Optimizacion con restricciones de igualdad1. Formulacin del problemaSea:: n diferenciablegi: n i = 1m diferenciablesb1bm Un problema de optimizacin con restricciones de igualdad se formula:

Ejemplo y representacin grfica (n=2, m=1)

Nota:1. Las restricciones de tipo igualdad no establecen fronteras al conjunto de lassoluciones factibles del programa, sino que reducen las dimensiones del espacio donde el programa est definido.2. Los ptimos que obtendremos sern dbiles en el sentido de que una pequea variacin en las restricciones har que dejen de ser ptimos. Por este motivo los llamaremosptimos condicionados o restringidos.2. Resolucin de un problema de optimizacin con restricciones de igualdadMtodos:i. Resolucin grfica, por curvas de nivelii. Eliminacin o sustitucin de variablesiii. Mtodo de Lagrangei. Resolucin grfica por curvas de nivelSiempre que sea posible ser muy cmodo dibujar lascurvas de nivel.Se trata de determinar el punto de la restriccin por el que pasa la curva de nivel ms baja.ii. Eliminacin o sustitucin de variablesEjemplo: es equivalente aLafuncin objetivoes ahora una funcin con una variable menos:

Por tanto,

Entonces,esmnimo restringido o condicionado.iii. Mtodo de LagrangeEl mtodo consiste en convertir elproblema con restricciones de igualdaden uno deptimos libres, gracias a la incorporacin de las restricciones a la funcin objetivo. Distinguimos dos casos:1. Caso de una nica restriccin2. Caso de ms de una restriccinEn ambos casos, se construye una funcin, llamada funcin de Lagrange, y se determina qu puntos cumplen lacondicin necesariapara ser ptimos del problema y, posteriormente, se estudia si sonmximosomnimosanalizando el cumplimiento de lacondicin suficiente.Ejemplos de aplicacin: Verejemplo 1 Verejemplo 2Ver interpretacin de los multiplicadores de Lagrangeiii.1 Caso de una nica restriccinse sustituye porsiendola denominadafuncin de Lagrangeque tiene una variable ms,, que recibe el nombre demultiplicador de Lagrange.Observamos que cuando se satisface la restriccinse cumple que Verejemplo 1 Verejemplo 2Condicin necesaria(Caso m = 1)

Verejemplo 1 Verejemplo 2Condicin suficienteSea un puntoque cumple lacondicin necesaria; es decir:tqentonces, si denotamos como HxLla hessiana de la funcin de Lagrange enrespecto de las variables iniciales (no respecto ) tenemos:definida positivaesmnimo condicionado o restringidodefinida negativaesmximo condicionado o restringidoen otro caso: tal que> 0es mnimo condicionado< 0es mximo condicionado Verejemplo 1 Verejemplo 2iii.2 Caso de ms de una restriccin:

La funcinLse llamafuncin de Lagrangey los,multiplicadores de Lagrange.Observamos que se aade un multiplicadorpor cada restriccin y que cuando se satisfacen todas se cumple queEjemplo de aplicacin 1

Condicin necesaria:

(*)=(*)Observemos que la condicinequivale a pedir que se satisfaga la restriccin.Resolvemos:

Obtenemos:

Condicin suficiente:definida positivaResultado:es unmnimo condicionado o restringidoEjemplo de aplicacin 2

Condicin necesaria:

Por lo tanto resolvemos:Y obtenemos:x = , y= =Condicin suficiente:indefinidaVeamos qu sucede exactamente sobre la restriccin.

Por tanto, como se comprueba en el grfico, para mantenernos encima de la restriccin es necesario

Entonces,Resultado:mximo condicionado o restringidoInterpretacin de losmultiplicadores de LagrangeDado un problema con restricciones de igualdad:

Si se modifica un poco, cambiar tambin el puntoptimoy, en consecuencia, elvalor ptimo.As se entiende que el valor ptimo de un problema es funcin de cada. Pues bien, la derivada de esta funcin respecto dees justamente. De aqu se deduce la siguiente frmula:

que tambin se puede escribir comoNOTA:Todo esto es cierto para, es decir, cuando se trata de pequeas variaciones deque no afectan al status del problema.

