Probabilidade

• Modelo matemático para incerteza

• Desenvolvimento relativamente recente– Cardano (século XVI)– Pascal (século XVII)

• Peter Bernstein, Against the Gods

Primeira Tentativa

• Espaço amostral (): resultados possíveis para um experimento aleatório.

• Probabilidade: número não negativo atribuído a cada um destes resultados, de modo que a soma seja 1 (intuição: frequência a longo prazo)

Primeira Tentativa

• Adequado para o caso discreto

= {1, 2, ...}

p1 +p2 + ... = 1

Para cada A , P(A) = i A P(i)

Como atribuir probabilidades?

• Estatística: estimar através de frequência observada

• Explorar simetria: modelos equiprováveis

= {1, 2, ..., n }

p1 = p2 = ... = pn = 1/n

• Moedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc

Exemplo

• Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?

• Espaço amostral: = {0, 1, 2, 3} (número de caras)

• Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

Exemplo

• Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?

• Espaço amostral: = {0, 1, 2, 3} (número de caras)

• Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

Exemplo

• Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras?

• Espaço amostral: = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk}

• Probabilidade de sair 2 caras = P({cck, ckc, kcc}) = 3/8.

Observação

• É óbvio que kkk e ckc têm a mesma chance de ocorrer?

• E kkkkkkkkkk e ckkckckckk?• Mega-sena: 1-2-3-4-5-6 e 7-16-24-28-41-52?

• Nassim Taleb, Fooled by Randomness

Caso contínuo

• Roleta “real”, com números de 0 a 360.

• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43?

• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300?

Caso contínuo

• Roleta “real”, com números de 0 a 360.

• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43?

zero

• Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300?

1/6

Caso contínuo

• Probabilidade de eventos não pode ser calculada simplesmente somando as probabilidades associadas a pontos de

• Necessidade de atribuir probabilidades diretamente aos subconjuntos de

• Mas não a todos os subconjuntos (Teoria da Medida)

Modelo Probabilístico Revisado

• Espaço amostral (): conjunto de resultados possíveis para um experimento aleatório.

• -álgebra de eventos (A): subconjuntos de aos quais se atribui probabilidade. A, A A Ac A , Ai A Ai A

• Probabilidade (P): função definida em A P(A) 0, P() =1, P( Ai ) = i P(Ai) (Ai disjuntos 2 a 2)

Consequências

• P(Ac) = 1 – P(A)

• P() = 0

• An A P(An) P(A)

• An A P(An) P(A)

Caso discreto

• A = todos os subconjuntos de • Probabilidades pi atribuídas aos eventos

unitários {i} (como antes)

Caso contínuo

• = R• A = menor -álgebra que contém todos os

intervalos (-álgebra de Borel)• Probabilidades atribuídas aos intervalos (ou

aos intervalos da forma (–, x]) (tipicamente através da integral de uma função de densidade)

• Por exemplo, no caso da roleta:

360360

1]),([

abdxbaP

b

a

Probabilidade Condicional

• Probabilidade condicional do evento A na certeza do evento B

• Tudo se passa como se, na certeza de B, B fosse o novo espaço amostral.

)(

)()|(

BP

BAPBAP

Exemplo

• Um dado é lançado 2 vezes. Dado que a soma é 4, qual é a probabilidade condicional de ter saído 1 no primeiro lançamento?

= {(1,1), …, (6, 6)}

A = [1 no 1o] = {(1, 1), …, (1, 6)}

B = [soma 4] = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}

AB = {(1, 3)}

3

1

36/3

36/1

)(

)()|(

BP

BAPBAP

Observação

• De , resulta:

P(AB) = P(B). P(A | B) = P(A) . P(B | A)

• A e B são independentes quando P(AB) = P(A). P(B)

)(

)()|(

BP

BAPBAP

Exemplo

• Em uma urna há 6 bolas brancas e 4 pretas. As bolas são retiradas sequencialmente, sem reposição.

Exemplo

1) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca?

Exemplo

2) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca e a 2a preta?

Exemplo

3) Probabilidade de a 2a bola retirada ser preta?

Exemplo

4) Probabilidade de a 1a bola retirada ter sido preta sabendo que a 2a foi branca?

Teoremas

• Sejam B1, B2, … disjuntos 2 a 2 tais que Bi =

• Probabilidade Total

• Bayes

...)|().()|().()( 2211 BAPBPBAPBPAP

...)|().()|().(

)|().()|(

2211

111

BAPBPBAPBP

BAPBPABP

Exemplo

• Em uma população, 1% das pessoas têm uma certa doença. Um exame para esta doença tem probabilidade de falso-positivo igual a 2% e de falso negativo igual a 1%. Se uma pessoa escolhida ao acaso é examinada e o exame dá positivo, qual é a probabilidade de que ela tenha a doença?

Solução

• Dados:

P(Doente) = 0.01

P(Positivo|Doente) = 0.99

P(Positivo|Doentec) = 0.02

• Pede-se:

P(Doente|Positivo)

Solução

D

Dc

P

P

0,01

0,99

0,99

0,01

0,020,98

Solução

D

Dc

P

P

0,01

0,99

0,99

0,01

0,020,98

3

1

02,0.99,099,0.01,0

99,0.01,0

)(

)()|(

PP

PDPPDP