Pauta Solemne 1 Algebra y Geometra

1) Determine la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones, en cada caso justifique su respuesta.

a) El conjunto solucin de la ecuacin 0)xcos()x(sen2)xcos(2 , en el intervalo 2,0 es el conjunto 434232 ,,, b) Sabiendo que 5

3)(sen , y es un ngulo del segundo cuadrante, entonces

2031)(tg)cos(

c) El punto )5,2( es equidistante de la recta 04y2x3 y del centro de la circunferencia

012x4yx 22 Solucin:

a) Falso, pues 0)x(sen22xcos 2

2xsen0)x(cos 232 ,x

b) Falso, pues es un ngulo del segundo cuadrante, entonces 54cos y 43tg . Luego

20

1

4

3

5

4tgcos

c) Falso, pues la distancia del punto a la recta es 13

20

49

4)5(2)2(3

y la distancia del punto al

centro de la circunferencia es 410522 22

2) Para determinar la altura h de un poste vertical de extremos inferior D y superior C se han seleccionado los puntos A y B a un mismo lado de D; separados por una distancia m y colineales con D sobre un plano horizontal. Desde A y B el extremo C del poste, se observa con ngulos de elevacin

y 2 respectivamente. Demuestre que

2sec

tgm2h

Solucin:

Se cumple que x

h2tg y

mx

htg

De lo cual se deduce que

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tg2tg

2tgtgmh

tg

tg1

tg2tg1

tg2tgm

2

2

2

2

tg1tgtg2

tgm

2tg1

tgm

2sec

tgm

3) Demuestre que al unir los extremos del lado recto de la parbola 04x8yx2 2 con el punto de interseccin del eje focal con la directriz, las rectas que se forman son perpendiculares entre s.Solucin:

04x8yx2 2 4y2

12x 2

de donde se obtiene que el punto A es

8

33,2 ,

el punto B es

8

31,

4

9y el punto C

8

31,

4

7

Luego

12

m4

98

328

31

AB

y 12m

47

832

831

AC

As 1mm ACAB

4) a) Determine la ecuacin de la elipse que pasa por el punto

32,

2

1, tiene su centro en el

punto (-1,2), su eje menor es paralelo al eje X; y la longitud de su eje mayor es el doble de la de su eje menor.

b) Grafique la hiprbola 04y4x6yx3 22 e identifique: centro, focos, asntotas, longitud del lado recto, excentricidad.c) Determine los puntos de interseccin de la elipse encontrada en (a) y la hiprbola dada en (b). Solucin:a) Como el eje menor es paralelo al eje x, y el centro es el punto (-1,2), la ecuacin de la elipse tiene

la forma

1a

2y

b

1x2

2

2

2 . Adems el eje mayor es el doble del eje menor, es decir b2a , lo

A

B C

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que nos lleva a la ecuacin

1b4

2y

b

1x2

2

2

2 y pasa por el punto

32,

2

1de lo que se

concluye que

1b4

232

b

12

2

2

22

1

2a1b1

b4

3

b 224

1 .

Por lo tanto la elipse buscada es

14

2y

1

1x 22

b) Completando cuadrado tenemos

13

2y

1

1x 22

De donde:Centro: (-1,2)Focos: (-3,2) y (1,2)Longitud del lado recto: 6Excentricidad: 2

c) Los puntos de interseccin son: (0,2) y (-2,2)

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