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El Problema del Transporte TC3001 - p. 1/25

Optimización y Programación Lineal

El Problema del TransporteDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionEjemplo 1FormulacionModelacionGraficaTableauLINGOComentariosEjemplo 2Ejemplo 3TransbordoConversionEjemplo 4


Introducción

Veamos ahora el problema del transporte, cuál essu formulación general y cómo se resuelvemediante LINGO.



Ejemplo 1

PowerCo tiene tres plantas de generación de energía eléctrica quesuministran energía a cuatro ciudades. Cada planta puedesuministrar una cierta cantidad límite y cada ciudad tiene una ciertademanda máxima conocida la cual debe satisfacerse. Los costospara enviar la energía de cada planta a cada ciudad así como lasdemandas y capacidades de suministro se dan en la siguientetabla.

HACIA (Costo en dólares por enviar 1 millón de kwh) OFERTA

DESDE Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 (En millones de kwh)

Planta 1 8 6 10 9 35

Planta 2 9 12 13 7 50

Planta 3 14 9 16 5 40

DEMANDA 45 20 30 30

(En millones de kwh)

Formule un modelo de PL que minimice el costo del envio y que

satisfaga la demanda máxima de energía en cada ciudad.


La solución se obtiene indicando cuánto debe enviarse de cada planta a cadaciudad, por ello es que las variables de decisión son:

xij = El número de millones de khw enviados de la planta i a la ciudad j



Planta 1 8 6 10 9 35

Planta 2 9 12 13 7 50

Planta 3 14 9 16 5 40

DEMANDA 45 20 30 30


La función a minimizar es la función de costo total del envio de energía eléctrica:

z = 8x11 + 6x12 + 10x13 + 9x14 (Costo de enviar energía de la planta 1)

+9x21 + 12x22 + 13x23 + 7x24 (Costo de enviar energía de la planta 2)

+14x31 + 9x32 + 16x33 + 5x34 (Costo de enviar energía de la planta 3)




Planta 1 8 6 10 9 35

Planta 2 9 12 13 7 50

Planta 3 14 9 16 5 40

DEMANDA 45 20 30 30


Las restricciones son de dos tipos: las relativas a la capacidad de cada planta y lasrelativas al cumplimiento mínimo de la demanda máxima en cada ciudad:■ Capacidad de la planta 1: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35

■ Capacidad de la planta 2: x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50

■ Capacidad de la planta 3: x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40

■ Demanda en la ciudad 1: x11 + x21 + x31 ≥ 45




Y las restricciones de signo xij ≥ 0.



Formulación del Problema del Transporte

El problema del transporte en general se especifica mediante lasiguiente información:1. Un conjunto de m puntos de oferta desde los cuales se envian

utilidades o bienes.

2. Una lista de capacidades de suministro máximo de cada sitio deoferta si para i = 1, 2, . . . ,m.

3. Un conjunto de n puntos de demanda hacia los cuales se enviauna utilidad o bien.

4. Una lista de demandas de utilidades o bienes dj de cada puntode demanda j las cuales deben satisfacerse mínimamente.

5. Una matriz de valores que indica el costo fijo en el que se incurreal enviar una unidad producida en el punto de oferta i y enviada alpunto de demanda j, cij .



Modelación del Problema del Transporte

Si xij es el total de unidades producidas y enviadas del punto deoferta i al punto de demanda j, entonces, el planteamiento delproblema de transporte es:

Minimizarm∑

i=1

n∑

j=1

cijxij

sujeto a■ Satisfacer la solicitud de bienes de cada punto de demanda:

∀j = 1, 2, . . . , n :

m∑

i=1

xij ≥ dj

■ No exceder las capacidades de cada punto de oferta:

∀i = 1, 2, . . . ,m :

n∑

j=1

xij ≤ si

■ Restricciones naturales: xij ≥ 0 (Total de n×m restricciones).



