OBTENC¸AO DE COEFICIENTES˜ HIDRODINAMICOS PARA...

OBTENCAO DE COEFICIENTESHIDRODINAMICOS PARA CILINDROS

CIRCULARES LISOS ATRAVES DESIMULACOES NUMERICAS

Pedro Henrique A↵onso Nobrega

Projeto de Graduacao apresentado ao

Curso de Engenharia Mecanica da Escola

Politecnica, Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos ne-

cessarios a obtencao do tıtulo de Engenheiro.

Orientador:

Prof. Dr. Nısio de Carvalho Lobo Brum

Rio de Janeiro

Agosto de 2014

A↵onso Nobrega, Pedro Henrique

Obtencao de coeficientes hidrodinamicos para cilindros cir-

culares lisos atraves de simulacoes numericas / Pedro Henrique

A↵onso Nobrega - Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politecnica,

2014.

xvi, 58 p. il; 29,7 cm.

Orientador: Nısio de Carvalho Lobo Brum

Projeto de Graduacao - UFRJ/ Escola Politecnica/ Curso

de Engenharia Mecanica, 2014.

Referencias Bibliograficas: p. 50-52.

1. Cilindro circular 2. Simulacao numerica 3. RANS I.

Brum, Nısio de Carvalho Lobo. II. Universidade Federal do Rio

de Janeiro, Escola Politecnica, Curso de Engenharia Mecanica.

III. Tıtulo.

Resumo do Projeto de Graduacao apresentado a Escola Politecnica/UFRJ

como parte dos requisitos necessarios para a obtencao do grau de Engenheiro

Mecanico.

Obtencao de coeficientes hidrodinamicos para cilindros circulares lisos atraves de

simulacoes numericas


Agosto de 2014

Orientador: Nısio de Carvalho Lobo Brum

Curso: Engenharia Mecanica

Atualmente, as principais ferramentas para a analise de fadiga de estruturas o↵shore sub-

metidas a vibracoes induzidas por vortices sao metodos semi-empıricos. Estes metodos

utilizam como dados de entrada coeficientes hidrodinamicos de cilindros submetidos a

oscilacoes forcadas obtidos experimentalmente. O uso de simulacoes numericas bidimen-

sionais na obtencao destes coeficientes permitiria a reproducao de condicoes mais proximas

das observadas na operacao sem um custo computacional excessivo. Neste trabalho e ava-

liada a viabilidade do uso de simulacoes numericas bidimensionais RANS para a obtencao

de coeficientes hidrodinamicos relativos ao escoamento ao redor de um cilindro circular

liso fixo para um numero de Reynolds de 10000. Nesse sentido, foram analisadas as per-

formances de dois modelos de turbulencia distintos: k � ! SST e k � " realizavel. Para

cada um dos dois modelos, analises de convergencia relativas as discretizacoes espacial e

temporal foram realizadas. Os coeficientes obtidos foram comparados com resultados ex-

perimentais.Uma correcao levando em conta a defazagem das oscilacoes do coeficiente de

sustentacao observada ao longo do eixo de um cilindro de comprimento finito foi aplicada

e o modelo k � " realizavel apresentou resultados satisfatorios, abrindo caminho para a

obtencao de coeficientes hidrodinamicos para cilindros submetidos a oscilacoes forcadas.

Palavras-chave: Cilindro circular, Simulacao numerica, RANS, Vibracoes induzidas por

vortices.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to Escola Politecnica/UFRJ as

a partial fulfillment of the requirements for the degree of Mechanical

Engineer.

Obtaining hydrodynamic coe�cients for smooth circular cylinders through numerical

simulation


August 2014

Advisor: Nısio de Carvalho Lobo Brum

Course: Mechanical Engineering

Currently, the main tools for fatigue assessment of o↵shore structures under vortex in-

duced vibration are semi-empirical methods. These methods use as input hydrodynamic

coe�cients obtained by forced-oscillation experiments. The use of 2D numerical simula-

tions in obtaining these coe�cients would allow the reproduction of conditions closer to

the ones found during the operation of the structure without an excessive computational

cost. This work analyses the feasability of obtaining hydrodynamic coe�cients through

2D RANS numerical simulations of the flow around a fixed smooth circular cylinder for a

Reynolds number of 10000. Towards this goal, the performance of two turbulence models,

k�! SST and realizable k�", have been evaluated. For each of these models, convergence

analysis have been performed for space and time discretization. The obtained coe�ci-

ents have been compared to experimental results. A correction taking into account the

spanwise phase shift of the lift coe�cient oscillation has been applied and the realizable

k � " has shown satisfactory results, encouraging the use of the same methodology for

forced-oscillating cylinders.

Keywords : Circular cylinder, Numerical simulation, RANS, Vortex-induced vibrations.

vi

A meus pais.

vii

Agradecimentos

A meus pais, a quem dedico este trabalho, por tudo o que fizeram por mim e o apoio

incondicional em todos os momentos.

A Marcelo Caire e a equipe do Instituto SINTEF do Brasil, no qual este trabalho foi

realizado.

Ao Prof. Nısio, pela orientacao e pelo excelente curso sobre CFD.

A todos que contribuiram para o desenvolvimento das ferramentas de codigo livre que per-

mitiram a realizacao deste projeto: OpenFOAM, Paraview, Python, Matplotlib, Numpy,

LaTeX, entre outras.

A Solene Francois, pour le maillon rapide.

ix

Research is what I’m doing when I don’t know what I’m doing.

Wernher von Braun

Sumario

1 Introducao 1

1.1 Contexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Escoamento ao redor de cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Vibracoes induzidas por vortices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Parametros importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.2 Lock-in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Um exemplo de codigo semi-empırico: VIVANA . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Obtencao experimental de coeficientes hidrodinamicos . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 Descricao do experimento de Gopalkrishnan . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.2 Resultados obtidos por Gopalkrishnan . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Fundamentos teoricos 16

2.1 Descricao das configuracoes analisadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Equacoes de conservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2 Modelagem da turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 O metodo dos volumes finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Acoplamento pressao-velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.4 O uso de simulacoes bidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Experimentos numericos realizados 28

3.1 Domınio utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.1 Malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1.2 Condicoes de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.1.3 Propriedades do fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Metodo computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.1 blockMesh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.2 decomposePar, reconstructPar e calculo em paralelo . . . . . . . . . 34

3.2.3 pimpleFoam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.4 pydroCoe↵s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

xiii

4 Resultados obtidos 38

4.1 Convergencia temporal e espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.1 Convergencia com o modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.1.2 Convergencia com o modelo k � " realizavel . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Comparacao com os resultados experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2.1 Avaliacao dos resultados obtidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 Conclusao 48

5.1 A viabilidade do uso de simulacoes 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2 Metodo adotado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.3 Proximas etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Referencias Bibliograficas 50

A Modelos de Turbulencia 53

A.1 Modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

A.2 Modelo k � " realizavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.3 Condicoes de contorno turbulentas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

xiv

Lista de Figuras

Figura 1.1 Numero de Strouhal em funcao do numero de Reynolds . . . . . . . 4

Figura 1.2 Resultados obtidos por Feng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Figura 1.4 Esquema do aparato experimental usado por Gopalkrishnan . . . . . 10

Figura 1.5 Coeficientes de arrasto medio - Gopalkrishnan . . . . . . . . . . . . 13

Figura 1.6 Amplitudes dos coeficientes de arrasto - Gopalkrishnan . . . . . . . 13

Figura 1.7 Coeficientes de excitacao na direcao cross-flow - Gopalkrishnan . . . 14

Figura 1.8 Coeficientes de massa adicional - Gopalkrishnan . . . . . . . . . . . 14

Figura 2.1 Esquemas de algoritmos de acoplamento pressao-velocidade . . . . . 25

Figura 2.2 Comprimento de correlacao adimensional em funcao de Re . . . . . 26

Figura 3.1 Esquema do domınio computacional utilizado . . . . . . . . . . . . . 28

Figura 3.2 Malha 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 3.3 Detalhe da malha 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Figura 3.4 Esquema das condicoes de contorno utilizadas . . . . . . . . . . . . 30

Figura 3.5 Workflow adotado neste projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 3.6 Estrutura tıpica de um caso em OpenFOAM . . . . . . . . . . . . . 33

Figura 3.7 Exemplo de serie temporal de CD e CL . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Figura 4.1 Campos obtidos com o modelo de turbulencia k � " realizavel . . . . 43

Figura 4.2 Campos obtidos com o modelo de turbulencia k � " realizavel (cont.) 44

Figura 4.3 Perfis de variaveis ao longo do cilindro - k � " realizavel . . . . . . . 45

Figura 4.4 Comparacao entre os modelos k � " realizavel e k � ! SST . . . . . 46

Figura 4.5 Comparacao entre os modelos k � " realizavel e k � ! SST (cont.) . 46

Figura 4.6 Comparacao de perfis de variaveis ao longo do cilindro - fase 90o . . 47

xv

Lista de Tabelas

Tabela 1.1 Influencia do numero de Reynolds no escoamento . . . . . . . . . . 3

Tabela 1.2 Resultados experimentais para um cilindro fixo com Re = 10000. . . 12

Tabela 2.1 Parametros adotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Tabela 2.2 Constantes empregadas no modelo k � " standard . . . . . . . . . . 20

Tabela 3.1 Malhas usadas para analise de convergencia. . . . . . . . . . . . . . 29

Tabela 3.2 Condicoes de contorno na entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Tabela 3.3 Propriedades do fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tabela 4.1 Convergencia espacial com o modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . 39

Tabela 4.2 Convergencia temporal com o modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . 39

Tabela 4.3 Convergencia espacial com o modelo k � " realizavel . . . . . . . . . 40

Tabela 4.4 Convergencia temporal com o modelo k � " realizavel . . . . . . . . 40

Tabela 4.5 Comparacao das simulacoes 2D com os resultados experimentais . . 41

Tabela A.1 Constantes utilizadas no modelo k � ! SST . . . . . . . . . . . . . . 55

Tabela A.2 Constantes utilizadas no modelo k � " realizavel . . . . . . . . . . . 57

xvi

Capıtulo 1

Introducao

1.1 Contexto

Estruturas costeiras ou oceanicas sao submetidas a acao de ventos, correntes marinhas e

ondas. No contexto da exploracao o↵shore de petroleo e gas, risers e oleodutos usados

para o transporte de fluidos podem ter sua vida util reduzida consideravelmente sob a

acao de correntes devido ao fenomeno conhecido como vibracoes induzidas por vortices

(VIV).

Vibracoes induzidas por vortices acontecem devido a interacao entre a estrutura e o esco-

amento ao seu redor. A liberacao de vortices na esteira da estrutura induz uma oscilacao

das forcas de sustentacao e arrasto em frequencias que podem excitar certos modos de vi-

bracao da estrutura. Embora aparentemente simples, as vibracoes induzidas por vortices

sao um fenomeno extremamente complexo e um tema de pesquisa muito ativo atual-

mente [1,2], principalmente face a necessidade da industria do petroleo e gas de explorar

regioes cada vez mais profundas e ambientes mais hostis.

Apesar dos avancos recentes no uso de simulacoes computacionais levando em consideracao

a interacao entre fluido e estrutura, estas simulacoes ainda apresentam um alto custo para

propositos de engenharia [2]. Assim, projetos de risers e oleodutos baseiam-se atualmente

em metodos semi-empıricos onde coeficientes hidrodinamicos (de sustentacao e arrasto)

obtidos de forma experimental sao usados em combinacao com modelos estruturais. Dois

dos softwares largamente utilizados pela industria sao SHEAR7, desenvolvido por uma

equipe do MIT, e VIVANA [3], desenvolvido pelo instituto de pesquisa noruegues SINTEF.

No entanto, os coeficientes hidrodinamicos utilizados como dados de entrada para estes

softwares foram obtidos para cilindros de secao circular e superfıcie lisa submetidos a

escoamentos uniformes [4]. As condicoes que originam VIV em situacoes de interesse

1

pratico para a industria o↵shore podem ser bastante diferentes daquelas reproduzidas

experimentalmente. Proximidade entre a estrutura e o fundo submarino, rugosidade da

estrutura, ou diferentes nıveis de intensidade turbulenta do escoamento incidente sao

alguns dos parametros que podem variar, influenciando consideravelmente os coeficientes

hidrodinamicos observados [5].

