PEC2012solucion
2
`lgebra Lineal II, Grado en MatemÆticas Prueba de Evaluacin Continua, curso 2011/12 Ejercicio 1: En el espacio vectorial eucldeo R 4 se considera el siguiente subespacio vectorial U (x 1 + x 4 =0;x 2 + x 3 = 0) (a) Halle una base ortogonal de U: (b) Encuentre la proyeccin sobre U de los vectores v 2 R 4 que forman un Ængulo de 60 o con e 1 = (1; 0; 0; 0) y de 90 o con e 3 = (0; 0; 1; 0). Solucin: (a) En este caso por la forma tan sencilla de las ecuaciones de U podemos obtener una base ortogonal de forma directa B = fu 1 = (1; 0; 0; 1);u 2 = (0; 1; 1; 0) Si las ecuaciones no hubiesen sido tan sencillas, tomaramos una base cualquiera de U; fv 1 ;v 2 g; y le aplicaramos el mØtodo de Gram-Schmidt. (b) Sea v =(x 1 ;x 2 ;x 3 ;x 4 ) un vector cualquiera de R 4 : Si el Ængulo entre v y e 3 es de 90 o ; entonces cos 90 o = < v; e 3 > jjvjj jje 3 jj = x 3 jjvjj =0 , x 3 =0 As, v =(x 1 ;x 2 ; 0;x 4 ): Ahora consideramos que el Ængulo entre v y e 1 es de 60 o ; entonces cos 60 o = < v; e 1 > jjvjj jje 1 jj = x 1 jjvjj = 1 2 , x 1 = 1 2 q x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 ; (*) 3x 2 1 = x 2 2 + x 2 3 ; x 1 = r x 2 2 + x 2 3 3 : ObsØrvese que en el œltimo paso nos hemos quedado slo con la raz positiva, lo que se deduce de (*). As, los vectores v que cumplen las condiciones pedidas son de la forma v =( r x 2 2 + x 2 3 3 ;x 2 ; 0;x 4 ): La forma mÆs rÆpida de calcular la proyeccin sobre U; conocida la base ortogonal fu 1 ;u 2 g, es mediante los coecientes de Fourier (Proposicin pÆg. 117). proy U (v) = < v; u 1 > jju 1 jj 2 u 1 + < v; u 2 > jju 2 jj 2 u 2 = q x 2 2 +x 2 3 3 x 4 2 u 1 + x 2 2 u 2 = 1 2 ( r x 2 2 + x 2 3 3 x 4 ;x 2 ; x 2 ; r x 2 2 + x 2 3 3 + x 4 )
-
Upload
porkerriaccdlv -
Category
Documents
-
view
1 -
download
0
description
x
Transcript of PEC2012solucion
-
lgebra Lineal II, Grado en Matemticas
Prueba de Evaluacin Continua, curso 2011/12
Ejercicio 1:En el espacio vectorial eucldeo R4 se considera el siguiente subespacio vectorial
U (x1 + x4 = 0; x2 + x3 = 0)
(a) Halle una base ortogonal de U:(b) Encuentre la proyeccin sobre U de los vectores v 2 R4 que forman un ngulo de 60o con e1 = (1; 0; 0; 0)
y de 90o con e3 = (0; 0; 1; 0).
Solucin:(a) En este caso por la forma tan sencilla de las ecuaciones de U podemos obtener una base ortogonal de formadirecta
B = fu1 = (1; 0; 0;1); u2 = (0; 1;1; 0)Si las ecuaciones no hubiesen sido tan sencillas, tomaramos una base cualquiera de U; fv1; v2g; y le aplicaramosel mtodo de Gram-Schmidt.
(b) Sea v = (x1; x2; x3; x4) un vector cualquiera de R4: Si el ngulo entre v y e3 es de 90o; entonces
cos 90o =< v; e3 >
jjvjj jje3jj =x3jjvjj = 0 , x3 = 0
As, v = (x1; x2; 0; x4): Ahora consideramos que el ngulo entre v y e1 es de 60o; entonces
cos 60o =< v; e1 >
jjvjj jje1jj =x1jjvjj =
1
2,
x1 =1
2
qx21 + x
22 + x
23 ; (*)
3x21 = x22 + x
23 ;
x1 =
rx22 + x
23
3:
Obsrvese que en el ltimo paso nos hemos quedado slo con la raz positiva, lo que se deduce de (*). As, losvectores v que cumplen las condiciones pedidas son de la forma
v = (
rx22 + x
23
3; x2; 0; x4):
La forma ms rpida de calcular la proyeccin sobre U; conocida la base ortogonal fu1; u2g, es mediante loscoecientes de Fourier (Proposicin pg. 117).
proyU (v) =< v; u1 >
jju1jj2 u1 +< v; u2 >
jju2jj2 u2
=
qx22+x
23
3 x42
u1 +x22u2
=1
2(
rx22 + x
23
3 x4; x2; x2;
rx22 + x
23
3+ x4)
-
Ejercicio 2:Sean f y g dos endomorsmos de un espacio vectorial V de dimensin n; tales que f g = g f (conmutan).Demuestre que los subespacios propios generalizados de f son invariantes por g; y viceversa, los subespaciospropios generalizados de g son invariantes por f: (Nota: un subespacio vectorial U V es invariante por unendomorsmo f si para todo u 2 U se cumple que f(u) 2 U):
Solucin:Por supuesto, basta demostrar que los subespacios propios generalizados de f son invariantes por g: Sea unautovalor de f y Ei() = Ker(f id)i los subespacios propios generalizados asociados a dicho autovalor.Tenemos que demostrar que cada Ei() es invariante por g:
u 2 Ei() ) g(u) 2 Ei();
es decir(f id)i(u) = 0 ) (f id)i(g(u)) = 0:
Sea u 2 Ei(), entoncesg (f id)i(u) = g((f id)i(u)) = g(0) = 0: (1)
Vamos a demostrar queg (f id)i = (f id)i g (2)
y as podremos deducir que
(f id)i g(u) (2)= g (f id)i(u) (1)= 0como queramos.Entonces, vamos a demostrar (2)
g (f id)i = g (f id) (f id)i1= (g f g) (f id)i1= (f g g) (f id)i1 (f y g conmutan)= (f id) g (f id)i1
:::procediendo de modo anlogo
= (f id)2 g (f id)i2::: = (f id)i g:
