Optimización de procesos químicos. 2007-2008DIQUIMA-ETSII Lección 2: Formulación del problema de...

Optimización de procesos químicos. 2007-2008 DIQUIMA-ETSII

Lección 2:Formulación del problema

de optimización Variables

La función objetivo

Restricciones de igualdad

Restricciones de desigualdad

Grados de libertad

Formulación del problema


FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN

Función objetivo

Esta es la formulación general del problema

min max

max ( )

. .( ) 0( ) 0

xf x

s th xg xx x x

=

≤

Restricciones igualadad

Variables límite

Restricciones desigualdad

≤ ≤


Variables can be grouped into two categories

“decision” or “optimization” variables

These are the variables in the system that are changed independently to modify the behavior of the system.

dependent variables

whose behavior is determined by the values selected for the independent variables.

DESIGN:

OPERATIONS:

MANAGEMENT:

Although they can be grouped this way to help understanding, thesolution method need not distinguish them. We need to solve a setof equations involving many variables.

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=VARIABLES

min maxx x x

reactor volume, number of trays, heat exch. area, …

temperature, flow, pressure, valve opening, …

feed type, purchase price, sales price, ..

≤ ≤≤

≤ ≤



Some comments on variables

• Typically, we do not define the “decision” and “dependent” variables.

•Since we solve a set of simultaneous equations, all variables are evaluated together.

Exercise: Identify variables in each category.

1

2

3

15

16

17LC-1

LC3

dP-1

dP-2

To flare

T5

T6

TC7

AC1

LAHLAL

PAH

PC-1

P3

FC4

FC7

FC 8

F9

PV-3

T10

L4

T20

LAHLAL

F

30

P20

P23

T45

T44

P21

T

22

P11

P12

T30

T29

VARIABLES

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤



Some comments on variables

We should always place bounds on variables.

Exercise: Why place bounds?

Exercise: Propose bounds for variables in the process.

1

2

3

15

16

17LC-1

LC3

dP-1

dP-2

To flare

T5

T6

TC7

AC1

LAHLAL

PAH

PC-1

P3

FC4

FC7

FC 8

F9

PV-3

T10

L4

T20

LAHLAL

F

30

P20

P23

T45

T44

P21

T22

P11

P12

T30

T29

VARIABLES

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤



FUNCIÓN OBJETIVO

Este es el objetivo, ejemplos:- maximizar beneficio (minimizar coste)- minimizar uso de energía- minimizar los residuos contaminantes - minimizar el material para contruir un depósito

Formularemos la mayoría de los problemas con una función objetivo escalar

Debería representar el efecto total de las variables (x) en el objetivo. Por ejemplo, $/kg no es un buen objetivo a menos que kg esté fijado.Cuando se necesite hay que incluir el valor actualizado del dinero.

max ( )xf x

How should I formulate these? min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤



Algunos comentarios sobre la función objetivo

• Aunque es preferible un objetivo escalar. Muchas veces nos encontramos con múltiples objetivos.

• Tener en cuenta que Max (f) es igual que Min (-f)

- Por tanto, no hay diferencia práctica ni fundamental entre problemas de maximizar y de minimizar. El mismo software y algoritmo resuelve ambos.

• Hay dificultades cuando los modelos nos son muy exactos.

• Algunos aspectos son muy difíciles de modelar (respuesta del mercado a una mejora en la calidad del producto).

• Deseamos una función objetivo “suave”.

FUNCIÓN OBJETIVO

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤



RESTRICCIONES DE IGUALDAD. .

( ) 0

s t

h x =

Esta expresión limita los valores posibles de x. Definen laRegión factible (feasible region)

Algunas restricciones de igualdad: - materia, energía, fuerza, … - equilibrio - decisiones de ingeniería ( F1 - .5 F2 = 0 ) - valores impuestos por el control set point temp = 231

BALANCES

Por convenio se escriben estas ecuaciones con un cero en la derecha de la igualdad (zero rhs –right hand side-)

Puede haber múltiples restricciones de igualdad, así que h(x) es un vector.

For example?

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤



1. Define Objetivos

2. Prepara información

3. Formula el modelo

4. Determina la solución

5. Analiza Resultados

6. Valida el modelo

• ¿Qué decisión?• ¿Qué variable?• Localización

• Dibuja el proceso• Recopila los datos• Declara las suposiciones• Define el sistema

What type of equations do we use first?

Conservation balances for key variable

How many equations do we need?

Degrees of freedom = NV - NE = 0

What after conservation balances?

Constitutive equations, e.g.,

Q = h A (T)

rA = k 0 e -E/RT

Normalmente la solución y la optimización se determinan simultáneamente

RESTRICCIONES DE IGUALDAD

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤

Balance: Component Material

masscomponent

of generation

out mass

component

in mass

component

masscomponent

of onAccumulati

Energy

sW-Q

out KE PE Hin KE PE HKE PE U

onAccumulati



Algunos comentario sobre las restricciones de igualdad

• Los balances se deben de cumplir estrictamente. Si no lo especificamos así, el optimizador encontrará como ¡crear masa y energía!

• Las restricciones pueden tener índices. Por ejemplo, el índice puede ser la localización de un plato.

Estas dos formulaciones son equivalentesjallforxh

jxh

ij

ij

0)(

0)(




Algunos comentarios sobre las restricciones de igualdad

• Los balances se pueden aplicar sobre diferentes entidades:- materia- tiempo- cajas en un almacén- gente trabajando en una unidad de una planta

• Los modelos pueden cambiar. Por ejemplo, un cambiador puede tener una o dos fases según el resultado de la optimización.

Esto complica la resolución de la optimización.

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤




RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD. .

( ) 0

s t

g x ≤

Son límites al sistema en una dirección:

- máxima inversión disponible - máximo flujo admisible por la bomba - mínimo caudal líquido en un determinado plato - mínima generación de vapor en una caldera - máxima presión de un depósito

Hay que tener cuidado en no definir un problema de forma incorrecta y que no tenga región factible.

Multiplicando por (-1) podemos cambiar el signo de la desigualdad,así que ambas restricciones están contempladas.

¿Por ejemplo?

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤



GRADOS DE LIBERTAD

La siguiente relación determina el número de grados de libertad (DOF)

DOF = (# variables) - (# ecuaciones)

# variables =

# ecuaciones=

¿Cómo deben ser los valores de los grados de libertad para Optimización?

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤



Normalmente se piensa el problema de optimización como teniendo:

#Opt Var = # var - #equality constr.

En dos dimensiones el gráfico queda:

Opt Var1

Opt

Var

2

feasibleregion

GRADOS DE LIBERTAD (DOF)

min max

max ( )

. .

( ) 0

( ) 0

xf x

s t

h x

g x

x x x

=

≤

≤ ≤



Opt

Var

2Opt Var1Opt Var1

Opt

Var

2

Caso A Caso B

Podemos dibujar la función objetivo como contornos.




This is a typical feasible region for a CSTR with reaction

A B

with reactant and coolant adjusted.

Explain the shape of the feasible region.

From Marlin, Process Control, McGraw-Hill, New York, 1995

T

A

Reactant

Solvent

Coolant




The feasible region depends on the degrees of freedom, i.e., the number of variables that are adjusted independently.

We revisit the CSTR, but only the coolant flow can be adjusted.

What is different?

T

A

Reactant

Solvent

Coolant

From Marlin, Process Control, McGraw-Hill, New York, 1995





¿Cómo seleccionamos el sistema para nuestra optimización?

maxmin

0)(

0)(

..

)(max

xxx

xg

xh

ts

xfx



How do we define a scalar that represents performance, including

• Economics

• Safety

• Product quality

• Product rates (contracts!)

• Flexibility

• …...

maxmin

0)(

0)(

..

