Pech Joan MIE2009
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USO DE MAPAS DE PENSAMIENTO PARA EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS Joan Julián Pech Puch Tesis elaborada para obtener el grado de Maestro en Investigación Educativa Tesis dirigida por Silvia J. Pech Campos Mérida de Yucatán Septiembre , 2009
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Mapas de pensamiento para el aprendizaje de la Matemática
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USO DE MAPAS DE PENSAMIENTO PARA EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICAS
Joan Julián Pech Puch
Tesis elaborada para obtener el grado de Maestro en Investigación Educativa
Tesis dirigida por
Silvia J. Pech Campos
Mérida de Yucatán
Septiembre , 2009
Dr. Jesús E. Pinto Sosa
Jefe de la Unidad de Posgrado e Investigación
Facultad de Educación, UADY
Los abajo firmantes miembros del comité revisor nombrado por la dirección de la
Facultad de Educación y en respuesta su solicitud de tesis:
“USO DE MODELO DE MAPAS DE PENSAMIENTO PARA EL APRENDIZAJE DE
MATEMÁTICAS”
Presentado por el Lic. En Educ. Joan Julián Pech Puch para obtener el grado de Maestro
en Investigación Educativa, le comunicamos que el trabajo cumple con los requisitos de
contenido y presentación establecidos por este comité y por el Comité de Examen
Profesional de Especialización y de Grado, por lo tanto el dictamen que emitimos es de:
APROBADO
Por lo que puede proceder a la etapa de presentación y defensa del mismo.
Atentamente
Comité Revisor
____________________________ ___________________________
Dr. Jesús E. Pinto Sosa Dr. Yanko Oyos Mézquita
Miembro Propietario Miembro Propietario
_________________________________
Dra. Silvia Pech Campos
Asesor y miembro propietario
C.c.p. Archivo Dirección de la FEUADY
C.c.p. Archivo de la Coordinación de Maestría/expediente del alumno
C.c.p. Control Escolar
iii
Declaro que esta tesis es mi
propio trabajo, con excepción de
las citas en las que he dado crédito
a los autores ; asimismo , afirmo que este
trabajo no ha sido presentado
para la obtención de algún
título, grado académico o equivalente
Joan Julián Pech Puch
iv
Agradezco el apoyo brindado por el Consejo
Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) para
la realización de mis estudios de maestría que
concluyen con esta tesis, como producto final de la
Maestría en Investigación Educativa de la
Universidad Autónoma de Yucatán y por haberme
otorgado una beca durante el periodo de septiembre
de 2006 a agosto de 2008
v
Agradecimientos
Primeramente a mi amigo de batallas Jesucristo, que me dio fuerzas paciencia y
dedicación para terminar con esta investigación.
A mi esposa e hijos, que me han alentado a superarme y a ser una mejor profesional.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología por otorgarme la beca, que sin ella no
hubiera podido concluir la Maestría en Investigación Educativa.
A la Dra. Silvia Pech Campos, mi asesora, por su apoyo y paciencia en todo tiempo
para concluir esta tesis.
Al Mtro. Mario Martín Pavón por ser un maestro y amigo excelente.
Al Dr. Yanko Oyos Mézquita por su apoyo y creatividad para ayudarme en esta
tesis.
Al Dr. Juan Carlos Mijangos Noh que me enseñó a superarme y a perseguir retos
que nunca me había planteado.
Al Dr. Jesús Pinto y A la Dra. Dora Sevilla por su ánimo y ayuda incondicional.
A todos los profesores de posgrado de la facultad de educación, que con sus
consejos y enseñanzas me han hecho un mejor maestro.
A mis compañeros de la MIE: Román Navarrete, Román Maldonado, Esteban,
Adrián, Rys y Ceci
Joan Pech
vi
Dedicatorias
A Jesús mi mejor ejemplo a seguir
A mis hijos que han forjado mi carácter y a ser un mejor padre.
A mis padres que me enseñaron a seguir adelante.
A mis suegros: Marcelino y Mirna por su apoyo incondicional en todo momento en toda
circunstancia
A Yazmín que fue, es y será mi ayuda idónea en todo momento
vii
Resumen
El objetivo de este estudio fue determinar si el uso de los mapas conceptuales,
propuestos por David Hyerle, inciden en el aprovechamiento de matemáticas de estudiantes
de segundo grado de secundaria del Centro Educativo Blas Pascal. La metodología
utilizada consistió en un diseño cuasiexperimental. El procedimiento fue utilizar dos
grupos: uno de control y otro experimental, en el primero no se utilizarían los mapas de
pensamiento como estrategia de enseñanza y en el experimental. Tanto el grupo control
como el experimental estuvieron compuestos por 25 alumnos cada uno, tenían un horario
semejante y el mismo profesor impartió las clases de matemáticas. Para determinar el
índice de aprovechamiento académico, en los periodos pretest y postest se utilizó la prueba
de ENLAC E 2007, ya que esta mide el aprovechamiento de estudiantes de secundaria. Los
medias obtenidas por el grupo experimental, en la administración de la prueba postest,
fueron mayores que las obtenidas por el grupo control, en todos los apartados de la prueba
ENLACE 2007 excepto en el apartado de manejo de la información. Los estudiantes del
grupo experimental demostraron al final de la investigación tener buena habilidad para
utilizar los mapas de pensamientos y modificarlos para comprender diversos procesos
matemáticos. Así, los alumnos del grupo experimental (los alumnos que utilizaron los
mapas de pensamiento) tienen un mayor índice de aprovechamiento en la prueba postest en
comparación con los alumnos del grupo control, el cual no utilizó los mapas de
pensamiento en las clases de matemáticas. Por lo tanto hay evidencia para afirmar que:
Existe diferencia significativa entre el uso de mapas de pensamiento y la mejora en el
aprovechamiento académico de los alumnos en matemáticas de segundo grado de
secundaria, del Centro Educativo Blas Pascal.
viii
Tabla de contenido
Oficio de autorización /ii
Declaratoria / iii
Agradecimiento a CONACYT / iv
Agradecimientos /v
Dedicatoria /vi
Resumen/vii
Contenido /viii
Relación de tablas /xii
Relación de figuras/xiii
CAPÍTULO 1 /1
Introducción / 1
Contexto y planteamiento del problema / 1
Pregunta de investigación /5
Hipótesis de investigación /5
Perspectiva teórica /5
Definición de términos /6
Definiciones conceptuales /6
Definiciones operacionales /6
Delimitaciones y limitaciones del estudio / 7
Importancia de la investigación / 7
ix
CAPÍTULO 2
Revisión de la literatura / 9
Ciencia cognitiva / 9
Elementos básicos de la ciencia cognitiva / 11
Teoría del procesamiento de la Información /11
Teorías del aprendizaje cognitivo de Jean Piaget /12
Teoría de Lev Semenovich Vigotsky /13
Teoría del aprendizaje de Jerome Bruner / 14
Teoría del aprendizaje de Ausubel /15
Robert Marzano y las dimensiones del aprendizaje / 17
Ciencia del aprendizaje e investigación del cerebro / 18
Capacidad para las matemáticas / 18
Teoría constructivista / 19
Matemáticas y cognición / 20
Modelos de representaciones mentales / 23
Estrategia instruccional / 23
Mapas conceptuales de Joseph Novak / 24
Modelo de mapas de pensamiento de Tony Buzan / 25
Mapas de pensamiento de David Hyerle / 26
Historia de los mapas de pensamiento / 26
Descripción de los mapas de pensamiento / 29
Resultados con mapas de pensamiento / 30
Resultados en escuela de Mississippi Estados Unidos / 32
x
Resultados en escuela de Tennessee Estados Unidos / 33
Resultados en Massachusetts Estados Unidos / 34
Resultados en Carolina del Norte Estados Unidos /35
CAPÍTULO 3
Metodología / 40
Tipo y diseño del estudio / 41
Participantes y contexto / 41
Procedimiento de recolección de datos / 42
Diseño y planeación de las clases / 45
Diseño de tareas / 46
Instrumento / 47
Validez y confiabilidad / 47
Tabla de especificaciones / 48
Variables e indicadores / 48
Análisis de datos / 49
Aspectos éticos / 49
C APÍTULO 4
Resultados / 51
Período Pretest / 51
Período Postest / 52
Resultados por apartado de la prueba / 54
Resultados en el aula / 56
xi
CAPÍTULO 5
Conclusiones / 61
Recomendaciones / 63
Referencias / 65
Apéndices
Apéndice A Mapas de pensamiento propuestos por David Hyerle / 69
Apéndice B Proyecto y manual de tareas utilizado durante cuatro meses / 78
Apéndice C Prueba enlace 2007 / 114
xii
Relación de tablas
Tabla 1: Resultados con mapas de pensamiento / 31
Tabla 2: Porcentaje de aprobación estudiantil en Matemáticas en escuelas públicas de
Brunswick Estados Unidos / 36
Tabla 3: Porcentaje de estudiantes que terminan su grado de estudios según las
evaluaciones realizadas en la escuela primaria A. T. Allen /37
Tabla 4. Porcentaje de estudiantes que aprobaron de grado según evaluación estatal en la
escuela secundaria ABC ubicada al este de Burke / 38
Tabla 5. Porcentaje de alumnos de tercer grado de primaria que aprueban la evaluación
SOL Assessment en Newsome en Virginia Estados Unidos / 39
Tabla 6 Porcentaje de alumnos de quinto grado de primaria que aprueban la evaluación
SOL Assessment en Newsome en Virginia Estados Unidos / 39
Tabla 7: Distribución del género en los grupos control y experimental / 41|
Tabla 8. Jerarquía utilizada en el diseño del manual de tareas del grupo experimental / 46
Tabla 9: Tabla de especificaciones de la prueba ENLACE 2007/48
Tabla 10: Diferencia entre grupo experimental y control / 51
Tabla 11: Prueba de medias entre grupo experimental y control / 52
Tabla 12: Descripción de medias entre grupo experimental y control / 53
Tabla 13: Descripción de t de Student / 53
Tabla 14: Diferencia de medias por apartado de la prueba ENLACE entre los grupos
control y experimental / 54
Tabla 15: Descripción de las medias por apartado entre los grupos control y
experimental / 55
xiii
Relación de figuras
Figura 1: Mapa de llaves elaborado por alumnos de diversos grados / 33
Figura 2: Resultados de la prueba MCAS administrada del 2001 al 2005 / 34
Figura 3: Resultados de la prueba pretest y postest después de utilizar mapas de
pensamiento en clases de matemáticas / 35
Figura 4: Mapa de doble burbuja de semejanzas y diferencias del grupo control y
experimental / 43
Figura 5: Mapa de flujo de la metodología de investigación / 44
Figura 6: Mapa de flujo de la organización de las etapas de aprendizaje para los grupos
control y experimental / 45
Figura 7: Explicación de un alumno después de realizar una tarea con mapas de
pensamiento / 56
Figura 8: Realización de una tarea con mapas de pensamiento en equipo cooperativo / 57
Figura 9: Un alumno del grupo experimental explica el procedimiento de solución después
de realizar un mapa de pensamiento / 58
Figura 10: Exposición de un proyecto final del curso / 59
1
CAPÍTULO 1
Introducción
En este estudio, se pretende descubrir la relación que existe entre el uso de
mapas de pensamiento como estrategia de enseñanza y el aprovechamiento académico
en la asignatura de matemáticas, en la cual ha persistido un bajo aprovechamiento a lo
largo de muchos años y que podemos constatar en los resultados del Proyecto
Internacional para la Producción de Indicadores de aprovechamiento de los Alumnos
(PISA), que sitúa a los estudiantes mexicanos en los niveles de aprovechamiento más
bajos entre los países miembros de la Organización para la Cooperación y el Desarrollo
Económico (OCDE).
Contexto y planteamiento del problema
En la investigación realizada por Marzano (2001) sobre estrategias que afectan
el aprendizaje del estudiante, un factor que afecta al logro académico del alumno es la
estrategia instruccional (p. 75).Dichas estrategias se reportaron los siguientes rubros:
Identificación de semejanzas y diferencias, resumen y tomas de notas, reforzamiento y
provisión de reconocimientos, tarea y práctica, representaciones no lingüísticas,
aprendizaje cooperativo, establecimiento de objetivos y retroalimentación, generación y
prueba de hipótesis, cuestionamientos y señalizaciones y organizadores gráficos.
Una de estas estrategias que incrementan el logro del estudiante son las
representaciones no lingüísticas. Al comentar sobre estas estrategias, Marzano (2001)
menciona, que la Teoría del Código del Almacenamiento de la Información creada por
Paivio (1990) quien postula que el conocimiento es almacenado de dos formas, una
forma lingüística y la imaginaria. El modo lingüístico es semántica por naturaleza, el
modo imaginario es expresado como imágenes mentales o como sensaciones físicas,
como el olor, el gusto, asociación kinestésica y sonidos (p. 45).
2
De igual forma Marzano menciona que los mapas de pensamiento son una
representación imaginaria, y un ejemplo de éstos son las herramientas visuales para
construir el conocimiento, denominados mapas de pensamiento creados por el Doctor de
David Nelson Hyerle en 1995.
Hyerle, es el creador del modelo de mapas de pensamiento y autor de los
primeros recursos para entrenar e implementar los mapas de pensamiento, obtuvo el
grado de doctor en educación, en la Universidad de California en Berkeley en Estados
Unidos de Norteamérica, en el año de 1994.
Actualmente Hyerle es director de investigación y desarrollo de Design For
Thinking (DFT) y facilitador de las nuevas aplicaciones de los mapas de pensamiento.
Él es frecuentemente invitado para realizar las introducciones a diversos libros,
es autor de dos libros para la Association for Supervision and Curriculum Development
(ASCD) enfocados en herramientas visuales, y desarrolló un nuevo curso en línea
titulado Visual Tools Literacy. Hyerle fue coautor con Larry Alper de una nueva guía de
entrenamiento para líderes de mapas de pensamiento titulado Thinking Maps: Leadind
with a New Lenguaje.
A continuación se presenta una breve reseña de su vida profesional: En 1978 se
gradúa en la Universidad de California en Literatura Inglesa, de 1979 a 1980 redacta en
Berkeley en el área de redacción de proyectos, de 1980 a 1983 ejerce como maestro de
K12 con credenciales al mismo tiempo que es profesor en la escuela secundaria pública
Marcus Foster en Oakland, en 1984 se titula como Maestro en educación en la
Universidad de California en Berkeley con la tesis: Thinking trough Ebonics, de 1984 a
1987 funda y preside Cognitive Coaching Group con el Doctor Costa y el Doctor
Garmston y conduce el seminario Cognitive Coaching/ thinking skills, en 1987 crea el
modelo de mapas de pensamiento el cual enseña y profundiza en seminarios donde se
usan como herramientas para enseñar, aprender y evaluar, en 1990 forma parte de los
3
fundadores de Innovative Learning Group (ILG) y dirige los entrenamientos para el uso
de los mapas de pensamiento en escuelas que adoptan este modelo, en 1992 llega a ser
miembro de educadores con responsabilidad social, en 1993 se gradúa como Doctor en
Educación en el área de currículo e instrucción con la disertación: Thinking Maps as
Tools for Multiple Modes of Understanding, en 1995 publica Thinking Maps: Tools for
Learning con la ayuda de ILG, en 1996 ASCD publica mismo libro como Visual Tools
for Constructing Knowledge el cual está en manos de 160 000 educadores que están
alrededor del mundo, en 1999 Designs for Thinking, a research, systems change, and
professional development group es fundado por Hyerle, en 2000 ASCD publica A Field
Guide to Using Visual Tools segundo libro de Hyerle el cual explica a
profundidad el uso de los mapas de pensamiento, en 2002 colabora en la publicación de
la primera guía para entrenar en el uso de herramientas titulado Thinking Maps:
Leadership in a New Language y actualmente es profesor e investigador en Plymouth
State College.
Después de profundizar en la reseña profesional de Hyerle se citarán algunos
autores que comentan acerca de los mapas de pensamiento.
Ausubel (2000), propone que la elaboración de mapas de pensamiento por parte
del estudiante y la utilización de éstos en el aula, permite un aprendizaje de los
contenidos de forma constructiva y significativa, así como un adecuado almacenamiento
del material en la estructura cognitiva del estudiante, para disponer de ellos cuando se
requiera (p.78).
Otro autor que ha investigado acerca del tema anterior Novak (1988), propone
que los mapas de pensamiento desempeñan en el aula una función clave para
representar los conocimientos, ya que ayudan a los alumnos en su desempeño escolar al
tener aprendizajes de calidad (no memorísticos) (p.45).
