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UNA INTRODUCCION A LAS ALGEBRAS NOASOCIATIVASx(yz) 6= (xy)z

Olmer Folleco Solarte

Universidad Nacional de Colombia sede ManizalesManizales - Colombia

21 de abril de 2016

Inicios Cayley-Dickson Alternativas Moufang Jordan Lie Gracias

Inicios

Girolamo Cardano (1501-1576)Introduce los numeros imaginarios usandolos para resolveruna ecuacion de tercer grado. i =

√−1

Carl Friedrich Gauss (1777-1855)Introduce el termino Numero Complejo, abriendo el caminopara su uso general y sistematico. C = {a+ bi}.

William Rowan Hamilton (1805-1865)Idea los cuaterniones. H = {a+ bi+ cj + dk}.

Arthur Cayley (1821-1895)Da a conocer los Octoniones.O = {x0 + x1e1 + x2e2 + x3e3 + x4e4 + x5e5 + x6e6 + x7e7}.

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UNA INTRODUCCION A LAS ALGEBRAS NO ASOCIATIVAS, x(yz) 6= (xy)z

Inicios

√−1

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Inicios

√−1

2 / 13

Inicios

√−1

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El paso de R a C

Los complejos se pueden ver como pares ordenados de numeros reales (a, b).

Suma: componente a componente.

Producto: (a, b)(c, d) = (ac− bd, ad+ bc)

El conjugado de un complejo viene dado por

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)

Definimos la norma de un complejo por

|z| = (zz)1/21 .

Ası, si z1 = (a1, b1) y z2 = (a2, b2), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.

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El paso de R a C

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.

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El paso de R a C

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.

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El paso de R a C

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.

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El paso de R a C

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (a2 + b2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + b21)(a22 + b22) = (a1b1 − a2b2)2 + (a1b2 + a2b1)2.

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El paso de C a H

Los cuaterniones se pueden ver como pares ordenados de numeroscomplejos (a, b).

Producto: (a, b)(c, d) = (ac− db, da+ bc)

El conjugado de un cuaternio viene dado por

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

Definimos la norma de un cuaternio por

|z| = (zz)1/21 .

Ası, si z1 = ((a1, a2), (b1, b2)) y z2 = ((a′1, a′2), (b′1, b

′2)), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2

2 + b′12 + b′2

2) = c21 + c22 + c23 + c24.

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El paso de C a H

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

′2)), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2

2 + b′12 + b′2

2) = c21 + c22 + c23 + c24.

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El paso de C a H

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

′2)), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2

2 + b′12 + b′2

2) = c21 + c22 + c23 + c24.

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El paso de C a H

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

′2)), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2

2 + b′12 + b′2

2) = c21 + c22 + c23 + c24.

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El paso de C a H

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

′2)), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21 + a22 + b21 + b22)(a′12 + a′2

2 + b′12 + b′2

2) = c21 + c22 + c23 + c24.

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El paso de H a OLos octoniones se pueden ver como pares ordenados de cuaternios (a, b).

El conjugado de un octonio viene dado por

(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

Definimos la norma de un octonio por

|z| = (zz)1/21 .

Nuevamente, si z1 = (((a1, a2), (a3, a4)), ((b1, b2), (b3, b4))) yz2 = (((a′1, a

′2), (a′3, a

′4)), ((b′1, b

′2), (b′3, b

′4))), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2

2+a′32+a′4

2+b′12+b′2

2+b′32+b′4

2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.

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(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

′2), (a′3, a

′4)), ((b′1, b

′2), (b′3, b

′4))), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2

2+a′32+a′4

2+b′12+b′2

2+b′32+b′4

2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.

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(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

′2), (a′3, a

′4)), ((b′1, b

′2), (b′3, b

′4))), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2

2+a′32+a′4

2+b′12+b′2

2+b′32+b′4

2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.

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(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

′2), (a′3, a

′4)), ((b′1, b

′2), (b′3, b

′4))), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2

2+a′32+a′4

2+b′12+b′2

2+b′32+b′4

2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.

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(a, b) = (a,−b)

(a, b)(a, b) = (|a|2 + |b|2, 0)

|z| = (zz)1/21 .

′2), (a′3, a

′4)), ((b′1, b

′2), (b′3, b

′4))), entonces

|z1z2| = |z1||z2|,

(a21+a22+a23+a24+b21+b22+b23+b24)(a′12+a′2

2+a′32+a′4

2+b′12+b′2

2+b′32+b′4

2) =c21 + c22 + c23 + c24 + c25 + c26 + c27 + c28.

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Algebras de Composicion

Sea A un espacio vectorial sobre un campo F . Un mapeo f : A×A→ F esuna forma bilineal si

f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),

f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),

f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).

f es simetrica si f(x, y) = f(y, x).

f es no degenerada si f(a, x) = 0 para toda x, se sigue que a = 0.

Un mapeo n : A→ F es una forma cuadratica si

n(λx) = λ2n(x),

f(x, y) = n(x+ y)− n(x)− n(y) es una forma bilineal.

n es estrictamente no degenerada si f es no degenerada.

Un algebra A con 1, sobre un campo F , con forma cuadratica n es unalgebra de composicion si

n(xy) = n(x)n(y),

n es estrictamente no degenerada.

