MOVIMIENTO ARMÓNICO FORZADO (2)

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MOVIMIENTO AMORTIGUADO DE LA CINEMÁTICA A LA DINÁMICA Introducción Normalmente cuando se estudia el movimiento armónico amortiguado se parte de fuerza del resorte y de la fuerza de amortiguamiento. A partir de los modelos determinan las características del movimiento que resulta de la ecua “aplicación” de la Segunda Ley de Newton. Para la fuerza del resorte usualmen Ley de Hooke, que representa un comportamiento directamente proporcional entr deformación del resorte; mientras que para la fuerza de amortiguamiento el mo el de un comportamiento directamente proporcional entre la fuerza y la veloci tomaremos como punto de partida a la cinemática del movimiento amortiguado qu gráfica de deformación en función del tiempo para obtener los modelos de fuer lugar de tomas a las causas para determinar los efectos consideraremos los ef causas. 1. Deformación en función del tiempo Consideremos un sistema Masa-Resorte suspendido, como se indica en la figura movimiento a la masa, la deformación en función del tiempo que se obtiene es presentada en la figura 2, en donde resalta el hecho de que la amplitud no pe sino que va “decayendo” en el tiempo, a diferencia de lo que ocurre en un mov simple. Además, todo parece indicar que se mantiene la “periodicidad” del mov se propone como modelo de ajuste a los datos de la gráfica una función de la () ( ) , t sen Ae t x t δ + ω = γ (1) siendo w la frecuencia de oscilación; d la fase inicial del movimi amortiguamiento. [1] La parte exponencial de la función corresponde al “dec amplitud. En la figura 2 se muestra la gráfica de esta función de ajuste y en amplitud con el “decaimiento” exponencial. Masa Posición de equilibrio x X 0 = 0 Dirección de movimiento Resorte (a) (b) Figura 1. Sistema Masa-Resorte suspendido. -0.10 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00 Tiempo t (s) D e f o r m a c i ó n x ( m ) Figura 2. Gráfica de deformación en función del tiempo de un movimiento amor