4
Por otro lado, el nuevo programa de secundaria que propone la Secretaría de
Educación Pública (SEP), plantea lograr que el estudiante desarrolle procesos mentales
específicos para el desarrollo posterior de competencias, lo cual hace necesario
estrategias de aprendizaje específicas como el empleo de los mapas de pensamiento,
para el mejor logro por parte del discente, así como el desarrollo de un aprendizaje
significativo. Este tipo de pensamientos y procesos, a nivel internacional son
deficientes, en particular, en los estudiantes mexicanos de secundaria ya que, según el
programa PISA y los indicadores de la OCDE, México ocupa uno de los últimos lugares
en desarrollo de competencias, evidenciando esto un claro rezago en el aprendizaje de
las habilidades básicas como el razonamiento matemático, ya que se obtuvo un
promedio de 385 puntos en 2003, inferior al promedio de la OCDE que fueron 500
puntos (INEE 2003). Lo anterior se concluye de la siguiente forma: Sólo 0.4 % de los
estudiantes obtuvo un nivel de competencia elevado en matemáticas (nivel 5 y 6),
mientras que el 65.9%, o sea dos de cada 3 estudiantes, registró un nivel de competencia
insuficiente.
En el nivel estatal, Yucatán estuvo deficiente también en este tipo de
razonamiento, información que de igual forma evidencia El Centro Nacional de
Evaluación (CENEVAL) en estudios realizados en estudiantes de secundaria (EXANI I
del CENEVAL, 2005).
En este estudio se propone un modelo de mapas de pensamiento como
herramientas para desarrollar procesos de pensamiento adecuados y lograr diversos
tipos de razonamiento, entre ellos el razonamiento matemático y obtener un elevado
aprovechamiento académico en primera instancia en el Centro Educativo Blas Pascal.
Objetivo
Determinar si el uso de mapas de pensamiento mejora el aprovechamiento
académico de los alumnos en el área de matemáticas de segundo grado de secundaria,
del Centro Educativo Blas Pascal.
5
Pregunta de Investigación
¿El uso de mapas de pensamiento incide en un mejor aprovechamiento académico en el
área de matemáticas?
Hipótesis de investigación
Ho: No existe diferencia significativa entre el uso de mapas de pensamiento y la mejora
en el aprovechamiento académico de los alumnos en matemáticas de segundo grado de
secundaria, del Centro Educativo Blas Pascal.
Hi: Existe diferencia significativa entre el uso de mapas de pensamiento y la mejora en
el aprovechamiento académico de los alumnos en matemáticas de segundo grado de
secundaria, del Centro Educativo Blas Pascal.
Perspectiva teórica
Las matemáticas proporcionan el lenguaje necesario y universal y por tanto
preciso y conciso, que requieren las ciencias para la formulación, la interpretación y la
comunicación de los descubrimientos que se realizan. La aplicación de los lenguajes y
los métodos matemáticos a otros ámbitos de las ciencias y las tecnologías produce
innumerables resultados prácticos que auxilian en la selección y en el acopio de la
información y en su análisis.
Este estudio tiene como base la propuesta constructivista de David Hyerle
(1995), que emplea los mapas de pensamiento como estrategias de aprendizaje que se
utilizan en el aula, que pretenden que el estudiante aprenda a aprender y a desarrollar un
aprendizaje significativo. Así, se pretende estudiar si los mapas de pensamiento
realmente producen en el estudiante de secundaria representaciones cognitivas que le
sirvan de andamiaje para llegar a un aprendizaje significativo que le lleve a un
conocimiento matemático aceptable y mejore el nivel de aprovechamiento de los
contenidos aritméticos propuestos en los programas educativos propuestos por la
Secretaría de Educación Pública.
6
Definición de términos
Definiciones conceptuales
Mapas de pensamiento. Consiste en un lenguaje desarrollado para aprender, creado por
el Doctor Hyerle. Este lenguaje consiste en ocho mapas mentales usados por
maestros y estudiantes para la comprensión lectora, los procesos de solución de
problemas y el desarrollo de habilidades del pensamiento (Hyerle, 1995).
Aprovechamiento académico: Forma en que repercute el aprendizaje en el alumno en
cuanto a un beneficio en las diferentes áreas como conocimientos habilidades y
actitudes; que le posibiliten relaciones de mayor calidad con la sociedad, con el
entorno y consigo mismo (Cfr. CONALTE, Perfiles de Desempeño para
Preescolar, Primaria y Secundaria, 1989-1994, p. 15).En esta investigación el
aprovechamiento académico consistirá en los puntajes que pueda obtener un
alumno en la prueba ENLACE 2007.
Definiciones operacionales
Aprovechamiento académico en matemáticas. Puntaje obtenido en la prueba ENLACE,
al término de un bimestre de estudio.
Uso de mapas de pensamiento. Enseñanza basada en el uso de ocho mapas de
pensamiento propuestos por Hyerle (1995) para la comprensión lectora, procesos
de solución de problemas y el desarrollo de habilidades del pensamiento. En este
estudio los mapas de pensamiento se utilizarán en el grupo experimental, el
grupo experimental realizará un manual de tareas en los que tenga que realizar
mapas de pensamiento.
7
Delimitaciones y limitaciones del estudio
Una posible limitación del estudio, lo constituye la circunstancia de que los
grupos de estudiantes con los cuales se pretende realizar la investigación son grupos
pequeños de alrededor de 25 personas cada uno, por lo cual, los resultados serían
generalizables solo en la población de estudio. Otro factor limitante serían las
diferencias individuales de cada alumno en cuanto a sus habilidades matemáticas,
Importancia de la investigación
El mundo en que vivimos no tiene actitudes estáticas, y las inquietudes y
posibilidades que acechan continuamente a las esferas tecnológicas e investigadoras
producen modificaciones inconcebibles y a una velocidad vertiginosa en la vida de la
humanidad.
Hoy no podemos hablar solo del presente; debemos mirar hacia horizontes lo
más lejanos posibles, es decir hacia donde la imaginación, la razón y la creatividad
puedan alcanzar los conocimientos no dados del saber humano, entre ellos, las
matemáticas, la ciencia en general y la tecnología (Ortiz 2001).
Por otro lado un estudio con mapas de pensamiento, sería de utilidad para
introducirlo y llamar la atención de los docentes de matemáticas del nivel básico, para
que los consideren como una estrategia de aprendizaje que pueda mejorar el
aprovechamiento académico de sus alumnos en matemáticas.
De igual forma es importante recalcar que el modelo de mapas de pensamiento
propuesto por Hyerle (1995), está diseñado con base en investigaciones acerca del
cerebro, lo cual concuerda con lo propuesto por De la Chiesa, en su documento
presentado en el marco de la Conferencia Internacional OCDE/MÉXICO en 2006, en el
cual menciona en sus recomendaciones potenciales a los diseñadores de políticas
educativas que es importante introducir alguna iniciación a la neurociencia cognitiva
(“cómo aprende el cerebro”) en los programas de capacitación de maestros.
8
De igual forma, esta investigación resulta de gran utilidad para el Centro
Educativo Blas Pascal (Escuela de Mérida, Yucatán), ya que los resultados de este
estudio servirán de fundamento para la toma de decisiones educativas en los programas
de matemáticas.
Finalmente, esta investigación podría generar estudios similares en el área de
matemáticas que permitan proponer estrategias educativas y así elevar el nivel de
aprovechamiento académico de alumnos yucatecos.
En resumen, dados los problemas de estudiantes mexicanos para aprender y
tener aceptables resultados en su aprovechamiento académico, en esta investigación se
pretende determinar si el uso de mapas de pensamiento, modelo propuesto por Hyerle,
influyen el aprovechamiento académico de los estudiantes de segundo de secundaria.
9
CAPÍTULO 2
Revisión de la literatura
En este capítulo se abordarán teorías del aprendizaje en las que se fundamenta el
uso de los mapas de pensamiento. Primeramente se abordará a la ciencia cognitiva como
el principal fundamento de las diversas representaciones mentales como son los mapas
de pensamiento.
Ciencia Cognitiva
Los mapas de pensamiento basan su estructura en los tipos de conocimientos que
puede generar el ser humano, es por eso que están estrechamente relacionados con la
ciencia cognitiva propuesta por Howard Gardner.
Gardner (1985) define a la ciencia cognitiva como un empeño contemporáneo de
base empírica por responder a interrogantes epistemológicos de antigua data, en
particular los vinculados a la naturaleza del conocimiento, sus elementos, sus
componentes, sus fuentes, su evolución y difusión. (p. 21)
Existen muchos teóricos que fundamentan la ciencia cognitiva, en este capítulo
se abordarán algunas teorías fundamentales acerca del origen del pensamiento y su
forma de representación, los tipos de aprendizaje, los procesos mentales, y las diversas
estrategias para lograr una representación del pensamiento.
La relación entre la ciencia cognitiva y los mapas de pensamiento consiste en
que los mapas de pensamiento son representaciones de las imágenes mentales, a
continuación se presentan algunos antecedentes de las imágenes mentales.
El estudio de las imágenes mentales a lo largo de la historia de psicología ha
sido un tema central. Los seguidores de Wundt sondearon en sus propias imágenes y
analizaron los informes de sujetos adiestrados acerca de las suyas.
10
No existía un procedimiento confiable para definir las imágenes mentales en una
situación experimental, ni se había alcanzado algún acuerdo acerca de lo que era la
experiencia imaginal o imaginaria. Ninguna ciencia debía postular un concepto tan vago
y confuso como su principal construcción mental, y mucho menos como explicación del
modo en que la gente piensa.
Pero a comienzos de la década de 1970, cuando el conductismo ya estaba
declinando, los psicólogos informaron acerca de ciertos descubrimientos inexplicables o
poco menos si no se acudía al uso del concepto imagen mental (Paivio 1971)
Otro de los estudios importantes que giran alrededor de las imágenes fue
realizado por Roger Shepard y sus colaboradores en la Universidad de Standford.
Shepard y Metzler (1971) pusieron a sujetos frente a dos figuras geométricas
pidiéndoles que indicaran lo más velozmente posible, si las dos eran representaciones
del mismo objeto desde distintos puntos de vista. Las conclusiones de esta investigación
consistieron en que: los seres humanos generan imágenes mentales de estas formas
geométricas, y las hacen rotar a lo largo de un espacio psíquico.
Según Stephen Kosslyn (1980) los hallazgos de Shepard causaron sensación en
la comunidad de la ciencia cognitiva y que además esas imágenes internas
desembocaron en una ley psicofísica simple: el tiempo que le lleva al sujeto juzgar la
identidad (o falta de identidad) entre las imágenes es una función monótona de la
distancia física entre ambas formas. Así a la luz de lo establecido por Shepard tenía
sentido concebir que el individuo lleva imágenes a su cabeza y de esta forma se hizo
creíble la idea de una modalidad análoga de representación mental.
11
Elementos básicos de la ciencia cognitiva
Según Vallejos (1998) la ciencia cognitiva, parte de los siguientes supuestos
sustantivos siguientes:
1. La mente es un mecanismo computacional
Con lo anterior se explica que los proceso cognitivos de la mente son
funcionalmente equivalentes a la de un computador. La inteligencia artificial
concibe un computador como un sistema formal automático. Un sistema formal
automático es un conjunto de procedimientos de manipulación de símbolos
regidos por reglas (Haufeland 1985).La noción de proceso computacional se
entiende fundamentalmente como la relación de dichos procedimientos sobre los
símbolos de manera efectiva.
2. La mente es, además sistema simbólico , más específicamente un sistema
representacional. Este supuesto pone de manifiesto una doble propiedad de la
mente. Por una parte suponer que la mente es un sistema de símbolos
complementa el supuesto, puesto que las computaciones que permiten
caracterizar los procesos cognitivos que se realizan sobre símbolos.
A continuación se explicarán algunas teorías que están ligadas a los mapas de
pensamiento y el uso de ellos en estudiantes
Teoría del procesamiento de la Información
“La teoría del procesamiento de la información surge como rechazo al
movimiento conductista. Se desarrolla un interés por explicar la conducta humana más
allá de las simples relaciones estimulo-respuesta, es una teoría de transición de la que
más tarde será la corriente cognitiva” (Bueno 1998, p. 380).
12
La teoría del procesamiento de la información permite trabajar la mente humana
como un sistema complejo e interactivo pero no completamente como un ordenador, de
esta forma se puede estudiar a la mente como un procesador de diferentes conceptos
interconectados pero en ningún caso tratar la conciencia (Bueno, 1998).
Así los mapas de pensamiento actúan al momento de utilizarlos como diferentes
procesadores de pensamiento, como son la contextualización, la comparación y la
identificación de causas y efectos de un suceso o evento, entre otros.
Teoría del aprendizaje cognitivo de Jean Piaget
“La referencia mas obligada en el estudio del desarrollo cognitivo es la teoría
estructuralista de Jean Piaget. Todos los psicólogos que se dedican al problema de la
génesis de la cognición, en campos tan diversos como la construcción del objeto, el
número, la categorización, el razonamiento, etc., se refieren a ella, para subrayar sus
aportaciones o proponer una revisión” (Houdé, 2001, p .67).
La originalidad de esta teoría se debe a su triple fundamento: biológico,
epistemológico y lógico - matemático. Trátese del desarrollo de los conocimientos
cientificos o de la ontegénesis (la psicologia de la inteligencia) hay en ella una
reconstrucción de lo real a través de los cuadros lógico - matemáticos cada vez más
poderosos, formas óptimas de la adaptación biológica.
Así el niño, como el lógico o el matemático, modela los objetos en tanto que
tales, sus propiedades y sus relaciones , por medio de una sucesión de cuadros
cognitivos que definen los estadíos del desarrollo. Del bebé al adolescente, se trata de
procesos iniciales de asimilación–acomodación y de esquemas de acción, después de la
preparación y lapuesta en escena de las operaciones o acciones coordinadas e
interiorizadas, concretas y formales (Piaget, 1952).
13
La teoría de Jean Piaget (1952) fue precursora de la actual revolución
cognoscitiva que se centra en los procesos mentales. Piaget (1952) menciona que la
organización es la tendencia a crear estructuras cognoscitivas cada vez más complejas:
sistemas de conocimiento o formas de pensamiento que incorporan cada vez más
imágenes precisas de la realidad. Estas estructuras llamadas esquemas, son patrones
organizados de conducta que una persona utiliza para pensar.
Los esquemas son conceptos de los que dispone el sistema de procesamiento de
la información. Son estructuras y procesos mentales que subyacen a los aspectos
morales del conocimiento y habilidades humanas. Viene a ser una estrategia de datos
para representar conceptos de objetos genéricos almacenados en la memoria y
representan conjuntos de objetos (De Vega, 1986).
Así cuando un estudiante realiza un mapa de pensamiento, paralelamente está
realizando una representación de esquemas y operaciones, que se realizan en su mente,
y son plasmadas como una representación gráfica en su libreta.
Teoría de Lev Semenovich Vigotsky
Según Vigotsky (1979), es imposible comprender el desarrollo del sujeto si no
existe una comprensión elemental de la cultura en que fue criado. El creía que las
formas de pensamiento del individuo no se deben a factores innatos, sino que se
producen en las instituciones culturales y en las actividades sociales. Los principios
fundamentales de su teoría son: La historia de la cultura del niño, así como sus propias
experiencias, es básica en la comprensión de su desarrollo cognoscitivo.
Los niños cuentan con capacidades mentales básicas, como son la percepción, la
atención y la memoria, y con la interacción con compañeros y adultos que saben más,
éstos constituyen principales medios de su desarrollo intelectual (Vigotsky 1979).
14
Vigotsky (1979), menciona que desarrollo cognitivo implica internalización de
las funciones que se presentan por primera vez en el plano social. Esta la explica como
el proceso de elaboración de una representación interna de acciones físicas externas u
operaciones mentales. De igual forma Vigotsky (1979) define el desarrollo cognoscitivo
en términos cualitativos en los procesos de pensamiento de los niños, los cuales describe
en función de las herramientas técnicas y psicológicas que los menores emplean para
dar sentido a su mundo. Los números y las palabras y otros sistemas basados en
símbolos son ejemplos de herramientas psicológicas, categoría que incluye asimismo la
lógica, normas y convenciones sociales, conceptos teóricos, mapas, formas literarias o
dibujos. De tal forma que realizar mapas de pensamiento en cualquier área de su vida
viene a ser una representación mental de su realidad o su forma de haber aprendido un
concepto o acción.
