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MATEMÁTICAS 2º BACH CIENCIAS

MATRICES

Profesor: Fernando Ureña Portero I.E.S. “MCAM”

La palabra Álgebra proviene del libro Al-jabr wa’l muqabalah, del matemático árabe Al-Jowarizmi (siglo IX). Con dicho nombre se designó en occidente en posteriores siglos a la ciencia que aprendieron del citado libro. El principal objetivo del Álgebra clásico fue la resolución de ecuaciones hasta prácticamente la Edad Media con la aparición del libro de Al-Jowarizmi. El Álgebra se extendió hacia Europa a través de España se consagro durante los siglos XVI y XVII. Matemáticos como Diofanto (siglo III), Cardano y Tartaglia (siglo XVI), Vieta y Descartes (siglo XVII), Gauss, Galois, Hamilton, Sylvester y Cauchy (siglo XIX) son los principales impulsores del desarrollo y formalización del Álgebra durante la historia.

MATRICES 1. CONCEPTO DE MATRIZ

Definición: Se denomina matriz A o (a i j) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas :

Columnas

Filas

Elemento a i j: Cada uno de los números o expresión de que consta la matriz que se

encuentra en la fila i y en la columna j . Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa.

Definición:El conjunto de todas las matrices con m filas y n columnas se denota como Mmxn. Así:

𝐴 = (1 2 −3

−1 0 5) ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐀 ∈ 𝐌𝟐𝐱𝟑

Definición: La dimensión de una matriz es el número de filas y columnas de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Si la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3,..., p.e. M3


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2. TIPOS DE MATRICES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales. Según la dimensión:

a) Matriz RECTANGULAR: m≠n, Mmx n. b) Matriz CUADRADA: m=n, Mn, caso particular (y especial) de las Rectangulares .

Matrices RECTANGULARES:

Matriz fila: está constituida por una sola fila:

(2 3 -1)

Matriz columna: tiene una sola columna

(𝟎𝟏𝟐

)

Matrices CUADRADAS:

Elementos de las matrices cuadradas: 1. Diagonal principal: elementos de la forma aii, es decir en la diagonal que va desde a11 hasta ann. 2. Diagonal secundaria: elementos de la forma aij donde i+j=n+1, es decir, los elementos en la diagonal que va desde a1n hasta an1.

Diagonal Principal

Diagonal Secundaria

Tipos de Matrices CUADRADAS

Definición: La Matriz Traspuesta A t de una matriz A es la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas (o viceversa).

Propiedades de la trasposición de matrices:

I) (A t) t=A II) (A±B) t=A t±B t III) (K·A) t=K·A t IV) (A·B) t=B t·A t


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Matriz nula O: todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior : los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Matriz tr iangular infer ior : los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Matriz diagonal: todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar : es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad I: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Anotaciones:

• Toda matriz diagonal es triangular, tanto superior como inferior, pues loselementos por encima y por debajo de la diagonal son nulos.

• Toda matriz escalar es diagonal.

• La matriz identidad es una matriz escalar.

Matriz Regular o Inver tible: es una matriz cuadrada que tiene inversa:

Si A-1 A·A-1=A-1·A=I

Matriz Singular: matriz no tiene matriz inversa.

∄ 𝑨−𝟏

Matriz Idempotente: si se cumple que

A2 = A

Matriz Involutiva: si se cumple que

A2 = I.

Matriz Simétrica: si se verifica que:

A = A t .

(1 −2 3

−2 5 43 4 0

)

Matriz Antisimétrica o Hemisimétrica : si se verifica que: A = -A t

(0 1 2

−1 0 −3−2 3 0

)

Matriz Ortogonal: si se verifica que

A · A t = I

Matriz Opuesta:

-A=(-a i j), siendo A=(a i j)


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3. OPERACIONES CON MATRICES

3.1. IGUALDAD DE MATRICES

Definición: dos matrices A y B se dicen que son iguales (A=B) si se cumplen:

- misma dimensión

- elementos que ocupan el mismo lugar son iguales: (aij) = (bij)

3.2. SUMA DE MATRICES

Definición: Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(a i j) y B=(b i j), se define la matriz suma como:

A ± B=(a i j)±(b i j)= (a i j±b i j).