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MOVIMIENTO AMORTIGUADODE LA CINEMTICA A LA DINMICAIntroduccinNormalmente cuando se estudia el movimiento armnico amortiguado se parte de los modelos de fuerzadel resorteydelafuerzadeamortiguamiento. Apartirdelosmodelosdefuerzasse determinanlas caractersticasdel movimientoqueresultadelaecuacindemovimientoo aplicacin de la Segunda Ley de Newton. Para la fuerza del resorte usualmente se recurre a la Ley de Hooke, que representa un comportamiento directamente proporcional entre la fuerza con la deformacin del resorte; mientras que para la fuerza de amortiguamiento el modelo ms comn es el de un comportamiento directamente proporcional entre la fuerza y la velocidad. En esta ocasin tomaremos como punto de partida a la cinemtica del movimiento amortiguado que resulta del la grfica de deformacin en funcin del tiempo para obtener los modelos de fuerza, es decir que en lugar de tomas a las causas para determinar los efectos consideraremos los efectos para definir las causas.1.Deformacin en funcin del tiempoConsideremos un sistema Masa-Resorte suspendido, como se indica en la figura 1. Al poner en movimientoalamasa, ladeformacinenfuncindel tiempoqueseobtieneesdelaforma presentada en la figura 2, en donde resalta el hecho de que la amplitud no permanece constante, sino que va decayendo en el tiempo, a diferencia de lo que ocurre en un movimiento armnico simple. Adems, todo parece indicar que se mantiene la periodicidad del movimiento, por lo que se propone como modelo de ajuste a los datos de la grfica una funcin de la forma:( ) ( ), t sen Ae t xt + (1)siendowla frecuenciade oscilacin; d la fase inicial del movimiento; y, g un factor de amortiguamiento.[1]La parteexponencial de la funcincorrespondeal decaimiento enla amplitud. En la figura 2 se muestra la grfica de esta funcin de ajuste y en lneas punteadas la amplitud con el decaimiento exponencial. Masa Posicin de equilibrio x X0 = 0Direccin de movimientoResorte(a) (b)Figura 1. Sistema Masa-Resorte suspendido.-0.10-0.08-0.06-0.04-0.020.000.020.040.060.080.100.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00Tiempo t (s)Deformacin x (m) Figura 2. Grfica de deformacin en funcin del tiempo de un movimiento amortiguado.2 Ecuacin de MovimientoLa ecuacin de movimiento del sistema est relacionada con la aceleracin, as comenzamos por determinar a la velocidad a partir de la deformacin en funcin del tiempo, obteniendo:( )( ) ( ) [ ]dtt sen Ae ddtt dxt vt + ( ) ( ) ( ) [ ]. t sen t cos Ae t vt + + (2)Para la aceleracin tenemos:( )( ) ( ) ( ) [ ] { }dtt sen t cos Ae ddtt dvt at + + ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]. t cos 2 t sen Ae t a2 2 t + + (3)Sustituyendo la ecuacin 1 en la 2 tenemos que:( ) ( ) ( ), t x t cos Ae t vt + de donde resulta:( ) ( ) ( ). t x t v t cos Aet + + Sustituyendo esta ecuacin y la 1 en la ecuacin de la aceleracin (ec. 3), obtenemos:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] t x t v 2 t x t a2 2 + ( ) ( ) ( ) ( ). t v 2 t x t a2 2 + Multiplicando por la masa a los lados de la ecuacin, tenemos:( ) ( ) ( ) ( ). t mv 2 t x m t ma2 2 + (4)Entonces, como el producto de la masa por la aceleracin es igual a la suma de fuerzas que actan sobre el sistema, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton. En este caso identificamos que hay una fuerza, que la de restitucin en el sistema, que es directamente proporcional a la deformacin, es decir, la Ley de Hooke:( ) ( ) ( ), t kx t x m F2 2r + (5)en donde asociamos la relacin entre constantes:,mk202 2 + (6)siendo w0 la frecuencia natural de oscilacin del sistema, es decir la frecuencia con que oscilara si no hubiera amortiguamiento.Por otra parte, identificamos la fuerza de amortiguamiento, que tiene dos caractersticas:1. Es directamente proporcional a la velocidad; y,2. Su direccin es contraria a la del movimiento;con el modelo:( ) ( ), t bv t mv 2 Fa (7)siendo b la constante de