ESCUELA NAUTICA MERCANTE DE TAMPICO

CAP. ALT. LUIS GONZAGA PRIEGO GONZALEZ

MATERIA: ALGEBRA

ING. SERGIO VAZQUEZ

TEMA: OPERACIONES ELEMENTALES DE RENGLON

ALUMNA: RIVEROS RAMON PATRICIA G.

OPERACIONES ELEMENTALES DE RENGLON

A continuación, describamos el procedimiento a través del cual cualquier matriz puede ser reducida a una matriz en forma escalonada por renglones. Las operaciones permisibles, denominadas operaciones elementales de renglón, corresponden a aquellas que podemos efectuar en un sistema de ecuaciones lineales para transformarlo en un equivalente.

En una matriz se pueden efectuar las siguientes operaciones elementales de renglón:

El intercambio de dos renglones. La multiplicación de un renglón por una constante distinta a cero. La adición de un múltiplo de un renglón a otro renglón.

Observe que la división de un renglón entre una constante distinta a cera esta implícita en a definición anterior puesto que, por ejemplo, la división de un renglón entre 2 es lo mismo que la multiplicación que el factor 1/2. De manera similar, la resta de un múltiplo de un renglón a otro renglón es lo mismo que la adición de un múltiplo negativo de un renglón a otro.

Utilizaremos la siguiente notación abreviada para las tres operaciones elementales de renglón:

El proceso de aplicar operaciones elementales de renglón para llevar a una matriz a la forma escalonada, denominado reducción por renglones, se usa para reducir a una matriz a la forma escalonada.

Reduzca la matriz siguiente a la forma escalonada por renglones:

Solución: trabajaremos columna por columna, de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. La estrategia es crear una entrada principal en una columna y luego utilizarla para crear ceros por debajo de ella. La entrada seleccionada para llegar a ser una entrada principal se conoce como pivote, por lo cual esta fase del proceso se denomina pivoteo. Aunque no es estrictamente necesario, a menudo es conveniente emplear la segunda operación elemental de renglón para hacer de cada entrada principal un 1.

Comencemos introduciendo ceros en la primera columna abajo del 1 principal en el primer renglón:

La primera columna ahora está como la queremos, de modo que el siguiente paso es hacer una entrada principal en el segundo renglón para intentar obtener el patrón de escalera de la forma escalonada. En este caso lo llevaremos a cabo por medio del intercambio de renglones. (También, podríamos sumar el renglón 3 o el renglón 4 al renglón 2).

Esta vez, el pivote es -1. A continuación, creamos un cero en la parte inferior de la columna 2, usando la entrada principal – 1 en el renglón 2:

La columna 2 esta lista. Debido a que ya tenemos una entrada principal en la columna 3, solo pivoteamos sobre la 8 para introducir un cero debajo del. Esta operación es más fácil si dividimos primero el renglón 3 entre 8:

Luego, empleamos el 1 principal en el renglón 3 para tener un cero debajo del mismo:

Con este paso final, hemos reducido nuestra matriz a la forma escalonada.

Observaciones

La forma escalonada por renglones de una matriz o es única ( encuentre una forma escalonada por renglones diferente para la matriz del ejemplo).

La entrada principal en cada renglón se utiliza para crear los ceros debajo de ella. Los pivotes no son necesariamente las entradas que están originalmene en las posiciones

que, al final, serán ocupadas por las entradas principales.

Una vez que hemos introducido los ceros debajo de la entrada principal de una columna, esta no cambia. Es decir, la forma escalonada por renglones emerge de izquierda a derecha, y de arriba abajo.

Las operaciones elementales de renglón son reversibles, pueden “deshacerse”, de esta manea, si alguna operación elemental de renglón convierte A en B, existe también una operación elemental de renglón que convierte B en A.

Definición: las matrices A y B son equivalentes por renglones si existe una secuencia de operaciones elementales de renglón que convierta A en B-

Las matrices de ejemplo:

Son equivalentes por renglones. No obstante, en general. ¿Cómo podemos decir si dos matrices son equivalentes por renglones?

BIBLIOGRAFIA

ALGEBRA LINEAL : una introducción moderna escrito por David Poole

ALGEBRA LINEAL GUIA DIDACTICA : escrita por John May Escobar.

www.zweigmedia.com/MundoReal/Summary2.html