Desta forma, o objetivo deste trabalho e avaliar a viabilidade do uso de simulacoes compu-

tacionais em 2D para a obtencao dos coeficientes hidrodinamicos necessarios aos codigos

semi-empıricos usados para projetos de engenharia. Tais simulacoes seriam mais simples

e logo menos custosas que simulacoes completas em 3D da estrutura inteira e ao mesmo

tempo, mais simples a colocar em pratica que experimentos fısicos para diferentes si-

tuacoes especıficas. Para isso, serao realizadas simulacoes numericas 2D de escoamentos

ao redor de um cilindro circular liso fixo a um numero de Reynolds de 10000. Dois modelos

de turbulencia do tipo RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes) serao utilizados: k � !

SST e k� " realizavel. Os resultados obtidos serao comparados com dados experimentais

obtidos por GOPALKRISHNAN [4], atualmente usados como dado de entrada para o

software VIVANA [3].

Este trabalho foi desenvolvido como parte da linha de pesquisa sobre VIV em vaos livres

de oleodutos do grupo de Tecnologia Marinha do Instituto SINTEF do Brasil. Espera-

se que com a validacao da metodologia aqui descrita para cilindros fixos, sera possıvel

analisar sua extensao para cilindros submetidos a oscilacoes forcadas.

1.2 Escoamento ao redor de cilindros

Escoamentos ao redor de cilindros de superfıcie lisa podem apresentar caracterısticas di-

versas, de acordo com o numero de Reynolds, descrito pela equacao 1.1, onde U representa

a velocidade do escoamento livre, D o diametro do cilindro e ⌫ a viscosidade cinematica

do fluido.

Re =UD

⌫

(1.1)

O numero de Reynolds corresponde a razao entre as forcas de inercia e as forcas viscosas em

um dado escoamento e governa o comportamento da camada limite que se forma proximo a

parede do cilindro. Em consequencia, este parametro e determinante no desenvolvimento

da esteira e no fenomeno de liberacao de vortices. A tabela 1.1 resume a relacao entre

o numero de Reynolds e as caracterısticas de um escoamento ao redor de um cilindro

circular de parede lisa de acordo com SUMER & FREDSØE [5].

2

Tabela 1.1: Influencia do numero de Reynolds no escoamento ao redor de umcilindro circular de superfıcie lisa (adaptado de [5])

Re < 5 O escoamento segue o contorno do cilindro, sem se-paracao da camada limite

5 < Re < 40 Ocorre separacao da camada limite e um par de vorticessimetricos se forma na esteira do cilindro. O compri-mento desses vortices na direcao da corrente aumentacom o numero de Reynolds.

45 < Re < 200 A esteira se torna instavel e um dos vortices e liberado,levando a uma liberacao periodica de vortices de sinaloposto em cada lado do cilindro (vortex street).

200 < Re < 300 Os vortices na esteira se tornam turbulentos e a regiaode transicao se desloca em direcao ao cilindro. A li-beracao de vortices comeca a apresentar caracterısticastridimensionais.

300 < Re < 3⇥ 105 Regime subcrıtico. A esteira e completamente turbu-lenta mas a camada limite permanece laminar. Osvortices sao liberados em “celulas” ao longo do com-primento do cilindro.

3⇥ 105 < Re < 3.5⇥ 105 Regime crıtico. A camada limite se torna turbulentano ponto de separacao em um dos lados do cilindro.Surge um coeficiente de sustentacao medio devido a estaassimetria do escoamento.

3.5⇥ 105 < Re < 1.5⇥ 106 Regime supercrıtico. A separacao da camada limite eturbulenta em ambos os lados do cilindro. A regiao detransicao se localiza entre os pontos de estagnacao e deseparacao.

1.5⇥ 106 < Re < 4⇥ 106 Transicao superior. A camada limite e completamenteturbulenta em um dos lados do cilindro.

4⇥ 106 < Re Regime transcrıtico. A camada limite e completamenteturbulenta em ambos os lados do cilindro.

3

Outro parametro importante para a analise de escoamentos ao redor de cilindros e o

chamado numero de Strouhal, dado por:

St =fsD

U

(1.2)

onde fs e a frequencia de liberacao de vortices.

Figura 1.1: Numero de Strouhal em funcao do numero de Reynolds [6]

A relacao entre o numero de Strouhal e o numero de Reynolds e conhecida experimen-

talmente para um cilindro circular e apresentada na figura 1.1, retirada de [6]. Deve-se

notar que o numero de Strouhal e proximo de 0.2 para uma grande faixa de numeros de

Reynolds. Sabe-se ainda que o numero de Strouhal depende tambem de outros fatores

como a rugosidade do cilindro, a intensidade turbulenta do escoamento incidente e a razao

de aspecto do cilindro [7]. A razao de aspecto e a razao entre o diametro e o comprimento

do cilindro.

1.3 Vibracoes induzidas por vortices

O fenomeno de liberacao de vortices causa uma oscilacao nas forcas de sustentacao e

arrasto que agem sobre um cilindro imerso em um escoamento uniforme. Se o cilindro

estiver livre para se mover, ele responde as forcas oscilatorias movendo-se na direcao do

escoamento e na direcao simultaneamente perpendicular a esta e ao eixo do cilindro. Estas

direcoes serao denominadas a seguir pelos termos correntes na literatura sobre o assunto:

in-line (IL) e cross-flow (CF), respectivamente. Uma caracterıstica importante dessas

oscilacoes e o fato de a amplitude ser limitada a aproximadamente um diametro, nao

4

tendo assim consequencias catastroficas do ponto de vista operacional. No entanto, esse

tipo de vibracao pode causar uma importante fadiga da estrutura, reduzindo sua vida

util [4].

1.3.1 Parametros importantes

Alguns parametros importantes na analise de vibracoes induzidas por vortices sao:

Frequencia natural da estrutura na agua parada f

0

Frequencia natural que a estrutura apresentaria caso estivesse imersa na agua parada.

Velocidade reduzida Ur

Velocidade adimensional que pode ser definida por:

Ur = U/f

0

D (1.3)

onde U e a velocidade do escoamento incidente sobre o cilindro de diametro D.

Amplitude adimensional A/D

Razao entre a amplitude de oscilacao A e o diametro do cilindro.

Razao de aspecto l/D

Razao entre o comprimento do cilindro l e seu diametro.

Frequencia nao dimensional f0

Frequencia adimensional definida com base na frequencia de oscilacao do cilindro fosc.

f

0

= foscD/U (1.4)

Coeficientes hidrodinamicos

As oscilacoes induzidas por vortices estao intimamente ligadas as forcas de sustentacao e

arrasto sobre uma estrutura. Podem-se definir respectivamente coeficientes de arrasto e

sustentacao por:

CD =2FD

⇢lDU

2

(1.5)

CL =2FL

⇢lDU

2

(1.6)

5

onde ⇢ e a densidade do fluido, l o comprimento do cilindro e FD e FL as forcas de arrasto

e sustentacao respectivamente. Um outro parametro importante e a massa adicional.

Quando um cilindro se move em um reservatorio de fluido estacionario, uma forca age

sobre o cilindro no sentido contrario a sua aceleracao. Essa forca tem modulo igual a

forca necessaria para acelerar a massa de fluido deslocada e corresponde a chamada massa

adicional hidrodinamica Ma. A massa adicional causa um aumento da massa efetiva para

a analise dinamica [6]. Pode ser definido um coeficiente de massa adicional de acordo com

a equacao 1.7 [4].

Ca =4Ma

⇢⇡D

2

(1.7)

1.3.2 Lock-in

Quando a frequencia de liberacao de vortices fs se aproxima da frequencia de um dos

modos de vibracao do corpo, pode ocorrer o fenomeno da ressonancia, ou lock-in, como e

conhecido na literatura sobre VIV. A frequencia fs deixa de seguir a equacao 1.2 e passa

a ser igual a frequencia de oscilacao.

Figura 1.2: Resultados obtidos por FENG [8].

6

A figura 1.2 mostra os resultados obtidos no experimento classico com um cilindro livre

para oscilar na direcao transversal (cross-flow) realizado por FENG [8] em 1968. Este

experimento revelou diversas caracterısticas importantes do fenomeno de vibracoes induzi-

das por vortices, como a ressonancia e a histerese da relacao entre amplitude adimensional

e velocidade reduzida.

1.4 Um exemplo de codigo semi-empırico: VIVANA

Codigos semi-empıricos como VIVANA ou SHEAR7 continuam a ser o metodo mais usado

para a analise de fadiga em risers e oleodutos apesar dos recentes desenvolvimentos em

simulacoes numericas do tipo CFD (Computational Fluid Dynamics). A seguir, a tıtulo

ilustrativo, sera descrito o codigo VIVANA, desenvolvido pela MARINTEK, divisao do

instituto de pesquisa noruegues SINTEF dedicada a tecnologia naval e oceanica. Para

simplificar a descricao, baseada no manual teorico do codigo [3], sera abordado o caso em

que VIVANA considera apenas vibracoes na direcao cross-flow.

1.4.1 Metodologia

As etapas seguidas no caso da analise de vibracoes apenas na direcao cross-flow sao apre-

sentadas a seguir.

Realizar analise estatica

VIVANA usa o codigo de elementos finitos nao-linear e tridimensional RIFLEX, permi-

tindo grandes deslocamentos e calculando a posicao estatica do duto. A estrutura, riser

ou oleoduto, e discretizada em N elementos ao longo de seu eixo e sao levadas em consi-

deracao a interacao com o solo, o arrasto medio gerado pela corrente e o peso aparente

do duto.

Resolver o problema de autovalores usando a massa adicional para a agua

parada

VIVANA resolve em um primeiro momento o problema de autovalores para estrutura em

questao�M

0

� !

2

iK0

��i = 0 (1.8)

M0

e K0

representam as matrizes de massa e rigidez estruturais calculadas para a con-

figuracao estatica com o coeficiente de massa adicional para a agua parada Ca0. !i e �i

representam os i-esimos autovalor e autovetor respectivamente.

7

Identificar possıveis modos CF e IL

Sao identificados os autovetores correspondendo a modos de vibracao cross-flow (CF)

e in-line (IL). Para isso, para cada elemento j, VIVANA decompoe a componente �i,j

do i-esimo autovetor em �i,j,CF e �i,j,IL no sistema de coordenadas local do elemento j,

formado pelos vetores i,j,IL na direcao da componente da corrente normal ao eixo do

duto UN,j e i,j,CF na direcao perpendicular a i,j,IL e ao eixo do duto (figura 1.3). Sao

entao calculadas normas de acordo com as equacoes 1.9 e 1.10. Essas normas sao usadas

para definir se o modo corresponde a um modo CF ou IL. Nessas equacoes, Lj denota o

comprimento do elemento j.

||�i||CF =X

j

h�i,j,CF ,�i,j,CF iLj (1.9)

||�i||IL =X

j

h�i,j,IL,�i,j,ILiLj (1.10)

Figura 1.3: Direcoes IL e CF no sistema de coordenadas local do elemento j.

Identificar possıveis frequencias ativas

VIVANA seleciona como possivelmente ativos os modos cujas frequencias adimensionais

encontram-se entre 0.125 e 0.3. Esses limites podem ser alterados pelo usuario, tendo

sido definidos com base nos experimentos de GOPALKRISHNAN [4]. Eles correspon-

dem a faixa de frequencias adimensionais (ou velocidades reduzidas) em que a forca de

sustentacao excita o movimento.

Obter frequencias de oscilacao

As frequencias obtidas com o coeficiente de massa adicional para a agua parada nao

correspondem as verdadeiras frequencias de oscilacao pois o coeficiente de massa adicional

depende desta ultima, que por sua vez depende do mesmo coeficiente de massa adicional.

