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Variable Aleatoria

Una variable aleatoria es una función que asigna un valor numérico a cada suceso elemental del espacio muestral

Variable Aleatoria continua

Una variable aleatoria X es continua si

su función de distribución es una

función continua. Una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.

Variable Aleatoria DiscretaEn general, una variable aleatoria discreta X representa

los resultados de un espacio muestral en forma tal que

por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el

valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una

variable aleatoria es posible desarrollar una función

matemática que asigne una probabilidad a cada

realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe

el nombre de función de la probabilidad.

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Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un

conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades

respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores

dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1

+ p2

Sea una variable aleatoria con

valores en y una densidad de

probabilidad sobre . Se dice que

es una variable aleatoria continua

de densidad si para todo

intervalo de se tiene:

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función de distribución

Sea x una variable aleatoria. La probabilidad de que x sea menor o igual que un valor t , se escribe P (x ≤ t) y esta probabilidad será función de t. Si a esta función la designamos por F(t):F(t) = P (x ≤ t)

Esta función se llama

función de distribución.

Si xi es creciente con i y

suponemos que t está

comprendido entre dos de

estos valores :

xh-1< t ≤ x hla condición: x ≤ t x

= x1 ó x = x2 ................x

= x h

P (x ≤ t) = P (x1) + P (x2) +

.......... + P (x h)

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función de densidad, o, simplemente,

densidad de una variable aleatoria

continua es una función, usualmente

denominada f(x) que describe la densidad

de la probabilidad en cada punto del

espacio de tal manera que la probabilidad

de que la variable aleatoria tome un valor

dentro de un determinado conjunto sea la

integral de la función de densidad sobre

dicho conjunto.

También llamada esperanza, valoresperado, media

poblacional o media de una variable aleatoria X , es el

número E (X) que formaliza la idea de valor medio de un

fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es

igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso

aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo

tanto, representa la cantidad media que se "espera"

como resultado de un experimento aleatorio cuando la

probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el

experimento se repite un elevado número de veces. Cabe

decir que el valor que toma la esperanza matemática en

algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido

más general de la palabra - el valor de la esperanza puede

ser improbable o incluso imposible. 7

En teoría de probabilidad, la varianza (que suele representarse como ) de una variable aleatoria es una medida de dispersión definida como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.Está medida en unidades distintas de las de la variable. Por ejemplo, si la variable mide una distancia en metros, la varianza se expresa en metros al cuadrado. La desviaciónestándar, es la raíz cuadrada de la varianza, es una medida de dispersión alternativa expresada en las mismas unidades de los datos de la variable objeto de estudio. La varianza tiene como valor mínimo 0.

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)xX(P)x(F

)x(Fdx

d)x(f

FUNCION ACUMULATIVA

En la teoría de probabilidades y estadísticas , la función de distribución acumulativa (FDA), o simplemente función de distribución, describe la probabilidad de que un valor real variable aleatoria X con una determinada distribución de probabilidad se encontrará en un valor menor o igual que x

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Variable continua

Ejemplos:

•Resultado de un generador de números

aleatorios entre 0 y 1. Es el ejemplo más

sencillo que podemos considerar, es un caso

particular de una familia de variables aleatorias

que tienen una distribución uniforme en un

intervalo [a, b]. Se corresponde con la elección al

azar de cualquier valor entre a y b.

•Estatura de una persona elegida al azar en

una población. El valor que se obtenga será

una medición en cualquier unidad de longitud (m,

cm, etc.) dentro de unos límites condicionados

por la naturaleza de la variable. El resultado es

impredecible con antelación, pero existen

intervalos de valores más probables que otros

debido a la distribución de alturas en la

población. Más adelante veremos que,

generalmente, variables biométricas como la

altura se adaptan un modelo de distribución

denominado distribución Normal y representado

por una campana de Gauss.

Dentro de las variables aleatorias continuas

tenemos las variables aleatorias

absolutamente continuas.

Diremos que una variable aleatoria X continua

tiene una distribución absolutamente continua si

existe una función real f, positiva e integrable en

el conjunto de números reales, tal que la función

de distribución F de X.

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EJEMPLO:

La altura de los alumnos de una clase, las horas de duración de una pila.Ejemplo: Con el fin de realizar un control de calidad en una fábrica de baterías, se mide el tiempo de duración de baterías elegidas al azar y se define la v.a. X: tiempo de duración de una batería .La v.a.X es esencialmente continua (“tiempo”), siendo su rango el intervalo real [0,∞) pero supongamos que medimos la duración de la batería en días, es decir “discretizamos” el rango de la v.a. y se convierte en No = N ∪{0}. Por tratarse de una v.a. discreta, sufunción de probabilidad puntual puede representarse mediante un histograma con área total igual a 1. Si medimos la duración en horas, obtenemos un histograma con mayor número de intervalos de menor longitud cada uno, pero que sigue teniendo área total igual a 1.

Si continuamos aumentando la precisión de la medición (minutos, segundos, décimas de segundo, etc), obtenemos como límite de los histogramas una curva suave, y la probabilidad de que la duración de la batería se encuentre dada por el área bajo la curva entre a y b.

Variable continua

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Variable discreta

Ejemplos:

El número de hijos de una

familia, la puntuación obtenida

al lanzar un dado.Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, <<que salga cara>>, <<que salga cruz>>, no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental <<que salga cara>> se le hace corresponder el número “1” y al suceso elemental <<que salga cruz>> se le hace corresponder el número “2”.La variable aleatoria será: X = (1,2).

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•GRECIA MARQUEZ CI: 23.553.965•SORAYVI GONZALEZ CI:21.048.517•BELGICA DURAN CI: 20.021.325•STEFANI GIMENEZ CI: 20.472.685MI 23