil si se hala por medio de una cuerda inclinada (como se muestra en la figura) que si seempuja, debido a que la cuerda levanta la caja y la mueve hacia adelante al mismo tiempo. En forma

similar, al empujar la caja, se produce el efecto de añadir peso. Esto da la idea de que una fuerza, y engeneral, un vector, tiene componentes verticales y horizontales que podrían reemplazar al vector.

En general, las componentes de un vector son otros vectores, en direcciones particulares. El eje dereferencia principal más utilizado es el plano cartesiano. Según éste marco de referencia, las

componentes horizontales son vectores en dirección al eje x y las componentes verticales son vectoresen dirección al eje y.

M

p

n=5,6 cm

m=4,3 cm

p=6,2 cm



Las magnitudes de las componentes se encuentran relacionadas con la magnitud del vector principalpor medio del teorema de Pitágoras , tomando como catetos las componentes, y como hipotenusa elvector principal. La dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes de lascomponentes por medio de las relaciones trigonométricas conocidas para un triángulo rectángulosimple. Las relaciones más utilizadas son el seno, coseno y tangente.

Ejemplo. Encuentre la magitud de las componentes en x e y del vector (3.5 u,60º).

La componente en x se puede encontrar fácilmente utilizando la relación del cosena:

Resolviendo: Componente en x = (3.5 u)*cos(60º) = 1.75 u.

De manera similar, se puede encontrar la magnitud de la componente en y por medio de la relacióndel seno; pero además se conoce la magnitud del vector principal, lo cual permite utilizar el teorema de

pitágoras:

Resolviendo:

Componente en y = 3.03 u

En general, las componentes de un vector pueden verse como efectos o proyecciones a lo largo de losejes x e y. Considere el vector V. Podemos escribir las componentes en x e y del vector V en términosde su magnitud V y su dirección θ:

- Componente en x, o Vx = V cos θ

- Componente en y, o Vy = V sen θ

Donde θ es el ángulo, medido en dirección antihoraria, entre el vector V y el lado positivo del eje x.



SIMPLIFICACION DE EXPRESIONES TRIGONOMETRICAS

Las identidades trigonométricas se uti l izan para simplif icar expresiones que

involucran funciones tr igonométricas y encontrar expresiones equivalentes. Para

realizar la simplif icación se uti l izan los procedimientos algebraicos.

Aunque no se aplica un método general para simplif icar expresionestrigonométricas, es úti l en algunos casos escribir todas las funciones

trigonométricas involucradas en términos de una sola función

Ejemplos

Simplificar las fracciones:

1

2

3



Identidades trigonométricas fundamentales

Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

Relación secante tangente

sec² α = 1 + tan² α

Relación cosecante cotangente

csc² α = 1 + cot² α

Ejemplos de identidades trigonométricas

Comprobar las identidades trigonométricas:

1

2



3

4

5

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Dos Puntos Del Plano)D

LINEA RECTA

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano.

La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d = esta dada por:

(1)



COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO

Consideremos el segmento cuyos extremos son los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2)

Las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2 ) son:

x1 + x2 , y1 + y2 2 2

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es el grado (medida) de inclinación de una recta, la razón de cambio en y con respecto al cambio en x.

Si una recta pasa por dos puntos dintintos (x1, y1) y (x2, y2), entonces su pendiente (m) está dada por:

Esto es,

Si P1(x1, y1) y P2 (x2, y2) son dos puntos distintos sobre una recta no vertical L entonces de acuerdo a ladefinición de pendiente se tiene:



La pendiente de una recta puede ser positiva, negativa o cero, según el ángulo de

inclinación de la recta, así:

Si = 0o entonces m= 0 (fig. a)

Si 0o < < 90o entonces m > 0 (fig. b)

Si 90º < < 180o entonces m < 0 (fig. c)

Ejemplos

La pendiente de la recta que pa sa por los puntos A(2, 1), B(4, 7) es:



TALLER DE REFUERZO TERCER PERIODO

Nombre del Estudiante:________________________________________ Grado:_________

1. AREA DE TRIÁNGULOS CON APLICACIÓNDE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Determinar el área indicada:

a. Área de RST si r= 6 cm, s= 7,8 cm,ے T= 132° b. Área de MNP si m= 3,8 cm, n= 6,7 cm,ے P= 128°

c. Área de DEF si d= 4,5 cm, e= 5,2 cmے F= 146° d. Área de ABC si a= 6 cm, b= 7 cm,c=9cm

e. Área de HIJ si h= 3,6 cm, i=4,8 cm, j= 6,2 cm

f. Área de XYZ si x= 4,9 cm, y= 5,8 cm,

z= 7,1 cm

2. PROBLEMA DE APLICACION

a. Para calcular aproximadamente el área de unlago, un topógrafo camina por todo el perímetrodel lago y toma las medidas como se muestranen la siguiente figura ¿Cuál es el áreaaproximada del lago?

3. VECTORES

a. Determinar las componentes del vectorv = 12,1 cm si su dirección es 123°Noroeste.Realizar su representación en el plano

b. Determinar las componentes, la norma y ladirección del vector v=(-5, -7). Realizar surepresentación en el plano

4. SIMPLIFICACIÓN DE EXPRESIONESTRIGONOMÉTRICAS

Escribir cada expresión en términos de seno ycoseno. Luego, simplificar

a. Sec2 z – Tan2 zb. Cos A + Tan A Sen Ac. Sen x Cos x Csc xd. Sen2 w Cot2 w

e. Cos β ( Sec β _ Cot β )Csc β

5. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Demostrar las siguientes identidadestrigonométricas

a. Tanα = Senα Secα

b. Sec x _ Tan x = 1Cos x Cot x

c. (1 – Sen w) (1 + Sen w) = Cos2 w

d. Tan2β – Sen2β = Tan2β .Sen2β

e. Sen z + Cos z = 1 + Tan z

Sec z

6. PROBLEMA DE APLICACIÓN

El crecimiento de una colonia de hormigadurante el invierno está dado por la expresión

___1 + Tan2 α _____ Sec 2 α (Senα + Cos α)

Demostrar que la expresión:

Secα 1 + Tan α

Es una forma simplificada de la expresión

46 m

67 m

52 m

48 m

32 m

123°

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