Assim, o seguinte procedimento iterativo e utilizado para cada modo ativo com o intuito

de obter as frequencias de oscilacao:

1. Obter o coeficiente de massa adicional para a frequencia dada;

8

2. Atualizar a matriz de massa;

3. Resolver novamente o problema de autovalores descrito pela equacao 1.8 obtendo

um novo valor para a frequencia de oscilacao.

Este procedimento e repetido ate a convergencia para cada modo ativo. Deve-se notar

que VIVANA faz a hipotese de que o coeficiente de massa adicional e independente da

amplitude do movimento.

Ordenar os modos obtidos

VIVANA ordena os modos de acordo com um de dois modelos: time-sharing e space-

sharing. No primeiro, considera-se que um modo dominante esta ativo ao longo de todo

o duto a cada instante e que os modos se alternam ao longo do tempo. No outro, cada

modo domina ao longo de uma secao do duto e esta reparticao e constante ao longo do

tempo.

Obter amplitudes e forma da resposta

VIVANA obtem a resposta no domınio da frequencia resolvendo a equacao:

� !

2(MS +MH)x+ i!(CS +CH)x+Kx = X (1.11)

MS e MH representam as matrizes de massa estrutural e hidrodinamica, CS e CH as

matrizes de amortecimento estrutural e hidrodinamico, K a matriz de rigidez, x a resposta

e X a resultante dos carregamentos externos. Deve-se ressaltar que VIVANA calcula as

forcas de sustentacao e arrasto para cada elemento j de acordo com a formulacao:

Fe,CF =1

2⇢DLjCe,CFU

2

N (1.12)

Para isso VIVANA necessita como dado de entrada dos coeficientes Ce,CF em funcao da

amplitude e da frequencia de oscilacao. Os valores de Ce,CF , para oscilacoes apenas na

direcao cross-flow, foram obtidos experimentalmente por GOPALKRISHNAN [4] atraves

de ensaios de oscilacao forcada.

1.5 Obtencao experimental de coeficientes

hidrodinamicos

Basicamente, dois tipos de experimentos sao conduzidos no estudo de VIV em cilindros

rıgidos de baixa razao de aspecto: oscilacoes livres e oscilacoes forcadas. No primeiro,

9

busca-se observar as amplitudes de deslocamento e no segundo as forcas que agem sobre

o cilindro [4]. Nestes ultimos, um cilindro e submetido a um deslocamento harmonico

prescrito a uma dada amplitude e uma dada frequencia e as forcas atuantes sao medidas.

1.5.1 Descricao do experimento de Gopalkrishnan

A figura 1.4 mostra um esquema do aparato experimental usado por GOPALKRISHNAN

[4]. Um suporte para um cilindro de alumınio polido de 2.54 cm de diametro, 60 cm de

comprimento e um peso de 0.24 kg. Placas foram instaladas nas duas extremidades para

manter a bi-dimensionalidade do escoamento. O suporte era transladado a velocidade

constante em um canal de forma que o numero de Reynolds fosse igual a 10000.

Figura 1.4: Esquema do aparato experimental usado por GOPALKRISHNAN [4].

Durante a translacao do suporte, o cilindro foi submetido a um movimento oscilatorio

forcado com frequencia amplitude imposta. Um transdutor de forca possibilitou a medida

das forcas de arrasto e sustentacao.

No caso da forca de sustentacao, o angulo de fase �

0

entre o movimento da estrutura e

a componente oscilante da forca e crucial na determinacao da acao desta ultima [4]. A

posicao de um cilindro oscilando a uma frequencia f

0

e amplitude A e dada por:

y(t) = A sin(2⇡f0

t) (1.13)

GOPALKRISHNAN [4] modela os componente F

0L e F

0D ignorando as oscilacoes da sus-

tentacao na frequencia correspondente ao numero de Strouhal fs, de acordo com as

10

equacoes 1.14 e 1.15.

FL = FL + FL0 sin(2⇡f0t+ �

0

) (1.14)

FD = FD + FD0

sin(2⇡(2f0

)t+ �

0

) (1.15)

O autor justifica tal simplificacao por duas razoes. Na principal regiao de interesse, onde

ocorre o lock-in, a liberacao de vortices ocorre na frequencia de oscilacao f

0

. Alem disso,

como nao ha oscilacao do cilindro na frequencia fs, nao haveria transferencia de energia

entre o cilindro e o escoamento nessa frequencia.

Desenvolvendo-se a equacao 1.14, e possıvel demonstrar [4] que os componentes do co-

eficiente de sustentacao em fase com a velocidade e a aceleracao do corpo sao dados

respectivamente pelas equacoes 1.16 e 1.17.

CL,V 0

= CL0 sin�0

(1.16)

CL,A0

= �CL0 cos�0

(1.17)

onde:

CL0 =2FL0

⇢lDU

2

(1.18)

O coeficiente CL,V 0

, correspondendo ao termo em fase com a velocidade do cilindro, e

chamado coeficiente de excitacao e sera representado pela notacao Ce,CF . A componente

da forca de sustentacao correspondente tendera a excitar o movimento caso Ce,CF seja

positivo e a amortece-lo caso este coeficiente seja negativo. Ja o coeficiente CL,A0

pode

ser relacionado ao coeficiente de massa adicional ja descrito pela equacao 1.7 [4]:

Ca = � 1

2⇡3

CL,A0

(A/D)f 2

0

(1.19)

Ambos os coeficientes Ce,CF e Ca sao utilizados pelos codigos semi-empıricos, como o

VIVANA, descrito na secao precedente.

1.5.2 Resultados obtidos por Gopalkrishnan

GOPALKRISHNAN [4] realizou inicialmente um ensaio com o cilindro fixo e Re = 10000.

Os resultados obtidos em 122 realizacoes estao resumidos na tabela 1.2. Nota-se que

embora os desvios-padroes do numero de Strouhal e do coeficiente de arrasto medio sejam

menores que 1% e 3% dos valores medios respectivamente, essa estatıstica atinge 23%

para a amplitude de oscilacao do coeficiente de sustentacao CL0. Observa-se ainda que

11

a amplitude de oscilacao do coeficiente de arrasto CD0

e muito menor que a mesma

amplitude para o coeficiente de sustentacao.

Tabela 1.2: Resultados obtidos por GOPALKRISHNAN [4] para um cilindro fixocom numero de Reynolds igual a 10000.

St CD CL0 CD0

Media 0.1932 1.1856 0.3842 0.0215Desvio-padrao 0.0014 0.0315 0.0873 0.0076

Em seguida, GOPALKRISHNAN [4] procedeu com uma serie de ensaios com oscilacoes

forcadas do cilindro. O autor selecionou 51 valores de frequencia adimensional entre 0.05

e 0.35 e 6 valores de amplitude adimensional entre 0.15 e 1.20. O autor mediu coeficientes

de arrasto, de excitacao e de massa adicional. O numero de Reynolds tambem foi mantido

a 10000 para todos os casos. Os resultados sao apresentados nas figuras 1.5 a 1.8.

A figura 1.5 apresenta os resultados para o coeficiente de arrasto medio CD . Nota-se uma

amplificacao do arrasto medio para o cilindro em oscilacao, principalmente para valores

de frequencia adimensional entre 0.15 e 0.18.

A figura 1.6 apresenta as amplitudes de oscilacao do coeficiente de arrasto CD0

medidas.

Embora para baixas amplitudes e frequencias essas amplitudes nao passem de 10% dos

valores medios observados na figura 1.5, elas podem ser muito maiores que estes para

amplitudes e frequencias maiores.

Os coeficientes de excitacao na direcao cross-flow obtidos sao mostrados na figura 1.7. O

contorno correspondente a Ce,CF = 0 e mostrado com um traco mais grosso, dividindo as

zonas de excitacao (Ce,CF > 0) e de amortecimento (Ce,CF < 0). Nota-se que a excitacao

ocorre para frequencias adimensionais entre 0.125 e 0.3.

A figura 1.8 apresenta os coeficientes de massa adicional Ca obtidos. O traco mais grosso

representa a transicao entre valores positivos e negativos, que ocorre de forma abrupta.

No entanto, nota-se que a frequencia para qual ocorre esta transicao e praticamente

independente da amplitude de oscilacao.

12

Figura 1.5: Coeficientes de arrasto medio obtidos por GOPALKRISHNAN [4].

Figura 1.6: Amplitudes de oscilacao dos coeficientes de arrasto obtidas porGOPALKRISHNAN [4].

13

Figura 1.7: Coeficientes de excitacao na direcao cross-flow obtidos porGOPALKRISHNAN [4].

Figura 1.8: Coeficientes de massa adicional obtidos por GOPALKRISHNAN [4].

14

1.6 Objetivos

O objetivo deste trabalho e verificar a viabilidade do uso de simulacoes numericas bidi-

mensionais para a reproducao dos experimentos realizados por GOPALKRISHNAN [4],

possibilitando uma nova forma de obtencao dos coeficientes hidrodinamicos usados como

dados de entrada para codigos como VIVANA. Em particular, busca-se a validacao da

metodologia descrita nas proximas secoes para a obtencao de coeficientes hidrodinamicos

para o caso do cilindro fixo. Tal validacao permitira o futuro estudo da viabilidade de se

extender essa metodologia a cilindros submetidos a oscilacoes forcadas.

Este trabalho tem por vocacao servir de base a desenvolvimentos futuros na linha de

pesquisa sobre VIV em vaos livres de oleodutos do Instituto SINTEF do Brasil.

15

Capıtulo 2

Fundamentos teoricos

2.1 Descricao das configuracoes analisadas

Tabela 2.1: Parametros adotados

Velocidade do escoamento livre U 0.01 m/sDiametro do cilindro D 1 mViscosidade cinematica ⌫ 10�6 m2/sNumero de Reynolds Re 10000

Para atingir os objetivos descritos na secao acima, serao realizadas simulacoes numericas

bidimensionais do escoamento ao redor de um cilindro circular liso para um numero de

Reynolds igual a 10000, sendo a velocidade do escoamento livre de 0.01 m/s, o diametro

do cilindro 1 m, a viscosidade cinematica da agua 10-6 m2/s. Esses valores sao resumi-

dos na tabela 2.1. As implicacoes do uso de simulacoes bidimensionais serao tratadas

posteriormente na secao 2.4.

2.1.1 Equacoes de conservacao

O escoamento em questao e considerado isotermico e portanto governado pelas equacoes

de conservacao de massa e quantidade de movimento, que podem ser escritas sob a forma

diferencial [9–12]:@⇢

@t

+r.(⇢u) = 0 (2.1)

@(⇢u)

@t

+r.(⇢uu) = �rp+r.T+ ⇢g (2.2)

u indica a velocidade do escoamento, p a pressao, T o tensor de tensoes atuantes no fluido

e g a resultante das forcas de corpo. Ao longo deste trabalho, o fluido e considerado

16

newtoniano com viscosidade constante. Neste caso, o tensor de tensoes pode ser escrito:

T = 2µ

D� 1

3(r.u) I

�(2.3)

onde D e o tensor de taxas de deformacoes dado pela equacao 2.4:

D =1

2

⇥ru+ (ru)T

⇤(2.4)

Para a velocidade do escoamento livre adotada o numero de Mach e menor que 0.3, de

forma que o escoamento pode ser considerado incompressıvel. Alem disso, serao despre-

zadas as forcas de corpo atuantes. As equacoes 2.1 e 2.2 podem entao ser reescritas [13]:

r.(⇢u) = 0 (2.5)

@(⇢u)

@t

+r.(⇢uu) = �rp+ µr2u (2.6)

Essas equacoes podem ser reescritas usando-se a notacao de Einstein:

@ui

@xi

= 0 (2.7)

⇢

✓@ui

@t

+ uj@ui

@xj

◆= � @p

@xi

+ µ

✓@

2

ui

@x

2

j

◆(2.8)

2.1.2 Modelagem da turbulencia

Para o numero de Reynolds adotado neste trabalho, o escoamento ao redor do cilindro

encontra-se no regime subcrıtico, em que a esteira do cilindro e turbulenta, embora a

camada limite ainda seja laminar no caso do cilindro fixo [5] . Uma das principais carac-

terısticas de escoamentos turbulentos e a grande faixa de escalas de tempo e comprimento

que dificulta enormemente a resolucao numerica das equacoes 2.7 e 2.8 na forma em que

elas se apresentam [11]. DONG & KARNIADAKIS [14] realizaram uma simulacao de

cilindros estacionarios e sob oscilacao forcadas utilizando simulacoes numericas diretas

(DNS), onde todas as escalas da turbulencia sao resolvidas. Tecnicas de processamento

em paralelo permitiram essas simulacoes cujo tempo de CPU foi de 20000 h a 250000 h

em funcao do refinamento da malha. Claramente, o custo computacional e muito acima

do desejado para uma metodologia que se presta a fins de projeto.

