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PLANEACION DE

PROYECTOS:

PERT Y CPM

Raul Araujo Cajamarca

Proyectos:

Un proyecto es cualquier empresa humana

con un claro principio y un claro final

(Gallagher)

Poseen algunas características comunes:

Combinación de actividades

Relación secuencial entre actividades

Preocupación por el tiempo

Preocupación por los recursos


Planeación, programación y control

La Planeación requiere desglosar el

proyecto en actividades, estimar recursos,

tiempo e interrelaciones entre actividades.

La Programación requiere detallar fechas de

inicio y terminación.

El Control requiere información sobre el

estado actual y analiza posibles trueques

cuando surgen dificultades.


Herramientas de planeación,

programación y control Gráficas de Gantt

Modelos de redes:

Redes deterministas (CPM = Método de la ruta crítica)

Redes probabilistas (PERT = Técnica de evaluación y revisión de programas)

También existen otras técnicas


Ejemplo: Construcción de una casa

Activ

Descripción

Predecesor

Durac. (sem)

A Cimientos, paredes - 4

B Plomería, electricidad

A 2

C Techos A 3

D Pintura exterior A 1

E Pintura interior B, C 5


Gráfica de Gantt

A

B

C

D

E

4 7 12 0 1 2 3 5 6 8 9 10 11


Red de actividades

Inicio A

B

C

D

E Fin


Ruta crítica

La Ruta Crítica es la ruta más larga a

través de la red

Determina la longitud del proyecto

Toda red tiene al menos una ruta crítica

Es posible que haya proyectos con más

de una ruta crítica


¿Cuál es la ruta crítica de la red

anterior?

Este proyecto tiene tres rutas posibles:

Inicio – A – B – E – Fin

Inicio – A – C – E – Fin

Inicio – A – D – Fin

¿Cuál es la duración de cada una?


¿Cómo se encuentra la ruta crítica?

Es necesario agregar a la red los

tiempos de cada actividad

Los tiempos se agregarán en cada

nodo

Las flechas sólo representan la

secuencia de las actividades



Inicio A

B

C

D

E Fin

0 4

2

3

1

5 0



Para cada actividad se calcularán 4

tiempos

Se denotarán:

ES EF

LS LF



1. Tiempo de inicio temprano: Es el

tiempo más temprano posible para

iniciar una actividad

ES = EF más alto de la(s)

actividad(es) anterior(es)



2. Tiempo de terminación temprano: Es

el tiempo de inicio temprano más el

tiempo para completar la actividad

EF = ES de la actividad más

duración de la actividad

El ES y el EF se calculan recorriendo

la red de izquierda a derecha



Inicio A

B

C

D

E Fin

0 4

2

3

1

5 0

0 0 0 4

0+4=

4 6

4 7

4 5

7 12 12 12



3. Tiempo de terminación más lejana: Es

el tiempo más tardío en que se puede

completar la actividad sin afectar la

duración total del proyecto

LF = LS más bajo de la(s)

actividad(es) próxima(s)



4. Tiempo de inicio más lejano: Es el

tiempo de terminación más lejano de

la actividad anterior menos la duración

de la actividad

LS = LF de la actividad – duración de

la actividad

Para calcular LF y LS la red se

recorre de derecha a izquierda



Inicio A

B

C

D

E Fin

0 4

2

3

1

5 0

0 0 0 4

4 6

4 7

4 5

7 12 12 12

12 12

12

12 7

11

7 5

7 4

4 0 0 0



Después de calculados los cuatro

tiempos de cada actividad, se calculan

las holguras

La holgura es el tiempo que se puede

atrasar una actividad sin afectar la

duración total del proyecto

H = LF – EF



Inicio A

B

C

D

E Fin

0 4

2

3

1

5 0

0 0 0 4

4 6

4 7

4 5

7 12 12 12

12 12

12

12 7

11

7 5

7 4

4 0 0 0 H=0

H=0

H=7

H=0

H=1

H=0 H=0



La ruta crítica se encuentra como

aquella ruta para la cual todas sus

actividades tienen holgura igual a cero

Generalmente se marca en la red la

ruta crítica

En este caso es la ruta:

Inicio – A – C – E – Fin



Inicio A

B

C

D

E Fin

0 4

2

3

1

5 0

0 0 0 4

4 6

4 7

4 5

7 12 12 12

12 12

12

12 7

11

7 5

7 4

4 0 0 0 H=0

H=0

H=7

H=0

H=1

H=0 H=0


Se desea determinar la duración de todo el proyecto,

dados los tiempos de duración de cada actividad:

Actividad Precedencia Duración

(Semanas)

A --- 3

B A 4

C A 5

D B, C 2

E B, C 3

F D, E 3

Graficar la red de actividades del proyecto: “Instalación

de un equipo nuevo”

Diagrama Gant: Construir Casa Actividad Duracion Precedente

Bases 4 -

Estructura 10 Bases

Griferia 9 Estructura

Electricidad 6 Estructura

Paredes Interiores 8 Grif / Elect

Paredes Exteriores 16 Estructura

Pintura interior 5 Pared Interior

Pintura Exterior 9 Pared Exterior

Acabados 6 Pint. Int & Ext. Raul Araujo Cajamarca

Caso probabilístico: El método PERT.