amortiguamiento, quedando la relacin entre constantes:.m 2b (8)En conclusin, la ecuacin 4 representa la ecuacin de movimiento armnico amortiguado cuando actanlasfuerzasderestitucinydeamortiguamiento, indicadaspor lasrelaciones5y7, respectivamente.En cuanto a la relacin 6, entre las constantes, tenemos que la frecuencia de oscilacin es:( ) ,2 / 12 20 lo que indica que la frecuencia de oscilacin es menor que la frecuencia natural del sistema; y slo si el amortiguamiento es nulo o despreciable las frecuencias sern iguales.MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADOEcuacin de Movimiento.Consideremos unsistemaMasa-Resorte sobreuna mesa horizontalsin friccin.En elMovimientoArmnicoSimplela fuerza de restitucin del resorte, Fr = -kx, donde k es la constante de elasticidad y x la deformacin (considerando que el origen de referencia es la posicin de equilibrio), es la que mantiene el movimiento oscilatorio de la masa de acuerdo a la ecuacin de movimiento que se obtiene a partir de la Segunda Ley de Newton,, ma kx con m la masa; y, a = d2x/dt2, la aceleracin; de donde:, 0 xdtx d2022 +(1)siendo 0 = (k/m)1/2 la frecuencia natural de oscilacin. La solucin general de la ecuacin 1, es:( ) ( ), t cos C t x0 1 (2)donde C y son constantes que se determinan mediante las condiciones iniciales del movimiento. El movimiento descrito a travs de la ecuacin 2 tiene una amplitud constante en el tiempo, lo que indica que aun cuando pase mucho tiempo la energa mecnica delsistema se mantiene constante. La experiencia nos muestra que en generalel movimiento de los sistemas oscilatorios tienden a disminuir su amplitud sino existe algo que los mantenga o los fuerce para mantener o aumentar su amplitud. As que si tratamos de aproximarnos a realizar una descripcin ms apegada a la realidad debemos considerar la presencia de una fuerza adicional que poco a poco le quitar energa mecnica al sistema.Consideremos al sistema Masa-Resorte en el que adems de la fuerza de restitucin del resorte se tiene la presencia de una fuerza Fa(t)quetratade amortiguarel movimiento. El modeloparalafuerzade amortiguamiento,si esdebidaal movimiento de la masa a travs de un medio (por ejemplo el aire), tiene dos caractersticas:1) Siempre se opone al movimiento, lo que significa que est en direccin contraria a la velocidad; y2) Es directamente proporcional a la magnitud de la velocidad.La primera caracterstica es generalpara las fuerzas de amortiguamiento; mientras que la segunda es la caracterstica propiadel modelopropuesto, esdecir queotrosmodelospuedentener otrotipodedependenciaparalafuerzade amortiguamiento. De acuerdo al modelo propuesto, la fuerza de amortiguamiento se puede escribir en la forma:( ) ( ), t bv t Fa (3)donde b es la constante de amortiguamiento. Entonces la ecuacin de movimiento de la masa, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton, es:, ma bv kx donde m es la masa; a es la aceleracin; k es la constante de elasticidad; y, x la posicin, considerando que la posicin de equilibrio es el origen de referencia. Sea 0 la frecuencia natural, con 02 = k/m, y = b/2m el factor de amortiguamiento, entonces la ecuacin de movimiento se puede escribir como:. 0 xdtdx2dtx d2022 + +(4)La ecuacin 4 es la ecuacin tpica del Movimiento Armnico Amortiguado. Para obtener explcitamente a la posicin en funcin del tiempo que satisfaga a la ecuacin de movimiento, vemos que la funcin que buscamos debe ser igual a la primeray segunda derivadadelafuncinexceptopor una constante, y esolosatisfacelafuncinexponencial. Consideremos como solucin de la ecuacin de movimiento a:( ) , Be t xnt (5)con B y n constantes por determinar. Sustituyendo la solucin propuesta en la ecuacin 4, tenemos:( ) . 0 Be n 2 nnt 202 + +resolviendo la ecuacin cuadrtica para n se tiene dos valores,( ) ( ) , n y, ; n2 / 120222 / 12021 + de tal manera que la solucin antes propuesta en la ecuacin 5 ahora se expresa como:( )( ) ( ). e B e B t xt2t12 / 12022 / 12021]1

1]1

+ + Factorizando la primera parte de la dependencia exponencial, tenemos:( )( ) ( ). e B e B e t xt2t1t2 / 12022 / 12021]1

+ (6)Las constantes B1 y B2 se determinan mediante las condiciones iniciales. La solucin expresada en la ecuacin 6 es la solucin general para el movimiento para cuando es diferente de 0. Las caractersticas del movimiento resultante estn dadas por la relacin entre el factor de amortiguamiento y la frecuencia natural 0, que determina el valor del exponente de las funciones exponenciales que aparecen dentro de los corchetes; sin embargo, cualquiera que sea esta relacin, la masa va a tender a detenerse debido al decaimiento exponencial indicado por la funcin exponencial que multiplica a las dos funciones dentro de los corchetes.En el caso de que es igual a 0 la solucin indicada en la ecuacin 6 se reduce a:( ) ( ) . e C B B e t xt1 2 1t1 + (7)Una segunda solucin de la ecuacin de movimiento en este caso es de la forma:( ) ; te C t xt2 2 (8)por lo que la solucin general cuando es igual a 0, es:( ) ( ). t C C e t x2 1t+ (9)2.Movimiento Sobreamortiguado.Si el factor de amortiguamiento es mayor que la frecuencia natural 0, el radical en el exponente de las exponenciales de la solucin 6 son menores que el factor de amortiguamiento,( ) ,2 / 1202 < porloquelafuncinexponencial quemultiplicaaB1crecemslentamentedeloquelafuncinexponencial quese encuentra fuera de los corchetes tiende a cero. La velocidad de la masa en el movimiento sobreamortiguado es:( ) ( )( )( )( ). e B e B e t vt22 / 1202 t12 / 1202 t2 / 12022 / 1202;'1]1

+1]1

+ (10)Si las condiciones iniciales son x(0) = x0, y v(0) = v0, entonces, aplicadas a las ecuaciones 6 y 10 resultan las relaciones:; B B x2 1 0+ (11)( ) ( ) , B B v22 / 120212 / 120201]1

+1]1

+ (12)de donde se obtiene el valor de las constantes B1 y B2, resulta:( )( ),2x vB2 / 120202 / 120201 1]1

+ + (13) ( )( ).2v xB2 / 12020 02 / 12022 1]1

+ (14)Enel casodel sobreamortiguamientolamasanotieneoportunidaddeoscilar,ycualquieraqueseanlascondiciones iniciales, la tendencia delmovimiento es la de llevar a la masa hacia la posicin de equilibrio. La figura 1 muestra las caractersticas de este movimiento para la misma posicin inicial y tres diferentes valores de velocidad inicial v0 = 0.0 m/s (lnea gruesa), v0 = 10.0 m/s (lnea punteada), y v0 = -10.0 m/s (lnea delgada), con x0 = 1.0 m, = 11.0 rad/s, 0 = 10.0 rad/s. 0 0.2 0.4 0.6 0.8Tiempo tHsL00.20.40.60.811.2noicisoPxHtLHmLFigura 1. Grfica de la posicin en funcin del tiempo, con los valores velocidad inicial de v0 = 0.0 m/s (lnea gruesa), v0 = 10.0 m/s (lnea punteada), y v0 = -10.0 m/s (lnea delgada).MOVIMIENTO ARMNICO FORZADOEcuacin de Movimiento. Consideremos un sistema Masa-Resorte en el que adems de la fuerza de restitucin del resorte se tiene la presencia de una fuerza Ff(t) que trata de forzar el movimiento de la masa. Si la fuerza de forzamiento es una funcin armnica en el tiempo, con frecuencia angular wf, y amplitud F0, de la forma:( ) ( ), t cos F t Ff 0 f (1)la ecuacin de movimiento de la masa, de acuerdo con la Segunda Ley de Newton, es:( ) , ma t cos F kxf 0 + dondemeslamasa; aeslaaceleracin; keslaconstantedeelasticidad; y, xlaposicin, considerando que la posicin de equilibrio es el origen de referencia. Sea w0 la frecuencia natural, con w02 = k/m, entonces la ecuacin de movimiento se puede escribir como:( ). t cosmFxdtx df0 2022 +(2)2.Solucin de la Ecuacin de Movimiento. Sabemos que la posicin en funcin del tiempo dada por( ) ( ), t cos C t x0 1 (3)donde C y d constantes que se determinan con las condiciones iniciales, es solucin general de la ecuacin del Movimiento Armnico Simple,, 0 xdtx d2022 +(4)por lo que es parte de la solucin de la ecuacin de movimiento con forzamiento (ec. 2). La otra parte de la solucin debe ser tal que al sustituirla en los trminos de la izquierda en la ecuacin de movimiento (ec. 2), resulte la funcin armnica de la derecha de la igualdad; por lo que de manera natural podemos proponer que la segunda parte de la solucin sea de la forma:( ) ( ), t cos B t xf 2 (5)donde B es la constante. Para determinar a la constante B sustituimos la solucin 5 en la ecuacin 2, obteniendo:( ) ( ) ( ), t cosmFt cos Bf0f202f + de donde se tiene que el valor de la constante B, para wf w0, es:( ).mFB2f200 (6)Entonces la solucin general completa de la ecuacin de movimiento resulta:( ) ( ) ( ) t x t x t x2 1+ ( ) ( )( )( ). t cosmFt cos C t xf2f2000 + (7)Por lotantoel movimientoengeneral correspondeaunasuperposicindedosmovimientos armnicos que tienen diferente amplitud y diferente frecuencia. Dependiendo de las condiciones iniciales sern los valores de las constantes C y d. La velocidad del movimiento de la masa es:( ) ( )( )( ); t senmFt sen C t vf2f20f 00 0 (8)y la aceleracin es:( ) ( )( )( ). t cosmFt cos C t af2f202f 0020 + (9)Supongamos que las condiciones iniciales son x(0) = x0, y v(0) = v0, entonces al aplicarlas a las ecuaciones 7 y 8, obtenemos las relaciones:( )( ),mFcos C x2f2000 + (10)( ); sen C v0 0 (11)dedondesedeterminael valor delasconstantesCyd. Dependiendodelafrecuenciadel forzamiento respecto a la frecuencia natural ser la importancia del valor del segundo trmino en larelacin10comparadoconel valordelaposicininicial x0paradeterminarel valordela constante C; y, de ah su importanciaal comparar los dos trminos de la solucin 7.Las figuras 1 a 4 muestran las grficas de la posicin (ec. 7) en funcin del tiempo para distintos valoras de la frecuencia de forzamiento. Los parmetros que son iguales en todas las grficas son: w0 = 10.0 rad/s; F0 = 10.0 N; m = 1.0 kg; x0 = 1.0 m; y, v0 = 0.0 m/s. Dependiendo de la frecuencia de forzamiento es la forma en que se modula la amplitud. Si la frecuencia de forzamiento es cercana a la frecuencia natural (figuras 2 y 3), es decir que w02- wf2es grande, la amplitud del movimiento resultante de lugar a pulsos o paquetes de oscilaciones, es decir que la amplitud al inicio de estos paquetes comienza en su valor menor (prcticamente nula en la figura 2), para luego alcanzar su mximo, y de nuevo volver a su valor menor. Si la frecuencia de forzamiento no es cercana a la frecuencia natural, es decir que w02 - wf2 es pequea, entonces la variacin en la amplitud se manifiesta en una forma diferente, como se ilustra en las figuras 1 y 4. 0 2 4 6 8 10 12TiempotHsL- 1- 0.500.51noicisoPxHtLHmL 0 5 10 15 20 25 30TiempotHsL- 2- 1012noicisoPxHtLHmLFigura 1. Grafica de la posicin en funcin del tiempo, con wf = 1.0 rad/s.Figura 2. Grafica de la posicin en funcin del tiempo, con wf = 9.7 rad/s. 0 2 4 6 8 10 12 14TiempotHsL- 2- 1012noicisoPxHtLHmL 0 2 4 6 8 10TiempotHsL- 1- 0.500.51noicisoPxHtLHmLFigura 3. Grafica de la posicin en funcin del tiempo, con wf = 11.0 rad/s.Figura 4. Grafica de la posicin en funcin del tiempo, con wf = 14.1 rad/s.3.Resonancia.Para fijar algunas ideas respecto a la amplitud y la importancia relativa de los dos trminos de la solucin general (ec. 7), consideremos que la velocidad inicial es nula, por lo que la fase inicial resulta nula (ec. 11), obtenindose a la posicin en funcin del tiempo, ecuacin 7 con el valor de la constante C dada por la ecuacin 10, como:( )( )( )( )( ). t cosmFt cosmFx t xf2f20002f2000 +

,_

(12)Si la diferencia w02 - wf2 es grande, la amplitud del primer trmino de la ecuacin 12 tiende a ser igual a x0, y el segundo trmino tender a ser solo una pequea perturbacin. Por otra parte, si la diferencia w02 - wf2 es pequea, entonces x0 es despreciable en el primer trmino de tal forma que la ecuacin 12 se puede escribir de la siguiente manera: [1]( )( )( ) ( ) [ ]. t cos t cosmFt xf 02f200 +

,_

Utilizando la identidad trigonomtrica de la diferencia del coseno de dos ngulos diferentes, se puede transformar la ecuacin para que quede de la forma:( )( )( ) ( ). t2sen t2senmF 2t xf 0 f 02f2001]1

+

,_

1]1

(13)En la ecuacin 13, la constante por la primera de las funciones armnicas tiene una frecuencia angular muy pequea, por lo que constituye la envolvente o amplitud de la segunda funcin armnica que tiene una frecuencia aproximadamente igual a w0. La figura 5 muestra la grfica de la funcin de la posicin en el tiempo (ec. 13), en las regiones oscuras en realidad se tiene una gran cantidad de oscilaciones (ver las escalas de tiempo y de posicin). 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000Tiempo tHsL- 10000- 50000500010000noicisoPxHtLHmLFigura 5. Grafica de la posicin en funcin del tiempo, con wf = 10.01 rad/s.Lafigura6 muestra la amplituddelas oscilaciones, F0/m(w0 2-wf2), en funcin de la frecuencia angular wf considerando que x0 = 0.0 m, y v0 = 0.0 m/s.Figura 6. Grafica de la amplitud en funcin de la frecuencia angular wf.Para la frecuencia angular wf = w0se tiene una discontinuidad en la solucin general presentada, por lo que la solucin indicada en la ecuacin7noesaplicableen este caso. Si la frecuencia de forzamiento es igual a la frecuencia natural, lasegundapartedelasolucinpropuesta(ec. 5) yanoesaplicable; sinembargo, sedebe proponer una solucin que involucre funciones armnicas con la frecuencia angular de forzamiento; en este caso se propone como segunda parte de la solucin a:( ) ( ) ( ) [ ]. t sen B t cos B t t xf 2 f 1 M 2 + (14)Sustituyendo la solucin propuesta en la ecuacin de movimiento (ec. 2), tenemos:( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] ( ). t cosmFt sen B t cos B t t sen B t cos B t t cos B t sen B 2f0f 2 f 120f 2 f 12f f 2 f 1 f + + + + Considerando wf = w0, queda la relacin:( ) ( ) [ ] ( ), t cosmFt cos B t sen B 2f0f 2 f 1 f + de donde se obtiene a las constantes:, 0 B1 ;m 2FB002de tal manera que la solucin general completa queda en la forma:( ) ( ) ( ). t sen tm 2Ft cos C t x0000+ (15)A partir de esta expresin obtenemos a la velocidad:( ) ( ) ( ) ( ) [ ]; t cos t t senm 2Ft sen C t v0 0 0000 0 + + (16)y la aceleracin resulta:( ) ( ) ( ) ( ) [ ]. t sen t t cos 2m 2Ft cos C t a020 0 000020 + + (17)Si las condiciones iniciales son x(0) = x0, y v(0) = v0, entonces al aplicarlas a las ecuaciones 15 y 16 se obtienen las relaciones para determinar a las constantes C y d:( ), cos C x0 (18)( ). sen C v0 0 (19)La figura 7 muestra la grfica de la posicin en funcin del tiempo con los valores w0 = 10.0 rad/s; F0=10.0N;m=1.0kg;x0=1.0m;y, v0=0.0m/s.Enlagrficaseobservalaformade crecimientolineal enlaamplituddel movimiento; estoesdeesperarseal considerarquela frecuenciadeforzamientotiendealafrecuencianatural el perododelaenvolventetiendea infinito (verfigura 5). Entonces, podemos concluirque cuando la frecuenciadeforzamiento es igual a la frecuencia natural tenemos resonancia en la amplitud, y adems esta es la forma ms eficiente de proporcionarle energa al sistema, es decir que el sistema tiene tambin resonancia en la energa. 0 5 10 15 20FrecuenciawfHradsL0.250.50.7511.251.51.752dutilpmABHmL0 5 10 15 20FrecuenciawfHradsL0.250.50.7511.251.51.752dutilpmAHmL 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15TiempotHsL- 7.5- 5- 2.502.557.5noicisoPxHtLHmLFigura 7. Grafica de la posicin en funcin del tiempo, con wf = w0.[1] Esto se cumple en general para las condiciones de v0 = 0, y x0 = 0, aun cuando la diferencia w02 - wf2 no sea pequea.ANLISIS DE ENERGAS DEL MOVIMIENTO ARMNICO AMORTIGUADOEnerga Mecnica. La energa mecnica del sistema Masa-Resorte, con amortiguamiento es:, E E Epr k m+ (1)con Ek la energa cintica de la masa:, mv21E2k(2)siendo m la masa, y v la rapidez; y, Epr la energa potencial asociada a la fuerza de restitucin del resorte:, kx21E2pr(3)siendo k la constante de elasticidad del resorte, y x el desplazamiento de la masa respecto a la posicin de equilibrio.Consideremos que la posicin de la masa en funcin del tiempo est dada por la relacin:( ) ( ), t cos Ce t xt (4)en donde C es una constante, g es el factor de amortiguamiento que es igual a b/2m, con b la constantedeamortiguamiento; wlafrecuenciaangular; t el tiempo; y, dlafaseinicial. La velocidad de la masa es:( )( )( ) ( ) [ ]. t sen t cos Cedtt dxt vt + (5)Sustituyendo las expresiones de la posicin y la velocidad en las de las energas cintica (ec. 2) y la energa potencial del resorte (ec. 3), se tiene la energa mecnica (ec. 1) en funcin del tiempo;( ) ( ) ( ) [ ] ( ). t cos e kC21t sen t cos e mC21t E2 t 2 2 2 t 2 2m + + desarrollando el binomio al cuadrado, y considerando la relacin de la frecuencia natural w0:,mk2 / 10