Uma alternativa e a aplicacao de medias as equacoes 2.7 e 2.8. Como no caso em questao

o escoamento depende do tempo, sera utilizada a media de conjunto, correspondente a

17

media entre um numero grande de realizacoes de uma variavel estocastica:

�(x, t) = limN!1

=1

N

NX

n=1

�n(x, t) (2.9)

Decompoe-se entao a velocidade do escoamento em uma componente media e uma flu-

tuacao:

�(x, t) = �(x, t) + �

0(x, t) (2.10)

Aplicando-se a decomposicao descrita pela equacao 2.10 as equacoes 2.7 e 2.8, obtem-

se a forma chamada Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS), a forma ponderada das

equacoes de Navier-Stokes [9–11]:@ui

@xi

= 0 (2.11)

⇢

✓@ui

@t

+ uj@ui

@xj

◆= � @p

@xi

+ µ

@

2

ui

@x

2

j

+@

@xj

��⇢u

0iu

0j

�(2.12)

As medias �⇢u

0iu

0j sao as chamadas tensoes de Reynolds e correspondem ao fluxo de

quantidade de movimento induzido pelas flutuacoes turbulentas da velocidade. Pode-se

escrever um tensor de tensoes turbulentas:

Tt = �⇢

0

B@u

02

x u

0xu

0y u

0xu

0z

u

0xu

0y u

02

y u

0yu

0z

u

0xu

0z u

0yu

0z u

02

z

1

CA (2.13)

As tensoes de Reynolds necessitam de equacoes adicionais ou algum tipo de modelagem

para que as equacoes 2.11 e 2.12 possam ser resolvidas [10, 11].

Boussisnesq propos a hipotese de que as tensoes turbulentas podem ser modeladas da

mesma forma que as tensoes viscosas a partir de propriedades do escoamento medio [9,10]:

� ⇢u

0iu

0j = 2µtSij �

2

3�ij⇢k (2.14)

onde �ij e o delta de Kronecker, µt = ⇢⌫t a viscosidade dinamica turbulenta, k a energia

cinetica turbulenta, dada por:

k =1

2(u

02

i ) (2.15)

e Sij a taxa de deformacao media dada por:

Sij =1

2

✓@ui

@xj

+@uj

@xi

◆(2.16)

18

Deve-se atentar para o fato de que, diferentemente da viscosidade cinematica ⌫ do fluido,

⌫t e uma propriedade que depende tambem do proprio escoamento [10]. Assim, tanto a

viscosidade cinematica quanto a energia cinetica turbulentas ⌫t e k precisam ser modela-

das.

Tecnicas de analise dimensional permitem definir [9, 10]:

⌫t = Cµ

pkL (2.17)

onde Cµ = 0.09 e L e um comprimento caracterıstico da turbulencia.

Os modelos de turbulencia mais utilizados para solucao numerica das equacoes ponderadas

de Reynolds incluem equacoes de transporte de propriedades turbulentas. Alguns dos

modelos mais utilizados serao brevemente descritos a seguir. Maiores detalhes sobre os

modelos de turbulencia utilizados neste trabalho serao fornecidos no apendice A.

Spalart-Allmaras

O modelo Spalart-Allmaras [15] foi originalmente desenvolvido para escoamentos aero-

dinamicos e usa uma variavel ⌫ com dimensoes de viscosidade definida por:

⌫t = ⌫fv1, fv1 =�

3

�

3 + c

3

v1

, � ⌘ ⌫

⌫

(2.18)

onde cv1 e uma constante do modelo. Esta variavel obedece a seguinte equacao de trans-

porte:D⌫

Dt

= P �D +3

2

�r. [(⌫ + ⌫)r⌫] + cb2(r⌫)2

(2.19)

P e D sao termos de producao e destruicao de ⌫, respectivamente. Em uma parede solida,

a condicao de contorno e ⌫ = 0.

Modelos k � "

Os modelos k � " modelam a viscosidade cinematica turbulenta utilizando a energia

cinetica turbulenta e sua dissipacao ". No caso do modelo k � " standard, a viscosidade

turbulenta e dada por:

⌫t = Cµk

2

"

(2.20)

19

onde Cµ e uma constante do modelo. Atraves da manipulacao das equacoes de Navier-

Stokes (2.7 e 2.8), podem ser obtidas equacoes de transporte para k e ":

Dk

Dt

= r.

✓⌫ +

⌫t

�k

◆rk

�+ Pk � " (2.21)

D"

Dt

= r.

✓⌫ +

⌫t

�"

◆�"r"

�+ C"1

"

k

Pk � C"2"

2

k

(2.22)

onde as constantes C"1, C"2, �k e �" usadas no modelo tem seus valores descritos na tabela

2.2 e ⌫t e determinado pela equacao 2.20. �k e �" correspondem aos numeros de Prandtl

turbulentos para k e " respectivamente.

Tabela 2.2: Constantes empregadas no modelo k � " standard [10].

Cµ C"1 C"2 �k �"

0.09 1.44 1.92 1.0 1.3

Duas variantes do modelo k� " standard sao os modelos k-" realizavel e RNG k� ", que

propoem diferentes metodos de calculo de viscosidade cinematica turbulenta, difusividades

de k e " e termos de producao e destruicao de " [10].

Modelos k � !

O modelo k � ! propoe equacoes de transporte para a energia cinetica turbulenta k e !,

a taxa de dissipacao especıfica:

! =k

⌫t

(2.23)

O modelo proposto por WILCOX [16] tem a seguinte forma:

Dk

Dt

= r.

✓⌫ +

⌫t

�k

◆rk

�+ Pk �Dk (2.24)

D!

Dt

= r.

✓⌫ +

⌫t

�!

◆r!

�+ P! �D! (2.25)

onde Pk e P! sao termos de producao, Dk e D! termos de dissipacao e �k e �! os numeros

de Prandtl turbulentos para k e ! respectivamente. A viscosidade turbulenta e modelada

pela equacao 2.26, onde ↵

⇤ e um termo de amortecimento que leva em conta efeitos

20

viscosos em regioes de baixo numero de Reynolds.

⌫t = ↵

⇤ k

!

(2.26)

O modelo k � ! representa melhor que o modelo k � " camadas limite submetidas a

gradientes adversos de pressao moderados e regioes de baixo numero de Reynolds. No

entanto este modelo e sensıvel a condicoes de contorno do escoamento livre para ! [17].

Para resolver este problema e permitir a modelagem de escoamentos onde o gradiente

de pressao adverso e forte e ocorre separacao da camada limite, MENTER [18] propos a

variante Shear Stress Transport (SST). No modelo k � ! SST, as equacoes de transporte

assumem a forma do modelo k � ! em regioes proximas a parede e do modelo k � " em

regioes de escoamento livre.

Neste trabalho foram usados os modelos k � ! SST e k � " realizavel. Estes modelos sao

descritos em detalhes no apendice A.

2.2 O metodo dos volumes finitos

O metodo dos volumes finitos e utilizado para se obterem equacoes algebricas a partir

das equacoes diferenciais parciais que governam o transporte de quantidades como massa,

quantidade de movimento ou escalares de uma forma geral. Estas equacoes algebricas

sao obtidas pela discretizacao do domınio em um numero finito de volumes de controle

para os quais sao aplicadas as equacoes de conservacao das quantidades que se deseja

calcular. Para um escalar generico �, pode-se escrever a equacao de conservacao na forma

integral [11]:

@

@t

Z

V

⇢�dV +

Z

S

⇢�u.ndS =

Z

S

�(r�).ndS +

Z

V

q�dV (2.27)

O primeiro termo do lado esquerdo da equacao 2.27 corresponde ao acumulo do escalar �

no volume de controle V . O segundo termo do lado esquerdo representa o fluxo convectivo

de � atraves de S, as fronteiras de V . Do lado direito da equacao, o primeiro termo

corresponde ao fluxo difusivo de �, com � denotando a difusividade. O ultimo termo

corresponde a geracao ou destruicao de � por um termo fonte q�.

Em geral, o domınio tridimensional e discretizado em poliedros, normalmente hexaedros

ou tetraedros. Assim, as integrais de superfıcie dos fluxos convectivos e difusivos podem

ser escritas de acordo como a soma dos produtos entre os fluxos medios fk e a area Sk de

21

cada uma das faces. Os fluxos medios podem por sua vez ser aproximados pelos valores

no centro da face: Z

S

fdS =X

k

fkSk ⇡X

k

fkSk (2.28)

Pode-se demonstrar que esta e uma aproximacao de segunda ordem se o valor do fluxo no

centro da face fk for conhecido [11]. Caso o contrario, fk deve ser obtido por interpolacao.

No caso do termo convectivo que aparece no lado direito da equacao (2.27), tem-se pela

equacao (2.28): Z

S

⇢�u.ndS ⇡X

k

(⇢u.n)kSk�k =X

k

Fk�k (2.29)

O termo Fk e o fluxo massico atraves da face k. O ındice k representa o valor de uma

quantidade na face k. Da mesma forma que o termo convectivo, o termo difusivo pode

ser aproximado atraves da equacao (2.28):

Z

S

�r�.ndS ⇡X

k

�k(r�)k.nkSk (2.30)

A integral de volume correspondente ao termo fonte pode analogamente pode ser aproxi-

mada pelo produto entre o valor do termo fonte no centro do volume de controle, (q�)P , e

seu volume �VP . Esta aproximacao tambem e de segunda ordem se o termo fonte variar

linearmente ou for constante dentro do volume de controle [11].

Z

V

q�dV = q��V ⇡ (q�)P�VP (2.31)

No caso em que se deseja uma solucao transiente para a equacao 2.27, o intervalo de

tempo total tambem deve ser discretizado em intervalos de tempo finitos �t. O termo de

acumulo pode entao ser discretizado, obtendo-se [19]:

@

@t

Z

V

⇢�dV ⇡ (⇢�)n+1

P � (⇢�)nP�t

(2.32)

onde (⇢�)P denota o valor de ⇢� no centro do volume de controle e os ındices n e n + 1

instantes de tempo consecutivos.

Enfim, obtem-se uma equacao de balanco algebrica para � em um dado volume de controle:

(⇢�)n+1

P � (⇢�)nP�t

= �X

k

Fk�k +X

k

�k(r�)k.nkSk + (q�)P�VP (2.33)

22

Dois tipos de arranjos de discretizacao podem ser realizados: colocalizado ou desencon-

trado (staggered) [11,12]. No primeiro dos dois casos, todas as variaveis sao armazenadas

na mesma malha, por exemplo no centro dos volumes de controle. No arranjo desen-

contrado, as variaveis sao armazenadas em malhas diferentes. Em geral, neste caso, o

campo de velocidades e armazenado nas faces do volume de controle. Uma descricao mais

detalhada dos dois metodos, incluindo uma discussao sobre vantagens e desvantagens de

cada um deles, pode ser encontrada em [11,12].

Tendo em vista a equacao 2.33, algumas questoes devem ser colocadas:

• Como obter valores de (r�)k ou �k nas faces a partir de valores de �P nos centros

dos volumes de controle? Que metodos de interpolacao utilizar?

• Se o termo fonte (q�)P for nao-linear, como lineariza-lo?

• Para que instantes de tempo devem ser computados os termos do lado direito da

equacao, n (formulacao explıcita) ou n + 1 (formulacao implıcita)? Em outras

palavras, como deve ser feita a discretizacao temporal?