Representación gráfica

City 1

City 2

City 3

City 4

Plant 1

Plant 2

Plant 3

d1

d2

d3

d4

s1

s2

s3



Tableau

s1

s2

...

sm

d1 d2 . . . dn

. . .

. . .

. . .

......

...

c11

c21

cm1

c12

c22

cm2

c1n

c2n

cmn

x11 x12

x21 x22

Sum

inis

tros

Demandas



Código LINGO del ejemplo 1model:

sets:

! Indice para el suministro. Se usara i como variable indice de suministro;! s = vector de datos con capacidades por suministro;

m /1..3/:s;! Indice para los puntos de demanda. Se usara j como variable indice de punto de demanda;! d = vector de datos con demandas;

n /1..4/:d;! c = matriz (m x n) con los datos de costos de envio desde suministro i al punto de demanda j;! x = matriz (m x n) con las variables de decisión, x(i,j) tendrá numero de unidades enviadas desde el suministro i al puntode demanda j;

links (m,n): x, c;endsets

data:

! Capacidad de cada punto de suministro;s = 35, 50, 40;

! Cantidad solicitada en cada punto de demanda;d = 45, 20, 30, 30;

! Matriz de costos ;c = 8, 6, 10, 9,

9, 12, 13, 7,14, 9, 16, 5;

enddata

! Objetivo: Minimizar el costo total del envio;min = @sum( m(i): @sum( n(j): c(i,j)*x(i,j)) );! Familia de restricciones 1: Para cada suministro i, la cantidad total de salida no debe exceder su capacidad;@for(m(i):

@sum( n(j): x(i,j) ) <= s(i));! Familia de restricciones 2: Para cada punto de demanda j, la cantidad de ingreso no debe se menor que la demanda;@for(n(j):

@sum( m(i): x(i,j) ) >= d(j));end



model:

sets:

m /1..3/:s;n /1..4/:d;links (m,n): x, c;endsets

data:

s=@FILE(’C:/Usuarios/uresti/cursos/tc3001/lecturas/red70101s.tex’);d=@FILE(’C:/Usuarios/uresti/cursos/tc3001/lecturas/red70101d.tex’);c=@FILE(’C:/Usuarios/uresti/cursos/tc3001/lecturas/red70101c.tex’);enddata

min = @sum(links:c*x);@for(m(i): @sum(n(j):x(i,j)) <= s(i) );@for(n(j): @sum(m(i):x(i,j)) >= d(j) );end

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Comentarios

■ Cuando la suma total de las demandas es igual a la suma totalde las capacidades de suministros se dice que es un problemade transporte balanceado.

■ Existen técnicas específicas para generar una solución básicafactible en el caso balanceado y por ello es que se balanceaartificialmente el problema:◆ Cuando la oferta excede la demanda se introduce un punto de

demanda ficticio (dummy demand point).◆ Cuando la demanda excede la oferta no hay solución básica

factible. En este caso se introducen castigos por no cumplirciertas demandas y la función objetivo incluye tales castigos.

■ Entre las técnicas para encontrar una SBF en el casobalanceado están:◆ El método de la Esquina Noroeste◆ El método de Vogel◆ El método de Mínimo CostoPero nosotros le dejaremos el trabajo a LINDO o a LINGO.



Ejemplo 2

Hay dos presas que suministran agua a tres ciudades. Cada presapuede suministrar hasta 50 millones de galones de agua por día.Cada ciudad quisiera recibir 40 millones de galones de agua pordía. Por cada millón de galones de demanda diaria no cumplida hayuna multa. En la ciudad 1, la multa es de 20 dólares; en la ciudad 2,la multa es de 22 dólares; y en la ciudad 3, la multa es de 23dólares. En la tabla se muestran los costos de enviar un millón degalones de cada presa a cada ciudad. Formule y resuelva unmodelo de transporte balanceado que se pueda usar paraminimizar los costos de escasez y transporte.

