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CAPÍTULO 6

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

6.1 FUNCIONES TRASCENDENTES

Las funciones trascendentes se caracterizan por tener lo que se llama argumento . Un argu-mento es el número o letras que lo simbolizan que hacen que una función adquiera un valor, es decir,que se convierta en un número. Sin él, la función es vacía, o sea, no tiene valor.

Por ejemplo, la función sen (seno) es vacía, no tiene ningún valor porque le falta el argu-mento, le falta ese número que la transforme en una cantidad concreta. Si a la función anterior sele agrega un número cualquiera, por ejemplo el 26 para tener sen 26 entonces esto ya adquiere un

valor, el cual es . A este número 26 que hizo que sen adquiriera un valor26 0 4383711sen .se le llama argumento .

Otro ejemplo: la función log (logaritmo) es vacía, no tiene asociado ningún valor, pero si

se le agrega 107 para tener log 107 entonces así ya adquiere el valor . En107 2 029383log .este caso el 107 es el argumento de la función logaritmo.

De la misma forma, arc tan (arco tangente o tangente inversa) es vacía, no tiene asociadoningún valor, pero si se le agrega el número 1.23 para tener arc tan 1.23 ya adquiere el valor

. En este caso el número 1.23 es el argumento de la función arc tan.1 23 50 8886arc tan . .

Funciones trigonométricas

84

Las principales funciones trascendentes son:

a) trigonométricas;b) trigonométricas inversas yc) logarítmicas y exponenciales.

No son todas, pero las que se van a estudiar en este curso serán ésas. Dos característicasinteresantes en todas las fórmulas de derivación de las funciones trascendentes son que el argumentoestá representado siempre por la letra u y la segunda es que todas las fórmulas terminan multiplican-

do por la derivada del argumento, o sea por .du

dx

Es conveniente tener presentes las reglas de escritura matemática para identificar el argumen-to en una función trascendente, en las que el símbolo de la función se refiere a la escritura con laque se invoca la función correspondiente. Por ejemplo, sen es el símbolo de la función seno; cos

es el símbolo de la función coseno; log es el símbolo de la función logaritmo, etc.

Dichas reglas son:

1) El argumento comienza con el símbolo escrito inmediatamente después del símbolo de lafunción.

Ejemplos:

a) 3 1cos x

El argumento comienza con el paréntesis por ser lo que estáeinmediatamente después del símbolo de la función cos. Porrazones obvias, termina donde cierra el paréntesis.

Funciones trigonométricas

85

b) 2 7tan x x

El argumento comienza con la raíz cuadrada por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la función tan.

c) 22arc sec x y El argumento comienza con el número 2 por ser lo que está

einmediatamente después del símbolo de la función arc sec.

d) 4tan cos x

El argumento comienza con la función coseno por ser lo que está

escrito inmediatamente después del símbolo de la función tan ,es decir, el argumento de la tangente es cos 4x.

2) Todos los factores monomios pertenecen al argumento. En el caso de que alguno no sea partedel argumento, éste debe escribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:

a) 3 53sen ab xy

Todos éstos son factores monomios, por lo tanto el argumento

de la función seno es 3ab3xy5. En caso de que, por ejemplo,y5

no fuera parte del argumento, así está mal escrito y debe

escribirse .5 33y sen ab x

Funciones trigonométricas

86

3) Solamente el primer término pertenece al argumento. En caso de que otros términos seanparte del argumento, deben encerrarse entre paréntesis. O en caso de que no lo sean, debenescribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:

Una escritura así provoca la duda ¿6x - 3 son también parte42 6 3csc x x

del argumento? Conforme a esta regla, no son y debería escri-birse como 6x - 3 + csc 2x4. O en todo caso, si lo son su escri-tura correcta sería csc (2x4 + 6x - 3).

4) Solamente el 1er factor polinomio es parte del argumento. En caso de que un 2º factor polino-mio no sea componente del argumento, debe escribirse antes de la función trascendente.