Uma discussao detalhada sobre possıveis respostas a essas questoes foge ao escopo deste

trabalho e o leitor interessado deve se referir a [11, 12, 19]. E interessante ressaltar que

os metodos adotados sao determinantes na qualidade da solucao obtida e as escolhas

realizadas neste trabalho serao descritas posteriormente.

2.3 Acoplamento pressao-velocidade

O desenvolvimento apresentado na secao 2.2 considerou como conhecido o campo de

velocidades u. No entanto, quando se busca resolver as equacoes de conservacao de

quantidade de movimento, o campo de velocidades nao e conhecido a priori, de forma que

o termo convectivo r.(⇢uu) e nao-linear. Alem disso, ha um termo adicional dependente

do campo de pressao, que em geral tambem e desconhecido. Uma equacao de Poisson para

a pressao pode ser derivada a partir das equacoes de conservacao de momento (equacao

2.6) e massa (equacao 2.5) [19]. A equacao discretizada para o campo de velocidades pode

ser escrita sob a forma [19]:

aP

�un+1

P � unP

�= H(u)�rp (2.34)

onde H(u) indica um operador linear contendo discretizacoes dos termos convectivo, di-

fusivo e fonte e aP e o coeficiente correspondente ao volume de controle P .

23

Tomando a divergencia da equacao 2.34 e utilizando a conservacao de massa (equacao

2.5), tem-se a equacao de Poisson para a pressao [19, 20]:

r✓

1

aP

rp

◆= r

H(u)

aP

�(2.35)

As equacoes para velocidades 2.34 e pressao 2.35 podem ser resolvidas simultaneamente,

mas essa abordagem apresenta um custo computacional muito elevado [19]. Uma alterna-

tiva e resolver separadamente essas equacoes. Os metodos mais usados nesse sentido sao

os algoritmos SIMPLE [21] e PISO [20]. O primeiro, SIMPLE (Semi-Implicit Method for

Pressure Linked Equations), desenvolvido por PATANKAR & SPALDING [21], e comu-

memente utilizado para analsies no regime estacionario. Ja o segundo, PISO (Pressure-

Implicit with Splitting of Operators), foi desenvolvido por ISSA [20] e e mais adaptado a

solucao de escoamentos transientes.

O algoritmo SIMPLE pode ser descrito pela sequencia de operacoes a seguir [11,12,21]:

1. Usar estimativas a priori dos campos de pressao e velocidade p⇤ e u⇤ para solucionar

a equacao 2.34, obtendo-se um campo de velocidade estimado u⇤⇤.

2. Resolver uma equacao derivada da equacao 2.35, sendo obtida uma correcao para o

campo de pressao p

0.

3. Com p

0, corrigir o campo de pressao: p⇤⇤ = p

⇤ + p

0.

4. Corrigir o campo de velocidade a priori de forma que o novo campo u⇤⇤⇤ = u⇤⇤+u0

satisfaca a equacao da continuidade.

5. Usar os campos p⇤⇤ e u⇤⇤⇤ como estimativas iniciais em uma nova iteracao ate que

a convergencia seja obtida.

O algoritmo PISO e similar a uma iteracao do algoritmo SIMPLE, mas nint correcoes de

pressao sao resolvidas para cada passo de tempo, equivalente a uma iteracao do SIMPLE.

Essa correcao de momento adicional e conhecida como inner loop, ou iteracao interior. O

pacote OpenFOAM, utilizado neste trabalho, permite ainda o uso do algoritmo PIMPLE

[22], uma versao combinada dos algoritmos PISO e SIMPLE onde para cada passo de

tempo, um numero nout de iteracoes exteriores, ou outer loops, e executado. O algoritmo

PIMPLE possibilita desta forma o uso de passos de tempo superiores aos demandados

pelo PISO [22]. A figura 2.1 mostra esquemas dos tres algoritmos de acoplamento pressao-

velocidade tais quais implementados no OpenFOAM.

24

Resolver as equacoes de momento

Resolver o campo de pressao corrigido

Relaxar o campo de pressao

Corrigir o campo de velocidades

Resolver as equacoes do modelo de turbulencia

(a) SIMPLE





nint

(b) PISO



Relaxar o campo de pressao



nout nint

(c) PIMPLE

Figura 2.1: Esquemas de algoritmos de acoplamento pressao-velocidade

2.4 O uso de simulacoes bidimensionais

Deve-se atentar para o fato de que o uso de simulacoes bidimensionais representa uma

aproximacao da realidade. A turbulencia e um fenomeno intrisecamente tridimensional

[10] e por isso uma representacao em duas dimensoes implica em um erro de modelagem

para o caso de um numero de Reynolds igual a 10000. No entanto, a realizacao de uma

simulacao em tres dimensoes acarretaria em um custo computacional elevado que se busca

evitar no contexto deste trabalho. Assim, propoe-se aqui a avaliar a viabilidade de tal

aproximacao.

De acordo com NORBERG [23], em escoamentos turbulentos a liberacao de vortices nao

ocorre necessariamente em fase ao longo do eixo do cilindro. Sendo RLL(s) coeficiente de

correlacao entre as forcas de sustentacao em duas secoes do cilindro separadas por uma

distancia s, a razao �L entre os desvios-padrao de oscilacao de coeficientes de sustentacao

de um cilindro finito de dimensao l e de uma secao bidimensional e dada por [23]:

�L =1

l

2

Z l

0

(l � s)RLL(s)ds

�1/2

(2.36)

25

Nota-se que �L assume sempre um valor menor que 1. Em outras palavras, o desvio-padrao

do coeficiente de sustentacao em um cilindro finito e sempre menor ou igual aquele em

uma secao bidimensional do cilindro.

Assumindo-se um decaimento exponencial para RLL(s), tem-se que [23]:

�L =

p2

a

⇥e

�a + a� 1⇤1/2

(2.37)

onde a e a razao entre o comprimento l e o comprimento de correlacao ⇤, definido por:

⇤ =

Z 1

0

RLL(s)ds (2.38)

Figura 2.2: Comprimento de correlacao adimensional em funcao do numero deReynolds [23]

A figura 2.2 mostra diversos valores obtidos experimentalmente para os comprimentos de

correlacao em funcao do numero de Reynolds. Nota-se que para Re = 10000, ⇤ ⇡ 5D.

Para o cilindro utilizado por GOPALKRISHNAN [4], o comprimento l e igual a 60 cm e

seu diametro 2.54 cm. Assim, o comprimento de correlacao seria igual a 5 ⇥ 2.54cm =

12.7cm. A razao entre o comprimento do cilindro e o comprimento de correlacao a e

aproximadamente igual a 4.7. Aplicando-se a equacao 2.37, tem-se �L = 0.58. Logo,

o valor do desvio-padrao do coeficiente de sustentacao obtido por GOPALKRISHNAN

deve ser aproximadamente igual a 58% do valor do mesmo desvio-padrao em uma secao

26

bidimensional do cilindro. Para uma oscilacao senoidal, a relacao entre o desvio-padrao e

a amplitude e dada por:

CL0 =p2CL0 (2.39)

Logo, o desvio-padrao do coeficiente de sustentacao de uma secao bidimensional pode ser

obtido a partir da amplitude de oscilacao do coeficiente de sustentacao para o cilindro

finito utilizado por GOPALKRISHNAN:

(CL0)2D =

1

0.58p2(CL0)finito = 1.22(CL0)finito (2.40)

A relacao (2.40) sera usada para obter os valores de (CL0)2D a serem comparados com os

resultados das simulacoes deste trabalho.

27

Capıtulo 3

Experimentos numericos realizados

3.1 Domınio utilizado

3.1.1 Malhas

30D 2D

x

yy

Zona refinada

Figura 3.1: Esquema do domınio computacional utilizado

O uso do metodo dos volumes finitos requer a discretizacao do domınio em elementos, em

geral tetraedricos ou hexaedricos no caso tridimensional e triangulares ou quadrilateros

no caso bidimensional. Neste trabalho, optou-se pelo uso de uma malha estruturada

com elementos quadrilateros. Devido a geometria do problema, o uso de um domınio

circular simplifica a elaboracao da malha. A figura 3.1 mostra um esquema do domınio

circular utilizado. O cilindro circular de diametro D = 1 m encontra-se no centro de

uma circunferencia de diametro 30D, a fim de minimizar efeitos devidos as condicoes

de contorno aplicadas. Em uma zona de diametro 2D ao redor do cilindro, a malha foi

refinada a fim de capturar de forma mais acurada o escoamento nas proximidades da

parede.

28

Tabela 3.1: Malhas usadas para analise de convergencia.

Malha 1 Malha 2 Malha 3

Ncirc 240 288 384Nref 90 108 144Next 80 96 128

Ntotal 40800 58752 104448

Figura 3.2: Malha 3.

Figura 3.3: Detalhe da malha 3.

O domınio foi dividido em Ncirc elementos ao longo de sua circunferencia, Nref ao longo da

direcao radial na zona refinada e Next ao longo da direcao radial na zona exterior. Desta

forma, o numero total de elementos da malha e dado por Ntotal = Ncirc(Nref + Next).

O tamanho das divisoes ao longo da direcao radial foi aumentado com uma taxa de

crescimento constante k de forma que a razao entre o tamanho do primeiro e do ultimo

29

fosse rref = 0.090 na zona refinada e rext = 0.012 na zona externa. A taxa de crescimento

pode ser calculada pela relacao k

N�1 = r

�1. A tabela 3.1 resume as caracterısticas das

malhas utilizadas neste trabalho. Na figura 3.2 e mostrada a malha 3 e na figura 3.3,

observa-se refinamento proximo a parede do cilindro.

3.1.2 Condicoes de contorno

A figura 3.4 apresenta as condicoes de contorno definidas no domınio. Em azul, a regiao

de entrada, onde um perfil de velocidade constante e aplicado. Os parametros desta

condicao inlet sao descritos na tabela 3.2. Em vermelho encontra-se a regiao onde foi

aplicada uma condicao de saıda (outflow) com pressao constante igual a 0 Pa. Caso haja

retorno do escoamento (de fora para dentro do domınio) na regiao de saıda, sao aplicadas

as condicoes de intensidade turbulenta e razao de viscosidade descritas na tabela 3.2. Por

fim, na regiao verde, foi aplicada uma condicao de parede sem escorregamento, ou no-slip.

Essa condicao impoe velocidade nula para o escoamento. Para as variaveis turbulentas,

foram usados tratamentos para a condicao de contorno na parede que serao descritos na

secao A.3.

EntradaSaıdaParede

x

yy

Figura 3.4: Esquema das condicoes de contorno utilizadas

Tabela 3.2: Condicoes de contorno na entrada

Velocidade do escoamento na direcao x Ux 0.01 m/sVelocidade do escoamento na direcao y Uy 0 m/sIntensidade turbulenta I 1.0%Razao de viscosidade ⌫t/⌫ 1.0

30

3.1.3 Propriedades do fluido

Tabela 3.3: Propriedades do fluido

Massa especıfica ⇢ 1000 kg/m3

Viscosidade cinematica ⌫ 10�6 m2/s

O fluido considerado tem propriedades equivalentes a da agua, resumidas na tabela 3.3.

3.2 Metodo computacional

Neste trabalho foi utilizada a versao 2.2.x do pacote computacional OpenFOAM. OpenFOAM

consiste em uma serie de bibliotecas desenvolvidas em C++, dedicadas a resolucao de pro-

blemas em mecanica do contınuo [22] e disponibilizadas sob uma licenca de tipo codigo

aberto (open source). A forca do OpenFOAM reside na possibilidade de os usuarios

poderem desenvolver novos componentes adaptados a solucao de problemas especıficos.

Alem disso, o acesso ao codigo permite um maior controle e uma melhor compreensao dos

metodos utilizados. Enfim, no caso em que calculos em paralelo sao realizados, como no

caso deste trabalho, nao ha limitacao do numero de processadores utilizados. As bases do

OpenFOAM foram desenvolvidas inicialmente por Hrvoje Jasak durante seu doutorado

entre 1993 e 1996 [19].

blockMesh

decomposePar

pimpleFoam

reconstructPar

paraFoam

forceCoe↵spydroCoe↵s

Figura 3.5: Workflow adotado neste projeto

O workflow adotado neste projeto e descrito na figura 3.5. Inicialmente, uma malha

estruturada multi-blocos e construıda atraves da aplicacao blockMesh do OpenFOAM.

