2do. Parcial de Matemática – IFD Rivera 2016

1. El triángulo 𝐴𝐵𝐶 es isósceles en 𝐵, o sea: 𝑑(𝐴, 𝐵) = 𝑑(𝐶, 𝐵).

El lado 𝐴𝐶 mide 10 𝑐𝑚 y el ángulo 𝐴𝐶�̂� = 30°.

a) Construye dicho triángulo

b) Redacta el algoritmo de construcción.

2. Del triángulo 𝐴𝐶𝐺 se conoce la medida de dos ángulos interiores (ver figura).

El segmento 𝐴𝐵 es altura de dicho triángulo y 𝐻𝐵 es mediatriz del segmento 𝐴𝐶.

a) Deduce la medida de los ángulos interiores 𝐶𝐴�̂�, 𝐵𝐴�̂� 𝑦 𝐵𝐴�̂�, justificando

tus conclusiones.

b) Clasifica el triángulo 𝐴𝐵𝐶. Justifica.

3.

a) ¿Cuál es el ángulo agudo que mide la cuarta parte de su complemento?

b) 𝐺 es el Baricentro del triángulo 𝑅𝑆𝑇, 𝑈 es el punto medio del segmento

𝑆𝑇 y 𝑉 es el punto medio del segmento 𝑅𝑇.

Si 𝐺𝑈 = 3, 𝐺𝑆 = 4,2 y 𝑅𝑇 = 8.

Calcula las medidas de los lados del triángulo 𝐺𝑅𝑉.

(Sugerencia: Dibuja una figura de análisis)

Soluciones

Ejercicio 1

Algoritmo de Construcción Comentarios

Trazar el segmento 𝐴𝐶 de 10 𝑐𝑚.

Trazar el ángulo 𝐴𝐶�̂� de 30° Dos posibilidades, una en cada semiplano de borde la recta 𝐴𝐶. Aunque 𝐵 permanece aún indeterminado, sí está determinado el lado

𝐶𝐵 de 𝐴𝐶�̂�.

Trazar la recta 𝑟, mediatriz del segmento 𝐴𝐶 𝐵 equidista de 𝐴 y 𝐶, por lo tanto, se encuentra en la mediatriz del segmento 𝐴𝐶.

Determinar 𝐵, intersección de 𝑟 con el lado

𝐶𝐵 de 𝐴𝐶�̂�

Construir el triángulo 𝐴𝐵𝐶

Ejercicio 2

a) 𝐴𝐵 es altura, entonces 𝐴𝐵�̂� = 𝐴𝐵�̂� = 90° En el triángulo ABG, la suma de todos sus ángulos es:

𝐵𝐴�̂� + 𝐴𝐺�̂� + 𝐴𝐵�̂� = 𝐵𝐴�̂� + 60° + 90° = 𝐵𝐴�̂� + 150° Como la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es siempre 180°, entonces

𝑩𝑨�̂� = 𝟑𝟎°

En el triángulo 𝐴𝐶𝐺:

𝐶𝐴�̂� + 60° + 45° = 180°

∴ 𝑪𝑨�̂� = 𝟕𝟓°

En el triángulo 𝐴𝐵𝐶:

𝐵𝐴�̂� + 90° + 45° = 180°

∴ 𝑩𝑨�̂� = 𝟒𝟓°

b) Clasificación del triángulo ABC:

Tiene dos ángulos iguales (isoángulo), por lo tanto, a esos ángulos se oponen dos lados también iguales: AB=BC y el triángulo es ISÓSCELES.

Ejercicio 3

a) 𝛼 es agudo (α < 90°) y es igual a 1

4 de su complemento (90° − 𝛼) lo que podemos

expresar mediante la ecuación:

𝛼 =1

4(90° − 𝛼)

Multiplicando por 4 la ecuación:

4𝛼 = 90° − 𝛼

⇒ 5𝛼 = 90°

⇒ 𝜶 = 𝟏𝟖°

b)

Utilizando el hecho que el Baricentro divide a las medianas en dos segmentos, uno el doble de otro, tenemos:

𝐺𝑉 =1

2𝐺𝑆 =

1

2× 4,2 = 𝟐, 𝟏

𝑅𝐺 = 2𝐺𝑈 = 2 × 3 = 𝟔

Finalmente, siendo 𝑉 punto medio de 𝑅𝑇 tenemos que 𝑅𝑉 =1

2𝑅𝑇 = 𝟒