HACIA

DESDE Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3

Presa 1 7 8 10

Presa 2 9 7 8



HACIA

DESDE Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3

Presa 1 7 8 10

Presa 2 9 7 8

Escasez = Demanda Total − Oferta Total =∑

di −∑

sj = 120− 100 = 20

50Presa 1

50Presa 2

20Escasez

Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Oferta

40 40 40

7

9

20

8

7

22

10

8

23



Código LINGO para el ejemplo 2:model:

sets:

m /1..3/:s;n /1..3/:d;links (m,n): x, c;

endsets

data:

s = 50, 50, 20;d = 40, 40, 40;c = 7, 8, 10,

9, 7, 8,20, 22, 23;

enddata

min = @sum( m(i): @sum( n(j): c(i,j)*x(i,j)) );@for(m(i): @sum( n(j): x(i,j) ) <= s(i) );@for(n(j): @sum( m(i): x(i,j) ) >= d(j) );

end



Soluci on al Problema de las Presas

Se deben enviar los siguientes millones de galones de agua decada presa a cada ciudada:

50Presa 1 20 30 0

50Presa 2 0 10 40

20Escasez 20 0 0

Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Oferta

40 40 40

7

9

20

8

7

22

10

8

23



Ejemplo 3

SailCo tiene qué determinar cuántos veleros hay que producir en

cada uno de los cuatro trimestres del año. La demanda de veleros

en cada uno de ellos es conocida: 40, 60, 75 y 25 veleros en cada

uno de los semestres. La empresa tiene que cumplir con tales

demandas. Al principio tiene un inventario de 10 veleros. La

compañía decide al principio de cada trimestre cuántos veleros hay

que producir en él. Suponga que los veleros construidos durante un

trimestre pueden ser utilizados para cubrir la demanda en el mismo

trimestre. La compañía puede producir 40 veleros en tiempo normal

de trabajo a un costo de 400 dólares el velero y puede producir

hasta 20 veleros adicionales utilizando tiempo extra a un costo de

600 dólares cada velero. Al final de cada trimestre se presentan

costos de menejo de inventario por 20 dólares por cada velero.

Formule y resuelva un modelo de transporte balanceado que se

pueda usar para minimizar los costos de producción y manejo de

inventario durante los 4 trimestres próximos.



Puntos de oferta Puntos de demanda

Punto 1 Inventario inicial (s1 = 10) Punto 1 Demanda trimestre 1 (d1 = 40)

Punto 2 Prod regular trim 1 (s2 = 40) Punto 2 Demanda trimestre 2 (d2 = 60)

Punto 3 Prod extra trim 1 (s3 = 20) Punto 3 Demanda trimestre 3 (d3 = 75)

Punto 4 Prod regular trim 2 (s4 = 40) Punto 4 Demanda trimestre 4 (d4 = 25)

Punto 5 Prod extra trim 2 (s5 = 20)

Punto 6 Prod regular trim 3 (s6 = 40)


Punto 8 Prod regular trim 4 (s8 = 40)




Consumidor

Fuentes T1 T2 T3 T4 Oferta

Stock 10

PR1 40

PE1 20

PR2 M 40

PE2 M 20

PR3 M M 40

PE3 M M 20

PR4 M M M 40

PE4 M M M 20

Demandas 40 60 75 25



model:sets:m /1..9/:s;n /1..4/:d;links (m,n): x, c;endsetsdata:s = 10, 40, 20, 40, 20, 40, 20, 40, 20;d = 40, 60, 75, 25;c =! Costos del inventario inicial;0, 20, 40, 60,! Costos del trimestre 1;400, 420, 440, 460,600, 620, 640, 6600,! Costos del trimestre 2;10000, 400, 420, 440,10000, 600, 620, 640,! Costos del trimestre 3;10000, 10000, 400, 420,10000, 10000, 600, 620,! Costos del trimestre 4;10000, 10000, 10000, 400,10000, 10000, 10000, 600;enddatamin = @sum(links:c*x);@for(m(i): @sum(n(j):x(i,j)) <= s(i) );@for(n(j): @sum(m(i):x(i,j)) >= d(j) );