Em seguida, o domınio e decomposto em vista da resolucao em paralelo do caso com

a aplicacao decomposePar, que utiliza um algoritmo Scotch [24]. Usando como input

31

definicoes de condicoes iniciais e de contorno, modelo de turbulencia, parametros de si-

mulacao e metodos numericos, pimpleFoam calcula os campos de pressao, velocidade e

propriedades turbulentas pelo metodo dos volumes finitos descrito na secao 2.2. PIMPLE

e um algoritmo de acoplamento pressao-velocidade que consiste em uma combinacao dos

algoritmos PISO e SIMPLE [22]. A aplicacao forceCoe↵s do OpenFOAM permite calcular

os coeficientes de arrasto e sustentacao dado o campo de pressao em cada instante. A serie

temporal gerada por forceCoe↵s e tratada atraves do modulo pydroCoe↵s, desenvolvido

em Python pelo autor deste projeto especialmente para este fim. Por fim, os campos de

pressao e velocidade do escoamento sao tratados com o programa de visualizacao Paraview

atraves da aplicacao paraFoam. Este workflow sera detalhado nas secoes seguintes.

Com o OpenFOAM, um caso e composto de diretorios contendo arquivos que fornecem

os dados de entrada e parametros necessarios a execucao das diferentes aplicacoes. A

estrutura tıpica de um caso e mostrada na figura 3.6. Segue uma discricao breve dos

diferentes diretorios:

• Diretorio constant - contem a descricao completa da malha utilizada no caso e

arquivos contendo informacoes sobre propriedades fısicas adotadas e modelos de

turbulencia.

– polyMesh - sub-diretorio contendo a descricao da malha

– transportProperties - arquivo contendo informacoes sobre as propriedades do

fluido (densidade, viscosidade, ...)

– turbulenceProperties - arquivo indicando se o escoamento deve ser tratado

como laminar ou turbulento e o tipo de modelo de turbulencia adotado: RAS

(Reynolds-Averaged Simulation), LES (Large Eddy Simulation) ou DNS

– RASProperties - arquivo contendo o modelo de turbulencia adotado e suas

propriedades (caso sejam usadas constantes diferentes das pre-definidas)

• Diretorio system - contem arquivos com informacoes sobre a solucao do caso:

– controlDict - arquivo onde parametros de controle da solucao sao definidos

(instantes inicial e final, passo de tempo, geracao de arquivos resultados)

– fvSchemes - arquivo onde os esquemas de discretizacao usados sao definidos

– fvSolution - arquivo onde solvers de equacoes lineares, tolerancias e parametros

de outros algoritmos sao definidos

– decomposeParDict - arquivo contendo instrucoes para a decomposicao do domınio

em sub-domınios

32

Figura 3.6: Estrutura tıpica de um caso em OpenFOAM [22]

Alem desses dois diretorios, podem haver diretorios para dados instantes de tempo. Nestes

diretorios sao definidos os campos de variaveis (velocidade, pressao, viscosidade, variaveis

do modelo de turbulencia). Tipicamente, um diretorio 0 e criado pelo usuario para definir

as condicoes iniciais e condicoes de contorno.

A seguir, serao descritas brevemente as aplicacoes usadas neste trabalho e os parametros

definidos para o caso.

3.2.1 blockMesh

A rotina blockMesh e usada para criar a malha multi-blocos estruturada desejada, descrita

na secao 3.1.1. A rotina tem como entrada um dicionario blockMeshDict. Neste dicionario,

em primeiro lugar sao definidos vertices da malha por suas coordenadas XYZ. Em seguida,

sao definidos blocos (hexaedricos no caso deste trabalho) pelos ındices de seus 8 vertices,

o numero de elementos em que serao divididos ao longo de cada uma das direcoes X,Y e Z

e a relacao de tamanho entre o primeiro e o ultimo elemento em cada direcao. Se a aresta

entre dois pontos de um bloco for um elemento geometrico diferente de uma reta (um arco,

por exemplo), este elemento deve ser definido. Por fim, sao definidos patches regrupando

diferentes faces. Estes grupos sao usados para a definicao de condicoes de contorno. Como

uma solucao 2D e desejada, a direcao Z foi dividida em apenas um elemento e as faces

no plano XY foram definidas como empty [22]. A aplicacao checkMesh pode ser usada

para que sejam obtidas caracterısticas geometricas da malha e para que seja checada a

sua qualidade.

33

3.2.2 decomposePar, reconstructPar e calculo em paralelo

A rotina decomposePar e usada para decompor o domınio em sub-domınios em vista de um

calculo em paralelo. Neste trabalho, foi usado o algoritmo Scotch para a decomposicao em

4 sub-domınios. Este algoritmo busca minimizar as fronteiras entre os sub-domınios [22]

e foi escolhido por sua simplicidade, nenhum parametro de entrada alem do numero de

particoes sendo necessario.

OpenFOAM usa para o calculo em paralelo a biblioteca de codigo aberto Open MPI,

largamente adotado para a computacao cientıfica de alta performance [22]. Caso sejam

usados apenas nucleos locais (em uma maquina com mais de um nucleo), o procedimento

para o calculo em paralelo e bastante simples, bastando executar a aplicacao desejada

com o comando:

$ mpirun �np 4 pimpleFoam �p a r a l l e l

Quando o calculo e executado paralelamente, os resultados para cada sub-domınio sao ar-

mazenados separadamente. A aplicacao reconstructPar permite recombinar os resultados

permitindo o pos-tratamento.

3.2.3 pimpleFoam

pimpleFoam e um solver que utiliza o algoritmo PIMPLE descrito na secao 2.3 para re-

solver as equacoes de momento, pressao e as equacoes do modelo de turbulencia, caso

existam. Este algoritmo foi escolhido por permitir maiores passos de tempo que os nor-

malmente utilizados com o algoritmo PIMPLE [22]. Para cada passo de tempo, foram

definidas duas iteracoes interiores e duas iteracoes exteriores. Fatores de relaxamento de

0.2 para a pressao e 0.8 para as outras variaveis foram utilizados. Esses parametros sao

definidos no arquivo fvSolution. Nenhuma correcao de nao-ortogonalidade da malha foi

utilizada devido ao fato de a malha ser ortogonal (todas as intersecoes de arestas ocorrem

a um angulo de 90o).

Solucao de sistemas lineares

Em cada iteracao, o algoritmo PIMPLE devera resolver sistemas de equacoes lineares

algebricas para obter os campos de pressao, velocidade e quantidades turbulentas (k, "

ou !). O metodo de solucao dessas equacoes e definido no arquivo fvSolution. Neste

trabalho, um metodo GAMG (generalised geometric-algebraic multi-grid) para a equacao

da pressao. Para as equacoes de velocidade, k, " e !, foi usado um metodo PBiCG

34

(preconditioned bi-conjugate gradient). Em ambos os metodos, tolerancias absoluta e

relativa de 10�8 e 0.001 foram respectivamente utilizadas. Nas ultimas iteracoes interiores

ou exteriores de cada passo de tempo, a convergencia ate a tolerancia absoluta de 10�8

foi forcada.

Esquemas de interpolacao

As equacoes algebricas resolvidas pelo pimpleFoam sao obtidas atraves do metodo dos

volumes finitos. Um esquema Gauss linear foi utilizado para a discretizacao dos gradi-

entes de pressao e momento. O termo convectivo da equacao de momento r.(⇢uu) foi

discretizado utilizando-se um metodo de Gauss linearUpwind de segunda ordem e os ter-

mos convectivos referentes as variaveis turbulentas, um metodo Gauss upwind de primeira

ordem. Os termos difusivos foram discretizados com o metodo Gauss linear. As derivadas

temporais foram discretizadas atraves do metodo backward de segunda ordem.

Na sintaxe utilizada pelo OpenFOAM, Gauss refere-se ao uso do Teorema de Gauss para

transformar uma integral de volume em uma integral de superfıcie. Esse procedimento

requer um metodo de interpolacao para a obtencao de quantidades nas faces a partir de

seus valores no centro do volume de controle, neste caso linear, upwind ou linearUpwind

[22].

3.2.4 pydroCoe↵s

O modulo pydroCoe↵s foi desenvolvido em Python com o objetivo de automatizar o

pos-tratamento de series temporais de coeficientes hidrodinamicos. O modulo permite o

calculo de estatısticas como media e desvio-padrao e a frequencia de oscilacao do coefi-

ciente. Alem disso, e possıvel comparar graficamente ou analisar a convergencia de um

conjunto de series de dados nos formatos FLUENT e OpenFOAM. O uso de conceitos de

orientacao objeto permitiu o desenvolvimento de um codigo enxuto e modulavel que pode

vir a receber novas funcionalidades no futuro.

Obtencao de estatısticas dos coeficientes hidrodinamicos

A figura 3.7 mostra o formato tıpico de uma serie temporal de coeficientes de arrasto CD e

sustentacao CL. Nota-se a existencia de um intervalo transiente antes do estabelecimento

completo do fenomeno de liberacao de vortices, que se da a partir de t = 16000s. Este

intervalo transiente e desconsiderado no calculo das estatısticas dos coeficientes hidro-

35

Figura 3.7: Exemplo de serie temporal de CD e CL (obtida com a malha 2, passode tempo �t = 0.2s e o modelo k � " realizavel).

dinamicos desejados. pydroCoe↵s calcula entao as seguintes quantidades:

CD =1

Tf � Tcut

Z Tf

Tcut

CD(t)dt (3.1)

CL0 =

s1

Tf � Tcut

Z Tf

Tcut

�CL(t)� CL

�2

dt (3.2)

onde Tcut e o tempo a partir do qual considera-se que o fenomeno de liberacao de vortices

esta plenamente estabelecido. A frequencia de oscilacao e obtida a partir de um perıodo

de oscilacao, medido na ultima oscilacao da serie. Embora o calculo da media dos perıodos

de multiplos ciclos seja um metodo mais preciso, a implementacao da primeira alternativa

e consideravelmente mais simples e por isso foi escolhida. O numero de Strouhal e entao

calculado com a velocidade do escoamento e o diametro do cilindro pela equacao 1.2.

Analise de convergencia

Um metodo para estimativa de erros devido a discretizacao em mecanica dos fluidos

computacional para uma dada quantidade � proposto pela ASME foi implementado no

modulo pydroCoe↵s. Este metodo e descrito a seguir [25]:

36

1. Define-se um tamanho de elemento caracterıstico para uma malha 2D:

h =

"1

N

NX

i=1

(�Ai)

#1/2

(3.3)

ondeN e o numero total de elementos da malha e Ai a superfıcie do i-esimo elemento.

2. Selecionam-se tres malhas com h

1

< h

2

< h

3

, sendo recomendado que a razao h

3

/h

1

seja superior a 1.3.

3. Com r

21

= h

2

/h

1

e r

32

= h

3

/h

2

, calcula-se a ordem aparente p do metodo:

p =1

ln(r21

)

��ln��

3

� �

2

�

2

� �

1

��+ q(p)

�� (3.4)

q(p) = ln

✓r

p21

� s

r

p32

� s

◆s = sgn

✓�

3

� �

2

�

2

� �

1

◆(3.5)

Nota-se que a equacao 3.4 pode ser resolvida atraves de iteracoes de ponto fixo [25].

4. Calcula-se o valor extrapolado �

ext21

:

�

ext21

=r

p21

�

1

� �

2

r

p21

� 1(3.6)

5. Calculam-se os erros relativos aproximado e

a21

e extrapolado e

ext21

e o ındice de con-

vergencia da malha refinada GCI

ref21

:

e

a21

=

��

1

� �

2

�

1

�� e

ext21

=

��

ext21

� �

1

�

ext21

�� (3.7)

GCI

ref21

=1.25ea

21

r

p21

� 1(3.8)

O ındice GCI

ref21

corresponde a incerteza numerica na solucao refinada para �. Deve-se

ressaltar que este ındice nao inclui erros de modelagem.

