OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS

(Cálculo: diferencial, integral y ecuaciones diferenciales)

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS (TESOEM)

Obtener las derivadas de las siguientes funciones:

Calcula los máximos y mínimos de las siguientes funciones

Resolver cada uno de los siguientes problemas:

1.- Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?

2.- Encuentre la rapidez instantánea de variación del área de un triángulo equilátero con respecto a su perímetro.

3.- Un hombre de 1,8 metros de altura se encuentra cerca de un poste con su luz encendida a 4 metros de altura, si el hombre se aleja del poste con una rapidez de 0,5 m/s. ¿Con que rapidez se alarga su sombra?

4.- Una escalera que tiene una longitud L (m) está apoyada en una pared, si su punto de apoyo con el suelo resbala alejándose de ella con una rapidez de 0,6 m/s, ¿Con que rapidez descenderá el punto de apoyo en la pared cuando el extremo en el piso esté a 1,5 m de la pared?

5.- Un pedazo de alambre de 20 cm de largo se corta en dos partes; una parte se dobla para formar un cuadrado y con la otra se forma una circunferencia. ¿Dónde se deberá hacer el corte para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea un mínimo?

6.- A un tanque que tiene la forma de un cono circular recto invertido de 4 mts. de radio y 16 mts. de altura entra agua a una razón determinada.

Expresar el volumen de agua en un instante dado:

7.- Un alambre de 100 cm. de longitud se corta a una distancia x de uno de sus extremos en dos partes, formando con una de ellas un círculo y con la otra un cuadrado (ver figura).

a. Exprese el perímetro de cada figura en función de x.

b. Exprese el área total de las figuras en función de x. ¿Cuáles son sus respectivos dominios?

8.- Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 mts. de ancho. Los puntos Q y D están respectivamente y en la misma orilla de B a x mts. y a 600 mts. (Ver fig.).

9.- Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D pasando

por Q. Si el costo por metro de cables es de pesos bajo el agua y de k pesos por tierra; exprese el costo total como una función x. ¿Cuál es el dominio de la función costo?.

10.- dispone de 1000 dólares para construir un tanque cilíndrico de altura y pies, rematado en sus extremos por dos semiesferas de radio x pies. (Ver fig.). El costo de material de la parte esférica es de 4 dólares por pie2 y el de la parte cilíndrica es de 2 dólares por pie2.

Expresar el volumen del tanque en función del radio x.

Resolver los siguientes problemas

CÁLCULO INTEGRAL

ECUACIONES DIFERENCIALES