OSCILADOR ARMÓNICO FORZADO

OSCILADOR ARMÓNICO FORZADOAmortiguamiento – Resonancia

Fernando Hueso GonzálezLaboratorio de Mecánica y Ondas

Campus de Burjassot - Valencia2º Física – UVEG

9 de marzo de 2009

2

Ecuación diferencial OAS

Solución:

Multitud de fenómenos físicos oscilantes (ideales)

– Movimiento circular

– Muelle ideal (Ley de Hooke)

– Tubo en U de agua

– Circuitos eléctricos LC

Aproximación pequeñas oscilaciones

– Péndulo simple

– Potenciales

OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLEFUNDAMENTOS TEÓRICOS

02

02

2

dt

d

tAtAet rt0sin~

...3

sin13

3

Término disipativo (fuerza viscosa)

Amplitud: decaimiento exponencial

Amortiguamiento sobreamortiguado, crítico, infraamortiguado– Sobreamortiguado β>ω0

– Amortiguado críticamente β=ω0

– Infraamortiguado β<ω0

OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADOFUNDAMENTOS TEÓRICOS

02 2

02

2

dt

d

dt

d

/12''sin 22

02 tAet t

4

Término inhomogéneo periódico

Solución homogénea (transitoria) y particular (permanente)

Forzamiento armónico:

– Para t largos sólo la solución particular (ω=cte)

– No depende de condiciones iniciales, F y δ determinados por sistema oscilante

– Curva lorenciana Resonancia (D)

Control de fenómenos físicos

– Circuito RLC

– Osciladores micromecánicos

OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADOFUNDAMENTOS TEÓRICOS

)/(2 2

02

2

Ttfdt

d

dt

d

tDtAettt Ft

ph sinsin 0

2222

0 2 FF

F

FD

tFTtf Fsin/

22

0

2 2 R

22

0

2tan

F

FF

5

D

Función lorenciana (asimétrica)

Coeficiente de amortiguamiento

Factor de calidad

AMORTIGUAMIENTO Y RESONANCIAFUNDAMENTOS TEÓRICOS

2222

0

FD

22/max D

TE

EQ

ciclodis

sis 22

0 5 10 15 200,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

D

6

Oscilador armónico forzado

– Péndulo físico Pares de fuerzas

– Imán amortiguador

– Muelles

– Motor

Control mediante generador tensión variable, interfaz y ordenador

– Frecuencia y amortiguamiento regulables

– Desviación angular ‘vs’ tiempo θ(t)

Péndulo físico

DISPOSITIVO EXPERIMENTALTÉCNICA EXPERIMENTAL

2

2

dt

dIM

sin2

2

2

2

/sin TtMmghdt

db

dt

dI ext D

dt

d

dt

d 2

02

2

2

sinmghM p dt

dbM r

IbIMDImgh ext 2///2

0

70 1 2 3 4 5

-1

-0,5

0

0,5

1

t

0 1 2 3 4 5-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

t

Estudiar amortiguamiento – Decaimiento exponencial

• Desplazar respecto a posición de equilibrio

• Registrar θ(t)

• Medir frecuencia; máximos, θbase; ley exponencial

• Ajustar ω’ , β

Oscilador forzado - Curva de resonancia

• Registrar θ(t) para cada V

• Medir θmax, ω

• Ajustar a curva de resonancia

ω0, β

Cambiar amortiguamiento (+ comparar)

Comparar valores para cada amortiguamiento

– Valor a partir del ajuste al amortiguamiento exponencial

– Valor a partir del ajuste a la curva de resonancia

PROCEDIMIENTO EXPERIMENTALTÉCNICA EXPERIMENTAL

tet t 'sin0

t 0lnln

22

02'

