Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

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[Operaciones de Transferencia de Masa. Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 408] I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A U n i v e r s i d a d d e P a m p l o n a Yorman Zambrano Silva (1) Transferencia de Masa II Programa de Ingeniería Química Universidad de Pamplona Colombia (1) [email protected] OBTENER LA ECUACIÓN DE RAYLEIGH EN FUNCIÓN DE LA VOLATILIDAD RELATIVA (α). A partir de la ecuación (9.42): Obtener la ecuación (9.45): La ecuación (9.45) es una expresión matemática que relaciona la Ecuación de Rayleigh con la Volatilidad Relativa. [Operaciones de Transferencia de Masa. Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 407] ( * ) F W F z W x dL dx L y x (1 ) 1 1 1 (1 ) 1 F W W W F F z x x F Ln Ln Ln W x z z

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Se realiza el tratamiento matemático (demostración) para obtener la Expresión de Rayleigh en función de la volatilidad relativa.

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Page 1: Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

[Operaciones de Transferencia de Masa.

Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 408]

I N G E N I E R Í A Q U Í M I C A

U n i v e r s i d a d d e P a m p l o n a

Yorman Zambrano Silva (1)

Transferencia de Masa II

Programa de Ingeniería Química

Universidad de Pamplona

Colombia

(1) [email protected]

OBTENER LA ECUACIÓN DE RAYLEIGH EN FUNCIÓN DE LA VOLATILIDAD RELATIVA (α).

A partir de la ecuación (9.42):

Obtener la ecuación (9.45):

La ecuación (9.45) es una expresión matemática que relaciona la Ecuación de Rayleigh con la Volatilidad

Relativa.

[Operaciones de Transferencia de Masa. Robert E.

Treybal. 2 Ed. Pág 407]

( * )

F

W

F z

W x

dL dx

L y x

(1 ) 11

1 (1 ) 1

F W W

W F F

z x xFLn Ln Ln

W x z z

Page 2: Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

[Operaciones de Transferencia de Masa.

Robert E. Treybal. 2 Ed. Pág 387.

Primera Ecuación de la Página]

SOLUCIÓN.

Si la ecuación de Rayleigh es: 0 0 (y x)

L x

L x

dL dx

L

Para encontrar una expresión de Rayleigh para la volatilidad relativa se debe hacer cambio de límites:

L F x zf (xf)

L0 W x0 xw

Entonces la ecuación de Rayleigh queda: ( )

F

W

F z

W x

dL dx

L y x

donde y = y*

Y, si la volatilidad relativa en función de y* es: *

1 ( 1)

xy

x

Page 3: Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

Se reemplaza *

1 ( 1)

xy

x

en la integral ( * )

F

W

F z

W x

dL dx

L y x

1 ( 1)

F

W

F z

W x

dL dx

L xx x

x

Solución de la Integral paso por paso:

(1 ( 1))

1 ( 1)

F

W

F z

W x

dL dx

L x x x

x

2

1 ( 1)

( 1)

F

W

F z

W x

dL xdx

L x x x

La integral queda entonces:

1. Resta de fracciones del denominador.

2. Se aplica ley de extremos y medios.

Page 4: Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

2

1 ( 1)

( 1) ( 1)

F

W

F z

W x

dL xdx

L x x

2

1 ( 1)

( )( 1)

F

W

F z

W x

dL xdx

L x x

1 ( 1)

(1 )( 1)

F

W

F z

W x

dL xdx

L x x

3. Factorización del denominador.

3.1 La expresión 2 ( 1)x x x es igual

2( 1) ( 1)x x

3.2 La expresión 2( 1) ( 1)x x es igual

2( )( 1)x x

3.3 Si 2( ) (1 )x x x x quedaría la integral entonces

4. Realizando fracción homogénea a b a b

c c c

la integral queda entonces:

1 ( 1) 1 ( 1)

(1 )( 1) (1 )( 1) (1 )( 1)

F F F

W W W

z z z

x x x

x xdx dx dx

x x x x x x

Page 5: Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

1(1 ) ( )

(1 )A x B x

x x

1 (1 ) ( )A x B x

Se simplifica a:

Si 0x 1 (1 (0)) (0)A B

Entonces 1 B Si 1x 1 (1 (1)) (1)A B

Entonces 1 A

1 ( 1)

(1 )( 1) (1 )( 1)

F F

W W

F z z

W x x

dL xdx dx

L x x x x

1 1 1

( 1) (1 ) (1 )

F F

W W

F z z

W x x

dLdx dx

L x x x

5. Se cancelan los términos y se simplifican las integrales que resultaron:

(1 

1F

W

z

xdx

x x

6. Se resuelve por fracciones parciales la siguiente integral:

Page 6: Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

1 1 1

(1 ) ( 

1 ) 

F F F

W W W

z z z

x x xdx dx dx

x x x x

La integral queda finalmente como dos integrales que se resuelven fácilmente:

1 1 1 1

1 (1 ) (1 )

W W W

F F F

W x x x

F z z z

dLdx dx dx

L x x x

(2)

7. Donde introduciendo todas las integrales:

(1) (3) (4)

Cabe resaltar que la Integral (3) y (4) son integrales iguales y por simplicidad se hace

en un mismo paso.

Page 7: Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

(1) F

W

dL FLn

L W

(2)

1 1 1

1 1

F

W

zF

xW

zdx Ln

x x

8. Solucionando cada una de las cuatro integrales:

(3) y (4) Son integrales iguales

1 1

1 (1 )

F

W

z

xdx

x

1

(1 )

F

W

z

xdx

x y

Sustitución:

1m x

dm dx

dm dx

Page 8: Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

1F

W

z

xdx

m

1F

W

z

xdx

m

Cambio de Límites para

quitar el Negativo:

1W

F

x

zdx Ln m

m

Wx

Fz

Reemplazando la variable original donde 1m x :

1

11

W

F

x

zdx Ln x

x

Wx

Fz

11

1 1

W

F

xW

zF

xdx Ln

x z

9. Introduciendo la respuesta de todas las integrales, queda como: 1

(1) (2) (3) (4)1

1 11

1 1 1

W WF

W F F

x xzFLn Ln Ln Ln

W x z z

Propiedad de Logaritmo (a) ( ) .Ln Ln b Ln a b

Page 9: Obtención de la Expresión de Rayleigh en Función de Volatilidad Relativa

Se tiene entonces por propiedad de Logaritmo Natural que:

1 (1 )

1 (1 )

W F WF

W F W F

x z xzLn Ln Ln

x z x z

Obteniendo finalmente la expresión de Rayleigh en función de volatilidad relativa:

(1 ) 11

1 (1 ) 1

F W W

W F F

z x xFLn Ln Ln

W x z z