Teoría del aprendizaje de Jerome Bruner
Según Bruner (1993), el aprendizaje no es algo que le ocurre al individuo, sino
al que él hace que ocurra al manejar y utilizar información, de tal manera que la
conducta del sujeto no es algo provocado por un estimulo o un refuerzo, sino una
actividad compleja que implica adquisición de la información.
Bruner (1993) enfatiza en la importancia de hacer que los aprendices se percaten
de la estructura del contenido que se va aprender y de las relaciones entre sus elementos
de modo que pueda ser retenido como un cuerpo de conocimiento organizado. De
acuerdo con Bruner (1993), la clave de la enseñanza exitosa del conocimiento
disciplinario es traducirlo a términos que los estudiantes puedan entender.
Bruner (1993) describe tres formas en que los discentes pueden conocer algo:
Por medio de la acción, por medio de un dibujo o imagen de él a través de medios
simbólicos mediados por el lenguaje.
15
De tal modo que para que a un estudiante de secundaria conozca con exactitud
un concepto o proceso puede utilizar un mapa de pensamiento, el cual está diseñado de
tal forma que le sea grato al discente, como dibujar círculos y en ellos procesos o ideas.
Teoría del aprendizaje de Ausubel
Un rasgo esencial del aprendizaje es que sea significativo
(Ausubel y Novak ,2000), Aprendizaje significativo que no es la simple conexión
(aprendizaje mecánico) de la información nueva con la ya existente en la estructura
cognoscitiva del que aprende; el aprendizaje significativo involucra la modificación y
evolución de la nueva información, así como de la estructura cognoscitiva envuelta en el
aprendizaje. Ausubel y Novak (1983) distingue tres tipos de aprendizaje significativo:
de representaciones conceptos y de proposiciones.
1. Aprendizaje de Representaciones
Es el aprendizaje más elemental del cual dependen los demás tipos de
aprendizaje. Consiste en la atribución de significados a determinados símbolos.
2. Aprendizaje de Conceptos
“Los conceptos se definen como “objetos, eventos, situaciones o propiedades de
que posee atributos de criterios comunes y que se designan mediante algún
símbolo o signos” (Ausubel, 1983, p.61). En función de lo anterior, se podría
decir que, en cierta forma también es un aprendizaje de representaciones.
3. Aprendizaje de Proposiciones
Este tipo de aprendizaje va más allá de la simple asimilación de lo que
representan las palabras, combinadas o aisladas, puesto que exige captar el
significado de las ideas expresadas en forma de proposiciones.
16
El aprendizaje de proposiciones implica la combinación y relación de varias
palabras cada una de las cuales constituye un referente unitario, luego estas se
combinan de tal forma que la idea resultante es más que la simple suma de los
significados de las palabras componentes individuales, produciendo un nuevo
significado que es asimilado a la estructura cognoscitiva.
Ausubel y otros han desarrollado métodos para promover el aprendizaje
significativo por recepción eficiente. (Conceptos clave, uso de analogías,
metáforas, ejemplos o modelos concretos). Se vincula lo nuevo con lo familiar.
4. Aprendizaje de Dominio
Carroll (1963) desarrolla el concepto de educación y aprendizaje escolar entorno
al concepto de economía del proceso en base al tiempo como variable central.
El alumno tendrá éxito en el aprendizaje en la medida que emplee el tiempo
necesario en ella, tiempo entendido como orientado y comprometido con la tarea.
La importancia del paradigma cognitivo del aprendizaje es que se base en el
énfasis que se da a desarrollar y adquirir aprendizajes significativos a través de la
elaboración de conexiones entre la información nueva y la ya conocida, ya sea a través
de organizadores gráficos o esquemas, como los mapas de pensamiento, que no sólo
pueden realizar la función de esquema u organizador gráfico, sino también que el
alumno realice procesos de comparación, contextualización, clasificación, entre otros.
La representación del conocimiento es un proceso clave en el proceso de
aprendizaje significativo de los conocimientos. Lo anterior esta muy relacionado con la
elaboración de distintos tipos de más conceptuales y mentales (Ausubel 1983).
17
Robert Marzano y las dimensiones del aprendizaje
El modelo Dimensiones del aprendizaje asume que la instrucción efectiva debe
incluir atención a cinco aspectos o dimensiones del aprendizaje (Marzano 1997)
Dimensión 1. Actitudes y percepciones efectivas en relación en relación al
aprendizaje.
Dimensión 2. La adquisición e integración del conocimiento. Esta dimensión se
refiere a que para que el aprendizaje ocurra, el estudiante debe tener actitudes y
precepciones efectivas.
Dimensión 3. La extensión y refinamiento del conocimiento. Esta dimensión se
da cuando relaciona el conocimiento nuevo con los conocimientos previos, organizando
y practicando la información nueva.
Dimensión 4. El uso significativo del conocimiento. Aquí los alumnos son
guiados a través de actividades de extensión y refinamiento tales como: Comparar,
Clasificar, Hacer inducciones, hacer deducciones , analizar errores, crear y analizar
apoyo, analizar valores y crear y aplicar abstracciones.
Dimensión 5. Hábitos mentales productivos. A medida que los alumnos
adquieran e integren el conocimiento, lo extiendan y refinan y lo usen de manera
significativa, deben utilizar hábitos mentales productivos que los capaciten para regular
su conducta, pensar crítica y creativamente.
Hyerle (1995) identifica la dimensión cuatro como habilidades que se necesitan
desarrollar en los individuos y crea los mapas de pensamiento los cuales tiene la
finalidad de que el alumno use significativamente el conocimiento, así través del uso de
los mapas de pensamiento los alumnos pueden utilizar el conocimiento para hacerlo
suyo y plasmarlo significativamente en su cuaderno de trabajo.
18
Ciencia del aprendizaje e investigación del cerebro
El Proyecto Ciencia del Aprendizaje e Investigación del Cerebro (CAIC) se
emprendió en 1999 para iniciar el diálogo y establecer la colaboración entre expertos en
ciencias del aprendizaje e investigación del cerebro. Al final de la primera etapa del
proyecto (1999-2002), se publicó un informe de la OCDE titulado Understanding the
Brain – Towards A New Learning Science, el cual se ha traducido a siete idiomas:
chino, inglés, francés, japonés, alemán, portugués y español (este último con el título:
La comprensión del cerebro – hacia una nueva ciencia del aprendizaje, OCDE-
Santillana, México, 2003).
Tanto el cálculo como la lectura son habilidades fundamentales para las
sociedades y se han estudiado durante décadas. Además, ambos pueden separarse en
componentes conceptuales más sencillos, que los hace candidatos ideales para las tareas
de evaluación en estudios de imágenes cerebrales. Así, el desarrollo de capacidades para
la lectura, la escritura y las matemáticas ha recibido atención sustancial de la
neurociencia cognitiva. Otras áreas del currículum, menos fáciles de descomponer en
unidades más simples (por ejemplo, la literatura o estudios históricos), han sido objeto
de una atención significativamente menor por parte de la psicología conductual y
cognitiva.
Capacidad para las matemáticas
Gardner (1985) explica que debido a las limitaciones de la tecnología de
imagenología y nuestro naciente entendimiento de cómo el cerebro procesa el
pensamiento matemático, se requiere simplificar el estudio de las operaciones
matemáticas.
19
Esta restricción significa que en la actualidad se enfoca en el aprendizaje de
números enteros pequeños, es decir, operaciones aritméticas simples. Las tareas de
evaluación deben ser lo bastante sencillas como para utilizarse en estudios de
imagenología cerebral, pero, a la vez lo suficientemente complejas como para ser fieles
a los fundamentos conceptuales del área de contenido.
Los mapas de pensamiento están diseñados con base en los requerimientos
neurolingüísticos que plantea el proyecto CAIC, ya que las habilidades del pensamiento
que se requieren para elaborarlos inmiscuyen procesos sencillos de elaboración en los
ocho mapas de pensamiento, las tareas que se pueden elaborar con mapas de
pensamiento son sencillas y fáciles para los estudiantes, ya que la elaboración de
círculos y formas concéntricas resultan “agradables” para el cerebro humano.
Teoría constructivista
En sus orígenes el constructivismo surge como una corriente epistemológica,
que se ocupaba de discernir los problemas de la formación del conocimiento del ser
humano (Díaz y Hernández 2001).
En los actuales representantes del constructivismo se concibe que los seres
humanos sean producto de su capacidad para adquirir conocimientos y para reflexionar
sobre sí mismos, lo que les ha permitido anticipar, explicar y controlar propositivamente
la naturaleza, y construir la cultura, el conocimiento se construye activamente por
sujetos cognoscentes.
Carretero (citado por Díaz y Hernández 2001) afirma que el constructivismo es
la idea que mantiene que el individuo tanto en los aspectos cognitivos y sociales del
comportamiento, como en los afectivos, no es un mero producto del ambiente o un
simple resultado de sus disposiciones internas, sino una construcción propia que se va
produciendo día a día como resultado de la interacción entre esos dos factores.
20
La concepción constructivista del aprendizaje escolar se basa en la idea que la
finalidad de la educación que se imparte en las instituciones educativas es promover los
procesos de crecimiento personal del alumno en el marco de la cultura del grupo al que
pertenece.
En 1996, Pozo mencionó que: “Para el constructivismo el conocimiento es
siempre una interacción entre la nueva formación que se nos presenta y lo que ya
sabíamos, y aprender es construir modelos para interpretar la información que
recibimos” (p.60). Se asume el papel esencial del aprendizaje, como producto de la
experiencia, en la naturaleza humana.
Uno de los representantes de esta corriente es Ausubel (1983 p. 45) quien
postula que: “El aprendizaje implica una reestructuración activa de las percepciones,
ideas, conceptos y esquemas que el aprendiz posee en su estructura cognitiva”. Ausubel
también concibe al alumno como un procesador activo de la información y considera
que el aprendizaje es sistemático y organizado.
El constructivismo es una mezcla de teorías del desarrollo y diferentes posturas
como las De Piaget, Vigotski y otros. Con base en todos estos paradigmas el
constructivismo propone diversos modos para llegar a un aprendizaje significativo,
estos modos son las estrategias de enseñanza y de aprendizaje que se anuncia a
continuación.
Matemáticas y cognición
Piaget (1964), señala que a los alumnos y a las alumnas les toma mucho tiempo
apoyarse en los mismos principios lógicos de los adultos, pues los maestros suelen
intentar enseñarles conceptos matemáticos para los cuales no están preparados, ya que
no se utilizan las estrategias adecuadas para lograr procesos mentales adecuados en los
discentes.
21
Cuando las formas egocéntricas de causalidad y de representación del mundo, es
decir, las que están calculadas sobre su propia actividad, comienzan a declinar bajo la
influencia de los factores surgen nuevas formas de explicación que en cierto sentido
proceden de las anteriores (Piaget, 1964 p. 66), es decir los estudiantes adolescentes
empiezan a realizar explicaciones acerca de los problemas que enfrentan en su realidad.
Danserau (1989), sostiene que, de acuerdo con las afirmaciones de diferentes
autores, las representaciones elaboradas por los alumnos permiten varios beneficios,
entre los que se pueden mencionar los siguientes:
Diagnostican la estructura cognitiva del estudiante, después de una exposición o lectura
de un material.
Facilitan el desarrollo del vocabulario del estudiante
Mejoran la discusión grupal
Favorecen el aprendizaje de textos tradicionales
Facilitan la integración de información obtenida de diferentes fuentes
Mejoran la esquematización de contenidos
Ayudan a la representación de problemas
La difusión y la gran aceptación de los mapas conceptuales y algunas otras
técnicas ha hecho que no se preste la debida atención a otras formas de representación
del conocimiento
De igual forma Piaget (1964) menciona que el adolescente tiene un interés por lo
problemas inactuales, tiene una facilidad por elaborar teorías abstractas. Las
operaciones lógico matemáticas derivan de las acciones mismas, ya que son el producto
de una abstracción que procede a partir de la coordinación de las acciones y no a partir
de los objetos.
El niño como el lógico o el matemático, modela los objetos en tanto que tales,
sus propiedades y sus relaciones por medio de una sucesión de cuadros cognitivos que
definen los estadios del desarrollo.
22
Del bebé al adolescente, se trata de procesos iniciales de asimilación-
acomodación (el innatismo funcional) y de esquemas de acción, después de la
preparación y la puesta en escena de las operaciones o acciones coordinadas e
interiorizadas, concretas y formales (Houdé, 2001)
La lectura es el proceso de derivar el significado de la lengua escrita. En este
proceso dinámico, el lector interactúa con el texto para crear significado, usando lo que
él o ella sabe sobre el contenido del texto, cómo los textos de este tipo están
estructuradas, y el vocabulario en el texto. Con base en lo anterior se puede afirmar que
en matemáticas es necesaria esta habilidad de lectura, para comprender las situaciones
problema que se plantean en las clases, para que el discente pueda ofrecer una respuesta
correcta a la situación problemática planteada por su profesor.
Hyde (2007) señala que en las aulas de los países que más destacan en las
comparaciones internacionales del logro en matemáticas, tienen algo en común: una
cultura de enseñanza y aprendizaje diseñados para ayudar a los estudiantes a efectuar
conexiones neurales y desarrollar la comprensión conceptual.
Los alumnos y alumnas, además que tienen que usar la lógica para aprender
matemáticas también tienen que comprender la importancia del procedimiento que
siguen cada vez que cuentan una serie de objetos, lo cual implica una serie de reglas
firmemente basadas en la lógica (Nunez y Briant, 2004, p, 12)
Hyerle (1995) propone que para resolver un problema matemático se puede
utilizar el mapa de flujo, dado que en la elaboración de éste se pueden apreciar los pasos
para resolver un problema matemático cualquiera. Willis (2007) señala que es
importante que el discente lleve buenos procesos mentales que pueda representar de
alguna manera forma para que sean significativos en su aprendizaje.
23
Así para resolver un problema matemático es necesario realizar varios procesos
cognitivos como la lectura eficaz, lo cual se puede lograr con la aplicación de los mapas
de pensamiento propuesto por Hyerle en 2005, ya que los ocho mapas propuestos por
este autor determinan la realización de estrategias cognitivas propuestas por Hyde
(2007).
La investigación ha identificado algunas eficaces estrategias cognitivas de los
estudiantes para su uso en la comprensión de la lectura: realizar las conexiones, hacer
preguntas, visualizar, inferir y predecir, determinación de importancia, sintetizar, y
estrategias meta cognitivas (Hyde 2007). Lo anterior concuerda ´por lo propuesto por
Hyerle (2005), debido a que los mapas de pensamiento crean dichas conexiones, pues
con ellos se puede visualizar, comparar, inferir, predecir sintetizar, clasificar y realizar
analogías.
Para ser eficaces en matemáticas estas estrategias cognitivas deben adaptarse
(Hyde 2007), como se adaptan los mapas de pensamiento en la enseñanza de las
matemáticas a nivel secundaria, para lograr en los estudiantes procesos mentales o
cognitivos mencionados por Marzano en 1997.
Modelos de representaciones mentales
Estrategia instruccional
Es importante mencionar que los mapas conceptuales (Novak 1998) desempeñan
en el aula una función clave para representar los conocimientos, ya que los mapas
ayudan a los alumnos en su desempeño escolar al tener aprendizajes de calidad (no
memorísticos).
24
Las estrategias de aprendizaje no dependen ni tienen que ver con los estilos de
aprendizaje, ya que las estrategias de aprendizaje son solo herramientas para lograr
procesos mentales diferentes. Cita a Marzano el cual describe a los mapas conceptuales
como una forma grafica de organizar el conocimiento.
Menciona que existen 3 categorías de mapas:
1. Redes de lluvias de ideas
2. Mapas de organizadores de tareas específicas
3. Mapas de procesamiento del pensamiento
Mapas conceptuales de Joseph Novak
Un mapa conceptual es una estructura jerarquizada por diferentes niveles de
generalidad o inclusividad conceptual (Novak y Gowin ,1998; Ontoria et al ,1992.Está
formado por conceptos, proposiciones y palabras enlace.
Un concepto es una clasificación de ciertas regularidades referidas a objetos
Novak (1998) ubica la invención y utilización del mapa conceptual en el año de
1972 (p.30), en el contexto de un proyecto de investigación (Novak y Musonda, 1991)
que planteó al equipo de investigadores problemáticas técnico metodológicas, además
de las teóricas.