)(max

xxx

xg

xh

ts

xfx




Cómo de exacto debe ser el modelo del sistema físico?

• Macroscopico

• 1,2 3, dimensiones espaciales

• Dinámico o estado estacionario

• Propiesdades físicas

• Ecs. Constitutivas (U(f), k0e-E/RT, ..

maxmin

0)(

0)(

..

)(max

xxx

xg

xh

ts

xfx




Cuáles son los límites a las posibles soluciones?

• Seguridad

• Calidad del producto

• Daños de equipos

• Operación de equipos

• Consideraciones legales/éticas

maxmin

0)(

0)(

..

)(max

xxx

xg

xh

ts

xfx




Factoid: Many process simulations and optimizations have a large number of variables and constraints. Why?

• Entire model is repeated for many locations, e.g., trays in a tower.

• Model repeated for many components in a stream.

• Model repeated for many times in a dynamic system

maxmin

0)(

0)(

..

)(max

xxx

xg

xh

ts

xfx




We use the term “tractable” to describe whether we can

1. Solve the mathematical optimization problem

2. Achieve desired accuracy in the “Real World”

- This prevents us from using a useless, simple model

3. Calculate the solution in an acceptable time. The allowable time depends on the problem.




Very accurate over wide range of conditions

Longer computing

More complex

Less accurate over a narrow range of conditions

Shorter computing

Less complex

The engineer must select the appropriate balance for each problem. The problem must be tractable. Intractable problems have to be reformulated.




Decisions to be made

modelSolver method and software

Solution

Does the formulation and solution method support the solution?

Not known with certainty

• Structure of equations

• Parameter values

“The truth”

• Measurement error

• Disturbances

Uncertainty: We must recognize uncertainty in our methods and estimate bounds of the effects of out solutions.




Optimization Formulation: Workshop #1

FORMULATING THE OPTIMIZATION PROBLEM

We want to schedule the production in two plants, A and B, each of which can manufacture two products: 1 and 2. How should the scheduling take place to maximize profits while meeting the market requirements based on the following data:

How many days per year should each plant operate processing each kind of material?

Material processed (kg/day)

Profit(€/kg)

Plant 1 2 1 2

A MA1 MA2 SA1 SA2

B MB1 MB2 SB1 SB2





Suppose the flow rates entering and leaving a process are measures periodically. Determine the best value for stream A in kg/h for the process shown from the three hourly measurements indicated of B and C in the figure, assuming steady-state operation at a fixed operating point.

Material reconciliation

(a) 11.1kg/h

(b) 10.8kg/h

(c) 11.4kg/h

(a) 92.4kg/h

(b) 94.3kg/h

(c) 93.8kg/h

A

C

Bplant





Consider the process diagram of the figure where each product (E,F,G) requires different amounts of reactants according to the table shown in the next slide.

The table below show the maxium amount of reactant available per day as well as the cost per kg.

Material flows allocation

A

B

C

E

F

G

Raw material

Maximum available (kg/day)

Cost (€/kg)

A 40000 1.5

B 30000 2.0

C 25000 2.5

1

2

3



Process

Product

Reactants requirements (kg/kg product)

Processing cost (product) (€/kg)

Selling price (product) (€/kg)

1 E 2/3A,1/3B 1.5 4.0

2 F 2/3A,1/3B 0.5 3.3

3 G 1/2A,1/6B,1/3C 1.0 3.8

Formulate the optimization problem. The objective function is to maximize the total operating profit per day in units of €/day

Optimization Formulation: Workshop #3 (cont’d)




Hallar la relación óptima (L/D) para la construcción de un depósito de modo que se minimicen los costes.

Suposiciones:

•Los extremos son planos

•Las paredes tienen un espesor constante, x. La densidad es ρ.

•El espesor es independiente de la presión

•El coste de fabricación de los extremos y del cilindro es el mismo (€/kg fabricado)

•No se desperdicia nada de material durante la fabricación del depósito.


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