O procedimento descrito acima foi aplicado aos valores medios do coeficiente de arrasto,

aos desvio-padrao do coeficiente de sustentacao e aos numeros de Strouhal obtido. Alem

disso, o mesmo procedimento foi aplicado a discretizacao temporal neste trabalho, o passo

de tempo sendo usado no lugar do comprimento caracterıstico do elemento de malha.

37

Capıtulo 4

Resultados obtidos

4.1 Convergencia temporal e espacial

Estudos de convergencia dos coeficientes hidrodinamicos obtidos com a diminuicao do

passo de tempo e com o aumento do numero de elementos na malha foram realizados para

os modelos de turbulencia k� ! SST e k� " realizavel. Os resultados sao apresentados a

seguir.

4.1.1 Convergencia com o modelo k � ! SST

A tabela 4.1 mostra o coeficiente de arrasto medio CD, o desvio-padrao do coeficiente

de sustentacao (CL0)2D e o numero de Strouhal St obtidos para as tres diferentes malhas

consideradas. Foi realizado um estudo de convergencia utilizando-se o metodo descrito

na secao 3.2.4. Nota-se um erro relativo aproximado de menos de 2% entre os casos

SST22 e SST23, onde o numero de elementos da malha foi aumentado de 78%. Assim, do

ponto de vista da convergencia, o resultado obtido com a malha 2 e satisfatorio e por isso

esta mesma malha foi utilizada no estudo da convergencia temporal. Os valores extra-

polados apresentados na tabela abaixo serao utilizados na comparacao com os resultados

experimentais, sendo a incerteza relativa a discretizacao GCI

ref menor que 0.2%

38

Tabela 4.1: Convergencia espacial com o modelo k � ! SST (�t = 0.2 s)

Caso Malha Elementos �t CD (CL0)2D St

SST12 1 40800 0.2 s 1.378 1.056 0.2302

SST22 2 58752 0.2 s 1.634 1.176 0.2432

SST23 3 104448 0.2 s 1.663 1.200 0.2459

Valor extrapolado �

ext 1.664 1.201 0.2461

Erro relativo aproximado e

a 1.74% 1.98% 1.09%

Erro relativo extrapolado e

ext 0.05% 0.13% 0.08%

Indice de convergencia GCI

ref 0.06% 0.17% 0.10%

Tabela 4.2: Convergencia temporal com o modelo k � ! SST (malha 2)


SST28 2 58752 0.8 s 1.652 1.192 0.2841

SST24 2 58752 0.4 s 1.639 1.184 0.2430

SST22 2 58752 0.2 s 1.634 1.176 0.2432


ext 1.629 1.02 0.2432


a 0.33% 1.98% 0.08%


ext 0.27% 14.65% 0.00%


ref 0.34% 15.97% 0.00%

A tabela 4.4 mostra por sua vez os resultados do teste de convergencia temporal. O

ındice GCI

ref para o desvio-padrao do coeficiente de sustentacao (CL0)2D de quase 16%

indica que esta quantidade ainda nao e independente do valor do passo de tempo adotado.

Apesar disso, o passo de tempo de 0.2 s foi utilizado na comparacao com os resultados

experimentais pois, como sera visto adiante, tal erro nao alteraria as conclusoes deste

trabalho.

39

4.1.2 Convergencia com o modelo k � " realizavel

Tabela 4.3: Convergencia espacial com o modelo k � " realizavel (�t = 0.2 s)


REAL12 1 40800 0.2 s 1.333 0.869 0.2335

REAL22 2 58752 0.2 s 1.264 0.746 0.2310

REAL32 3 104448 0.2 s 1.242 0.697 0.2301


ext 1.239 0.6868 0.2300


a 1.74% 7.06% 0.37%


ext 0.24% 1.47% 0.06%


ref 0.30% 1.80% 0.07%

Tabela 4.4: Convergencia temporal com o modelo k � " realizavel (malha 2)


REAL28 2 58752 0.8 s 1.236 0.686 0.2301

REAL24 2 58752 0.4 s 1.262 0.745 0.2304

REAL22 2 58752 0.2 s 1.264 0.746 0.2310


ext 1.264 0.746 0.2315


a 0.17% 0.08% 0.24%


ext 0.02% 0.00% 0.22%


ref 0.02% 0.00% 0.28%

Um estudo de convergencia usando o metodo descrito na secao 3.2.4 tambem foi feito

usando o modelo k � " realizavel. Os resultados obtidos sao apresentados na tabela

4.3. Nota-se mais uma vez uma boa convergencia dos resultados obtidos com o refino

da malha. Apenas o desvio-padrao do coeficiente de sustentacao (CL0)2D apresentou um

GCI

ref superior a 1%. Os valores extrapolados foram utilizados na comparacao com os

resultados experimentais.

4.2 Comparacao com os resultados experimentais

Os valores extrapolados obtidos na secao precedente foram utilizados para a comparacao

com os resultados experimentais obtidos por GOPALKRKISHNAN em 1993 [4]. A tabela

40

4.5 resume os valores obtidos com os dois modelos de turbulencia. O valor de (CL0)2D

para o experimento de GOPALKRISHNAN foi obtido atraves da relacao (2.40) descrita

na secao 2.4. CL0 denota a amplitude de oscilacao do coeficiente de sustentacao.

Tabela 4.5: Comparacao das simulacoes 2D com os resultados experimentais

CD (CL0)2D CL0 St

Simulacoes 2Dk � ! SST 1.664 1.201 1.698 0.2461

k � " realizavel 1.239 0.6868 0.9713 0.2300

Gopalkrishnan [4]valores medios 1.1856 0.4684 0.3842 0.1932

desvio-padrao 0.0315 0.1064 0.0873 0.0014

Nota-se que os coeficientes hidrodinamicos obtidos com o modelo k� " realizavel se apro-

ximam mais dos resultados experimentais, ainda que sistematicamente acima destes. No

entanto, discrepancias grandes sao observadas no coeficiente de sustentacao. A correcao

descrita na secao 2.4 permite de amproximar os valores obtidos numericamente e experi-

mentalmente, indicando que uma parte consideravel das diferencas observadas devem-se

a hipotese de bidimensionalidade do escoamento. O estudo de convergencia realizado na

secao precedente nao permite atribuir toda a diferenca a discretizacao e aos esquemas

numericos. Resta como provavel causa a modelagem da turbulencia com uma abordagem

RANS, que nao permite levar em conta todas as escalas da turbulencia e portanto difi-

cultar a descricao de fenomenos que influenciam diretamente as forcas hidrodinamicas,

como por exemplo a separacao da camada limite.

4.2.1 Avaliacao dos resultados obtidos

A fim de compreender melhor as diferencas nos resultados obtidos com os modelos k � !

SST e k � " realizavel, e necessario olhar para as outras variaveis de escoamento. Nas

figuras 4.1 e 4.2, sao mostrados respectivamente os campos de pressao, velocidade, com-

ponente z da vorticidade e viscosidade cinematica, energia cinetica e taxa de dissipacao

turbulentas obtidos com o modelo k � " realizavel. Cada linha representa um angulo de

fase diferente em relacao a oscilacao do coeficiente de sustentacao: 0o, 90o, 180o e 270o

(de cima para baixo).

Em 90o e 270o, o coeficiente de sustentacao tem seus valores maximos e mınimos respec-

tivamente, sendo nulo em 0o e 180o. Pode-se observar na figura 4.1 que a oscilacao do

coeficiente de sustentacao e causada por uma oscilacao do campo de pressao ao redor do

41

cilindro. Quando a fase e 90o, nota-se uma aceleracao do fluido e uma queda da pressao

na parte superior do cilindro. O contrario ocorre quando a fase e 270o. Os campos de

vorticidade na coluna da direita da figura 4.1 demonstram claramente o fenomeno de

liberacao de vortices descrito na secao 1.2.

Na figura 4.2, sao mostrados os campos das variaveis turbulentas. Observa-se que a

camada limite permanece laminar ate a separacao, com valores altos de viscosidade ci-

nematica e energia cinetica turbulentas na esteira do cilindro. Tambem e visto que os

valores mais altos da taxa de dissipacao ocorrem nas proximidades dos picos de ener-

gia cinetica turbulenta. Alem disso, esses campos turbulentos tambem estao sujeitos a

oscilacoes devido ao fenomeno de liberacao de vortices.

Na figura 4.3, sao apresentados os valores de algumas variaveis do escoamento na parede

do cilindro para diferentes fases. O angulo de 0o corresponde ao ponto de estagnacao

e aumenta no sentido horario (90o corresponde a parte superior do cilindro e 270o a

inferior). Nota-se claramente a oscilacao do campo de pressao e das outras variaveis, os

picos encontrando-se ora na parte superior, ora na parte inferior do cilindro. Observa-se

ainda que os valores de k e ⌫t aparentam ser linearmente dependentes. Deve-se ressaltar

que os valores de ⌫t e k junto a parede sao bastante inferiores aqueles observados na esteira

na figura 4.2.

Nas figuras 4.4 e 4.5, sao comparados os campos obtidos com os dois modelos de tur-

bulencia para um angulo de fase de 90o. As velocidades e as depressoes obtidas com o

modelo k � ! SST sao significativamente maiores que as obtidas com o modelo k � "

realizavel. As depressoes mais intensas explicam o fato de os coeficientes hidrodinamicos

obtidos com o primeiro modelo serem sensivelmente superiores aos obtidos com o segundo.

Essa discrepancia pode tambem ser a causa da maior frequencia de oscilacao obtida com

o modelo SST. Naa figura 4.6, sao mostrados os perfis de variaveis ao longo da parede

do cilindro. Nota-se que de fato as depressoes ao redor do cilidnro sao mais acentuadas

com o modelo k�! SST. A vorticidade tambem apresenta multiplos picos na traseira do

cilindro com o modelo k�! SST, o que aparenta apresentar uma certa dependencia linear

com a viscosidade turbulenta. Estas quantidades apresentam discrepancias em relacao ao

modelo k � " realizavel no ponto onde a viscosidade turbulenta e maxima. Por fim, a

energia cinetica turbulenta junto a parede prevista com o modelo k � " e muito superior

aquela prevista com o modelo k � ! SST.

42

Figura 4.1: Fases 0o, 90o, 180o e 270o (de cima para baixo) dos campos de pressao,velocidade e componente z da vorticidade (da esquerda para direita) obtidos com omodelo de turbulencia k � " realizavel.

43

Figura 4.2: Fases 0o, 90o, 180o e 270o (de cima para baixo) dos campos de vis-cosidade cinematica turbulenta, energia cinetica turbulenta e taxa de dissipacaoturbulenta (da esquerda para direita) obtidos com o modelo de turbulencia k � "realizavel.

44

(a) Pressao (b) Viscosidade turbulenta

(c) Vorticidade - Z (d) Energia cinetica turbulenta

Figura 4.3: Perfis de variaveis na parede do cilindro para diferentes fases obtidoscom o modelo k � " realizavel.

45

Figura 4.4: Campos de pressao (esquerda) e velocidade (direita) para um angulo defase de 90o obtidos com os modelos k�" realizavel (em cima) e k�! SST (embaixo).

Figura 4.5: Campos de viscosidade turbulenta (esquerda) e energia cinetica turbu-lenta (direita) para um angulo de fase de 90o obtidos com os modelos k�" realizavel

(em cima) e k � ! SST (embaixo).

46

(a) Pressao (b) Viscosidade turbulenta

(c) Vorticidade - Z (d) Energia cinetica turbulenta

Figura 4.6: Comparacao de perfis de variaveis na parede do cilindro obtidos comos dois modelos de turbulencia para um angulo de fase de 90o.

47

Capıtulo 5

Conclusao

5.1 A viabilidade do uso de simulacoes 2D

Este trabalho buscou a validacao da metodologia aqui apresentada para a reproducao de

coeficientes hidrodinamicos para um cilindro circular liso fixo submetido a um escoamento

livre, em vista de seu uso para a obtencao de dados de entrada para um modelo semi-

empırico para a analise de fadiga em risers e oleodutos.