,_

y la relacin de la frecuencia angular w:,2 202 la energa mecnica se escribe como:( ) ( ) [ ] ( ) [ ]11]1

+ + t 2 sen t 2 cos 1 e kC21t E20202t 2 2m( ) ( ), t f e kC21t Et 2 2m (6)siendo f(t) la funcin:( ) ( ) [ ] ( ) [ ]. t 2 sen t 2 cos 1 t f20202 + + (7)Si T es el perodo de oscilacin con T = 2p/w, la funcin f(t) es una funcin peridica con perodo T/2.Enlafigura1semuestraalafuncinf(t)paralosvaloresparticularesdemasam=1.0kg, constante de elasticidad k = 1.0 N/m, fase inicial d = 0, constante C = 1.0 m y constante de amortiguamiento b = 0.2 kg/s. 5 10 15 20 25TiempotHsL0.20.40.60.81fHtLFigura 1. Grfica de la funcin f(t) dada en la ecuacin 7.Enlafigura2sepresentalagrficadelafuncinquemultiplicaalaf(t) enlaecuacin6, correspondiente al decaimiento exponencial. 5 10 15 20 25TiempotHsL0.10.20.30.40.5otneimiaceDHmLFigura 2. Grfica de la funcin del tiempo que multiplica a f(t) en la ecuacin 6.En la figura 3 se muestra las grficas de la energa cintica, energa potencial del resorte y la energa mecnica en funcin del tiempo de un movimiento amortiguado, tambin se incluye la lnea de la energa total que es igual a la energa mecnica inicial,[ ] [ ] . 2 sen 2 cos 1 kC21E2020220 m11]1