Es decir, A ± B se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

La “resta” de dos matrices es la suma de la matriz “minuendo” con la opuesta de la matriz “sustraendo”, es decir, A - B= A + (- B). En la práctica se restan los elementos directamente.

𝐴 = (0 1

−2 10 3

) ; 𝐵 = (2 11 0

−4 0);𝐴 + 𝐵 = (

0 + 2 1 + 1(−2) + 1 1 + 00 + (−4) 3 + 0

) = (2 2

−1 1−4 3

) ; 𝐴 − 𝐵 = (0 − 2 1 − 1

−2 − 1 1 − 00 − (−4) 3 − 0

) = (−2 0−3 14 3

)

Propiedades de la suma de matrices Asociativa:A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:A + 0 = A (O es la matriz nula). Elemento simétrico u opuesto: A + (-A) = O Conmutativa:A + B = B + A (no la diferencia) (A+B)t=At+Bt

3.3. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

Definición: Dada una matriz A=(a i j) de dimensión m x n y un número real k ,se define el producto de un k por una matriz : a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento de la matriz A está multiplicado por k:

K·A=K·(a i j)=(k·a i j)

(−3) · 𝐴 = (−3) · (1 −2 03 1 1

) = (−3 6 0−9 −3 −3

)

Propiedades:

p·(q·A) = (p·q)·A; AMmx n; p,q

k·(A + B) = k·A + k·B; A,BMm x n ; k

(p+q)·A = p·A + q·A; AMm x n ; p, q

1 · A = A; A Mmxn

(k·A) t=k·A t; A Mm xn ; k


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3.4. PRODUCTO DE MATRICES Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = Mm x p

Definición: El producto de la matriz A=(aij) Mmxn y B=(bij) Mnxp es otra matriz C= A·B Mmxp, con igual nº de filas que A y de columnas que B, tal que el elemento de la matriz C que ocupa la fila i y columna j, cij se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz con la columna j-ésima de la segunda.

F i x Cj

𝐴 · 𝐵 = (1 2 34 5 6

) · (1 0

−1 23 −4

) = (1 · 1 + 2 · −1 + 3 · 3 1 · 0 + 2 · 2 + 3 · −44 · 1 + 5 · −1 + 6 · 3 4 · 0 + 5 · 2 + 6 · −4

) = (8 −8

17 −14)

2 x 3 3 x 2 2 x 2

Propiedades del producto de matrices Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C Elemento neutro: A·I=I·A=A ( I=matriz identidad del mismo orden que A).

No es Conmutativa: A · B ≠ B · A (en general)

Distributiva del producto respecto de la suma: A·(B + C) = A·B + A·C

(A·B)t=Bt·At

4. MATRIZ INVERSA

Definición: La matriz inversa de una matriz cuadrada AMn es otra matriz cuadrada de la

misma dimensión que se denota como A-1 Mn, tal que se cumple:

A·A-1 = A-1·A = I

(I=matriz unidad o identidad de la misma dimensión que A)

La matriz inversa, en caso de existir, es única.

Propiedades: (A·B)-1= B-1·A-1 (A-1)-1 = A (k·A-1) = k-1·A-1 (At)-1 = (A-1)t

El método más sencillo para el cálculo de la inversa lo veremos en el tema siguiente, cuando definamos el determinante de las matrices. Para matrices 2x2 podemos calcular la inversa a partir de la definición (ejemplificar).

Ejemplo: Calcular la inversa de la matriz 𝐴 = (3 54 8

), ayuda: 𝐴−1 = (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

);

(3 54 8

) · (𝑎 𝑏𝑐 𝑑

) = (1 00 1

) ; (3𝑎 + 5𝑐 3𝑎 + 5𝑑4𝑎 + 8𝑐 4𝑎 + 8𝑑

) = (1 00 1

) , 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎: 𝐴−1 = (2 −5/4

−1 3/4)


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5. RANGO DE UNA MATRIZ

Definición: Rango de una matriz : es el número de líneas (filas o columnas) de esa matriz que son linealmente independientes.