22

0

2 2 R

8

Estudiar amortiguamiento

Desplazar del equilibrio decaimiento exponencial amplitud

Comparar distintos coeficientes, distancia imán

h/2 h

ADQUISICIÓN DE DATOSRESULTADOS

θ ± 0,001 t ± 0,1s θ ± 0,001 t ± 0,1s

0,367 0,1 5,201 0,8

-0,573 1,1 4,363 1,9

-0,995 2,1 3,892 2,9

-1,187 3,0 3,648 3,8

-1,257 ∞ 3,508 4,7

3,421 ∞

9

ADQUISICIÓN DE DATOSRESULTADOS

V± 0,1 V

A1+

± 0,001

A1-

± 0,001

A2+

± 0,001

A2-

± 0,001

A3+

± 0,001

A3-

± 0,001

ti

± 0,1 s

tf

± 0,1 s

2,0 0,332 -0,140 0,349 -0,122 0,332 -0,140 0,6 10,0

2,5 0,454 -0,017 0,454 -0,017 0,454 -0,017 1,4 9,4

3,0 0,105 -0,436 0,087 -0,436 0,087 -0,436 0,6 7,4

3,5 0,000 -0,663 0,000 -0,646 0,000 -0,646 1,1 6,4

3,7 0,506 -0,157 0,506 -0,157 0,506 -0,157 0,5 5,6

3,9 0,716 0,000 0,698 0,000 0,698 0,000 0,7 5,6

4,1 0,052 -0,681 0,036 -0,698 0,052 -0,681 1,4 5,9

4,3 0,227 -0,524 0,244 -0,524 0,227 -0,524 0,5 4,8

4,5 0,367 -0,454 0,367 -0,454 0,367 -0,454 0,3 4,4

4,7 0,681 -0,227 0,698 -0,227 0,698 -0,209 0,2 4,1

4,9 0,541 -0,559 0,541 -0,559 0,541 -0,559 0,3 3,9

5,0 0,998 -0,297 0,998 -0,297 0,998 -0,279 0,4 3,8

5,2 0,157 -1,134 0,175 -1,152 0,175 -1,152 0,1 3,6

5,4 2,129 -0,035 2,112 -0,035 2,147 -0,035 0,6 3,8

5,6 2,409 -0,105 2,443 -0,087 2,391 -0,105 0,5 3,6

5,8 1,990 -0,419 1,990 -0,419 2,007 -0,436 0,4 3,4

6,0 2,025 -0,262 2,007 -0,262 1,955 -0,227 0,1 3,0

6,2 0,314 -1,623 0,279 -1,623 0,332 -1,588 0,1 2,9

6,5 1,152 -0,506 1,134 -0,524 1,117 -0,524 0,3 3,0

7,0 0,419 -0,663 0,419 -0,646 0,454 -0,681 0,2 2,7

7,5 0,820 0,000 0,803 0,035 0,803 0,000 0,4 2,7

8,0 0,593 0,000 0,593 0,000 0,611 0,000 0,3 2,5

8,5 0,070 -0,348 0,052 -0,367 0,070 -0,367 0,1 2,0

9,0 0,140 -0,262 0,122 -0,262 0,122 -0,244 0,2 2,1

9,5 0,297 0,000 0,297 0,000 0,297 -0,017 0,5 2,3

10,0 0,122 -0,140 0,122 -0,140 0,122 -0,140 4,0 5,7

11

TRATAMIENTO DE DATOSRESULTADOS

A δ(A) D ω (s-1) δ(ω) (s-1) A δ(A) D ω (s-1) δ(ω) (s-1)

0,2358 0,0007 0,21% 2,01 0,04 0,2445 0,0007 0,00% 1,57 0,03

0,2355 0,0007 0,00% 2,36 0,06 0,2530 0,0007 0,00% 2,19 0,05

0,265 0,002 3,40% 2,77 0,08 0,2792 0,0007 0,18% 2,90 0,09

0,326 0,002 2,61% 3,56 0,13 0,3527 0,0081 9,19% 4,19 0,19

0,3315 0,0007 0,00% 3,70 0,14 0,3490 0,0007 0,00% 3,85 0,16

0,352 0,002 2,56% 3,85 0,16 0,3810 0,0023 2,36% 4,28 0,19

0,3666 0,0007 0,07% 4,19 0,19 0,4185 0,0007 0,00% 4,5 0,2

0,378 0,002 2,25% 4,4 0,2 0,4742 0,0044 3,69% 5,0 0,3

0,4105 0,0007 0,00% 4,6 0,2 0,6048 0,0021 1,41% 5,2 0,3

0,457 0,002 1,97% 4,8 0,2 0,9017 0,0023 1,00% 5,5 0,3

0,5500 0,0007 0,00% 5,2 0,3 1,4798 0,0159 4,29% 5,9 0,4

0,645 0,002 1,40% 5,5 0,3 1,3148 0,0044 1,33% 6,5 0,4

0,658 0,005 2,74% 5,4 0,3 1,0590 0,0044 1,65% 7,0 0,5

1,082 0,004 1,62% 5,9 0,4 0,8787 0,0021 0,97% 7,0 0,5

1,257 0,004 1,35% 6,1 0,4 0,5673 0,0088 6,17% 7,5 0,6

1,210 0,004 1,40% 6,3 0,4 0,4042 0,0044 4,33% 8,2 0,7

1,123 0,013 4,67% 6,5 0,4 0,2970 0,0007 0,00% 9,0 0,9

0,960 0,004 1,82% 6,7 0,5 0,2298 0,0043 7,40% 9,9 1,0

0,826 0,002 1,03% 7,0 0,5 0,1862 0,0044 9,40% 9,9 1,0

0,547 0,009 6,40% 7,5 0,6 0,1452 0,0021 5,86% 11,1 1,3

0,399 0,006 6,52% 8,2 0,7 0,1165 0,0023 7,73% 11,8 1,5

0,300 0,002 3,01% 8,6 0,8

0,212 0,002 4,47% 9,9 1,0

0,192 0,005 9,38% 9,9 1,0

0,151 0,002 5,62% 10,5 1,2

0,1310 0,0007 0,00% 11,1 1,3

12

Coeficiente de amortiguamiento


0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

t (s)