El desarrollo de la técnica y su uso regular en las prácticas de investigación se
dio a partir de año 1974, inaugurando además su aplicación didáctica (Novak, 1998,
p.75). Las funciones que pueden distinguirse del mapa conceptual varían de acuerdo al
nivel de análisis, Novak (1998) ha descrito la técnica y su origen de distintas formas,
una de ellas menciona que la técnica surge como una herramienta y método permitiendo
“representar las estructuras cognitivas y sus cambios en los niños” en estudio (p.14).
La herramienta y el método son dos niveles funcionales del mapa conceptual
cuya distinción es analítica puesto que en el proceso de investigación las funciones que
adquirió el mapa conceptual fueron resultado mismo del proceso de desarrollo de la
herramienta y de su adaptación a nuevas situaciones investigativas.
25
Una estrategia de enseñanza propuesta por el constructivismo es el mapa
conceptual, que a diferencia de un mapa de pensamiento solamente organiza la
información en un orden jerárquico, no necesariamente intervienen procesos mentales
como comparación, contextualización o elaboración de analogías que son procesos que
usa el modelo de David Hyerle, sobre el cual trata la investigación a realizar.
Modelo de mapas mentales de Tony Buzan
El mindmapping o mapa mental es una estrategia desarrollada por el psicólogo
británico Tony Buzan a principios de los años setenta. Esta técnica nos permite entrar a
los dominios de nuestra mente de una manera más creativa. Su efecto es inmediato:
ayuda a organizar proyectos en pocos minutos, estimula la creatividad, supera los
obstáculos de la expresión escrita y ofrece un método eficaz para la producción e
intercambio de ideas.
El mapa mental toma en cuenta la manera como el cerebro recolecta, procesa y
almacena información. Su estructura registra una imagen visual que facilita extraer
información, anotarla y memorizar los detalles con facilidad. Podríamos resumir la
definición de Mapas Mentales en estas palabras: “Representación gráfica de un proceso
integral que facilita la toma de notas y repasos efectivos. Permite unificar, separar e
integrar conceptos para analizarlos y sintetizarlos, secuencialmente; en una estructura
creciente y organizada, compuesta de un conjunto de imágenes, colores y palabras, que
integran los modos de pensamiento lineal y espacial”. A diferencia de los mapas
conceptuales el objetivo de los mapas mentales es permitir representar nuestras ideas
utilizando de manera armónica las funciones cognitivas de los hemisferios cerebrales.
El mapa conceptual es un buen organizador de ideas para estudiar y representar
conceptos, pero el Mapa Mental va todavía más allá. Así como es más fácil entender un
concepto cuando lo “visualizamos” en el pensamiento por medio de la imaginación, el
asumir una actitud abierta, creativa, frente a los objetos de nuestro conocimiento nos
permite familiarizarnos con ellos más eficazmente.
26
Esto ocurre gracias a que la actividad lógica y racional controlada por nuestro
hemisferio izquierdo además que, se ve complementada por la capacidad creativa y la
disposición emocional hacia los objetos reguladas por el hemisferio derecho.
Mapas de pensamiento de David Hyerle
Los mapas de pensamiento son ocho herramientas de aprendizaje visuales-
verbales, cada uno de los cuales están basados en los procesos de pensamiento básicos
propuestos por Marzano (1997)
Los mapas de pensamiento son herramientas desarrolladas por David Hyerle en
1988, a continuación se presenta la historia de cómo se ha desarrollado este lenguaje
común para el maestro y el profesor:
Historia de los mapas de pensamiento
Innovative Sciences, Inc. (ISI) fue fundado en 1970. En 1994, una división
especial de ISI llamado el grupo que aprendía innovador, fue establecida para
investigar más lejos, el desarrollo cognitivo, y puesta en práctica de pensar con Mapas
de pensamiento, como herramientas para aprender.
A continuación se narra el proceso el cual ha servido para desarrollar los mapas
de pensamiento:
En 1941, el Dr. Albert Upton, profesor de la literatura inglesa y rusa en la
universidad de Whittier, California, escribe el “Diseño para pensar”, un texto teórico
definiendo los procesos de pensamiento fundamentales basados en la semántica, la
psicología cognoscitiva, y la solución de problemas.
En 1960 el New york Times publica los resultados de la prueba del índice de
inteligencia de Bellevue-Wechsler que demuestran que el método de Upton (que usa
análisis creativo) cambió “inteligencia” de los 210 estudiantes en su clase por un
promedio de 10 puntos usando el modelo de “Upton-Samson”.
27
En 1970, Innovative Sciences, Inc. (ISI) se funda en Stamford, Connecticut de
Charles Adams con el financiamiento por seguro prudencial, esta fundación nace para
mejorar el pensamiento y las capacidades para la solución de problemas de la fuerza de
trabajo, con base en los resultados de la investigación de Albert Upton. Así en 1972 con
la dirección de Mike Gilrod, ISI crea el Pensamiento, programa de la lectura y
Matemáticas Intuitivas para las escuelas K-12. Estos materiales comprensivos se basan
en estructura de Upton y de Guilford, programas de pensamiento- contenido, basados de
las habilidades del pensamiento.
Para 1975, novecientos sistemas escolares han introducido programas de
pensamiento de las habilidades de ISI en sus escuelas. Los aumentos en los puntajes de
desempeño de la lectura se verifican en Detroit, Michigan, Cleveland, Ohio, Tacoma,
Washington, y muchos otros sitios alrededor del Estados Unidos.
Después en 1982, ISI revisa sus materiales y crea el programa estratégico del
razonamiento para los usos regular en las aulas de clase. El Dr. Antoinette Worsham
publica resultados en su disertación “dirección educativa de ASCD” que demuestra
cambios significativos en funcionamiento de la cognición del estudiante.
Así en 1988, usando el modelo de Upton como guía, el modelo de ocho mapas
de pensamiento, es creado por David Hyerle durante la publicación de Amplía tu
Pensamiento. Este primer recurso para mapas de pensamiento es publicado por ISI y el
entrenamiento para el uso de “Los ocho tipos de mapas de pensamiento” comienza. En
1990, Los diseños para pensar conectivamente, el manual son producidos por David
Hyerle como revisión teórica y práctica del Upton-Samson Maps.
Este mismo año, ISI es adquirido por nuevos dueños. La compañía ahora centra
esfuerzos en el desarrollo profesional con las escuelas enteras usando los ocho mapas
de pensamiento, propuestos por Hyerle (1988) como herramientas que ayudan a
aprender.
28
De esta forma en 1992, pensando en recursos se crean los materiales: Dibujar
tu pensamiento, demostrar tu pensamiento, y traza tu pensamiento. Estos materiales son
desarrollados para cada nivel elemental de cada grado. Los sitios experimentales para la
utilización de estos materiales, que tienen como fundamento Los ocho mapas de
pensamiento, de Hyerle, se establecen en Carolina del Norte, New York City, Tejas, y
Mississippi, en los grados K-12.
La evaluación de la utilización del modelo de ocho mapas de pensamiento se
llevó a cabo en 1994. Los resultados de las pruebas demuestran que “Los ocho tipos de
mapas de pensamiento” afectan perceptiblemente medidas estandarizadas y cualitativas
del desempeño académico del estudiante. David Hyerle publica su disertación con base
en el modelo de ocho mapas de pensamiento. Este mismo año se forma Innovative
Lerning Group como división de ISI.
Con base en los resultados obtenidos en 1995, Thinking maps: las herramientas
para aprender la guía, se publica como síntesis de los recursos básicos para usar el
modelo de ocho Mapas de pensamiento, de Hyerle. La puesta en práctica continúa en
alrededor de 300 escuelas, a en doce estados. En este mismo año, el software thinking
maps (Los ocho tipos de mapas de pensamiento) se desarrolla y se pilota en escuelas.
Actualmente en más de 2000 escuelas de Estados Unidos han recibido el
entrenamiento y una carta de certificación en la cual consta que usan el modelo de ocho
mapas de pensamiento de Hyerle. Internacionalmente, este modelo de mapas de
pensamiento, se están utilizando en Nueva Zelandia y Singapur y otros países.
29
Descripción de los mapas de pensamiento
Ahora se presenta una breve descripción del modelo de mapas de pensamiento
de David Hyerle y ejemplos de uso realizados por los estudiantes, se pueden observar en
detalle en el Apéndice A:
1. Mapa de Círculo
Este primer mapa de pensamiento desarrolla procesos de contextualización, el
estudiante puede plasmar en el concepto relacionado con el tema central y las
fuentes de donde adquirió la idea.
2. Mapa de Burbuja.
El proceso que se persigue en es te mapa es la de describir cualidades,
escribiendo en las burbujas los adjetivos pertinentes al concepto central. En este
mapa se pretende representar la mejor forma de describir al objeto o situación.
3. Mapa de doble Burbuja
En este mapa el discente puede comparar dos conceptos, enunciando sus
semejanzas y diferencias en un orden lógico.
4. Mapa de árbol
En este árbol se clasifican las ideas de las más generales a las particulares.
5. Mapa de llaves
En el mapa de llaves el objetivo es organizar las partes de un concepto que
abarque a otros que se encuentran inmiscuidos en el más grande.
6. Mapa de flujo
El mapa de flujo sir para organizar un suceso o un proceso en el cual se detalla
el orden del acontecimiento.
7. Mapa de Multiflujo
En el mapa de Multiflujo se plasman las causas y los efectos de algún
acontecimiento a estudiar en clase.
30
8. Mapa de Puente
Este tipo de mapa es una herramienta cognitiva que ayuda al estudiante a llegar a
un nivel mayor que seria la de elaborar analogías.
Como se puede apreciar el orden de los mapas es en relación a la dificultad de
los procesos de pensamiento desde contextualizar hasta llegar a elaborar una analogía.
De estos ocho mapas de pensamiento se pretenden investigar cuales serian los efectos
del uso en la enseñanza de matemáticas a nivel secundaria.
Resultados con mapas de pensamiento
En la tabla 1 se pueden apreciar los resultados en matemáticas, en escuelas de
Estados Unidos de Norteamérica. Todos los profesores contaban con un entrenamiento
previo, para el uso de mapas de pensamiento en sus clases.
31
Tabla 1
Resultados con mapas de pensamiento
Descripción de la
escuela
Localización Prueba instrumental Resultados
Margaret Fain
Elementary/Title I
Windemere
Elementary (suburban school)
Carl Waitz
Elementary/100%
Title I
Atlanta (Georgia)
City Schools
West Orange
County, Florida
Mission, Texas
Georgia State Test of
Basic Skills
Florida Writes! State
Assessment
Texas State: TAAS
(Texas Assessment
of Academic Skills)
En 1996 los
puntajes
en matemáticas cambiaron de 32 %
a 63 %
Matemáticas:
Por dos años el nivel
en los puntajes de
aprovechamiento
cambio del 79 % al 92 % después de la
implementación
Matemáticas: Rose
de 41.2%
toa76.5%.
La tabla 1 muestra como los puntajes de aprovechamiento académico en
matemáticas incrementaron después del uso de mapas de mapas de pensamiento en
clases de matemáticas. De igual forma se puede apreciar en la columna tres las pruebas
instrumentales que se utilizaron para medir el aprovechamiento.
A continuación se describirán algunos resultados en aprovechamiento académico
en diversas áreas del conocimiento en diversos niveles escolares de Estados Unidos.
32
Resultados en escuela de Mississippi Estados Unidos
El propósito de este estudio cuasiexperimental realizado por Kalehoff en 1998,
fue el de analizar los efectos en los puntajes de pruebas, usando mapas de pensamiento
en conjunción con el currículum regular de lectura en clases de la preparatoria
comunitaria Country Junior College
La instrucción en el grupo experimental y control fue idéntica por dos semestres,
excepto por la introducción uso de mapas de pensamiento en el currículum del grupo
experimental. Los datos obtenidos, después de ser analizados, determinan que si se usa
mapas de pensamiento resulta una diferencia significativa el los puntajes obtenidos en la
pruebas postest. De igual forma se determinó que existe una correlación significativa
entre el uso de mapas de pensamiento y los puntajes de comprensión lectora obtenidos
en estudiantes usando la prueba SDRT (Stanford Diagnostic Reading Test).En la figura
1 se pueden apreciar algunos ejemplos del uso de mapas de pensamiento, en esta
investigación.
33
Figura 1.Mapa de llaves elaborado por alumnos de diversos grados
Como se muestra en la figura 1 el mapa de pensamiento es una herramienta que
puede ser diseñada por generaciones, ya que se puede apreciar como va evolucionando
la idea del discente.
Resultados en escuela de Tennessee Estados Unidos
En la disertación doctoral de Hickie (2006) titulada, un Examen del Desempeño
de Estudiantes después de Dos años de Implementación de un Programa de Mapas de
Pensamiento en Tres escuelas de Tennessee, la doctora explica que, basándose en el
análisis de los resultados, después de la implementación de mapas de pensamiento se
dio un importante paso en el aprovechamiento en el área de lectura y lenguaje de los
estudiantes.
Según los resultados de Hickie (2006), existe una relación positiva entre la
utilización del programa de mapas de pensamiento por dos años y el aprovechamiento
de los estudiantes en las áreas de lectura y lenguaje, según los puntajes de la prueba
state NCE. Esta prueba demuestra que hay también una diferencia significativa en los
puntajes obtenidos entre el 2003 y 2005 en las medias de lectura.
34
Resultados en Massachusetts Estados Unidos
Manning (2006), subdirectora e investigadora en la escuela Learnig Prep School
Newton, condujo una multifacética investigación del 2001 al 2005. En esta
investigación se usaron los mapas de pensamiento para incrementar el aprovechamiento
académico de estudiantes en la comprensión y adquisición y adaptación de estudiantes a
diferentes habilidades.
La figura 2 muestra los resultados de la prueba denominada MCAS
(Massachusetts Comprensive Assessment System), prueba administrada desde el 2001
al 2005 en los estudiantes.
Figura 2. Resultados de la prueba MCAS administrada del 2001 al 2005
Las conclusiones de Manning (2006) fueron:
1. Los mapas de pensamiento son una poderosa herramienta para Learning
Prep schol, y el uso de estas facilitan el aprendizaje para estudiantes, los
cuales tienen que desarrollarse en diferentes asignaturas ambientes
educativos.
2. Ahora podemos ver los resultados significativos del aprovechamiento de
los estudiantes por lo cual el uso de los mapas de pensamiento ahora se
utilizan en conjunto con todos los programas de la institución.
35
Resultados en Carolina del Norte Estados Unidos
En su investigación cuasiexperimental Macintyre (2006) encontró dos resultados
importantes:
1. Cuando los mapas de pensamiento son utilizados a diario en la enseñanza
de matemáticas los estudiantes aprenden y demuestran un desarrollo y
maestría en la elaboración de los mapas, y una gran expectación en las
pruebas estatales de aprovechamiento académico.
2. Las estrategias utilizadas con mapas de pensamiento y sus aplicaciones
son replicables.
La figura 3, representa un estudio realizado en los ocho grados en tres junior
high en The Nash –Rocky Mount Scool System. Los datos son referentes a un estado
pretest y postest, con base en el aprovechamiento de los estudiantes en matemáticas.
Figura 3. Resultados de la prueba pretest y postest
Resultados en Brunswick County Public Schools en Carolina del Norte
36
La investigación se realizó en el sureste de carolina del Norte en la región dos de
educación distrital, aproximadamente con 10,000 estudiantes. Este estudio se realizó en
15 escuelas: ocho primarias, tres secundarias, tres preparatorias y una escuela
alternativa
En la tabla 2 se puede apreciar el incremento del aprovechamiento en
matemáticas en Brunswick, Estados Unidos, se puede apreciar como los porcentajes de
aprovechamiento se incrementaron en los ocho grados de primaria después de la
implementación de mapas de pensamiento en los programas de clases.
Tabla 2
Porcentaje de aprobación estudiantil en Matemáticas en escuelas públicas de
Brunswick Estados Unidos
Grado
Antes de la
implementación
de mapas de pensamiento
1995-1996
1996-1997
1997-1998
1998-1999
1999-2000
Tercero 65.1 71.4 70.0 74.7 73.5
Cuarto 61.5 72.4 81..6 81.0 85.7
Quinto 62.6 63.2 76.4 81.6 81.3
Sexto 72.6 73.5 77.6 87.5 82.7
Séptimo 65.1 71.4 70.0 74.7 87.4
Octavo 70.4 67.1 80.1 83.4 86.6
37
El seguimiento longitudinal se puede apreciar en la tabla 2 desde el año de 1995,
hasta el año 2000.