Mtodo de las direcciones factibles. Para resolver maximizar z=f(x) S.A. Ax b, x 0: Elegir x0 solucin factible. Sea d0 solucin de maximizar z= f(x0)d S.A. Ad b, d 0 Elegir x1=x0+t0(d0-x0) siendo t0 la solucin de maximizar f(x0+t0(d0-x0)), 0 t0 1 Continuar generando puntos x2,x3,... hasta que xk y xk-1 estn suficientemente prximos.Condiciones de Kuhn-Tucker.Maximizar f(x1,x2,...,xn)S.A. g1(x1,x2,...,xn) b1g2(x1,x2,...,xn) b2...gm(x1,x2,...,xn) bm Slo son aplicables si las funciones gi satisfacen la condicin de regularidad: Restricciones linealmente independientes: continuas y los gradientes en la solucin ptima forman un sistema de vectores linealmente independienteCondiciones de Kuhn-Tucker. Para un problema de maximizacin, si x*=(x*1,...,x*n) es una solucin ptima entonces x* debe satisfacer las resticciones del problema y adems deben existir los multiplicadores 1,2,...,m tales que

Para un problema de minimizacin, si x*=(x*1,...,x*n) es una solucin ptima entonces x* debe satisfacer las resticciones del problema y adems deben existir los multiplicadores 1,2,...,m tales que

Condiciones de Kuhn-Tucker. Maximizar f(x1,x2,...,xn)S.A. gi(x1,x2,...,xn) bi, i=1,...,mxj 0, j=1,...,n Si x*=(x*1,...,x*n) es una solucin ptima del problema anterior entonces x* debe satisfacer las restricciones del problema y adems deben existir los multiplicadores 1,2,...,m, 1,2,.n tales que

Minimizar f(x1,x2,...,xn)S.A. gi(x1,x2,...,xn) bi, i=1,...,mxj 0, j=1,...,n Si x*=(x*1,...,x*n) es una solucin ptima del problema anterior entonces x* debe satisfacer las restricciones del problema y adems deben existir los multiplicadores 1,2,...,m, 1,2,. n tales que

OPTIMIZACIN LINEALMENTE RESTRINGIDALos problemas de optimizacin linealmente restringida se caracterizan por restricciones que se ajustan por completo a la programacin lineal, de manera quetodaslas funciones de restriccing(x) son lineales, pero la funcin objetivo es no lineal. El problema se simplifica mucho si slo se tiene que tomar en cuenta una funcin no lineal junto con una regin factible de programacin lineal. Se han desarrollado varios algoritmos especiales basados en unaextensindel mtodo smplex para analizar la funcin objetivo no lineal.Un caso especial importante descrito a continuacin es la programacin cuadrtica.PROGRAMACIN CUADRTICADe nuevo los problemas deprogramacin cuadrticatienen restricciones lineales, pero ahora la funcin objetivo /(x) debe sercuadrtica.Entonces, la nica diferencia entre stos y unproblema de programacin lineal es que algunos trminos de la funcin objetivo incluyen elcuadradode una variable o elproductode dos variables.PROGRAMACIN CONVEXALaprogramacin convexaabarca una amplia clase de problemas, entre ellos como casos especiales, estn todos los tipos anteriores cuando /(x) es cncava. Las suposiciones son1. f(x) es cncava.2. Cada una de las g(x) es convexa.PROGRAMACIN SEPARABLELaprogramacin separablees un caso especial de programacin convexa, en donde la suposicin adicional esTodas las funciones f(x) yg(x)son funciones separables.Una funcin separable es una funcin en la quecada trminoincluyeuna sola variable, por lo que la funcin se puedesepararen una suma de funciones de variables individuales. Por ejemplo, si f(x) es una funcin separable, se puede expresar como

son cada tina funciones de una sola variable x1 y x2, respectivamente. Usando el mismo razonamiento, se puede verificar que la funcin considerada en la figura 13.7 tambin es una funcin separable.Es importante distinguir estos problemas de otros de programacin convexa, pues cualquier problema de programacin separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno de programacin lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente mtodo smplex.