En la vida real, las actividades que comprenden

un proyecto ocurrirán en el futuro y el futuro es

incierto.

Esto se refleja en la existencia de incertidumbre

en la duración de cada actividad.

En el ejemplo anterior, ¿Quién garantiza que la

actividad C se inicie exactamente en la semana 3 y

dure 5 semanas? Más aún, ¿Quién garantiza que el

proyecto dure exactamente 14 semanas?

Al existir incertidumbre, se ingresa al terreno de

las probabilidades. Raul Araujo Cajamarca

8.1 Supuestos que establece el método PERT

A) La duración de cada actividad (ti) se convierte en una variable aleatoria continua la cual se expresa bajo tres tipos de estimaciones, en orden ascendente:

Una estimación optimista (o) Es la duración si todo sale bien.

Una estimación más probable (m) Es la duración más realista, si todo sale normal.

Una estimación pesimista (p) Es la duración si todo sale mal.

o m p Raul Araujo Cajamarca

B) Dicha variable aleatoria se distribuye

aproximadamente como una Distribución Beta con

una dispersión de 6 desviaciones estándar entre

las colas. Por lo tanto, el promedio y la varianza de

dicha variable aleatoria se calcula de la siguiente

manera:

o m p

P(ti)

ti

4Promedio:

6i

o m pt

2

2Varianza: 6it

p o


8.2 Cálculo de la probabilidad de que el

proyecto termine en determinada fecha

Para ello se necesita:

Dos supuestos adicionales a los establecidos por el

método PERT:

Las duraciones de cada actividad ti son variables

aleatorias estocásticamente independientes.

A pesar que la duración de cada actividad es una variable

aleatoria, la ruta crítica siempre será la misma.

Los dos supuestos anteriormente descritos

permiten la aplicación del Teorema del Límite

Central.


El Teorema del Límite Central establece

que:

La suma de “n” variables aleatorias

independientes tiende aproximadamente a una

Distribución Normal con:

Promedio: μ = μ1 + μ2 + μ3 + … + μn

Varianza: σ 2 = σ1 2 + σ2

2 + σ3 2 + … + σn

2


Por lo tanto, la duración de un proyecto es una

variable aleatoria aproximadamente normal con:

Promedio = La suma de las duraciones promedio de

las actividades que forman la ruta crítica.

Varianza = La suma de las varianzas de las

actividades que forman la ruta crítica.

Si el proyecto posee más de una ruta crítica, la

varianza de la duración del proyecto se

determina calculando las varianzas de cada ruta

crítica y luego eligiendo aquella de mayor valor.


8.3 Ejemplo de aplicación del método

PERT

Volviendo al proyecto: “Instalación de un

equipo nuevo”:

Supóngase que ante la incertidumbre se consulta

a expertos sobre la duración de cada actividad,

consolidando sus apreciaciones en el siguiente

cuadro:


Proyecto: “Instalación de un equipo

nuevo”

Activi-

dad Nombre

Prece-

dencia

Tiempo (semanas)

Opti-

mista

Más

proba-

ble

Pesi-

mista

A Detener operaciones de la línea --- 1 2 9

B Preparación del suelo A 2 3.5 8

C Preparación del sistema eléctrico A 4 4 10

D Calibración del nuevo equipo B, C 1 2 3

E Conexión del nuevo equipo B, C 1 2 9

F Pruebas y arranque final D, E 1 2 9


Se desea saber lo siguiente:

A) La ruta crítica del proyecto.

B) ¿Cuál es la distribución de probabilidad asociada a la

variable aleatoria: “Duración del Proyecto”?

C) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto a lo

más en 14 semanas?

D) Si el contratista que llevará a cabo el proyecto lo

termina en 12 semanas, recibe un bono de $1000.00

¿Qué probabilidad hay en ganar el bono?

E) ¿En qué fecha como máximo debe ofrecerse la

entrega del proyecto para tener un 90% de probabilidad

de cumplir? Raul Araujo Cajamarca

A) La ruta crítica del proyecto

Se grafica la red y se trabaja con los tiempos

promedios de duración de cada actividad:

Acti-

vidad

Prece-

dencia

Tiempo (semanas)

Opti-

mista

Más

probable

Pesi-

mista

Prome-

dio

Varian-

za

A --- 1 2 9 3 1.778

B A 2 3.5 8 4 1.000

C A 4 4 10 5 1.000

D B, C 1 2 3 2 0.111

E B, C 1 2 9 3 1.778

F D, E 1 2 9 3 1.778


Red con fechas más tardías y rápidas de

inicio y de fin.

INICIO

0 FIN

14

A(3)

B(4) D(2)

E(3) C(5)

F(3)

0 3

0 3

3 7

4 8

3 8

3 8

8 10

9 11

8 11

8 11

11 14

11 14

Duración normal o promedio del proyecto = 14 semanas.