Una fila (o columna) es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una fila (o columna) es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rg(A) o r(A). Notas: -El rango de una matriz A no varía cuando esta se somete a transformaciones elementales, por tanto, los rangos de dos matrices equivalentes coinciden. Así, se pueden suprimir las filas o columnas nulas y las que sean combinación lineal de otras para determinar el rango. -Si una matriz A es de dimensión m x n , su rango no puede ser mayor que m ni mayor que n.

Así, el rango de una matriz cuadrada A de orden n es siempre menor o igual a n [r(A)n]. Evidentemente también es positivo por definición. -Es evidente, a partir de la definición, que el rango de un a matriz coincide siempre con el de su traspuesta: r(A)=r(A t). -Es también lógico y evidente que el rango por filas y por columnas coincide. -Una matriz cuadrada A de orden n tiene inversa, si y solo si, su rango es máximo, es decir, si

su rango es n: A - 1 r(A)=n .

Se llaman transformaciones elementales por filas en una matriz a las siguientes:

a) Intercambiar las filas i y j, que lo escribiremos: Fi Fj . b) Sustituir la fila i por el resultado de multiplicarla por un escalar a ≠ 0, que lo escribiremos: F'i = aFj . c) Sustituir la fila i por el resultado de sumar los productos de las filas i y j por dos escalares a ≠ 0, b ≠ 0, que los escribiremos: F 'i= Fi + aFj .

Definición: Si una matriz B se obtiene de A mediante trasformaciones elementales, se dice que A y B son equivalentes y se escribe A ≈ B.

Cálculo por el método de Gauss Podemos descartar una línea si:

Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras.

F3 = 2F1; F4 es nula; F5 = 2F2 + F1 r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el rango será el número de filas no nulas.

F2 - 3F1 F3 - 2F1

; Por tanto r(A)= 3


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6. ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Definición: Se llama ecuación/sistema matricial a toda ecuación/sistema en el que la/s incógnitas sean matrices.

Por ejemplo: AX=B o {𝐚𝐗 + 𝐛𝐘 = 𝐂

𝐜𝐗 + 𝐝𝐘 = 𝐃 , siendo A, B, C, D, X e Y matrices y a, b, c, d parámetros

numéricos.

Sólo analizaremos algunos casos concretos sencillos de ecuaciones y sistemas lineales que nos proporcionarán las herramientas básicas para los demás casos que se nos presenten.

CASO 1: La ecuación lineal general A·X = B.

Si la matriz A es invertible, la ecuación es equivalente a A-1· A·X= A-1· B I·X=A-1·B y, por tanto:

X= A-1· B En caso de que no sea invertible, o que ni siquiera sea cuadrada, se resuelve

considerando la matriz incógnita X como una matriz genérica de m· n incógnitas y resolviendo el sistema lineal de ecuaciones. Es importante recordar que el producto de matrices no es conmutativo, por lo que no debemos olvidar que no es lo mismo multiplicar a derecha que a izquierda. Así, si la ecuación fuese X·A= B, la solución sería X=B·A-1, siempre que A sea invertible.

Ejemplo 1: Resolver A·X+B=C; siendo 𝑨 = (𝟐 −𝟐

−𝟏 𝟐) ; 𝑩 = (

𝟒 𝟐 −𝟑𝟐 𝟎 𝟏

) 𝒚 𝑪 = (𝟔 𝟑 𝟏𝟒 𝟏 𝟎

).

A·X=C-B; X=A-1·(C-B); calculamos A-1; 𝐴−1 = (2 31 2

); por tanto después de operar 𝑿 = (𝟏𝟎 𝟓 𝟓𝟔 𝟑 𝟐

)

CASO 2: El sistema lineal general de ecuaciones {𝐚𝐗 + 𝐛𝐘 = 𝐂

𝐜𝐗 + 𝐝𝐘 = 𝐃

Este tipo de sistema se resuelve utilizando los mismos métodos (sustitución, igualación y reducción) que en los sistemas numéricos con la salvedad de que no existe la división de una matriz por un número.