son cada tina funciones de una sola variable x1 y x2, respectivamente. Usando el mismo razonamiento, se puede verificar que la funcin considerada en la figura 13.7 tambin es una funcin separable.Es importante distinguir estos problemas de otros de programacin convexa, pues cualquier problema de programacin separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno de programacin lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente mtodo smplex.PROGRAMACIN NO CONVEXALaprogramacin no convexaincluye todos los problemas de programacin no lineal que no satisfacen las suposiciones de programacin convexa. En este caso, aun cuando se tenga xito en encontrar unmximo local, no hay garanta de que sea tambin unmximo global.Por lo tanto, no se tiene un algoritmo que garantice encontrar una solucin ptima para todos estos problemas; pero s existen algunos algoritmos bastante adecuados para encontrarmximos locales, en especial cuando las formas de las funciones no lineales no se desvan demasiado de aquellas que se supusieron para programacin convexa. En la seccin 13.10 se presenta uno de estos algoritmos.Ciertos tipos especficos de problemas de programacin no convexa se pueden resolver sin mucha dificultad mediante mtodos especiales. Dos de ellos, de gran importancia, se presentarn ms adelante.PROGRAMACIN GEOMTRICACuando se aplica programacin no lineal a problemas de diseo de ingeniera, muchas veces la funcin objetivo y las funciones de restriccin toman la formaEn tales casos, lasciy aty representan las constantes fsicas y lasx}son las variables de diseo. Estas funciones por lo general no son ni cncavas ni convexas, por lo que las tcnicas de programacin convexa no se pueden aplicar directamente a estos problemas deprogramacingeo- mtrica.Sin embargo, existe un caso importante en el que el problema se puede transformar en un problema de programacin convexa equivalente. Este caso es aquel en el quetodoslos coeficientescen cada funcin son estrictamente positivos, es decir, las funciones sonpolinomios positivos generalizados(ahora llamados posinomiales), y la funcin objetivo se tiene que minimizar. El problema equivalente de programacin convexa con variables de decisin yx,y2,, ynse obtiene entonces al establecer

en todo el modelo original. Ahora se puede aplicar un algoritmo de programacin convexa. Se ha desarrollado otro procedimiento de solucin para resolver estos problemasde programacin posinomial,al igual que para problemas de programacin geomtrica de otros tipos.1PROGRAMACIN FRACCIONALSuponga que la funcin objetivo se encuentra en la forma de unafraccin,esto es, la razn o cociente de dos funciones,

Estos problemas deprogramacin fraccionalsurgen, por ejemplo, cuando se maximiza la razn de la produccin entre las horas-hombre empleadas (productividad), o la ganancia entre el capital invertido (tasa de rendimiento), o el valor esperado dividido entre la desviacin estndar de alguna medida de desempeo para una cartera de inversiones (rendimiento/riesgo). Se han formulado algunos procedimientos de solucin especiales1para ciertas formas de f1(x) y f2 (x)Cuando se puede hacer, el enfoque ms directo para resolver un problema de programacin fraccional es transformarlo en un problema equivalente de algn tipo estndar que disponga de un procedimiento eficiente. Para ilustrar esto, suponga quef(x)es de la forma deprogramacin fraccional linealdondecydson vectores rengln,xes un vector columna yc0ydQson escalares. Tambin suponga que las funciones de restriccing(x)son lineales, es decir, las restricciones en forma matricial sonAx < byx > 0.Con algunas suposiciones dbiles adicionales, el problema se puede transformar en un problema equivalente deprogramacin linealsi se estableceque se puede resolver con el mtodo smplex. En trminos generales, se puede usar el mismo tipo de transformacin para convertir un problema de programacin fraccional con/(x)cncava,f2(x)convexa yg(x)convexas, en un problema equivalente de programacin convexa.

Mtodo de penalizacinPara aproximar la solucin de un problema de optimizacin no lineal del tipo:Optimizar f(x1,x2,...,xn) sujeto a gi (x1,...,xn)=bi, i=1,...,m se considera la solucin del problema sin restriccionesOptimizar f(x)+P(p,x) donde

con p>0 si el problema es minimizar y p