end



Consumidor

Fuentes T1 T2 T3 T4 Oferta

Stock 0 0 10 0 10

PR1 40 0 0 0 40

PE1 0 0 5 0 5

PR2 0 40 0 0 40

PE2 0 20 0 0 20

PR3 0 0 40 0 40

PE3 0 0 20 0 20

PR4 0 0 0 25 25

PE4 0 0 0 0 0

Demandas 40 60 75 25



Transbordo

Mientras que en el problema del transporte se tienen envíos quevan directamente desde un punto de oferta a un punto de demanda,en el Problema del Transbordo existen puntos intermedios (puntosde transbordo) donde se pueden recibir bienes para ser enviados apuntos de demanda. En su formalización hay tres tipos de puntos:■ Puntos de oferta. Son puntos que pueden enviar bienes hacia

otro punto pero no se pueden recibir bienes.

■ Puntos de demanda. Son puntos donde se reciben bienes perono tienen forma de enviarlos.

■ Puntos de transbordo. Son puntos donde se pueden recibir yenviar bienes.



Conversión a un problema de Transporte

Los problemas de transbordo pueden ser convertidos en problemasde transporte de la siguiente manera. Sea s =

∑n

i=1si la oferta

total disponible y d =∑n

j=1dj la demanda total.

1. Si s > d, añada un punto de demanda ficticio con una oferta 0 ycon una demanda s− d. El costo de enviar un bien desdecualquier punto de oferta a este nodo ficticio será cero.

2. Construya el cuadro de transporte de la siguiente manera.Tendrá un renglón por cada punto de oferta y de transbordo. Encada punto de oferta tendrá una oferta igual a la oferta original,mientras que cada punto de transbordo tendrá una oferta queserá la suma de su oferta inicial más s. Tendrá una columna porcada punto de demanda y por cada punto de transbordo. Encada punto de demanda, la demanda será igual a la demandaoriginal y en cada punto de transbordo la demanda será igual ala suma de la demanda original y s. Note que se tiene laposibilidad que en los puntos de transbordo exista una oferta ouna demanda.



Ejemplo 4

WidgetCo produce dispositivos mecánicos en dos fábricas; una enMemphis y otro en Denver. La fábricas de Memphis puede producirhasta 150 dispositivos mientras que la de Denver hasta 200. Losdispositivos se envían en avión hasta sus clientes que están en LosÁngeles y en Boston. Los clientes en cada ciudad requieren 130dispositivos. Debido a la falta de reglamentación en las tarifasaéreas, WidgetCo cree que es más barato enviar algunosdispositivos a Nueva York o a Chicago, para después enviarlos asus destinos finales. Los costos de envio de cada dispositivo estánen la siguiente tabla. Plantee y resuelva un modelo para WidgetCo

de manera que se minimice el costo total de enviar los dispositivosrequeridos a sus clientes.

HACIA (Costo en dólares por enviar 1 dispositivo)

DESDE NY Chicago Los Ángeles Boston

Memphis 8 13 25 28

Denver 15 12 26 26

NY 0 6 16 17

Chicago 6 0 14 16


s = sMen + sChi = 150 + 200 = 350

d = dLA + dBos = 130 + 130 = 260

Como s > d, se crea nodo de demanda ficticio.

Memphis

Denver

NY

Chicago

NY Chicago LA Boston Ficticia


s = sMen + sChi = 150 + 200 = 350

d = dLA + dBos = 130 + 130 = 260


Memphis

Denver

NY

Chicago

NY Chicago LA Boston Ficticia Oferta

Demanda

150

200

350

350

350 350 130 130 90


s = sMen + sChi = 150 + 200 = 350

d = dLA + dBos = 130 + 130 = 260


Memphis

Denver

NY

Chicago

NY Chicago LA Boston Ficticia Oferta

Demanda

150

200

350

350

350 350 130 130 90

8 13 25 28 0

15 12 26 26 0

0 6 16 17 0

6 0 14 16 0

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