Ejemplo:

Esta escritura es incorrecta porque se presta a dudas: ¿El fac- 2 5 6 4 1cot x x x

tor (4x - 1) es parte del argumento? Para evitar estas ambigüe-dades existe la regla anterior que dice que no y que además

ordena escribirlo como ; pero en 24 1 5 6x cos x x

el caso de que fuera parte del argumento, su escritura correcta

sería 2 5 6 4 1cos x x x

5) Un exponente escrito sobre el símbolo de la función indica que toda la función está elevadaa dicha potencia.

Ejemplo:

Este exponente indica que la función cotangente es la que 3 5 6cot x

está elevada al cubo, o sea que

Funciones trigonométricas

87

3 5 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x cot x cot x

6) Un exponente escrito sobre el argumento indica que es el argumento el que está elevado adicha potencia.

Ejemplo

Este exponente indica que el argumento (5x - 6) es el que está 35 6cot x

elevado al cubo, o sea que

35 6 5 6 5 6 5 6cot x cot x x x

Nótese como se cumplen las reglas de escritura anteriores.

7) Todo argumento negativo debe escribirse entre paréntesis.

Ejemplo:

La razón de esta regla es para evitar confusiones en los inex- 2sen x

pertos que interpretan como resta cuando se escribe

, a pesar de que carece de sentido una resta así,2sen xpues la función sen estaría vacía (sin argumento), ya que seestaría tomando como un término a sen y como otro términoa - 2x.

8) Cuando una función trascendente está dividida entre cualquier cantidad, debe escribirse lafracción que indica la división antes de la función trascendente. En caso de que sea solamenteel argumento el que esté dividido, debe encerrarse el argumento entre paréntesis o en casoextremo debe escribirse la línea de fracción claramente a la mitad del símbolo de la función.

Ejemplos

Funciones trigonométricas

88

Lo que pide esta regla es que se evite escribir el ejemplo anterior 16 1

3log x

como , pues es frecuente una escritura deficiente 6 1

3

log x

como que provoca la duda: ¿El 3 divide a toda la 6 1

3

log x

función o solamente al argumento?.

Para evitar las confusiones señaladas en el ejemplo anterior, con6 1

3

xsec

un paréntesis en el argumento se deja en claro qué divide el 3.

6.2 FÓRMULAS PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Las fórmulas de derivación de las seis funciones trigonométricas son:

(9)d du

sen u cos udx dx

(10)d du

cosu sen udx dx

(11) 2d dutanu sec u

dx dx

(12) 2d ducot u csc u

dx dx

(13)d du

secu tanu secudx dx

Funciones trigonométricas

89

(14)d du

cscu cot u cscudx dx

Debe notarse que la derivada de una función trigonométrica es otra, u otras, función trigono-métrica con el mismo argumento. Esto es muy importante: el argumento nunca cambia. Además

todas las fórmulas terminan multiplicando por la derivada del argumento du

dx

Ejemplo 1: Hallar la derivada de 5y sen x

Solución: El argumento es 5x, o sea que u = 5x. Aplicando la fórmula (9) se obtiene

5 5dy d

cos x xdx dx

cos u d

udx

5 5dy

cos xdx

Nótese que el argumento 5x no cambia de la función original al resultado de la derivada.

Ejemplo 2: Hallar la derivada de y= cos x2.

Solución: El argumento es x2, o sea que u = x2. Aplicando la fórmula (10) se obtiene

Funciones trigonométricas

90

2 2dy dsen x x

dx dx

- sen ud

udx

22dy

x sen xdx

Ejemplo 3: Hallar la derivada de y = tan (x2 - 3x + 5)

Solución: El argumento es (x2 - 3x + 5), o sea que u = x2 - 3x + 5. Aplicando la fórmula (11) se obtiene:

2 2 23 5 3 5dy d

sec x x x xdx dx

sec 2 ud

udx

2 22 3 3 5dy

x sec x xdx

Ejemplo 4: Hallar la derivada de 7y cot x

Solución: El argumento es , o sea que . Aplicando la fórmula (12):7x 7u x

Funciones trigonométricas

91

2 7 7dy d

csc x xdx dx

1 22 7 7/dy d

csc x xdx dx

-csc 2 ud

udx

La derivada pendiente es de la forma un, por lo que

2 1 217 7 7

2/dy d

csc x x xdx dx

1n

n ud

udx

2 77

2 7

dycsc x

dx x

Finalmente ordenando conforme a las reglas de escritura matemática

277

2 7

dycsc x

dx x

Ejemplo 5: Hallar la derivada de 4

1y sec

x

Funciones trigonométricas

92

Solución: El argumento es , o sea que . Aplicando la fórmula (13):4

1

x 4

1u

x

4 4 4

1 1 1dy dtan sec

dx x x dx x

44 4

1 1dy dtan sec x

dx x x dx

54 4

1 14

dytan sec x

dx x x

Finalmente ordenando conforme a las reglas de escritura matemática

5 4 4

4 1 1dytan sec

dx x x x

Ejemplo 6: Hallar la derivada de 4 5

3

6 1y csc

x

Solución: El argumento es , o sea que . Aplicando la fórmula (14):54

3

6 1x 4

3

6 1u

x

5 5 54 4 4

3 3 3

6 1 6 1 6 1

dy dcot csc

dx dxx x x

1 45

5 54 4

3 33 6 1

6 1 6 1

/dy dcot csc x

dx dxx x

La derivada pendiente es de la forma un, por lo que

Funciones trigonométricas

93

5 45 5

5 54 4

3 3 36 1 6 1

46 1 6 1

/dy dcot csc x x

dx dxx x

4

5 45 54 4 5

3 303 3

6 1 6 1 4 6 1/

xdycot csc

dx x x x

Finalmente ordenando conforme a las reglas de escritura matemática

4

5 4 5 54 45

90 3 3

6 1 6 14 6 1/

dy xcot csc

dx x xx

Ejemplo 7: Hallar la derivada de 524 4 7y sen x x

Solución: El argumento es (4x2 - 4x + 7)5 , por lo que u = (4x2 - 4x + 7)5. Empleando la fórmula (9):

5 52 24 4 7 4 4 7dy d

cos x x x xdx dx

La derivada pendiente es de la forma un, por lo que

42 2 24 4 7 5 4 4 7 4 4 7dy d

cos x x x x x xdx dx

n u n - 1d

udx

Funciones trigonométricas

94

5 42 24 4 7 5 4 4 7 8 4dy

cos x x x x xdx

finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:

4 52 25 4 4 7 8 4 4 4 7dy

x x x cos x xdx

EJEMPLOS CON POTENCIAS

Ejemplo 8: Hallar la derivada de 4 5y cos x

Solución: Como la función es lo mismo que , tiene la forma de un, en donde4 5y cos x 4

5y cos x

u = cos 5x y n = 4. Entonces aplicando la fórmula (6) correspondiente a un de la página 69 se

obtiene:

3

4 5 5dy d

cos x cos xdx dx

n - 1

n u d

udx

La derivada pendiente es de la forma cos u:

34 5 5 5

dy dcos x sen x x

dx dx

- sen ud

udx

Funciones trigonométricas

95

34 5 5 5dy

cos x sen xdx

Finalmente, ordenando conforme a las reglas de escritura matemática se llega a

320 5 5dy

cos x sen xdx

Ejemplo 9: Hallar la derivada de 3 27 5 7y x tan x

Solución: La función tiene la forma del producto uv, en donde y . Entonces37u x 25 7v tan x

aplicando la fórmula (7) del producto uv de la página 77:

3 2 2 37 5 7 5 7 7dy d d

x tan x tan x xdx dx dx

u vdv

dx

du

dx

La primera derivada pendiente es de la forma tan u, en donde u = 5x2 - 7:

3 2 2 2 2 27 5 7 5 7 5 7 21dy d

x sec x x tan x xdx dx

sec 2 u d

udx

Funciones trigonométricas

96

3 2 2 2 27 5 7 10 5 7 21dy

x sec x x tan x xdx

Nótese que el factor se escribió con un paréntesis de diferente forma al del argumento221x de la tangente para evitar confusiones y dejar claro que no pertenece al argumento. Finalmente,ordenando conforme a las reglas de escritura matemática:

4 2 2 2 270 5 7 21 5 7dy

x sec x x tan xdx

Ejemplo 10: Derivar 4

2

5sen xy

sec x

Solución: La función tiene la forma de un cociente, en donde y :45u sen x 2v sec x

v udu

dx

dv

dx

2 4 4 2

22

5 5d d

sec x sen x sen x sec xdy dx dxdx sec x

v 2

La primera derivada pendiente o indicada es , la cual se deriva con la fórmula de4 5d

sen xdx

un (ver ejemplo 8), ya que sen 4 5x = (sen 5x)4; en donde ahora por cambiar de fórmula

Funciones trigonométricas

97

y n = 4, mientras que la segunda derivada pendiente es , la cual es de5u sen x 2dsec x

dx

la forma sec v , en donde v = x2 . Nótese que aunque la fórmula original está expresada en

términos de la variable u, es decir,

, d du

secu tanu secudx dx

en este caso se está empleando la variable v , esto es

d dvsec v tan v sec v

dx dx

en virtud de que la variable u se utilizó en la primera derivada pendiente. Realizando las deriva-das indicadas:

n u n - 1 tan v sec vdu

dx

dv

dx

2 3 4 2 2 2

2 2

4 5 5 5d d

sec x sen x sen x sen x tan x sec x xdx dx

dy

dx sec x

Como :d du

sen u cos udx dx

2 3 4 2 2

2 2

4 5 5 5 5 2d

sec x sen x cos x x sen x tan x sec x xdy dx

dx sec x

Funciones trigonométricas

98

Finalmente, multiplicando y ordenando conforme a las reglas de escritura se llega a

2 3 4 2 2

2 2

20 5 5 2 5dy sec x sen x cos x x sen x tan x sec x

dx sec x

Ejemplo 11: Derivar .4y tan sen x

Solución: En este caso debe distinguirse en primer lugar que el argumento de la función trigonométricatangente es a su vez la función trigonométrica seno; y que el argumento de este seno es 4x.Significa que la función a derivar tiene la forma de tan u, en donde u = sen 4x.. Utilizandoentonces la fórmula de derivación de la tangente se obtiene que

2 4 4dy d

sec sen x sen xdx dx

sec 2 udu

dx

2 4 4 4dy d

sec sen x cos x xdx dx

cos udu

dx

24 4 4dy

sec sen x cos xdx

Como no es argumento de la secante, para evitar confusiones debe escribirse dicho4cos xcoseno por delante:

Funciones trigonométricas

99

24 4 4dy

cos x sec sen xdx

EJERCICIO 6.1

Hallar la derivada de las siguientes funciones trigonométricas:

1) 2)8y sen x 2 6y cos x

3) 4) 2y tan x x 42 6y cot x x

5) 6)53y sec x7

1y csc

x

7) 8)2

y senx

8

3

2y cos

x

9) 10) 6 4 5y tan x 7

5

3 5y cot

x

11) 12)2

y sec xx

3 2 6y csc x x x

13) 14)4 2y sen x 3 6y cos x

Funciones trigonométricas

100

15) 16)5 7y tan x 7y sec x

17) 18) 2 5y csc x 24y sen x x

19) 20)4

1

6y

cos x 9 8 3y cot x

21) 22)3 5y cot x sec x 7 4 9y x cot x

23) 24) 15y x csc

x

723 1y tan x x

25) 26)2

3 1

xy cos

x

5

2sen xy

x

27) 28) 1

xy

sec x

4 6

5

7y

cot x

29) 30)2y tan cos x 5y csc sen x

31) 32) 75 2 3y tan x 2

2

cot xy

x