ln(

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

t (s)

ln θ0 0,71 ± 0,18

β (s-1) 1,07 ± 0,10

r 0,992

ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7

ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7

130 1 2 3 4 5

-3,0

-2,0

-1,0

0,0

1,0

t (s)

ln(

Imán alejado (x2) Comparación


0 1 2 3 4 5-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

t (s)

ln(

ln θ0 1,33 ± 0,17

β (s-1) 0,77 ± 0,05

r 0,993

ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7

ω0 (s-1) 6,4 ± 0,7

ln θ0 0,71 ± 0,18 1,33 ± 0,17

β (s-1) 1,07 ± 0,10 0,77 ± 0,05

r 0,992 0,993

ω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 6,4 ± 0,7

ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 6,4 ± 0,7

14

0 5 10 15 20 25 300,0

1,0

2,0

3,0

4,0

5,0

D

Restar fondo de resonancia (parámetro adicional) Ajuste


2 4 6 8 10 120,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

(s-1)

(r

ad

)

03,005,004,051,0·203,035,6

7,08,72222

ω0 (s-1) 6,35 ± 0,03

β (s-1) 0,51 ± 0,04

ωR (s-1) 6,31 ± 0,03

θ0 (rad) 0,05 ± 0,03

F (s-2) 7,8 ±0,7

r 0,9898

15

Imán amortiguador más alejado (x2)


0 2 4 6 8 10 120,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

(s-1)

(r

ad

)

ω0 (s-1) 6,30 ±0,04

β (s-1) 0,46 ±0,08

ωR (s-1) 6,27 ± 0,04

θ0 (rad) 0,01 ± 0,05

F (s-2) 9,4 ±1,3

r 0,972

16

Gráfica comparativa - Amortiguamiento


0 2 4 6 8 10 120,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

(s-1)

(r

ad

)

ω0 (s-1) 6,35 ± 0,03 6,30 ±0,04

β (s-1) 0,51 ± 0,04 0,46 ±0,08

ωR (s-1) 6,31 ± 0,03 6,27 ± 0,04

17

Poca diferencia en coeficientes de amortiguamiento Errores

– ¿Ángulos pequeños? ; Pocos puntos

– Estado de los muelles del dispositivo

– Dispersión 2as medidas (frecuencia detección)

Mejoras

– Medida períodos

– Menor amortiguamiento, más posiciones imán

Compatibilidad datos Experimento satisfactorio

CONCLUSIÓNRESULTADOS

h/2 h Mediaω’ (s-1) 6,4 ± 0,7 6,33 ± 0,03 -1,11% 6,4 ± 0,7 6,28 ± 0,04 -1,86% 6,4 ± 0,7 0,36%

ω0 (s-1) 6,5 ± 0,7 6,35 ± 0,03 -2,36% 6,4 ± 0,7 6,30 ±0,04 -1,59% 6,4 ± 0,7 1,17%

β (s-1) 1,07 ± 0,10 0,51 ± 0,04 52,34% 0,77 ± 0,05 0,46 ±0,08 -10,87%0,79 ± 0,140,62 ± 0,08

22,15%

ωR (s-1) 6,3 ± 0,7 6,31 ± 0,03 0,18% 6,3 ± 0,7 6,27 ± 0,04 -0,64% 6,30 ± 0,7 0,43%

Q1 = 4,0 ± 0,8

Q2 = 5,2 ± 1,5

18

• Guión de prácticas del Laboratorio de Mecánica y Ondas, 2º de Física – UVEG, 2008 (Ana Cros, Chantal Ferrer, Andrés Cantarero)

• Apuntes de Mecánica y Ondas, 2º de Física – UVEG, 2008 (Chantal Ferrer)

• Tipler-Mosca, 5ª Ed. 2005; Ed. Reverté; Vol. 1 • http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica (Universidad País Vasco)

Dirección de contacto:Ferhue[a[alumni.uv.es

Página Web:http://mural.uv.es/ferhue

BIBLIOGRAFÍA

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