Ejemplo 2: Resolver {𝑿 + 𝟐𝒀 = 𝑨; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑨 = (

𝟐 𝟓𝟎 𝟑

)

𝟐𝑿 − 𝟑𝒀 = 𝑩; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑩 = (𝟏 −𝟑𝟒 𝟐

)

Resolviendo el sistema por cualquier método, la solución sería:

𝑋 =1

7(3𝐴 + 2𝐵) = (

8/7 9/78/7 13/7

) ; 𝑌 = 1

7(2𝐴 − 𝐵) (=

3/7 13/7−4/7 4/7

)


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7. APLICACIONES DEL CÁLCULO MATRICIAL Existen numerosas situaciones reales en las que el cálculo matricial tiene gran utilidad

(Sociología, Transporte, Teoría de Grafos,...). Veamos uno de estos ejemplos:

Ejemplo 3: Una fábrica produce dos modelos de lavadoras: A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la L y 50 en la S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la L y 30 en la S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1,2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1,3 horas de administración. Calculemos, utilizando cálculo matricial, una matriz que represente las horas de taller y administración para cada uno de los modelos.

La matriz P representa la cantidad de lavadoras para cada modelo y terminación 𝑃 =

(400 200 50300 100 30

). La matriz H representa la cantidad de horas de taller y administración para

cada terminación 𝐻 = (25 130 1,233 1,3

).Así pues la matriz 𝑃 · 𝐻 = (17650 70511490 459

) representará las horas

de taller (1ª columna) y administra ción (2ª columna) para cada modelo A (1ª fila) y B (2ª fila).


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APLICACIONES DE LA MATRIZ INVERSA PARA RESOLVER ECUACIONES

MATRICIALES


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EJERCICIOS RESUELTOS DE MATRICES


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EJERCICIOS PROPUESTOS

1.-Calcular la matriz solicitada en la siguiente ecuación matricial:(𝟏 𝟐

−𝟏 𝟎) + (

𝒂 𝒃𝒄 𝒅

) = 𝑰𝟐

2.-Sacar factor común en estas matrices:(𝟒 𝟖 −𝟒𝟎 𝟒 𝟏𝟔

𝟏𝟐 𝟎 𝟎) ; (

𝟏/𝟒 −𝟑/𝟒 𝟏/𝟖−𝟏/𝟒 𝟑/𝟖 𝟏/𝟒

) ; (−𝟐 𝟎𝟎 −𝟐

)

3.-Resolver: (𝟐𝒂 𝟐𝒃𝟐𝒄 𝟐𝒅

) = (𝒂 + 𝟓 𝟕 + 𝒂 + 𝒃

−𝟐 + 𝒄 + 𝒅 𝟑𝒅 + 𝟒).

4.-Sean las matrices: 𝑨 = (𝟏 −𝟏𝟎 𝟏

) ; 𝑩 = (𝟒 𝟎

−𝟏 −𝟐). Calcular: 3A-5B; A·B; B·A;A2.

5.-Resolver los sistemas:

{𝑿 + 𝒀 = (

𝟐 𝟏𝟑 𝟎

)

𝑿 − 𝒀 = (𝟔 𝟐𝟎 𝟏

); {

𝟐𝑿 + 𝒀 = (𝟏 𝟐 𝟐

−𝟐 𝟏 𝟎)

𝑿 − 𝟑𝒀 = (−𝟒 −𝟑 −𝟐−𝟏 𝟎 𝟏

)

6.-Resolver las incógnitas: (𝟏 𝒙𝟐 𝒚

) · (𝒙 𝒚𝟑 𝟒

) = (𝟎 𝟎𝟎 𝟎

)

7.-Calcular las matrices que conmuten con (𝟏 𝟏𝟎 𝟏

).

8.-Dada la matriz 𝑨 = (𝟎 −𝟏𝟏 𝟎

). Calcular: An, A50, A97.

9.-Dada la matriz 𝑩 = (𝟏 𝟎 𝟏𝟎 𝟏 𝟎𝟎 𝟎 𝟏

). Calcular Bn.

10.-Demostrar las propiedades de la matriz traspuesta de 𝑨 = (−𝟏 𝟐𝟑 𝟒

).

11.-Dada la matriz 𝑩 = (𝟎 −𝟏 −𝟐

−𝟏 𝟎 −𝟐𝟏 𝟏 𝟑

). Calcular K para que se cúmpla: (A-kI3)2=0.

12.-Si A y B son matrices diagonales de orden 2, demostrar que A·B=B·A. Hallar aquellas matrices diagonales que cumplan A2=I2.

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