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f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),

f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),

f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).

n(λx) = λ2n(x),

n(xy) = n(x)n(y),

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f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),

f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),

f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).

n(λx) = λ2n(x),

n(xy) = n(x)n(y),

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f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),

f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),

f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).

n(λx) = λ2n(x),

n(xy) = n(x)n(y),

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f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),

f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),

f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).

n(λx) = λ2n(x),

n(xy) = n(x)n(y),

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f(x+ x′, y) = f(x, y) + f(x′, y),

f(x, y + y′) = f(x, y) + f(x, y′),

f(αx, y) = f(x, αy) = αf(x, y).

n(λx) = λ2n(x),

n(xy) = n(x)n(y),

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Cayley-Dickson en general

Un endomorfismo a→ a de un algebra A sobre un campo F es unainvolucion si

¯a = a y ab = ba.

Fijemos 0 6= α ∈ F y sea (A,α) = {(a1, a2)/ai ∈ A} una nueva algebra

Producto: (a, b)(c, d) = (ac− αdb, da+ bc)

Sobre (A,α) definimos la siguiente involucion

(a, b) = (a,−b)

La forma cuadratica n(x) = xx es estrictamente no degenerada sobre (A,α).

Teorema

Si A es un algebra de composicion, entonces (A,α) es un algebra decomposicion si, y solo si A es asociativa.

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¯a = a y ab = ba.

(a, b) = (a,−b)

Teorema

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¯a = a y ab = ba.

(a, b) = (a,−b)

Teorema

7 / 13

¯a = a y ab = ba.

(a, b) = (a,−b)

Teorema

7 / 13

¯a = a y ab = ba.

(a, b) = (a,−b)

Teorema

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Algebras alternativas

Un algebra A sobre un campo F es llamada alternativa si

x2y = x(xy),yx2 = (yx)x.

Si A es un algebra de composicion, entonces A es alternativa.

(A,α) es alternativa si, y solo si A es asociativa.

(A,α) es asociativa si, y solo si A es asociativa y conmutativa.

En un algebra alternativa, cualquier par de elementos generan un algebraasociativa.

Toda algebra alternativa A es de potencias asociativas. Esto es, cadaelemento en A genera un algebra asociativa.

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Flexibles y Moufang

Un algebra A sobre un campo F es flexible si

x(yx) = (xy)x.

Un algebra M sobre un campo F se llama de Moufang si es flexible y

x(yzy) = ((xy)z)y,

(yzy)x = y(z(yx)),

(xy)(zx) = x(yz)x.

Teorema

Toda algebra alternativa es de Moufang.

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Flexibles y Moufang

x(yx) = (xy)x.

x(yzy) = ((xy)z)y,

(yzy)x = y(z(yx)),

(xy)(zx) = x(yz)x.

Teorema

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Flexibles y Moufang

x(yx) = (xy)x.

x(yzy) = ((xy)z)y,

(yzy)x = y(z(yx)),

(xy)(zx) = x(yz)x.

Teorema

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Algebras de Jordan

Las algebras de Jordan aparecen en 1933, en un trabajo delfısico aleman Pascual Jordan sobre fundamentacionaxiomatica de la mecanica cuantica, para formalizar lanocion de un algebra de observables.

Un algebra de Jordan sobre un cuerpo F de caraterıstica 6= 2 es unespacio vectorial J con una operacion binaria bilineal (x, y)→ xy quesatisface

xy = yx,(x2y)x = x2(yx).

Teorema

Toda algebra de Moufang es de Jordan.

Si A es un algebra asociativa sobre un campo F , charF 6= 2, entonces elalgebra A+ = (A+,+, ◦), donde a ◦ b = 1

2(ab+ ba), es un algebra de Jordan.

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Algebras de Jordan

Teorema

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Algebras de Jordan

Teorema

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Algebras de Jordan

Teorema

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Algebras de Jordan

Si un algebra de Jordan es isomorfa con una subalgebra del algebra A+,para algun algebra asociativa A, entonces se llama especial, caso contrariose llama excepcional.

Los principales ejemplos de algebras de Jordan son:

Algebras de tipo Hermitiano H(A, ∗): Subespacios de elementos simetricos enalgebras asociativas con involucion, con respecto al producto simetrico a ◦ b.Algebras de tipo Clifford J(V, f): J(V, f) = F · 1 + V , donde V es un espaciovectorial, f una forma bilineal simetrica, 1 es un elemento identidad de J yu · v = f(u, v) · 1 para u, v ∈ V .

Algebras de tipo Albert H(O): Espacios de matrices Hermitianas 3× 3 sobrelos Octoniones, con respecto al producto simetrico a ◦ b.

Las algebras de tipo Hermitiano y Clifford son especiales y las de tipoAlbert son excepcionales.

Teorema

(E. Zelmanov, 1983) Toda algebra de Jordan simple es de alguno de lostipos Hermitiano, Clifford o Albert.

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Algebras de Jordan

Teorema

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Algebras de Jordan

Teorema

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Algebras de Jordan

Teorema

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Algebras de Lie

Un algebra L sobre un campo F se llama de Lie si

xy = −xy,

(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0.

Dada un algebra asociativa A sobre un campo F , podemos definir un nuevoproducto en A

a • b = ab− ba.

La nueva algebra A− = (A, •) es un algebra de Lie.

Teorema

Toda algebra de Lie L se puede obtener de la forma A−.

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Algebras de Lie

xy = −xy,

(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0.

a • b = ab− ba.

Teorema

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Algebras de Lie

xy = −xy,

(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0.

a • b = ab− ba.

Teorema

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Algebras de Lie

xy = −xy,

(xy)z + (yz)x+ (zx)y = 0.

a • b = ab− ba.

Teorema

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Gracias Susa

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