En la tabla 3 se muestra como el puntaje en matemáticas de los estudiantes en las
pruebas de aprovechamiento cambio del 80 % año en que se implementó el programa de
mapas de pensamiento, a 95.1 % en 2000. Se puede apreciar en la tabla que el
porcentaje de calificación en las pruebas de aprovechamiento fue en aumento conforme
el avance de los años en la escuela primaria A. T. Allen.
De igual forma se puede notar que el mayor incremento del porcentaje se dio de
1997 a 1998, ya que se incrementó más del 10 % en las calificaciones de los estudiantes.
Tabla 3
Porcentaje de estudiantes que terminan su grado de estudios según las evaluaciones
realizadas en la escuela primaria A. T. Allen
Prueba Implementación
De mapas de
pensamiento 1997
1998 1999 2000
Lectura 77.0 89.0 93.0 88.1
Matemáticas 80.0 91.0 95.0 95.1
En la tabla 4 se pueden apreciar los cambios porcentuales en el aprovechamiento
en matemáticas, de 67.6 antes de la implementación de mapas de pensamiento a 85.9
38
después de casi cinco años de la implementación en la secundaria ABC ubicada al este
de Burke.
Tabla 4
Porcentaje de estudiantes que aprobaron de grado según evaluación estatal en la
escuela secundaria ABC ubicada al este de Burke
Asignatura O habilidad
Antes de la Implementación
De mapas de
pensamiento 1995-1996
1996-1997
1997-1998
1
998-1999
1999-2000
Lectura 65.3 65.2 89.4 82.9 78.9
Escritura 72.9 85.0 87.1 88.4 83.8
Matemáticas 67.6 74.2 87.4 88.4 85.9
39
Las tablas 5 y 6 muestran los resultados después de la implementación de
mapas de pensamiento en alumnos de tercer y quinto grado respectivamente, en cuanto
a la aprobación de la prueba SOL en Virginia, Estados Unidos.
Tabla 5
Porcentaje de alumnos de tercer grado de primaria que aprueban la evaluación SOL
Assessment en Newsome en Virginia Estados Unidos.
Asignatura 1999 2000 2001
Inglés 40 48 52 Matemáticas 55 65 69
Historia 44 63 62
Ciencias 53 69 67
Tabla 6
Porcentaje de alumnos de quinto grado de primaria que aprueban la evaluación SOL
Assessment en Newsome en Virginia Estados Unidos
Asignatura 1999 2000 2001
Escritura 68 69 79
Inglés 46 62 62
Matemáticas 33 68 70
Historia 43 37 68
Ciencias 54 79 75
40
41
CAPÍTULO 3
Metodología
Tipo y diseño del estudio
La metodología a utilizar en este estudio es de tipo cuantitativa, ya que responde
a las características de un diseño cuasiexperimental, dado que los dos grupos con los
cuales se realizó la investigación no fueron al azar, pues se utilizó a dos grupos de clase
previamente establecidos.
Participantes y contexto
Los participantes que estuvieron inmiscuidos en esta investigación, fueron un
total de 50 estudiantes de segundo año de secundaria inscritos al curso escolar 2007-
2008, en el Centro Educativo Blas Pascal (CEBP); el cual se encuentra ubicado en el
kilómetro 1.5 de la carretera Mérida Dzitiá, en Mérida Yucatán México.
Participaron en este estudio un total de 26 estudiantes de género masculino y 24
de género femenino. La muestra estuvo conformada por 25 estudiantes en el grupo
control y 25 estudiantes en el grupo experimental, como lo muestra la tabla 8.
Tabla 7
Distribución del género en los grupos control y experimental
Grupo Género Total
Masculino Femenino
Control
Experimental
13
13
12
12
25
25
42
En la tabla 8 se describe la distribución del género tanto en los grupos control
como experimental, como se puede apreciar hay un total de 26 estudiantes de género
masculino y 24 de género femenino.
Procedimiento de recolección de datos
La intervención en el grupo experimental consistió en la enseñanza con mapas
de pensamiento durante dos bimestres y en el grupo control se llevó acabo la enseñanza
de los mismos contenidos, pero sin la didáctica con mapas de pensamiento.
Para la enseñanza de los contenidos en los dos grupos, se diseñó un programa, el
cual consistió en la enseñanza por medio del método por proyectos, con la diferencia
que en el grupo experimental se enseñó con mapas de pensamiento y las actividades
realizadas por los discentes las realizaron con mapas de pensamiento. En el apéndice B
se puede observar la descripción del proyecto, en los cuatro meses, y el manual de
tareas, en el cual se especifican las actividades que llevaron a cabo los alumnos del
grupo experimental. También se encuentran especificados cuales fueron los objetivos
que se pretendían lograr, los criterios de valoración y porcentajes asignados a las etapas
de aprendizaje.
Para lograr una equivalencia en los grupos control y experimental se contó
con 25 estudiantes para el grupo control y 25 estudiantes para el grupo experimental,
además de que solamente un profesor fue quien impartió clases a los mismos para
evitar que la habilidad del profesor se convierta en una variable limitante en este
estudio.
43
Figura 4. Mapa de doble burbuja de comparación del grupo control y experimental
La figura 4 compara las condiciones en las que se realizó la investigación en el
grupo experimental y el grupo control. Los óvalos 1,2 y 3 representan las semejanzas en
las condiciones y los óvalos 4, 5, 6, 7, 8 y 9 las diferencias de condiciones entre los dos
grupos.
9.En el salón
de clases se
contaba con
posters de los
ocho mapas de
pensamiento
7. Realizó
manual de
tareas con
mapas de pensamiento
Grupo Control
Grupo Experimental
3. Administración
de la prueba
ENLACE como pretest y postest
2. Enseñanza
de los
mismos
contenidos
temáticos
1. Enseñanza
del mismo profesor
4. Realizó
manual de
tareas sin mapas
de pensamiento
6. En el salón
de clases no se
contaba con
posters de los
ocho mapas de
pensamiento
8.Su manual
de tareas
incluía
elaboración
de mapas de
pensamiento
5. Su manual
de tareas no
contenía
actividades
con mapas de
pensamiento
44
Para determinar igualdad de conocimientos previos en los dos grupos, al inicio
del periodo experimental se llevó a cabo una evaluación de tipo pretest, con la
administración de la prueba ENLACE, y para determinar la variación del
aprovechamiento académico de los dos grupos, se utilizará la misma, ya que una misma
prueba servirá de pretest y postest.
En la figura 5 se puede distinguir las tres fases del proceso de investigación
cuasiexperimental en los grupos control y experimental.
Figura 5. Mapa de flujo de la metodología de investigación
Período de prueba
pretest
administración de la
prueba
ENLACE
Enseñanza de los
contenidos de la SEP,
en dos bimestres
Realización de las
etapas de aprendizaje
1, 2,3, 4 y 5
Período de prueba
postest
administración de la
prueba
ENLACE
Grupo
Control
Grupo control
Elaboración del manual de
tareas sin
mapas de
pensamiento
Grupo control
Elaboración del manual de
tareas con
mapas de
pensamiento
Grupo
experimental
Grupo
control
Grupo
experimental
45
Diseño y planeación de las clases
Para la enseñanza de los contenidos temáticos a los grupos control y
experimental, se elaboró un solo proyecto, con los mismos objetivos, criterios de
evaluación, contenido temático y producto final, pero para la realización de este se
elaboraron dos manuales de tareas, uno para el grupo experimental y otro para el grupo
control, los cuales se pueden apreciar en el apéndice A. La única diferencia en los
manuales consistió en que en el grupo experimental, en la realización de las tareas se
elaborarían los mapas de pensamiento y en el grupo control solamente se realizarían las
tareas pero sin la elaboración de mapas de pensamiento.
Figura 6. Mapa de flujo de la organización de las etapas de aprendizaje
Inició
20
agosto
Inició
31 de
agosto
Terminó
20 de
septiembre
30 de
septiembre
Inició
21 de
septiembre
Terminó
30 de
agosto
Etapa de aprendizaje 4
Ecuaciones y balanzas
Etapa de aprendizaje 5
Mi parque y las
matemáticas
Inicio
1 de
octubre
Inició
26 de
octubre
Terminó
15 de
diciembre
Terminó
25 de
octubre
Etapa de aprendizaje 1
La estadística, un
lenguaje para la
investigación
Etapa de aprendizaje 2
Geometría en el
parque de las
Américas
Etapa de aprendizaje 3
El álgebra un lenguaje
universal
46
Diseño de tareas
En el diseño de las tareas en el manual a realizar por los alumnos del grupo
experimental se cuidó que las tareas tengan un orden de dificultad en las habilidades de
pensamiento. Dicho orden se respetos en los manuales para el grupo experimental y
control, cabe mencionar que la única diferencia fue que en el grupo experimental se
elaboraron los mapas de pensamiento en una jerarquía la cual puede apreciar en la tabla
8. De igual manera se pueden apreciar las imágenes de los ocho mapas de pensamiento.
Tabla 8
Jerarquía utilizada en el diseño del manual de tareas del grupo experimental
Mapa de pensamiento Habilidad del pensamiento Imagen
1. Mapa de círculo Definir el contexto y generar
conocimientos previos
matemáticos
2. Mapa de burbuja Describir características de
conceptos matemáticos
3. Mapa de doble burbuja
Comparar y contrastar conceptos y procesos
matemáticos 4. Mapa de árbol Clasificar conceptos o
procesos
5. Mapa de llaves Identificar estructuras
6. Mapa de flujo Identificar cronologías y
secuencias de solución de
problemas
7. Mapa de multiflujo Predecir causas consecuencias para la
solución de problemas
8. Mapa de puente Realizar y comparar por
medio de analogías
47
Instrumento
En esta investigación se utilizará la prueba de Evaluación Nacional de Logro
Académico en Centros Escolares ENLACE, que realizó las funciones de pretest y
postest, esta prueba sirvió para medir el aprovechamiento académico antes y después de
dos bimestres de enseñanza.
La prueba ENLACE consiste en una prueba que tiene como principal objetivo
proporcionar información diagnóstica de los temas y contenidos que los alumnos
evaluados no han logrado aprender bien en las asignaturas de Español y Matemáticas.
Cabe aclarar que para fines de ésta investigación solamente se utilizaron los
ítems referentes a Matemáticas, ya que sólo se pretende investigar si los mapas de
pensamiento inciden en el aprovechamiento matemático de los estudiantes.
Validez y confiabilidad
La prueba ENLACE es una prueba estandarizada si se administra en las mismas
condiciones. Sin embargo se procedió a realizar una prueba piloto con 444 sujetos de
segundo de secundaria, que tuvieran las mismas características de los sujetos a estudiar,
posteriormente se aplicó un coeficiente alfa de Cronbach, que resultó ser de .82 el cual
indica la buena capacidad que tiene el instrumento para dar los mismos resultados en
repetidas aplicaciones.
48
Tabla de especificaciones
A continuación se describen las características esenciales de la prueba ENLACE
Tabla 9
Tabla de especificaciones de la prueba ENLACE 2007
Apartado de la prueba Número de ítems Ítems
Números naturales Números fraccionarios y decimales
Variación proporcional
Geometría
Medición y cálculo numérico
Ecuaciones
Manejo de la información
Experimentos aleatorios Números con signo
Cálculo algebraico
3 8
6
18
6
10
4
5 4
9
1, 2 y 3 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 y 11
16, 17, 18, 19 , 20 y 21
41, 42, 43, 44, 45, 46, 47,
48 , 49 , 50 , 51, 52, 53, 54, 55 , 56, 57 y 58
59, 60 , 61, 62, 63, y 64
31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39 y 40
65, 66, 67 y 68
69, 70, 71, 72 y 73 12, 13, 14 y 15
22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,
29 y 30
En la tabla anterior se aprecia que la prueba ENLACE 2007 tiene un total de 73
ítems que se encuentran agrupados en un total de 10 apartados. Las respuestas a los 73
ítems se pueden apreciar en el apéndice 3.
Variables e indicadores
Las variables a medir en este estudio serán, variable independiente: Uso de
mapas de pensamiento, variable dependiente: índice de aprovechamiento después de dos
bimestres de estudio.
Análisis de datos
49
Para analizar los resultados en el pilotaje de la prueba pretest y postest se
utilizará el programa Statistical Package for the Social Sciences (SPSS).
Los resultados en esta investigación solamente serán generalizados a los grupos
control y experimental y no se podrán generalizar a ninguna población, dadas las
características del diseño cuasiexperimental.
Aspectos éticos
Los profesores tendrán conocimiento del objetivo y resultados de esta
investigación, así como las autoridades, padres de familia y alumnos de la escuela
donde laboran los docentes que estarán inmersos en el proceso de investigación.
50
CAPÍTULO 4
51
Resultados
Período Pretest
Antes de la intervención con mapas de pensamiento en el grupo experimental se
administró la prueba ENLACE en los grupos control y experimental para verificar que
en ambos exista el mismo nivel de conocimientos previos, los datos obtenidos en la
prueba se muestran a continuación.
Tabla 10
Diferencia entre grupo experimental y control
Grupo N DE
Experimental 25 2.7 8.6
Control 25 2.4 3.9
Sin embargo la diferencia significativa se determinó a través de la aplicación de
la prueba t de Student para muestras independientes resultando la tabla 12 que se analiza
posteriormente.
Tabla 11
Prueba de medias entre grupo experimental y control
52
Prueba t p
Pretest 1.83 .075
Con base en los datos de la tabla 12 se puede afirmar que no existe diferencia
significativa entre el grupo control y experimental, ya que los índices, que se aprecian
(p) en la tabla no son menores o iguales a .05. Por lo tanto el grupo control y
experimental el período pretest, tienen los mismos conocimientos previos.
Posteriormente se intervino con mapas de pensamiento en el grupo experimental
durante dos bimestres, y al cabo del término de este tiempo se procedió al período
postest.
Período Postest
Para determinar si existe diferencia en el aprovechamiento académico entre los
grupos control y experimental después de la intervención con mapas de pensamiento en
el grupo experimental, se procedió a verificar la diferencia de medias entre muestras
independientes resultando los siguientes datos que se pueden apreciar en la tabla 13.
Tabla 12
Descripción de medias entre grupo experimental y control
53
Grupo N DE
Experimental 25 4.3 7.92
Control 25 2.4 5.36
Como se puede apreciar en la tabla anterior la media entre los grupos control y
experimental varía, lo cual conlleva a explicar que el promedio de aprovechamiento
académico entre el grupo que utilizó mapas de pensamiento en el aula y el grupo que no
los utilizó, es mayor.
Para probar estadísticamente que existe una diferencia significativa en los
grupos control y experimental se utilizó la prueba t de Student para diferencia de medias
resultando los siguientes datos que se aprecian en la tabla que a continuación se explica.
Tabla 13
Descripción de t de Student
Prueba t p
Postest 9.93 .00
Como se puede verificar en la tabla anterior, existe diferencia significativa entre
el grupo control y experimental, ya que los índices que se aprecian (p) son menores a
.05
Resultados por apartado de la prueba
54
A continuación se presentan los resultados obtenidos en los diez apartados de la
prueba ENLACE. Se utilizó la t de Student para determinar la diferencia entre medias
entre los grupos control y experimental.
Tabla 14
Diferencia de medias por apartado de la prueba ENLACE entre los grupos control y
experimental
Apartado de la prueba ENLACE 2007 t de Student p
Números naturales 8.26 .001 Variación proporcional 5.36 .001
Fracciones 2.45 .18
Geometría 9.08 .001 Medición y cálculo numérico 6.45 .001
Ecuaciones 6.35 .001
Manejo de la información 2.32 .025
Experimentos aleatorios 2.98 .005 Números con signo 5.54 .001
Cálculo algebraico 7.36 0.001
Al usar la prueba para muestras independientes se pudo comprobar que existe
diferencia significativa entre los grupos control y experimental, dado que el valor p es
menor a .05. Lo anterior se puede apreciar en la tabla anterior.
En el apartado de variación proporcional también existe diferencia significativa
ya que el valor p es menor a .05. Lo anterior se puede apreciar en la tabla anterior.
En los siguientes apartados se muestra que existe diferencia significativa ya que
el valor pe obtenido por la diferencia de medias es menor a .05. Lo anterior se
demuestra en las tablas 11, 12, 13, 14, 15, 16 ,17 y 18.