B) ¿Cuál es la distribución de probabilidad

asociada a la variable aleatoria: “Duración del

Proyecto”? La duración del proyecto es la duración de la ruta crítica

A – C – E – F

Aplicando Teorema del Límite Central:

La duración del proyecto se ajusta a una Distribución Normal

con:

Promedio: μA + μC + μE + μF = 3 + 5 + 3 + 3 = 14 semanas.

Varianza: σA2 + σC

2 + σE2 + σF

2 = 1.778 + 1 + 1.778 + 1.778 = 6.334

semanas2.

OJO: Si existiera más de una ruta crítica, se calcula

la varianza de cada ruta crítica y se elige la mayor.


C) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el

proyecto a lo más en 14 semanas?

Sea X = “Terminar el proyecto a lo más en 14

semanas”

Sabiendo que la duración del proyecto ≈

Normal (=14, 2 = 6.334), entonces:

5.00334.6

141414

ZPZPXP





Sea Y = “Ganar el bono” es equivalente a

“Terminar el proyecto a lo más en 12 semanas”

Sabiendo que la duración del proyecto ≈ Normal

(=14, 2 = 6.334), entonces:

2134.07947.0334.6

141212

ZPZPXP



entrega del proyecto para tener un 90% de

probabilidad de cumplir?

Lo que se pide es P( duración del Py ≤ Plazo) =

0.90

0.90

14

6.334

141.28

6.334

en la semana 17.22

PlazoZ

Plazo

Plazo

0.90

Plazo


Preguntas adicionales:

F) Se ha establecido la siguiente política de

multas al contratista si se retrasa el proyecto:

Se pide hallar el valor esperado de la multa.

Entre 14 y 16 semanas $ 1000

Entre 16 y 18 semanas $ 2000

Más de 18 semanas $ 3000


Sea X = “Duración del Proyecto” ≈ Normal (=14,

2=6.334). Para hallar el valor esperado, primero se

hayan las probabilidades para cada tipo de multa (la

suma de estas probabilidades debe ser igual a 1):

0.50 0.29 0.16 0.05

14 16 18

Valor esperado = 0 * 0.5 + $1000 * 0.29

+ $2000 * 0.16 + $3000 * 0.05

Valor esperado = $ 760


G) ¿Cuál debe ser la duración mínima y máxima

del proyecto, para un nivel de confianza del 95%?

Teniendo en cuenta que x ≈ Normal ( =14,

2 = 6.334), se tiene:

0.95

b a

( ) 0.95

( ) 0.025

9.06 semanas

( ) 0.975

18.93 semanas

P a x b

P x a

a

P x b

b


H) La actividad D requiere de un técnico

especializado que llegará al inicio de la semana 9.

¿Cuál es la probabilidad que se requiera de ese

técnico antes? Se pide: P(D requiera técnico antes de la

semana 9)

Es decir: P(Fecha más rápida de inicio de D ≤ 9)

Fecha más rápida de inicio de D ≈ Normal con:

Promedio = ICD = A + C = 8 semanas

Varianza = σ2A + σ2

C = 2.778

Entonces:

726.060.0778.2

89

ZPZP


9. Bibliografía

Obligatoria:

Hillier y Lieberman. “Investigación de

Operaciones”, 7ma. Edición. Editorial Mc. Graw

Hill, 2001. Capítulo 10.

Código Biblioteca: 658.4034/H54/2001

Complementaria:

Klastorin, Ted. “Administración de proyectos”. 1°

Edición. Editorial Alfaomega, 2005. Capítulo 1, 2,

4, y 6.



C) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el

proyecto a lo más en 14 semanas?

Sea X = “Terminar el proyecto a lo más en 14

semanas”

Sabiendo que la duración del proyecto ≈

Normal (=14, 2 = 6.334), entonces:





Sea Y = “Ganar el bono” es equivalente a

“Terminar el proyecto a lo más en 12 semanas”

Sabiendo que la duración del proyecto ≈ Normal

(=14, 2 = 6.334), entonces:



entrega del proyecto para tener un 90% de

probabilidad de cumplir?

Lo que se pide es P( duración del Py ≤ Plazo) = 0.90


G) ¿Cuál debe ser la duración mínima y máxima

del proyecto, para un nivel de confianza del 95%?


ACT DESCRIPCION PREDECESORAS OPTIMISTA PESIMISTA MAS PROBABLE

A Diseño del producto - 2 10 6

B Estudio del mercado - 4 6 5

C emitir ordenes materiales A 2 4 3

D recibir materiales C 1 3 2

E construir prototipo A,D 1 5 3

F desarrollo y promocion B 3 5 4

G puesta en marcha planta para produccion

masiva E 2 6 4

H distribucion productos a almacenes G,F 0 4 2

Antes de poder introducir un nuevo producto al mercado se debe realizar todas

las actividades que se muestran en la tabla(todos los tiempos están en

semanas).

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