Dois modelos de turbulencia foram avaliados e o uso do modelo k�" realizavel levou a ob-

tencao de coeficientes mais proximos dos resultados experimentais de GOPALKRISHNAN,

[4], tidos como referencia neste trabalho.

O experimento numerico apresentou uma tendencia a superestimar os valores de coeficien-

tes de arrasto e sustentacao e numero de Strouhal. Embora as diferencas entre resutados

numericos e experimentais sejam significativas, o erro cometido e considerado satisfatorio

diante de diferentes fontes de incerteza e erros de modelagem envolvidos na analise de

fadiga de uma estrutura como um oleoduto, dentre os quais pode-se citar:

• rugosidade do duto, que pode inclusive mudar ao longo da operacao com o apareci-

mento de incrustacoes marinhas;

• escoamento nao uniforme proximo ao solo, principalmente devido a camada limite

no fundo submarino e a irregularidade deste;

• nıveis de turbulencia variaveis no escoamento livre;

• propriedades mecanicas do material do duto;

• condicoes de contorno na secao do duto analizada;

• interacao do duto com o solo;

48

• modificacao do proprio relevo submarino devido ao transporte de sedimentos.

Alem disso, o custo computacional razoavel obtido compensa uma discrepancia maior nos

resultados. Por fim, a sobrestimacao dos coeficientes de arrasto e sustentacao, sendo o caso

mais conservativo para a analise de fadiga, e aceitavel do ponto de vista de engenharia.

A sobrestimacao do numero de Strouhal pode, no entanto, trazer problemas quando si-

mulacoes de cilindros submetidos a oscilacoes forcadas serao realizadas. Com o fato de na

regiao do lock-in a frequencia de liberacao de vortices se igualar a frequencia de oscilacao

do cilindro, acredita-se que esta dificuldade do metodo em prever o numero de Strouhal

para um cilindro fixo nao influencie na previsao dos coeficientes de arrasto e sustentacao

para um cilindro oscilante. Por outro lado, pode-se ter dificuldade em reproduzir a faixa

de frequencias na qual o lock-in ocorre.

5.2 Metodo adotado

Tendo em vista as consideracoes acima, julga-se adequado para os fins desejados o seguinte

metodo:

1. Realizar simulacoes numericas 2D RANS com o metodo computacional descrito na

secao 3.2, o modelo k � " realizavel, a malha 3 descrita na secao 3.1.1 e passo de

tempo 0.2 s, de forma a garantir um erro de convergencia inferior a 2%.

2. Aplicar a correcao descrita na secao 2.4 para que a partir do coeficiente de sus-

tentacao para uma secao bidimensional seja obtido um coeficiente de sustentacao

equivalente para um cilindro com a razao de aspecto L/D desejada.

5.3 Proximas etapas

Este trabalho tem como prosseguimento natural a aplicacao do metodo descrito na secao

precedente a cilindros submetidos a oscilacoes forcadas. Se essa extensao ocorrer de forma

bem sucedida, poderao ser obtidos mapas para os coeficientes hidrodinamicos em funcao

da amplitude e da frequencia de vibracao, tais quais os apresentados nas figuras 1.5-1.8.

No entanto, essa extensao demandara cuidados especiais com a modelagem da turbulencia,

uma vez que devido ao movimento do cilindro a separacao da camada limite sera ainda

mais intensa. No futuro, espera-se ser possıvel a comparacao das analises de fadiga efe-

tuadas com os coeficientes numericos e experimentais, visando a uma quantificacao das

diferencas observadas no objetivo final do processo: o projeto da estrutura.

49

Uma vez o uso de simulacoes bidimensionais para obtencao de coeficientes hidrodinamicos

para cilindros circulares lisos para um numero de Reynolds de 10000, podem ser buscados

resultados mais abrangentes: podem ser explorados numeros de Reynolds mais elevados

(105, 106 e 107), diferentes nıveis de turbulencia no escoamento livre, diferentes graus

de rugosidade do cilindro ou ainda a proximidade de uma parede plana, gerando uma

camada limite na qual o cilindro estaria imerso. Seria entao possıvel obter coeficientes

hidrodinamicos para condicoes de operacao mais precisas ou ainda, realizar uma analise

de sensibilidade para quantificar os erros de modelagem gerados pelas hipoteses feitas

habitualmente na fase de projeto.

50

Referencias Bibliograficas

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in CFD Applications. Journal of Fluids Engineering, v. 130, n. 7, p. 078001, 2008.

52

Apendice A

Modelos de Turbulencia

A.1 Modelo k � ! SST

Nesta secao e descrito em detalhes o modelo k � ! SST utilizado neste trabalho tal qual

implementado no OpenFOAM.

Equacoes de transporte

As equacoes do modelo k � ! SST tem a forma mesma forma das equacoes 2.24 e 2.25.

Nesta ultima, e adicionado um termo de difusao cruzada Y!:

Dk

Dt

= r.

✓⌫ +

⌫t

�k

◆rk

�+ Pk �Dk (A.1)

D!

Dt

= r.

✓⌫ +

⌫t

�!

◆r!

�+ P! �D! + Y! (A.2)

Os numeros de Prandtl turbulentos �k e �! sao dados por:

1

�k

=1

�k2

+ F

1

✓1

�k1

� 1

�k2

◆1

�!

=1

�!2

+ F

1

✓1

�!1

� 1

�!2

◆(A.3)

onde F

1

e uma funcao de interpolacao dada por:

F

1

= tanh(�4

1

) (A.4)

�1

= min

"max

pk

�

⇤!y

,

500⌫

y

2

!

!,

4k

�!2CD

+

k!y2

, 10

#(A.5)

com y sendo a distancia a partir da parede mais proxima e Y+

! a parte positiva do termo

de difusao cruzada. Nota-se que F

1

tende a 1 proximo a parede (y ! 0) e a 0 em regioes

53

distantes dela (y ! +1). �k1 = 1.176, �k2 = 1.0, �!1 = 2.0 e �!2 = 1.168 sao constantes

do modelo. CD

+

k! e dada por:

CDk! =2rk.r!

�!2!(A.6)

CD

+

k! = max�CDk!, 10

�10

�(A.7)

Modelagem da viscosidade turbulenta

A viscosidade turbulenta e modelada por:

⌫t =a

1

k

max [(a1

!, b

1

SF

2

)](A.8)

onde a1

= 0.31 e b1

= 1.0 sao constantes do modelo e S =p

SijSij e a magnitude da taxa

de deformacao, Sij descrito na equacao 2.16. F

2

e uma funcao de interpolacao descrita

pela equacao A.9.

F

2

= tanh(�2

2

) (A.9)

�2

= max

2pk

�

⇤!y

,

500⌫

y

2

!

!(A.10)

e � obtido atraves da interpolacao das constantes �1

= 0.075 e �

2

= 0.0828:

� = F

1

�

1

+ (1� F

1

)�2

(A.11)

Modelagem dos termos de producao

A producao de energia cinetica turbulenta e modelada por:

Pk = min�⌫tS

2

, c

1

�

⇤k!

�(A.12)

com c

1

= 10.0 e a producao de ! por:

P! = ↵S

2 (A.13)

onde ↵ e obtido atraves da interpolacao das constantes ↵1

= 0.5532 e ↵

2

= 0.44:

↵ = F

1

↵

1

+ (1� F

1

)↵2

(A.14)

54

Modelagem dos termos de destruicao

Os termos de destruicao das equacoes de k e ! sao dados pelas equacoes A.15 e A.16,

respectivamente.

Dk = �

⇤k! (A.15)

D! = �!

2 (A.16)

Termo de difusao cruzada

Enfim, o termo de difusao cruzada adicionado a equacao A.2 e dado por:

Y! = (1� F

1

)CDk! (A.17)

Constantes utilizados no modelo

As constantes utilizadas no modelo sao resumidas na tabela A.1:

Tabela A.1: Constantes utilizadas no modelo k � ! SST

�k1 1.176 a

1

0.31 ↵

1

0.5532�k2 1.0 b

1

1.0 ↵

2

0.4403�!1 2.0 c

1

10.0 �

1

0.075�!2 1.168 �

⇤ 0.09 �

2

0.0828

A.2 Modelo k � " realizavel

Nesta secao e descrito em detalhes o modelo k � " realizavel utilizado neste trabalho tal

qual implementado no OpenFOAM.

Equacoes de transporte

As equacoes de transporte das quantidades k e " sao dadas por:

Dk

Dt

= r.

✓⌫ +

⌫t

�k

◆rk

�+ Pk �Dk (A.18)

D"

Dt

= r.

✓⌫ +

⌫t

�"

◆r"

�+ P" �D" (A.19)

Os numeros de Prandtl turbulentos �k = 1.0 e �" = 1.2 sao constantes do modelo.

55

Modelagem da viscosidade turbulenta

A viscosidade turbulenta e modelada por:

⌫t = Cµk

2

"

(A.20)

Uma particularidade do modelo k � " realizavel em relacao ao modelo k � " standard e

que Cµ deixa de ser constante e passa a ser dado pela equacao A.21.

Cµ =1

A

0

+ As(k/")Us

(A.21)

onde A

0

= 4.0 e As e dado por:

As =p6 cos(�s) �s =

1

3cos�1

p6W W =

SijSjkSki

S

3

(A.22)

com S =p

SijSij sendo a magnitude da taxa de deformacao media e Sij descrito na

equacao 2.16.

Us e dado por:

Us =pSijSij � ⌦ij⌦ij (A.23)

⌦ij e a taxa de rotacao media obtida pela equacao A.24:

⌦ij =1

2

✓@ui

@xj

� @uj

@xi

◆(A.24)

Modelagem dos termos de producao

A producao de energia cinetica turbulenta e modelada por:

Pk = ⌫tS2 (A.25)

e a producao de " por:

P! = C

1

S" (A.26)

onde C

1

e obtido por:

C

1

= max

✓0.43,

⌘

⌘ + 5

◆⌘ = S

k

"

(A.27)

56

Modelagem dos termos de destruicao

Os termos de destruicao das equacoes de k e " sao dados pelas equacoes A.28 e A.29,

respectivamente.

Dk = " (A.28)

D" = C

2

"

2

k +p⌫"

(A.29)

Constantes utilizados no modelo

As constantes utilizadas no modelo sao resumidas na tabela A.2:

Tabela A.2: Constantes utilizadas no modelo k � " realizavel

�k 1.0 C

2

1.9�" 1.2 A

0

4.0

A.3 Condicoes de contorno turbulentas

Condicoes de entrada

As condicoes de entrada turbulentas sao calculadas a partir dos valores de intensidade

turbulenta I e razao de viscosidade ⌫t/⌫ descritas na tabela 3.2 pelas formulas derivadas

das equacoes 2.15, 2.20 e 2.23, respectivamente:

k =3

2(uI)2 (A.30)

✏ = Cµk

2

⌫t

(A.31)

! =k

⌫t

(A.32)

Condicoes de parede

As condicoes de parede utilizadas neste trabalho estao descritas a seguir [22]. Elas

baseiam-se em funcoes de parede implementadas no OpenFOAM. A equacao A.33 corres-

ponde a uma condicao de gradiente nulo na parede para a energia cinetica turbulenta. Nas

equacoes abaixo, kP o valor de k na celula adjacente a parede e yP a distancia do centro

57

desta celula a parede. e uma constante encontrada na lei da parede para a velocidade [9]

e vale 0.41 na implementacao OpenFOAM.

@k

@n

= 0 (A.33)

Pk = (⌫t + ⌫)@u

@y

k

1/2P C

1/4µ

yP

(A.34)

✏ = C

3/4µ

k

3/2P

yP

(A.35)

! =q

!

2

vis + !

2

log !vis =6.0⌫

�

1

y

2

P

!log =k

3/2P

C

1/4µ yP

(A.36)

58

OBTENC¸AO DE COEFICIENTES˜ HIDRODINAMICOS PARA...

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