En la tabla 15 se puede verificar que las medias obtenidas por apartados en la
prueba ENLACE, por el grupo experimental, es mayor que las medias obtenidas
55
excepto en el apartado de manejo de la información, ya que la media en el grupo
experimental en este apartado fue de 1.12 y la media que obtuvo el grupo control fue de
1.76
Tabla 15
Descripción de las medias por apartado entre los grupos control y experimental
Apartado Grupo
Experimental Control
DE DE
Números naturales
Números fraccionarios y decimales
Variación proporcional
Geometría
Medición y cálculo numérico
Ecuaciones
Manejo de la información
Experimentos aleatorios
Números con signo
Cálculo algebraico
1.96
5.56
4.2
10.56
4.00
5.88
1.12
1.36
3.28
4.92
.20
1.15
1.11
2.82
1.25
2.06
.72
.56
.54
1.73
1.08
4.40
2.56
4.68
1.88
2.88
1.76
.68
2.04
1.76
.49
2.06
1.04
1.57
1.05
1.12
1.16
.98
.97
1.26
Resultados en el aula
56
En el salón donde se impartieron las clases al grupo experimental, los mapas de
pensamiento estaban dibujados en la pared para una mayor visibilidad y manejo de los
mismos al momento de utilizarlos, lo anterior se puede notar en la figura siguiente.
Como se puede notar, en la siguiente figura una alumna del grupo experimental
expone a sus compañeros el proceso de solución de un problema de investigó y resolvió
en equipo. Todos los estudiantes del grupo experimental tuvieron la oportunidad de
pasar a exponer y enunciar sus experiencias al resolver los problemas que investigaron
con mapas de pensamiento.
Figura 7. Explicación de un alumno después de realizar una tarea con mapas de
pensamiento
En las clases para los grupos control y experimental también se contó con el uso
de ordenadores con internet para realizar las tareas de los manuales a realizar. Los
57
manuales estaban guardados en las computadoras. En los salones tanto del grupo
experimental y control
Figura 8. Realización de una tarea con mapas de pensamiento en equipo
Con los mapas de pensamiento los alumnos pudieron realizar explicaciones de la
solución de problemas de los contenidos temáticos. En la siguiente figura un estudiante
del grupo experimental explica paso a paso cómo solucionó un problema de sistemas de
ecuaciones.
58
Figura 9. Un alumno del grupo experimental explica el procedimiento de solución
De igual forma se pudo observar que con la ayuda de los mapas de pensamiento
al resolver problemas, los alumnos demuestran mayor independencia y seguridad al
momento de explicar a otros compañeros como se muestra en la figura 9.
También se pudo notar que los discentes demuestran creatividad para elaborar
los mapas, ya que ponen de su ingenio al elaborar la solución de problemas con dibujos
en el mapa, colores, diversas figuras geométricas y explicaciones ingeniosas.
Al finalizar el curso escolar tanto los alumnos del grupo control como el
experimental tuvieron la oportunidad de exponer sus productos finales a sus padres y a
la comunidad educativa, con el fin de que los conocimientos adquiridos sean apreciados
por sus padres y amigos.
59
Figura 10. Exposición de un proyecto final del curso
En la figura 10 se puede observar la exposición de los productos finales de los alumnos
del grupo control y experimental al final del curso escolar, la exposición se llevó a cabo
en los salones de clase de los grupos y las explicaciones y comentarios estuvieron a
cargo de los alumnos de los dos grupos.
60
CAPÍTULO 5
Conclusiones
61
Con base en los resultados obtenidos en el capítulo anterior se puede llegar a las
siguientes dos conclusiones:
Existe una diferencia significativa en el aprovechamiento académico entre los
grupos control y experimental, en la prueba ENLACE 2007, dado que en el grupo
experimental se utilizó como estrategia de enseñanza a los mapas de pensamiento.
Las medias obtenidas en la prueba postest demuestra que el grupo control tuvo
mejores puntuaciones en la Prueba ENLACE 2007, excepto en el apartado de la prueba
denominado manejo de la información, debido a que el puntaje de medias fue menor en
el grupo experimental que en el grupo control, como lo muestra la tabla 15.
Así se puede aceptar la hipótesis: Existe diferencia significativa entre el uso de
mapas de pensamiento y la mejora en el aprovechamiento académico de los alumnos en
matemáticas de segundo grado de secundaria, del Centro Educativo Blas Pascal. Lo
anterior concuerda con Kalehoff (1998) y Manning (2006) quien manifestó que si se
usan mapas de pensamiento en un grupo experimental, existirá diferencia significativa
entre el uso de mapas de pensamiento y la administración de una prueba estandarizada.
El uso de mapas de pensamiento como estrategia de enseñanza en el aula
produjo en estudiantes de segundo de secundaria del CEBP un mejor aprovechamiento
de matemáticas, según los resultados que arroja la administración de la prueba
ENLACE 2007, según los datos recabados en el periodo postest.
Los alumnos del grupo experimental tuvieron más confianza y creatividad al
momento de explicar a sus compañeros la solución de problemas, esto concuerda con lo
propuesto por Macintyre (2006), dado que según ella los alumnos demuestran
creatividad y confianza.
Se concuerda con los resultados expuestos por Hickie (2006) en cuanto la
facilidad para la comprensión lectora, ya que para resolver un problema el alumno tiene
que primero comprender el problema para implementar estrategias de solución.
De igual manera se concuerda con Marzano (2001) en cuanto a que los mapas de
pensamiento son estrategias que facilitan las categorías de estrategias instruccionales
62
como son la habilidad de comparar, resumir, identificar similitudes y diferencias,
clasificar, elaborar, aprendizaje cooperativo, generación y prueba de hipótesis. Puesto
que en la realización de las tareas del manual de tareas en el grupo experimental el
ambiento para realizar las estrategias antes mencionadas, fue propicio y agradable tanto
para el profesor como para los alumnos.
Se pudo apreciar también que para que los alumnos dominen el uso adecuado de
los mapas de pensamiento, es necesario tener un período de tiempo especialmente
dedicado al entrenamiento en el uso de los mapas de pensamiento, ya que al principio
fue difícil para algunos alumnos del grupo experimental que usen adecuadamente los
mapas.
De igual forma se observó que algunos alumnos manifestaron apatía hacia el uso
de los mapas de pensamiento y atribuyeron su mejora de aprovechamiento en
matemáticas a su propia habilidad o casualidad. Sin embargo otros discentes también
notificaron que les gustaron las tareas del manual porque no tenían que aprenderse
fórmulas o definiciones matemáticas de memoria sino que tenían que entenderlos
procesos para resolver problemas matemáticos.
En cuanto al grupo control, el cual no utilizó mapas de pensamiento, después del
estudio manifestaron un interés personal en aprender de igual manera los mapas de
pensamiento. Y después de este estudio se les enseñó a usarlos para matemáticas y otras
asignaturas de la secundaria.
También después de esta investigación los alumnos realizaron combinaciones de
mapas de pensamiento para entender mejor los procesos de solución de problemas
matemáticos y las aplicaron de igual forma o adaptados a otras asignaturas.
Recomendaciones
63
Es necesario implementar más de cuatro meses los mapas de pensamiento en la
enseñanza de matemáticas, ya que éstos producen mayor aprovechamiento académico
en estudiantes de segundo de secundaria, en condiciones similares a las de éste estudio
cuasiexperimental.
Se recomienda a las autoridades académicas del Centro Educativo Blas Pascal,
utilizar proyectos educativos y manuales de tareas, que contengan utilización de mapas
de pensamiento, ya que éstos podrán incidir en un mejor aprovechamiento en
estudiantes de secundaria.
Es de vital importancia que el profesor que enseñe con el modelo de mapas de
pensamiento, propuesto por Hyerle, tenga un entrenamiento previo para que sepa su
historia, teoría que lo sustenta y uso adecuado, para provocar en el alumno un interés
por aprender a prender y poco a poco independizar su aprendizaje del profesor.
El uso de mapas de pensamiento por los alumnos debe de ir del uso de las
habilidades básicas, hasta las más complejas, la jerarquía del uso de mapas de
pensamiento que se propone en la tabla 8, debe tomarse en cuenta, ya que usarla
producirá en los alumnos un aprendizaje escalonado, que posteriormente podrá utilizar
en cualquier asignatura. Puesto que los alumnos aprenden de la habilidad más simple a
la más compleja.
Para futuras investigaciones en el área de matemáticas se propone contar con una
mayor población de estudio, para que los resultados se puedan generalizar, de igual
forma determinar poner énfasis en los temas de manejo de la información, debido a que
se manifestó en este estudio menor puntaje en la media del el grupo experimental con
respecto al grupo control
De igual forma se propone realizar estudios de corte cualitativo o mixto, para
describir las perspectivas de los maestros y alumnos para tener perspectivas de pesquisa
más concisas y amplias.
64
Se hace necesario así realizar más investigaciones de mapas conceptuales en
todas las asignaturas para incrementar el aprovechamiento en todos los ámbitos de la
enseñanza secundaria.
Igualmente se propone la enseñanza de los mapas de pensamiento en las
escuelas de comunidades indígenas en Yucatán, para incrementar el interés por las
diversas áreas del conocimiento. Los mapas de pensamiento serían de gran ayuda para
salir de las clases tradicionales en las que están atrapados estos niños yucatecos que
tienen tantas necesidades.
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69
Apéndice A: MAPAS DE PENSAMIENTO PROPUESTOS POR DAVID HYERLE
70
A continuación se incluyen ocho los mapas de pensamiento propuestos por Hyerle
(2005).
Mapa de círculo
71
Mapa de burbuja
72
Mapa de doble burbuja
Mapa de llaves
73
___________
_________ ___________
___________
________
Mapa de árbol
74
Mapa de flujo
75
Mapa multiflujo
76
Mapa de puente
77
78
Apéndice B: PROYECTO Y MANUAL DE TAREAS UTILIZADO DURANTE
CUATRO MESES
Programa y manual de tareas utilizado para el grupo experimental
79
MATEMÁTICAS 2 SECUNDARIA
ETAPA DE APRENDIZAJE 1: LA ESTADÍSTICA, UN LENGUAJE
PARA LA INVESTIGACIÓN
Contenido temático:
Estadística descriptiva
Porcentaje
Organización de datos en tablas y gráficas
Tablas y gráficas
Frecuencia absoluta y relativa
Densidad de población
Simulación
Objetivos:
Utilizarás la simbología y los conceptos matemáticos para interpretar y
transmitir información cualitativa y cuantitativa.
Descubrirás regularidades, patrones y generalizaciones de teoremas y principios
matemáticos.
Formularás procedimientos y resultados a problemas diversos
Asignaturas con las que se vincula: Geografía, Historia, Español y civismo
Criterios de acreditación:
80 % de asistencia
Visto bueno en las 3 revisiones del profesor titular.
Entregar resueltos las tareas correspondientes al proyecto
Participar en la resolución de los problemas selectos
Criterios de valoración:
80
Descripción del proyecto
El proyecto a entregar por el discente consistirá en un informe de investigación
descriptiva en el cual pueda demostrar y defender ante sus compañeros, de un estado de
la República Mexicana, el cual será asignado por el maestro.
El informe consistirá en la realización de las tareas 6, 7 y 8 del proyecto con
procesador de texto.
Condiciones de entrega del informe:
a. Escritas con procesador de texto.
ACTIVIDADES VALOR
PROCESO
Participación en problemas selectos y tareas
del proyecto
Pruebas escritas y orales
PRODUCTO
Informe de una investigación descriptiva.
30
30
40
81
b. Doble espacio.
c. 2.5 cm todos los márgenes.
d. Letra tamaño: 12 tipo: Times New Roman.
e. Se aceptará solamente la fecha estipulada.
f. Se entregará en un sobre de manila tamaño carta sellado con nombre.
g. El trabajo debe incluir una portada, índice, paginado, y comentarios.
h. En caso de por condiciones de fuerza mayor no se pueda entregar el dossier
de tareas la fecha entregada se restará 25 % del puntaje total de producto
por cada día de atraso.
Criterios de valoración de las tareas:
Deben ser hechas en la libreta, si la instrucción lo indica.
Letra legible, limpia con buena presentación, entregadas en las fechas establecidas
(0.3 pts)
Las realizadas en equipo deben ser uniformes para los integrantes.
Correctas y lógicas (2 Pts.)
82
MATEMÁTICAS 2 SECUNDARIA
ETAPA DE APRENDIZAJE 2: EL PARQUE DE LAS AMÉRICAS
Objetivos del proyecto: Utilizará conceptos aritméticos y geométricos en la
construcción de un plano que observa en su realidad.
Contenido temático:
Orden de magnitud. Unidades microscópicas y astronómicas.
Potenciación con decimales
Notación científica
Números primos y compuestos
MCM Y MCD
83
Suma, resta, multiplicación y división de fracciones
Descripción del proyecto:
El proyecto a desarrollar por el alumno en esta etapa de aprendizaje, consistirá en un
plano a escala de del parque de las Américas.
Etapas del proyecto:
Visita al Parque de las Américas para realizar medidas de la fuente principal y
capturar imágenes con cámaras.
Elaboración en el salón de un plano a escala de la fuente principal del parque de
las Américas, incluyendo medidas a escala de toda la fuente
El plano se realizará primero en la libreta, después en hojas milimétricas y
posteriormente en el programa computacional denominado “Cabri” .
ACTIVIDADES VALOR
PROCESO
Participación en problemas selectos y tareas
del proyecto
Pruebas escritas y orales
PRODUCTO
Planos del parque de las Américas
El informe final
30
30
20
20
84
ETAPA DE APRENDIZAJE 3:
El ALGEBRA UN LENGUAJE UNIVERSAL
Objetivo que se cubrirá: Comprender la importancia de los procedimientos
algebraicos en la resolución de problemas cotidianos y plasmar e inventar problemas
que se apliquen a la vida de su entorno
Contenido temático:
Término algebraico ( Coeficiente, exponente, signo, literal)
Expresiones algebraicas: Monomios y Polinomios
Suma de monomios y polinomios
Resta de monomios y polinomios
Multiplicación de monomios y polinomios
División de monomios y polinomios.
Leyes de los exponentes.
85
Descripción del proyecto:
El proyecto consistirá en una presentación en power point, en la cual se realizará
una prueba para sus compañeros.
ACTIVIDADES VALOR
PROCESO
Participación en problemas selectos y tareas
del proyecto
Pruebas escritas y orales
PRODUCTO
PRUEBA DE 45 REACTIVOS DE OPCIÓN
ULTIPLE
30
30
40
86
ETAPA DE APRENDIZAJE 4:
ECUACIONES Y BALANZAS
Objetivo del proyecto:
Comprender la importancia del procedimiento de solución de una ecuación en
problemas reales y plasmarlo como una solución en un plano cartesiano con
coordenadas y puntos.
Contenido temático:
Ecuaciones de la forma ax = b
Ecuaciones de la forma ax + b = c
Ecuaciones de la forma ax+b = cx +d
Ecuaciones de la forma ax+bx+c = dx +ex +f
Ecuaciones con paréntesis
Plano cartesiano.
Sistemas de ecuaciones
Descripción del proyecto:
Este proyecto consistirá en la elaboración de 4 problema cotidianos en el salón
de clase que se resuelva con 4 tipos de ecuación, los cuales serán designados por el
profesor, lo cual primeramente se realizará en la libreta y será comprobado en la mesa
de trabajo y por el profesor, con el fin de verificar y proceso y resultado correcto.
Posteriormente estos 4 problemas de ecuaciones se presentarán en el programa
FLASH, de movimiento.
87
ETAPA DE APRENDIZAJE 5:
MI PARQUE Y LAS MATEMÁTICAS
Objetivos del proyecto:
Descubrirás regularidades, patrones y generalizaciones de teoremas y principios
matemáticos.
Formularás procedimientos y resultados a problemas diversos.
Contenido temático:
o Simetría
o Ángulos
o Ángulos entre una paralela y una transversal
o Figuras equivalentes
o La suma de los ángulos interiores de un polígono.
o Resolución de problemas referentes a principios de triángulos
o Teorema de tales de Mileto
o Teorema de Pitágoras
CONDICIONES DEL PROYECTO
Asignaturas con las que se vincula: Geografía, Historia, Física, Español y civismo
Criterios de acreditación:
80 % de asistencia
Visto bueno en las 3 revisiones del profesor titular.
Entregar resueltos las tareas correspondientes al proyecto
Entregar los ejercicios del libro resueltos en el mismo o en la libreta.
Entregar los ejercicios correspondientes al contenido temático en CABRI.
