OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO

Resumen: Usando el oscilador armónico amortiguado, como herramienta experimental para la resignificación de conceptos matemáticos dentro de la formación de futuros licenciados, esta experiencia permite un amplio desarrollo a través de conceptos matemáticos gracias al análisis que permite y a la amplia gama de conceptos que son usados; hemos de partir de la resignificación sobre los conceptos de las partes de la función lineal para finalmente generar una resignificación de las funciones trigonométricas como solución de comportamientos periódicos en el tiempo; de esta experiencia podemos destacar que como caso particular encontramos bajo ley de Hooke que

la constante de rigidez del resorte usado es k= 3,1338; y el valor de la frecuencia natural del

sistema es w= 0,3018/s

Palabras Claves: Resignificación, Oscilador Amortiguado, Conceptos Matemáticos.

INTRODUCCIÓN

La física, a lo largo de la historia ha abastecido a las matemáticas de situaciones y planteamientos en donde han nacido conceptos matemáticos, creciendo una relación constituyente entre las dos ciencias, pero según Arrieta (2003), el peso de los fenómenos físicos en clase es escaso, a pesar que nociones y procedimientos matemáticos han surgido del proceso de comprender fenómenos físicos reales.

En la actualidad en nuestro ambiente escolar es común encontrar actividades desprovistas de significado para el estudiante. Esta falta de significación, es reportada por Cordero y Martínez (2001) a raíz de privilegiar argumentos de corte analítico que toman a los conceptos matemáticos como objetos elaborados, alejados totalmente de argumentos situacionales.

Por esta razón se pretende que en el tránsito entre diferentes disciplinas científicas se pueda estudiar la generación de un conocimiento matemático, dotado de un contexto significativo y de las actividades y herramientas que permiten su construcción (Buendía, 2004).

Las experiencias dentro del aula como es el caso del oscilador armónico amortiguado hacen del conocimiento matemático un conocimiento dinámico que evoluciona, dotando al educador de saberes interdisciplinares que le permiten a través de la experiencia propia mejorar sus herramientas dialécticas y didácticas para convertir el conocimiento impartido en una herramienta de argumentación del individuo en un contexto sociocultural determinado.

OBJETIVOS

Objetivo General:

Desarrollar una experiencia de oscilador armónico con amortiguamiento débil, con el fin de resignificar conceptos matemáticos a través del análisis y modelamiento experimental. Dicho desarrollo permite adquirir nuevas herramientas didácticas y dialécticas de los participantes con miras de establecer una relación entre el conocimiento matemático y la percepción de lo cotidiano

Objetivos Específicos:

Establecer la ley de Hooke como un marco de referencia para la resignificación de la función lineal.

Reevaluar características generales de las funciones lineales en sus expresiones gráfica y analítica, de modo que puedan formarse juicios valorativos de las situaciones representadas en el experimento.

Implementar herramientas TICS que permitan mejorar la toma de datos en nuestro experimento.

Relacionar las variables físicas observables con funciones periódicas dentro de desarrollos analíticos generando escenarios de resignificacion

Realizar una Caracterización completa del movimiento armónico con amortiguamiento débil determinando posición, velocidad y aceleración en función del tiempo, particularizando el movimiento al determinar la ecuación de movimiento del mismo.

reevaluar los conceptos matemáticos que se infieren de la experiencia realizada generando a su vez una nueva alternativa de comprensión de estos.

MARCO TEÓRICO:Dentro del desarrollo de la practica se hace necesario establecer un paralelo respecto a los observables físicos y su correspondiente análisis matemático, para ello se hace necesario realizar una pequeña descripción de los elementos y conceptos matematicos que han sido manipulados dentro de la practica.

Ley Hooke: La ley de Hooke plantea cual es la reacción que se espera al someter un cuerpo elástico (Resorte) a una fuerza, Hooke planteo que: “Cuando se trata de deformar un sólido, este se opone a la deformación, siempre que ésta no sea demasiado grande”, de allí y bajo directa experimentación demostró que cuando se somete un resorte a una fuerza, la respuesta en oposición que este hace es directamente proporcional a la elongación del resorte y demostro que la constante de proporcionalidad que relaciona estas dos cantidades es precisamente la rigidez del resorte enlongado.De allí salio la ahora conocida ley de Hooke la cual se plantea como sigue:

F⃗=−k x⃗ (1)

Donde F⃗ es la fuerza restauradora propia del cuerpo elástico en oposición a su deformación, k es conocida como la constante elástica y es precisamente la rigidez del resorte y finalmente x⃗ es la elongación total a la cual se ha sometido dicho resorte, el signo mismo indica que la fuerza restauradora del resorte esta en oposición a la elongación a la cual este se somete; a su vez podemos ver que la relación entre la elongación y la fuerza restauradora es lineal.

Visto desde el planteamiento de la segunda ley de Newton encontramos que la ecuación que describe la ley de Hooke no es otra cosa que una ecuación diferencial de segundo grado, lineal no homogénea, remplazando la fuerza como la segunda derivada en el tiempo del desplazamiento veces la masa tenemos:

d2 xd t 2

=−kmx (2 )

Como sera apreciable, la solución a dicha ecuación es una función periódica, en otras palabras una

función trigonométrica bien sea seno o coseno; de donde la cantidad constante km

recibe el

nombre del cuadrado de la frecuencia natural y está representada por la letra griega Omega (w2).

Tenemos entonces que la posición (elongación) como función del tiempo estará representada por

x=A cos (wt )(3)

Donde A es la máxima amplitud a la cual se ha sometido el resorte.

Oscilador Armónico Simple: El oscilador armonico simple es la configuración mas elemental que podemos encontrar de un oscilador, este no tiene en cuanta la acción de ninguna fuerza externa; la ecuación de describe a dicho comportamiento es precisamente al ecuación (2) con su respectiva solución la ecuación (3); esta plantea pues un movimiento periódico perpetuo donde el cuerpo examinado permanece en constante oscilación manteniendo la máxima amplitud y el periodo de oscilación constantes.A continuación podemos ver la representación esquemática de dicha situación.

Donde destacamos la posición de la particula en función del tiempo como una función de tipo cosenidal.

Este pues será un movimiento periódico perpetuo caracterizado por las constantes de frecuencia natural, frecuencia lineal y periodo, estas tres relacionadas entre si y definidas como:

Frecuencia Natural w=√ km (4)

Periodo T=2πw

=2 π √mk =1f

(5 )

Frecuencia Lineal f= 1T

=2 πw=2 π √ km (6)

Donde es claro que una vez determinada la frecuencia natural del oscilador este queda completamente caracterizado en su comportamiento espacio-temporal, luego para caracterizar el oscilador armonico simple basta con conocer la constante de rigidez del resorte usado y el valor de la masa con la cual este arrastra; para lo cual en el laboratorio debemos determinar el valor de

dicha constante de rigidez apartir del aprovechamiento de la función lineal del comportamiento del resorte.