+ + (8)La diferencia entre la energa mecnica y la energa mecnica inicial es el trabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento. 5 10 15 20 25TiempotHsL0.10.20.30.40.5aigrenEEHJLFigura 3. Grfica delas energas en funcin del tiempo. La lnea gruesa descendente es la energa mecnica, y la ascendente es la energa que se pierde por el amortiguamiento. Las lneas a trazos son las energas potencial (comenzando aproximadamente en 0.5 J) y cintica (comenzando aproximadamente en cero).2.Factor de Calidad Q.El cambioenlaenergamecnicasedebeaquelafuerzadeamortiguamientosiemprees contraria a la direccin del movimiento, por lo que su trabajo en el tiempo es negativo, es decir, igual al cambio en la energa mecnica. En particular, la fraccin de energa mecnica perdida en cada oscilacin permite definir al factor de calidad o simplemente factor Q, de manera que:( )( ).Q2t Et Emm(9)De la ecuacin 6, el cambio en la energa mecnica en un perodo de oscilacin es:( ) ( )( )( ) ( ) t f e kC21T t f e kC21t E T t E Et 2 2 T t 2 2m m m + + + ( )[ ] 1 e t f e kC21ET 2 t 2 2m ( )[ ]; 1 e t E ET 2m m de tal manera que la energa perdida en cada oscilacin depende del tiempo, por lo que se pierde ms energa en las primeras oscilaciones que en las finales.Por otra parte, la fraccin de energa mecnica prdida en cada oscilacin es independiente del tiempo,( )( ), 1 et Et E/ Tmm (10)siendo t una constante de tiempo dada por:.bm21 (11)Combinando las ecuaciones 9 y 10, tenemos en general que el factor de calidad Q toma la forma:.1 e2Q/ T (12)Como e-T/t es menor que 1, tenemos que:; 1 e 1 1 e/ T / T< por lo que en general, el factor de calidad Q es mayor a 2p. De hecho si el amortiguamiento es "grande" (pero el movimiento aun es subamortiguado), la cantidad e-T/t puede ser cercana a cero, por lo que el factor de calidad es aproximadamente igual a 2p.Por otra parte, si el amortiguamiento es pequeo, es decir que elvalor de b es pequeo, la constante de tiempo es grande, por lo que el cociente T/t es una cantidad pequea, de tal forma que la funcin exponencial en la ecuacin 8 se puede aproximar mediante los primeros trminos del desarrollo en serie de Taylor como;T1 e/ T quedando la fraccin de energa perdida por cada oscilacin (ec. 10), como:( )( ).mTb Tt Et Emm (14)De acuerdo a la ecuacin 9, el factor Q, resulta.bmbmT2Q (15)Una constante de amortiguamiento pequea dar un factor Q alto, indicando que la prdida de energa mecnica por cada oscilacin es reducida.Para tratar de dar un sentido a la constante de tiempo t, consideremos a E0(t) igual al producto de los trminos que estn multiplicando a la funcin f(t) en la ecuacin 6,( ) . e kC21t E/ t 20 (16)Esta funcin evaluada en t = 0, toma el valor E0(0) = kC2/2; mientras que evaluada en el tiempo t = t, es:( )1 20e kC21E ( ) ( ), 0 E ) 37 . 0 ( E0 0 es decir que en el tiempo t = t la funcin tiene un 37% del valor inicial. Entonces, el sentido de la constante de tiempo t es que despus de un tiempo t = t, la energa mecnica prcticamentedecaeosepierdeenun63%. Si consideramosel tiempot =5t (laenergamecnicaes prcticamente el 0.67% de la energa inicial), se podra considerar, para propsitos prcticos, que la energa mecnica se ha perdido en su totalidad; sin embargo, se debe tener cuidado pues en estetiempolaamplituddelaoscilacin(verec. 4), aunes el 8.2%delaamplitudinicial, aproximadamente. En todo caso, para el tiempo t = 10t, la amplitud cae hasta el 0.67% de la inicial, mientras que la energa mecnica es el 0.004% de la inicial, y se puede considerar que el sistema se ha detenido.