88
Criterios de valoración:
ACTIVIDADES VALOR
PROCESO
PROBLEMAS SELECTOS
Pruebas
PRODUCTO
Maqueta de mi parque
Planos del parque
20
20
30
30
Descripción del proyecto:
El proyecto final consistirá en la elaboración de un plano de un parque con las
restricciones que se encuentran en el manual de tareas
89
Manual de tareas
“Manual de Tareas”
Área de matemáticas
Primer bimestre
Segundo de Secundaria
Diseñado por: Joan Julián Pech Puch
Ciclo Escolar 2007-2008
Academia de Matemáticas
90
ETAPA DE APRENDIZAJE 1
Tarea 1. Investiga en 3 fuentes bibliográficas en qué consiste la estadística, EN UN
MAPA DE CÍRCULO, cuáles son sus características principales y las funciones más
importantes que desempeña.
ESTADÍSTICA
91
Tarea 2: Investiga los siguientes conceptos estadísticos, incluyendo: características,
fórmula y ejemplos cotidianos y elabora un mapa de burbuja para cada concepto.
92
93
94
95
Tarea 3. Elabora un mapa de árbol para clasificar los tipos de gráficas que existen
96
Tarea 4. Elabora un mapa de doble burbuja para comparar la frecuencia absoluta y
frecuencia relativa
97
Tarea 5. Compara en un mapa de doble burbuja cada uno de los siguientes conceptos
que a continuación se te indica.
a. Media con mediana
b. Media con moda
c. Moda con mediana
d. Datos ordenados con datos agrupados
98
Tarea 6. En equipos de 5 personas determina mediante una cinta métrica las estaturas
exactas de todos tus compañeros de mesa y ordénalos de mayor a menor en la
siguiente tabla:
Nombre Estatura en metros Estatura en centímetros
1.
2.
3.
4.
5.
a. Determina el promedio de la estatura de tu equipo._______________________
b. Escribe cual es la estatura mas alta________________________
c. Determina cual es la estatura menor.___________________________________
d. Determina cual seria la moda de todas las
estaturas_____________________________
e. Determina la mediana de todas las estaturas_____________________________
f. Elabora 2 tipos de gráfica con las nombres y las estaturas que investigaste
Tarea 7. Escribe en el siguiente mapa de flujo los pasos que seguiste para realizar la
actividad anterior
99
Tarea 8: Investiga los siguientes conceptos y elabora un mapa de burbuja con 5
características para cada concepto:
Densidad de población de Yucatán
Niveles de educación en Yucatán
Total de número de Habitantes en el estado de Yucatán
Índice de mortalidad
Índice de natalidad
Población absoluta
Población relativa
Tarea 9: Investigación documental en el INEGI
A. Investiga la densidad de Población del estado y elabora un mapa de círculo y uno
de puente.
B. Investiga el número de hombres y mujeres, y elabora un mapa de doble burbuja
para contrastar.
C. Investiga el nivel de educación del estado, que te fue asignado y elabora un mapa
de llaves que incluyan las partes principales.
D. Investiga cual el índice de natalidad y mortandad en el estado y elabora un mapa
de árbol en el cual clasifiques la información
100
E. Investiga los siguientes porcentajes en el estado y elabora un mapa de circulo
para cada uno.
Niveles de deserción escolar
Suicidio
Delincuencia
Aborto.
F. Compara todos los datos que investigaste con los datos reportados por el INEGI
en Yucatán, con mapas de doble burbuja.
G. Prepara una exposición para defender ante tus compañeros, con la información
anterior, incluyendo los mapas de pensamiento que elaboraste.
Tarea 10: Elabora 10 conclusiones finales basadas en los resultados que obtuviste
en las tablas y contesta:
a. ¿En qué consiste la estadística?
b. ¿Por qué es importante la estadística en al vida cotidiana?
c. ¿Para que utilizarías la estadística para el bien de la humanidad?
d. ¿Qué aprendiste de tu trabajo final, elabora un mapa de burbuja?
e. ¿Qué pasaría si los problemas sociales que investigaste dentro de 10 años,
elabora un mapa de causa-efecto?
Tarea 11. Elabora un ensayo que contenga la siguiente información de Yucatán
101
Densidad de la población
Población absoluta
Población relativa
Tarea 12. Investiga los siguientes conceptos y elabora un mapa de circulo para
cada uno..
a. Probabilidad
b. Fórmula de Probabilidad
c. Frecuencia Absoluta
d. Frecuencia Relativa
e. Probabilidad Frecuencial
f. Valores de la Probabilidad
g. Casos Favorables
h. Total de Casos
Tarea 13. Elabora un mapa de flujo, en el cual explique como se calcula Cálculo de la
probabilidad de un evento.
MANUAL DE TAREAS PARA LA ETAPA DE APRENDIZAJE 2
Tarea 1: Investigando
102
a. En equipos de 2 personas investiga lo siguientes y descríbelos en un mapa de burbuja:
La velocidad de la luz
La velocidad del sonido
Número aproximado de estrellas
El diámetro de un óvulo
El largo de un espermatozoide
El largo de un virus
La mitad de un milímetro
La distancia de la tierra al sol
La longitud de onda de los rayos gama
b. Convierte todas las unidades anteriores a metros, mediante un mapa de flujo.
c. Contesta:
¿Por qué es importante la notación científica?
¿Qué pasaría si no se usara la notación científica?
Escribe otras aplicaciones de la notación científica y elabora un mapa de puente.
Tarea 2: En un mapa de flujo resuelve lo siguiente:
Se tiene un cultivo de bacterias que crece cada hora conforme a un factor de 1.2.
Es decir, si la colonia de bacterias pesa 100 gramos al principio, al cabo de una hora
habrá aumentado 20 gramos, pues 100 x 1.2 = 144 ¿Cuánto pesará la colonia en 5
horas?
Tarea 3: Investigando
Investiga las siguientes definiciones y compáralas en un mapa de doble burbuja:
103
Radicación
Potenciación
Investiga 3 problemas de radicación y 3 problemas de potenciación y resuélvelos
Tarea 4: Investiga en que consiste la notación científica elabora 2 ejemplos de
trasformación a notación científica y viceversa y describe todo lo anterior en un mapa
de flujo.
Tarea 5: Investiga 4 problemas de Física en el cual se utilice la notación científica y
resuélvelos en un mapa de flujo.
Tarea 6: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
Actividad 1: Escribe un múltiplo de cada uno de los siguientes números y elabora un
mapa de círculo.
4___________
5___________
8___________
10___________
Actividad 2: Escribe 2 divisores de los siguientes números y elabora un mapa de
burbuja:
90__________
50__________
45__________
16__________
Tarea 7: Con base en la actividad anterior escribe algunas características de múltiplo y
divisor en un mapa de burbuja.
104
Tarea 8. Compara a un múltiplo y a aun divisor, con un mapa de doble burbuja.
Tarea 9: ADIVINA Y Escribe el nombre del significado de cada letra.
m_________
c_________
m_________
Actividad: En equipo de 3 personas determina y plásmalo en un mapa de flujo:
a. ¿36 contiene exactamente a 9 y a 6?
b. ¿60 es divisible entre 2, 3, y 4?
c. Calcula el mcm de 5, 10 y 20
d. Calcula el mcm de 2, 6 y 9
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
18 y 24 son divisibles entre 2 , entre 3 y entre 6 .¿Hay algún número mayor que 6 que
divida a 18 y 24 al mismo tiempo?
60,100 y 120 son divisibles entre 2 , entre 4 ,entre 5, entre 10 y entre 20 . ¿Hay algún
número mayor que 20 que divida a 60, 100 y 120 al mismo tiempo?
Tarea 10. Después de la actividad anterior escribe con tus palabras en que consiste el
MCD
105
Ejercicio: Halla el MCD de, y describe el proceso en un mapa de flujo.
a. 15 y 30.
b. 30,42 y 54
c. 22,33 y 44.
d. Actividad : Realiza una comparación entre los siguientes conceptos:
Actividad 6. Elabora un mapa de doble burbuja donde compares al mcm con el MCD
Tarea 11. Investiga lo siguiente del parque de las Américas, y escríbelo en un
mapa de círculo:
Dimensiones (Largo y ancho), en pasos de una persona.
Figuras geométricas que se forman al verlo de vista aérea.
Medidas de las figuras geométricas anteriores.
Vista frontal con dimensiones aproximadas de la fuente principal
Dibuja 7 cuerpos sólidos que se encuentran en el parque.
Tarea 12: Elabora lo siguiente en el programa Cabri, siguiendo la escala
autorizada por el profesor, utiliza el mapa de flujo para distinguir tus procesos y el
de multiflujo para analizar causas y consecuencias de las medidas:
106
Un plano de todo el parque de las Américas que incluya todas las figuras
geométricas posibles, con medidas aproximadas.
Calcula el área total del parque
Elabora en cartulina 5 cuerpos sólidos que hayas investigado.
Calcula el mcm y MCD de las longitudes de las figuras geométricas.
Escribe en notación científica todas las dimensiones de las figuras geométricas e
indícalas en el plano.
Escribe que fracción representa cada figura geométrica del área total del parque.
107
MANUAL DE TAREAS PARA LA ETAPA DE APRENDIZAJE 3
Tarea 1: Investiga en que consiste un término algebraico y escríbelo en un mapa de
círculo.
Tarea 2. Investiga en equipo de 4 personas las siguientes definiciones y elabora un
mapa de árbol
a. Monomio
b. Polinomio
c. Trinomio
d. Binomio
Tarea 3. Elabora una actividad donde ejemplifiques la suma y la resta algebraica de
polinomios, y plasma lo anterior en un mapa de flujo.
Tarea 4. Investiga 5 problemas aplicativos en donde se utilice la multiplicación
algebraica y 5 donde se utilice la división algebraica de polinomios, y elabora un mapa
de flujo donde describas lo anterior.
Tarea 5. Investiga 7 problemas en donde se utilice las leyes de los exponentes y:
Explica su solución.
Explica en tu mesa el proceso de solución.
Expone a tus compañeros la actividad anterior
108
MANUAL DE TAREAS PARA LA ETAPA DE APRENDIZAJE 4
Sección 1
Tarea 1: Investiga en Internet los siguientes términos y elabora un mapa de burbuja
para cada uno, describiendo 7 características
Ecuación
Problemas de la vida cotidiana que se resuelven con diferentes tipos de
ecuaciones.
Relación de la solución de una ecuación y una balanza.
Tarea 2. Según el tipo de ecuación que te designe el profesor investiga lo siguiente:
a. 5 ejemplos de la forma en que se soluciona (Elabora un mapa de flujo de cada
ejemplo).
b. 5 Problemas en los cuales se utilice este tipo de ecuación. ( Escríbelos y elabora
un mapa del procedimiento de solución)
Sección 2
Tarea 3. Investiga en que consisten los siguientes términos y elabora un mapa de
pensamiento:
A. Sistemas de ecuaciones con 2 incógnitas (mapa de burbuja)
B. Método de suma y resta(mapa de flujo 2 ejemplos)
C. Método de sustitución(mapa de flujo 2 ejemplos)
D. Método de igualación(mapa de flujo 2 ejemplos)
109
Tarea 4 .Investiga 2 problemas de aplicación de un sistema de ecuaciones y soluciónalo
por 3 métodos diferentes en un mapa de flujo.
Tarea 5: Investigación de los alumnos. En equipo de 3 personas investiga lo siguientes
conceptos y escribe 3 ejemplos de cada uno de ellos:
Latitud
Longitud
Plano cartesiano
Sistemas de ecuaciones
Tarea 6: Investiga en internet un mapa de todo el planeta tierra y determina la distancia
entre a escala entre y compáralos en un mapa de doble burbuja:
2 países del Planeta ( 2 ejemplos)
2 países de un Continente( 2 ejemplos)
2 estados de México ( 2 ejemplos)
2 pueblos de Yucatán ( 2 ejemplos)
2 colonias de Mérida ( 2 ejemplos)
Tarea 7. Escribe en tu libreta como relacionarías la tarea anterior con un sistema de
ecuaciones, elabora un mapa de doble burbuja.
110
Tarea 8 : En CABRI: Elabora un plano de tu colonia 10 cuadras a la redonda y:
Escribe 10 puntos estratégicos
Con distinto color traza una línea entre ellos
Traza un plano cartesiano, siendo el punto 0, 0 tu casa.
Determina las coordenadas de los 10 puntos estratégicos.
Elabora 5 sistemas de ecuaciones para determinar si se forma una recta para la
distancia entre los puntos estratégicos.
Elabora a escala el plano en papel bond.
111
MANUAL DE TAREAS PARA LA ETAPA DE APRENDIZAJE 5
Tarea1: Resuelve el siguiente glosario y elabora un mapa de burbuja para cada uno.
Ángulo
Ángulos opuestos por el vértice
Ángulos correspondientes
Ángulos alternos internos
Ángulos alternos externos
Ángulos colaterales externos
Ángulos colaterales internos
Teorema
Principio
Clasificación de triángulos según sus ángulos
Clasificación de ángulos según sus lados
Polígono.
Tarea 2: Elabora un mapa de pensamiento con los conceptos anteriores, trazando un
ejemplo de cada uno.
Tarea 3. Investiga 7 principios de triángulos represéntalos en un mapa de burbuja
grande, trazándolos e inventado medidas para cada uno.
Tarea 4. Elabora un mapa pensamiento con los principios de triángulos que
investigaste.
112
Tarea 5. En equipo de 2 personas encuentra en la escuela 4 triángulos y construye 4
problemas diferentes, trázalos, escríbelos en tu libreta y resuélvelos (Principios de
triángulos).
Tarea 6. Investiga en tu casa 4 situaciones diferentes en las cuales puedas demostrar el
teorema de Tales de Mileto, trázalos, escríbelos en un mapa de burbuja y resuélvelos.
Tarea 7. En equipo de 2 personas encuentra en la escuela 4 triángulos rectángulo y
construye 4 problemas diferentes, trázalos, escríbelos en tu libreta y resuélvelos en una
mapa de flujo.
Tarea 8. Elabora una reflexión de 2 páginas donde incluyas:
a. Porque crees que dios creo los principios y teoremas
b. Investiga 5 ejemplos en la Biblia donde creas que se utilizaron teoremas o principios
matemáticos y redáctalos.
c. Un mapa de puente con 5 analogías de lo que hayas aprendido
Tarea 9. Elabora un plano en CABRI a escala, de tu colonia y designa un área para la
construcción de un parque según las siguientes estipulaciones:
El parque debe contener lo siguiente:
o Arenero
o Juegos
o Cancha
o Teatro
o ÁREAS VERDES
o Simetría axial
o Asignación de áreas por porcentajes
o Áreas equivalentes
113
Área de 200 metros por 200 metros.
Simetría en todas sus áreas verdes
Simetría desde un avista aérea
La medida de todos los ángulos
Figuras geométricas trazadas a escala y con instrumentos geométricos.
Todos los trazos anteriores se realizaran el programa CABRI
GEOMETRE.
10 ANGULOS ENTRE UNA PARALELA Y UNA TRANSVERSAL.
2 APLICACIONES DEL TEOREMA DE TALES DE MILETO
2 APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
2 APLICACIONES DE MEDIDAS DE LOS ANGULOS DE UN
POLÍGONO.
Tarea 10. Elabora una maqueta a escala según los planos que elaboraste.
114
Apéndice C: PRUEBA ENLACE 2007
115
PRUEBA ENLACE 2007
Nombre: __________________Edad:_________
Género_____________
Grupo_____________________
INSTRUCCIONES: Escribe en la hoja de respuestas la opción
correcta a cada uno de los siguientes ítems.
Observa la expresión:
1. ¿Cuál de las siguientes es equivalente?
A) 5-4
B) 5-3
C) (-5)-4
D) (-5)-6
2. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 54 306?
A) 233.03
B) 243.14
C) 260.91
D) 263.17
3. En un parque de diversiones, por su aniversario, cada tercer
visitante recibe una gorra gratis, cada quinto visitante recibe un
cartel y cada décimo visitante recibe una camiseta. ¿Qué número de
visitante será el primero que reciba los tres regalos?
A) El 10
116
B) El 20
C) El 30
D) El 60
4. Como sabes, el número equivale a 3.1415926. ¿Cuál de los
siguientes números fraccionarios se aproxima más al valor de ?
5. Juan colecciona conchas marinas; delas que tenía hace un año,
agregó
más en seis meses y en el último semestre otros . ¿Con qué
fracción se representa, lo que agregó de más con respecto a lo que
tenía antes?
6. Si se divide una barra de dulce de membrillo en 16 pedazos y
luego la mitad de ellos se dividen en dos, mientras que los restantes
se dividen en tres, ¿qué fracciones representan los pedazos más
pequeños que se obtuvieron en cada caso, respectivamente? Los 35
metros de tela que tiene Javier en su tienda cuestan $ p, ¿cuál es la
expresión que representa el costo de5 metros de esa misma tela?
117
7. Los 35 metros de tela que tiene Javier en su tienda cuestan $ p,
¿cuál es la expresión que representa el costo de 5 metros de esa
misma tela?
8. Pedro hace de su casa a Querétaro 2.40 horas. ¿Cuánto tiempo
invierte en su recorrido?
A) 240 minutos.
B) 160 minutos.
C) 144 minutos.
D) 124 minutos.
9. Un grupo de corredores quedó en reunirse en el deportivo en el
punto señalado como 2.15 km. ¿En cuál de las siguientes rectas se
marca el punto de reunión?
118
10. Observa el siguiente rectángulo:
Si su área es de 4.8 cm2, ¿cuánto mide su altura? (Redondea el
resultado a centésimos)
A) 1.15 cm
B) 1.14 cm
C) 1.13 cm
D) 1.12 cm
11. En las siguientes opciones se muestra el desarrollo del algoritmo
de una división entre dos números. ¿En cuál de ellas está
desarrollada correctamente?
119
12. Observa la siguiente recta numérica:
¿Con cuál letra está señalado el número -0.2?
A) A
B) B
C) C
D) D
13. A las 6 de la mañana el termómetro marcó –5°C, a las 8 de la
mañana
marcó –7°C y a las 12 del día 2°C. ¿Cuál es la suma de estas tres
temperaturas?
A) –10°C
B) –12°C
C) 2°C
D) 7°C
120
14. Observa la siguiente expresión: 3.9 - m = 8.6 ¿Cuál debe ser el
valor de m para que se cumpla la igualdad?
A) 4.7
B) -4.7
C) 12.5
D) -12.5
15. Jorge pidió un préstamo en su trabajo, y durante 6 meses le
descontarán de su sueldo $ 224.05 quincenales; además, recibirá una
compensación extra mensual de $ 405.20 durante ese mismo tiempo.
¿Cuál es el saldo de los descuentos y compensaciones de Jorge?
A) $ 257.40
B) $ -257.40
C) $ 1 086.90
D) $-1 086.90
16. Observa la siguiente tabla que representa el área de varios
cuadrados:
¿En cuál de las siguientes justificaciones se explica por qué la
tabla anterior representa o no una situación de variación proporcional
directa?
A) Sí existe variación proporcional directa, porque X y Y dependen
una de la otra.
121
B) No existe variación proporcional, porque cuando X aumenta, Y
aumenta de forma exponencial.
C) Sí existe variación proporcional directa porque el cocienteYX
siempre es igual.
D) No existe variación proporcional, porque X no depende de Y
17. Javier entrena de una forma muy peculiar para competir en una
carrera. El lunes recorre 500 m en 70 s; el segundo día recorre una
quinta parte menos que el día anterior; el tiempo disminuye en forma
proporcional a las distancias; y así sucesivamente hasta llegar al
sábado. La siguiente tabla muestra la distancia y el tiempo del
programa de entrenamiento.
Si olvidó calcular los datos en los espacios en blanco de la tabla,
¿cuáles deben ser éstos para que la tabla sea de variación
proporcional?
A) 310 m y 22.94 s
B) 320 m y 22.94 s
C) 330 m y 24.60 s
D) 320 m y 25.30 s
18. ¿Cuál de las siguientes gráficas representa cantidades que varían
de forma directamente proporcional?
122
19. Observa la siguiente tabla:
¿Cuál de las expresiones algebraicas representa la relación de
proporcionalidad directa delos valores de la tabla?
123
20. Luis fue a comprar un libro, que tiene un 10% de descuento; pero
como la librería está de oferta hizo otro descuento del 10%. Además
a Luis, por ser estudiante le descontaron, a la hora del pago, otro
10%. ¿Qué porcentaje del precio original pagó Luis por su libro?
A) 27.1%
B) 30.0%
C) 70.0%
D) 72.9%
21. En un banco ofrecen el 6.25% de interés anual. Si deposito $
60,000 allí por un año, ¿cuánto recibiré al finalizar el año y cancelar
mi cuenta?
A) $ 63 750
B) $ 60 375
C) $ 3 750
D) $ 375
22. ¿Cómo se representa la expresión “La suma de un número mas
dos unidades elevada al cuadrado y multiplicada por tres unidades”?
23. Observa el siguiente polinomio:
¿Cuál debe ser su valor numérico si suponemos que x= -1?
124
A) -7
B) -5
C) 5
D) 7
24. Observa el siguiente polinomio:
Si lo simplificamos, ¿qué expresión algebraica obtenemos?
25. ¿Cuál es la suma de los polinomios siguientes:
26. Observa la siguiente figura:
De acuerdo con sus datos, ¿cuánto debe medir la superficie del
área
125
sombreada?
27. ¿Cuál es el resultado de la siguiente operación?
28. ¿Cuál de las siguientes opciones expresa el resultado del
Cociente ?
126
29. Observa la siguiente figura:
De acuerdo con sus datos, ¿cuánto mide el lado P?
30. Si tienes un rectángulo de área igual a 2x2-8, ¿cuál de las
siguientes factorizaciones nos presenta el producto de la base por la
altura de ese
rectángulo?
31. Lee el siguiente problema:
Si al doble de un número le aumentamos 6 unidades, obtenemos
42 unidades. ¿Cuál es ese número? ¿Cuál de las siguientes
expresiones algebraicas expresa el problema anterior?
A) 2x-6=42
B) 2x+6=42
127
C) 2x+42=6
D) 2x-42=6
32. Belén estaba leyendo un libro cuando su mamá la llamó a comer.
Si le dijo a su mamá que ya lleva leído parte del total y le
faltan 100 páginas para terminarlo, entonces, ¿cuántas páginas tiene
en total el libro?
A) 600
B) 450
C) 300
D) 150
33. Sandra dice que si a la cantidad de gente que hay en su casa le
suma 2 personas y la multiplica por 3 va a obtener el mismo número
de personas que hay en su trabajo. Alberto dice que si toma el dato
de la cantidad de gente que hay en la casa de Sandra lo multiplica
por 5 y le quita 2 personas obtendrá el mismo número de personas
que hay en el trabajo de Sandra. ¿Con cuál de las siguientes
ecuaciones no se puede resolver la situación anterior?
128
34. Ernesto resolvió la ecuación siguiendo el
procedimiento
que se muestra a continuación. ¿En cuál de los pasos de ese
procedimiento se inició el error de Ernesto?
35. Lee lo siguiente: “La razón entre dos números es y la
diferencia del doble del número mayor menos el número menor
equivale a 30”. ¿Cuáles son esos números, si M es el número mayor y
m el menor? ¿Con cuál de los siguientes sistemas se resuelve el
problema anterior?
36. ¿Cuáles son las soluciones del sistema de ecuaciones lineales?
129
37. Josué resolvió el siguiente sistema de ecuaciones con el
procedimiento que se enumera a continuación.
¿En cuál de los pasos anteriores, Josué cometió el primer error?
A) En 1
B) En 2
C) En 3
D) En 4
38. Observa la siguiente figura:
Si queremos encontrar el valor de x en la figura, ¿cuál de las
siguientes ecuaciones debemos de resolver?
A) 4x2 + 12x -10 =0
B) 4x2 + 12x + 5 =0
C) 4x2 + 12x + 10 =0
D) 4x2 + 12x =0
130
39. ¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación?
A) -4
B) +4
C) -8
D) +8
40. El discriminante de la ecuación:
es igual a, por lo que se desprende que la ecuación
A) no tiene solución.
B) tiene una solución.
C) tiene dos soluciones.
D) tiene más de dos soluciones.
41. ¿En cuál de los siguientes planos se sitúa correctamente al
punto (2, -3)?
131
42. La siguiente gráfica muestra la ganancia que genera, en una
tienda, un nuevo producto lácteo que salió al mercado. La ganancia
está representada por la variable “y”, y la inversión está representada
por la variable “x”.
De acuerdo con esta situación y la gráfica anterior, ¿cuál de las
siguientes ecuaciones la representa correctamente?
A) y = x + 3
B) y = 3x + 3
C) y = x - 3
D) y = 3x – 3
132
43. Observa la siguiente gráfica:
¿Cuál es el valor de la ordenada al origen?
A) -3
B) 2
C) -2
D) 3
44. Ana, al resolver la ecuación de segundo grado 0=x2-6x+9
encontró que tiene sólo una solución, entonces la graficó. ¿Cuál de
las siguientes gráficas corresponde a la que hizo Ana?
133
45. ¿En cuál de los siguientes casos se representa uno de los
procedimientos para trazar rectas perpendiculares?
134
46. Al trazar dos rectas paralelas y sobre éstas dos secantes paralelas
entre sí, ¿qué figura se forma entre las paralelas y las secantes?
A) Un trapezoide.
B) Un romboide.
C) Un cuadrado.
D) Un trapecio.
47. En un triángulo, dos de sus ángulos internos miden 25° y 50°.
¿Cuánto mide el otro ángulo?
A) 75°
B) 105°
C) 130°
D) 285°
48. ¿Qué tipo de triángulos resultan al trazar las diagonales de un
cuadrado?
A) Isósceles.
B) Escálenos.
C) Equiláteros.
D) Obtusángulos.
49. Observa el siguiente cuadrado que tiene inscritas varias figuras y
responde la pregunta:
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta?
135
A) El cuadrado grande y el cuadrado 5 son congruentes entre sí,
porque sus ángulos miden 90°.
B) El triángulo 2 no es congruente con el 6, porque sus lados no
coinciden.
C) El triángulo 3 es congruente con el triángulo 2, porque sus lados
son
iguales.
D) El triángulo 6 es congruente con el 4, porque sus lados miden lo
mismo.
50. Considerando que la medida de abertura de un compás es la
distancia
que tiene desde el punto donde aparece el pico hasta el punto donde
aparece el lápiz, ¿cuánto debe medir dicha abertura para que se
pueda
trazar en un círculo con área = 78.5cm2? (Considera = 3.14)
A) 2.5 cm
B) 5 cm
C) 10 cm
D) 49.3 cm
51. Observa la siguiente figura:
Si el RJS mide 68°, ¿cuánto mide el ROS?
136
A) 34°
B) 46°
C) 108°
D) 136°
52. Observa el siguiente dibujo a escala de una hoja:
Si la escala a la que se dibujó es de 10:1 entonces, ¿cuál debe ser el
tamaño real de la hoja?
A) 600 mm
B) 60 m
C) 6 m
D) 6 cm
137
53. Observa el siguiente triángulo:
54. Se realizó una ampliación a escala 1:3 de un cuadrado. Después
de esto, varios alumnos hicieron algunas deducciones al respecto.
¿Cuál de ellas está correcta?
A) El cuadrado ampliado tiene seis veces el área del cuadrado
original.
B) El cuadrado original tiene un área de del cuadrado ampliado.
C) La razón de proporcionalidad del área del cuadrado original con
respecto al ampliado es nueve a uno.
D) La razón de proporcionalidad del área del cuadrado original con
respecto al ampliado es uno a nueve.
138
55. ¿Cuál de las siguientes figuras geométricas no tiene simetría
central
con respecto al punto?
56. Observa la siguiente figura donde la línea punteada representa un
eje de simetría:
¿Cuál es la figura que la completa simétricamente?
139
57. ¿Con cuál de los siguientes desarrollos planos obtenemos un
prisma pentagonal?
58. El siguiente dibujo muestra un prisma triangular cortado en dos
secciones por medio de un plano:
Después del corte, ¿cuántas caras tiene la sección del sólido marcada
con el número 1?
A) 5
B) 6
C) 10
D) 11
140
59. Si una circunferencia mide 53.38 cm, ¿cuál es la medida de su
radio
si = 3.14?
A) 4.25 cm
B) 8.50 cm
C) 17 cm
D) 34 cm
60. Observa la siguiente figura formada a partir de un hexágono
regular y varios círculos.
Para calcular su área, ¿qué longitudes necesitas medir?
A) H y L
B) L y D
C) D y H
D) H y S
61. El área total de un prisma con bases con forma de triángulos
rectángulos; con catetos de 30 y 40 cm de longitud, e hipotenusa y
altura del prisma de 50 cm es:
A) 1 200 cm2
141
B) 3 600 cm2
C) 6 000 cm2
D) 7 200 cm2
62. Una pirámide se formó con un cubo y cuatro prismas triangulares
iguales, como lo muestra la figura siguiente:
De acuerdo con sus datos, ¿cuál de las siguientes fórmulas expresa
su volumen?
142
63. Observa el siguiente triángulo rectángulo:
¿Cuál es la razón de la tangente del ángulo β?
64. En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 υ , el otro cateto 40
υ , ¿cuánto mide la hipotenusa?
A) 31 υ
B) 40 υ
C) 41 υ
D) 80 υ
65. Observa la siguiente gráfica que representa la cantidad de
muertes en cierto país, por enfermedades infecciosas y por otras
causas y con base en ella contesta la pregunta.
143
Aproximadamente, ¿qué cantidad de personas murió en 1985?
A) 35 000
B) 45 000
C) 75 000
D) 85 000
66. La siguiente gráfica representa el consumo de distintos tipos de
carnes en un pequeño poblado durante el periodo 1984-2000.
144
Considerando el consumo de la carne de res en ese periodo, ¿cuál es
la frecuencia relativa del consumo de esta en 1992?
A) 0.09
B) 0.11
C) 0.21
D) 0.40
67. A Lalo le dejaron de tarea graficar el área de un círculo en función
de su radio. Lalo sabe que el área es proporcional al cuadrado del
radio. ¿Cuál es entonces la gráfica que hizo de tarea?
145
68. Se realizó una encuesta con los alumnos del 3° A, acerca de
cuánto tiempo tardaban en llegar a la escuela y se obtuvieron los
datos de la siguiente tabla:
¿Cuál es la moda de los tiempos registrados?
A) 15 minutos.
B) 23 minutos.
C) 25 minutos.
D) 30 minutos.
69. En un juego se lanzan al mismo tiempo un dado y una moneda,
se gana si sale la combinación „águila‟ y un número par. De todas las
combinaciones
posibles que se puedan dar, ¿cuántas serán ganadoras?
A) 3
B) 4
C) 8
D) 12
70. De una caja que contiene 5 pañuelos rojos, 3 verdes y 2 blancos,
se saca sin ver un pañuelo. ¿Qué probabilidad hay de sacar un
pañuelo verde?
146
71. Ana escribió cuatro números en la tarjeta siguiente.
¿Cuál de ellos es el resultado del cálculo de una probabilidad simple?
72. ¿Cuáles de los siguientes eventos, que se obtienen al tirar un
volado tres veces consecutivas, son equiprobables?
A) Obtener no más de un águila o más de dos águilas.
B) Obtener más de dos soles o dos águilas.
C) Obtener dos soles o más de un águila.
D) Obtener águila-sol-sol o sol-sol-sol.
147
73. Luisa tiene en una cajita varios carretes de hilo del mismo
tamaño, entre los cuales hay 8 rojos, 5 verdes y 7 azules. Si ella saca
un carrete sin ver, ¿cuál es la probabilidad de que éste sea rojo o
azul?
148
Hoja de respuestas
Instrucciones: Marca con una X la celda que corresponda a la opción correcta de
cada ítem.
Ítem A B C D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Ítem A B C D
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
149
Respuestas de la prueba ENLACE 2007
Instrucciones: Marca con una X la celda que corresponda a la opción correcta de
cada ítem.
Ítem A B C D
1 X
2 X
3 X
4 X
5 X
6 X
7 X
8 X
9 X
10 X
11 X
12 X
13 X
14 X
15 X
16 X
17 X
18 X
19 X
20 X
21 X
22 X
23 X
24 X
25 X
26 X
27 X
28 X
29 X
30 X
31 X
32 X
33 X
34 X
35 X
36 X
37 X
38 X
Ítem A B C D
39 X
40 X
41 X
42 X
43 X
44 X
45 X
46 X
47 X
48 X
49 X
50 X
51 X
52 X
53 X
54 X
55 X
56 X
57 X
58 X
59 X
60 X
61 X
62 X
63 X
64 X
65 X
66 X
67 X
68 X
69 X
70 X
71 X
72 X
73 X
